Resolução das atividades complementares
Matemática
M16 — Probabilidade
p. 75
1 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.
1
a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade­ de que o número observado seja divisível por 3?
3
b) Se duas bolinhas forem sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em
consideração), qual a probabilidade de que os números observados sejam consecutivos? 2
15
Resolução:
a) U 5 {1, 2, 3, 4, ..., 15}
n(U) 5 15
A 5 {3, 6, 9, 12, 15}
n(A) 5 5
P(A) 5 5 5 1
15
3
15 ? 14
2
B 5 {{1, 2}, {2, 3}, ..., {14, 15}}
b) n(U) 5 C15, 2 5
n(B) 5 14
P(B) 5
14
5 2
15 ? 14
15
2
2 (Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se,
ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de:
a) 99,0%
c) 99,2%
b) 99,1%
d) 99,3%
Resolução:
A: a peça é perfeita:
n(A) 5 500 2 4 5 496;
n(U) 5 500
P(A) 5 496 5 0,992 ou 99,2%
500
e) 99,4%
3 (Unicamp-SP) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para
representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda.
Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? 27 216
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos
estejam em ordem crescente? 1
216
Resolução:
a)
������
�
9
?
A 9,, 4 5 9 ? (9 ? 8 ? 7 ? 6) 5 27 216
b) No sistema decimal, a quantidade de números naturais com todos os cinco algarismos em ordem
crescente é C9, 5.
C9, 5 5 9! 5 126
P(B) 5 126 5 1
5! 4!
27 216
216
4 (EEM-SP) Lançando simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a
probabilidade de:
a) obter números cujo produto seja ímpar? 1
b) obter números cujo produto seja par? 3
4
4
Resolução:
n(U) 5 6 ? 6 5 36
a) A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} ⇒ n(A) 5 9
n(A)
P(A) 5
5 9 5 1
n(U)
36
4
b) B 5 A ⇒ P(B) 5 1 2 P(A) 5 1 2 1 5 3
4
4
5 (Uniube-MG) A probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de um
número obtido pelas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é igual a:
a) 1
c) 1
5
3
1
1
b)
d)
4
2
e) 1
Resolução:
n(U) 5 P5 ⇒ n(U) 5 5! 5 120
Para o número ser divisível por 5, nesse caso, o algarismo das unidades deve necessariamente ser o 5.
Logo, o número de casos favoráveis do evento é dado por:
n(A) 5 P4 ⇒ n(A) 5 4! 5 24
P(A) 5
n(A)
⇒ P(A) 5 24 5 1
n(U)
120
5
6 (Cesgranrio-RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado
com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre é uma
seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única
tentativa, ao acaso, abrir o cofre?
a) 1
c) 1
e) 1
7 200
1 500
200
b) 1
d) 1
2 000
720
Resolução:
5
5
⇒ n(U) 5 53 ? 4 2 5 2 000
5 4 4
P(A) 5 1 ⇒ P(A) 5 1
n(U)
2 000
p. 76
7 (Vunesp-SP) Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um hexágono regular. Qual a
probabilidade de que os vértices formem um triângulo eqüilátero?
1
10
Resolução:
n(U)  C6, 3  20
A: formar um triângulo eqüilátero
Observando a figura, conclui-se que é possível formar apenas
2 triângulos eqüiláteros (ACE e BDF) com os vértices de um
hexágono regular.
n(A)
Logo, n(A) 5 2 ⇒ P(A) 5
5 2 5 1
n(U)
20
10
A
B
F
C
E
D
8 (UEL-PR) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra
N. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas é:
a) 1
c) 2
e) 3
5
5
5
1
1
b)
d)
4
2
Resolução:
n(U)  P6  6! ⇒ n(U)  720
A: anagramas com as 3 vogais juntas.
n(A)  3! 4!  6 ? 24  144
n(A)
P(A) 5
5 144 5 1
n(U)
720
5
9 (FGV-SP) O código de acesso de um cartão de crédito é formado por seis dígitos decimais. Cada
dígito é um número inteiro que pode assumir qualquer valor entre 0 e 9. Tendo extraviado seu cartão de
crédito, Alexandre receia que um estranho o encontre e tente descobrir o código. Calcule a probabilidade
aproximada de alguém acertar o código do cartão de Alexandre num total de 1 000 tentativas aleatórias e
distintas. 0,1%
Resolução:
n(U)  106
A: acertar o código em uma tentativa
n(A)
n(A) 5 1 ⇒ P(A) 5
5 16
n(U)
10
Como o estranho irá tentar 1 000 vezes, temos:
P  1 000 ? P(A)  103 ? 1026  1023 ou 0,1%
10 (Fuvest-SP) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso, entre 101 e 1 000 inclusive, com reposição.
Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos números sorteados não seja zero. 73%
Resolução:
2o
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
0
1o
0
0
0
0
0
0
0
0
Finais dos nos de 100 a 1 000.
n(U)  10 ? 10  100
Z: produto de final zero
n(Z) 5 27  P(Z) 5 27
100
Probabilidade do produto cujo algarismo das unidades não é zero:
P(Z) 5 1 2 P(Z) ⇒ P(Z) 5 1 2 27 5 73 ou 73%
100
100
Finais dos nos de 100 a 1 000.
3
11 Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é
aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertos pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso,
uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto
pela chave escolhida? 5
12
Resolução:
1_a gaveta
2  
1  
3 chaves
P(Tipo A): 2 ? 1 5 2
3
4
12
2_a gaveta
1  
3  
4 cadeados
P(Tipo B): 1 ? 3 5 3
3
4
12
P(A ou B): 2 1 3 5 5
12
12
12
12 (Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre grupos san­güíneos ABO, na qual foram testadas 6 000 pessoas de
uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o an­tígeno A, 2 234 o antígeno B e 1 846 não têm nenhum antígeno.
Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois
antígenos? 10,12%
Resolução:
n(U)  6 000
n(A)  2 527; n(B) 5 2 234; n(O) 5 1 846
n(A  B)  n(A) 1 n(B) 2 n(A  B), em que
n(A  B)  6 000 2 1 846 5 4 154
n(A  B)  2 527 1 2 234 2 4 154 5 607
n(A  B)
P(A  B) 5
5 607  0,1012 ou  10,12%
n(U)
6 000
13 (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não-vicia­dos. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a
probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 2
5
Resolução:
A: Ocorre a face 5 num dos dados
A  {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)}; n(A)  11
B: Soma nos dois dados igual a 8
B  {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}; n(B)  5
A  B  {(3, 5), (5, 3)} ⇒ n(A  B)  2
n(A  B)
P(A/B) 5
5 2
n(B)
5
14 Dois jogadores, Kléber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar
o maior número. Sabendo que Kléber tirou 4, qual a probabilidade de:
a) Kléber vencer o jogo? 1
b) haver empate? 1
c) Arnaldo vencer o jogo? 1
3
6
2
Resolução:
n(U) 5 36
n(K) 5 6 ⇒ P(K) 5
n(K)
5 6 5 1
n(U)
36
6
a) A: tirar um número menor que 4 ⇒ n(A) 5 18 e P(A) 5 18 5 1
36
2
n(A  K)
3
1
n(A  K) 5 3 ⇒ P(A  K) 5
5
5
n(U)
36
12
1
P(A  K)
12
P(A/K) 5
5
5 1
P(K)
1
2
6
b) A: tirar o número 4 ⇒ n(A) 5 6 e P(A) 5 6 5 1
36
6
1
n(A  K) 5 1 ⇒ P(A  K) 5 1 ⇒ P(A/K) 5 36 5 1
36
1
6
6
c) A: tirar um número maior que 4 ⇒ n(A) 5 12 e P(A) 5 12 5 1
36
3
1
2
1
18
n(A  K) 5 2 ⇒ P(A  K) 5
5
⇒ P(A/K) 5
5 1
36
18
1
3
6
15 (MACK-SP) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 1 . Então, supondo que o
4
casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é:
a) 3
c) 3
e) 9
16
8
16
b) 1
d) 1
16
8
Resolução:
P(M) 5 1 ; P(F) 5 3
4
4
O casal terá exatamente dois filhos do mesmo sexo se, e someente se, não tiver os três filhos do mesmo sexo.
() ()
3
3
Logo, P(E) 5 1 2 1 2 3
4
4
1
2
7
36
P(E) 5 1 2
2
5
5 9
64
64
64
16
16 (UFLA-MG) Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composição:
louras
morenas
total
olhos azuis
10
20
30
olhos castanhos
30
40
70
Total
40
60
100
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a probabilidade de sair:
a) uma loura? 2
5
1
b) uma loura de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis?
2
2
c) uma morena de olhos castanhos?
5
Resolução:
n(U) 5 100
n(L)
a) n(L) 5 40 ⇒ P(L) 5
5 40 5 2
n(U)
100
5
b) P 5 P(L  C) 1 P(M  A)
 P(L  C) 5 n(L  C) 5 30

n(U)
100
Pela tabela, temos: 
P(M  A) 5 n(M  A) 5 20

n(U)
100
P 5 30 1 20 5 50 5 1
100
100
100
2
c) P(M  C) 5 n(M  C) 5 40 5 2
n(U)
100
5
17 (UFSCar-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais
recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores
mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo
telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos
filhos contactar os pais é:
a) 0,20
c) 0,64
e) 0,92
b) 0,48
d) 0,86
Resolução:
p: probabilidade de nenhum dos filhos telefonar
1 –p: probabilidade de pelo menos um dos filhos telefonar
Temos, então: p  (1 2 0,6) ? (1 2 0,8)  0,4 ? 0,2  0,08
1 2 p  1 2 0,08  0,92
18 (UCSal-BA) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível univer­sitário
e 60% são do sexo masculino. Se 25% do núme­ro de mulheres têm nível universitário, a probabilida­de de
selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja masculino e não tenha nível universitário é:
a) 5
c) 2
e) 5
12
90
36
3
1
b)
d)
10
5
Resolução:
N
N
Total
M
54
54
108
F
18
54
72
Total
72
108
180
P(M  N) 5 P(M/N) ? P(N)
P(M  N) 5 54 ? 108  P(M  N) 5 3
1088 180
10
19 (Unesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova
são de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a
probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto
venha a subir ao pódio. 50%
Resolução:
A: pódio com chuva ⇒ P(A) 5 60 5 3
100
5
20
1
B: pódio sem chuva ⇒ P(B) 5
5
100
5
75
3
C: chove na prova ⇒ P(C) 5
5
e P(C) 5 1
100
4
4
P: subir ao pódio ⇒ P(P) 5 P(A) ? P(C) 1 P(B) ? P(C)
P(P) 5 3 ? 3 1 1 ? 1 5 9 1 1 5 1 ou 50%
5
4
5
4
20
20
2
20 (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a
uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são
fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? 2%
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita? 52,6%
Resolução:
F
NF
Total
S
0,020
0,080
0,100
NS
0,018
0,882
0,900
Total
0,038
0,962
1,000
a) P(S  F) 5 0,020 ou 2%
P(S  F)
0,020
b) P(S/F) 5
5
5 10  0,526 ou  52,6%
P(F)
0,038
19
21 Vítor e Bruno lançam um dado comum três vezes. Vítor apostou que o número 5 sairá pelo menos
uma vez e Bruno que o número 5 não sairá em nenhum dos três lançamentos. Qual deles tem mais chance
de ganhar a aposta? Justifique. Bruno, pois 125 . 91
216
216
Resolução:
n(U)  63  216
B: não sairá nos lançamentos
n(B) 5 53 5 125 ⇒ P(B) 5
n(B)
5 125
n(U)
216
V: sairá pelo menos uma vez o 5
V 5 B e P(V) 5 1 2 P(B) 5 1 2 125 ⇒ P(V) 5 91
216
216
Bruno tem mais chances de ganhar a aposta, pois P(B) . P(V).
22 (PUC-SP) Dos 50 candidatos que se apresentaram para preencher as vagas de empregos em certa
empresa, sabe-se que: 40% são fumantes e 50% têm curso superior. Se 75% dos fumantes não têm curso
superior, qual a probabilidade de serem selecionados dois candidatos que não fumem e não tenham curso
superior? 9
245
Resolução:
40% de 50  20
50% de 50  25
F
F
Total
S
5
20
25
S
15
10
25
Total
20
30
50
75% de 20  15
A probabilidade de selecionar um não-fumante que não tenha curso superior é dada por:
P1 (F  S) 5
n(F  S)
5 10 5 1
n(U)
50
5
Agora, para o segundo candidato, temos: n2(U)  49;
n 2 (F  S) 5 9. Logo: P2 (F  S) 5
n 2 (F  S)
5 9
n 2 (U)
49
P 5 P1 (F  S) ? P2 (F  S) 5 1 ? 9 5 9
5
49
245