Dissertação de Mestrado
ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO
EM ROCHAS FRATURADAS: MODELAGENS
COMPUTACIONAIS E SOLUÇÃO ANALÍTICA
.
AUTORA: CLARISSE DA SILVA RODRIGUES
ORIENTADOR: Prof. Dsc. Rodrigo Pelucci Figueiredo
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOP
OURO PRETO - DEZEMBRO DE 2007.
ii
R696e
Rodrigues, Clarisse da Silva.
Estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas : modelagens
computacionais e soluções analíticas [manuscrito]. / Clarisse da Silva Rodrigues 2007.
xxii, 166f .: il. color., graf., tabs.
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Pelluci Figueiredo.
Área de concentração: Geotecnia
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de
Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós Graduação em
Engenharia Civil.
1. Petróleo - Teses. 2. Poços de petróleo - Teses. 3. Rochas - Fraturas - Teses.
4. Modelagem computacional -Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto.
Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Civil. II. Título.
CDU: 553.982
Catalogação: [email protected]
“...Depois que uma mente se abre para uma nova idéia
ela jamais retornará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein
iii
DEDICATÓRIA
À minha maravilhosa família, em especial aos meus pais: Maria da Graças e João
Rodrigues.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela fé que me concede e por renovar e aumentar a cada dia a minha
fé.
Agradeço ao meu orientador, professor Rodrigo, que sempre me incentivou e me
apresentou a base para que eu iniciasse o longo caminho na mecânica das rochas e do
petróleo; por nossas reuniões sempre muito produtivas e contundentes; por me fazer
entender que os ensinamentos mais complexos podem se tornar os mais simples
bastando para isso entendimento, dedicação e observação. E, sobretudo, por me mostrar
o quão interessante é a mecânica das rochas.
Agradeço à Escola de Minas de Ouro Preto que desde 1876 oferece um ensino de
qualidade, público e gratuito na área de Engenharia. Quero deixar aqui registrado o meu
agradecimento e orgulho de ser parte integrante desta Escola.
Agradeço à minha mãe, Maria das Graças, que é minha vida, meu porto seguro, meu
exemplo, quem me ensinou a sempre seguir em frente em todos os meus projetos de
vida. Ao meu pai, João, pela dedicação e exemplo de sempre planejar, pensar e analisar
todas as variáveis de um novo projeto, qualquer que ele seja. Aos meus queridíssimos
irmãos: Fernandes, Berenice, Kelly, Lina, João Henrique e Walter pelas conversas,
confissões, descontrações e ajuda mútua.
Agradeço aos meus sobrinhos por fazer meus olhos brilharem, fazendo com que eu
enxergue melhor o presente e me preocupe em seguir o caminho certo no futuro. À tia
Aparecida, eterna gratidão.
Às eternas amigas do CEFET de Ouro Preto: Lílian, Natália, Silvia, Margarida, Cíntia e
Kívia; pela amizade verdadeira sem o qual não se pode ser feliz. À amiga do mestrado
Gláucia por ser uma pessoa que sei que posso contar. À amiga de infância, Fabiane, que
eu considero como uma irmã. À grande amiga Sílvia por sempre me apoiar e por ser
essa pessoa maravilhosa. Amizade é tudo, muito obrigada.
Agradeço à Bruna, que me auxiliou nas análises numéricas no UDEC.
Ao Pet-Civil que foi e sempre será a minha casa na Escola de Minas, que muito auxiliou
na minha formação não só como Engenheira e Mestre, mas como pessoa.
Ao grande Professor e Tutor do Pet-Civil, Jaime Florêncio, por me ensinar sobre as
verdadeiras necessidades das pessoas: o Conhecimento e o Equilíbrio (Aristóteles).
Á CNPq pela bolsa de mestrado.
v
RESUMO
Problemas de estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas têm
despertado um crescente interesse da indústria petrolífera e da comunidade acadêmica.
Devido à existência de inúmeros poços atravessando formações fraturadas em rochas
carbonáticas da Bacia de Campos e no Golfo do México, esse problema é
particularmente relevante para a indústria nacional e internacional do petróleo.
Constata-se
que
os
poucos
estudos
existentes
na
literatura
utilizam
exclusivamente técnicas computacionais, normalmente, elementos discretos (Santarelli
et al., 1992; Zhang et al., 1999; Chen et al., 2001; Chen et al., 2003). Essa é uma técnica
reconhecidamente poderosa e apta ao trato de tais problemas. Portanto, é de interesse da
indústria o desenvolvimento de soluções analíticas, que permitam uma avaliação
expedita da estabilidade de blocos rochosos no entorno do poço, pela interseção das
fraturas existentes na formação rochosa. Sendo esta uma solução de engenharia para os
limites inferior e superior da massa específica do fluido de perfuração.
Neste presente trabalho são propostas soluções analíticas para o problema de
estabilidade de poços bem como a validação das soluções analíticas propostas através
de comparações com modelagens computacionais paramétricas com o uso do software
UDEC, para a estabilidade de poços em rochas fraturadas de diferentes características
geomecânicas e geométricas.
vi
ABSTRACT
Problems of stability of petroleum wells in jointed rocks have aroused an
increasing interest of the petroliferous industry and the academic community. Due to
existence of many wells crossing jointed in carbonate rocks of the Campos Basin and in
the Gulf of Mexico, this problem is particularly important for the national and
international industries of petroleum.
There are the few studies about the subject in literature and they use only
computational techniques, normally, discrete elements. This is a powerful technique and
it is very useful to the treatment of such problems. Therefore, it is interesting the
industry the development of analytical solutions that allow evaluation of the stability of
rock blocks around of the well, for the intersection of the existing jointed in the rock
formation. It is an engineering solution to upper and lower limits of the specific mass of
the perforation fluid.
In this present work analytical solutions for the problem of well stability were
proposed as well as the validation of these solutions with parametric computational
modeling in UDEC, for the well stability of wells in jointed rocks with different
geomechanic and geometric characteristics.
vii
ÍNDICE
CAPÍTULO 1
1 – INTRODUÇÃO............................................................................................................
1.1 – OBJETIVO.....................................................................................................
1.2– CONTEÚDO E ACAPITULAÇÃO............................................................
CAPÍTULO 2
2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO..........................................................
2.1 – CONCEITO E MODELAGEM DE MEIOS CONTÍNUOS E
DESCONTÍNUOS ...........................................................................................
2.1.1 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS
CONTÍNUOS.......................................................................................
2.1.2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS
DESCONTÍNUOS...................................................................................
2.1.2.1 – MECANISMOS DE INSTABILIDADE EM ROCHAS
FRATURADAS...........................................................................
2.1.2.2 – A INFLUÊNCIA DA INFILTRAÇÃO DO FLUIDO NA
FRATURA...................................................................................
CAPÍTULO 3
3 – EQUILÍBRIOS DE BLOCOS ROCHOSOS AO REDOR DE CAVIDADES
SUBTERRÂNEAS ......................................................................................................
3.1 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – ESCAVAÇÃO
COM TETO
PLANO.............................................................................................................
3.1.1 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO
SIMÉTRICO............................................................................................
3.1.2 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO
ASSIMÉTRICO.......................................................................................
3.2 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – TETO CIRCULAR..
CAPÍTULO 4
4 – SOLUÇÕES PROPOSTAS: EQUILÍBRIO DE BLOCOS DE ROCHA NO
ENTORNO DE POÇOS DE PETRÓLEO ..................................................................
4.1 – TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO
ENTORNO DE POÇOS PERFURADOS EM ROCHAS FRATURADAS....
4.1.1 - TENSÃO MÍNIMA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS AO
REDOR DE UM POÇO – TETO PLANO..............................................
4.1.2 - TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO
TETO CIRCULAR DE UM POÇO.........................................................
viii
1
2
2
4
7
10
12
12
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45
45
50
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62
69
4.2 – TENSÃO MÁXIMA NA PAREDE DO POÇO - LIMITE SUPERIOR DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO DE PERFURAÇÃO.............................
76
CAPÍTULO 5
5 – MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS E O SOFTWARE UDEC............
5.1 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DISCRETO.............................................
5.2 – PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO EXPLÍCITA............................................
5.3 – REPRESENTAÇÃO DA JUNTA DA ROCHA NO UDEC............................
5.4 – COMPORTAMENTO DA JUNTA DAS ROCHAS.......................................
5.5 – DEFORMABILIDADE DE
BLOCOSq1.............................................................
5.6 – AMORTECIMENTO NUMÉRICO...................................................................
5.7 – MODELAMENTO ESPECÍFICO......................................................................
CAPÍTULO 6
6 – MODELAGEM COMPUTACIONAL DA ESTABILIDADE DE POÇOS EM
ROCHAS FRATURADAS...........................................................................................
6.1 – PRECEDENTES PARA A MODELAGEM COMPUTACIONAL................
6.1.1 – DADOS DO POÇO.................................................................................
6.1.2 – TENSÕES IN SITU.................................................................................
6.1.3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DA ROCHA INTACTA...................
6.1.4 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS DESCONTINUIDADES.........
6.1.5 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS E REGIMES DE FLUXO.............
6.1.6 – GEOMETRIAS DE FRATURAMENTO...............................................
6.1.7 – LIMITES EXTERNOS E CONDIÇÕES DE CONTORNO ..................
6.1.8 – SEQUÊNCIA DE MODELAGEM E DISCRETIZAÇÃO.....................
6.2 – APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ...........................
6.2.1 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES IN SITU EM ROCHAS
FRATURADAS.......................................................................................
6.2.2 - RESULTADOS........................................................................................
6.2.2.1 – CONDIÇÃO DE FLUIDO NÃO PENETRANTE...............................
6.2.2.2 – CONDIÇÃO DE FLUIDO PENETRANTE........................................
CAPÍTULO 7
7 - VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES PROPOSTAS...........................
7.1 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS – SOLUÇÕES
ANALÍTICAS..................................................................................................
7.2 – VALIDAÇÃO DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS ........................... ..................
7.3 – COMPARAÇÕES DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS COM O UDEC....................
CAPÍTULO 8
8 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.........................
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................
ANEXO 1...........................................................................................................................
ix
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110
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116
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147
150
154
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Esquema de uma sonda rotativa
4
Figura 2.2 – Ilustração da remoção de cascalhos pelo fluido de perfuração
5
Figura 2.3 – Alguns tipos de instabilidade de poço (Last & Pumb, 1995).
6
Figura 2.4 – Representação da influência da escala no modelo de comportamento do
maciço rochoso (a) Rocha intacta – Meio Contínuo (b) Várias descontinuidades – Meio
Descontínuo (c) Meio Contínuo Equivalente ou Pseudo-contínuo.
9
Figura 2.5 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005).
10
Figuras 2.6 – Parâmetros do fluido de perfuração durante três tentativas para perfurar
formações vulcânicas (Santarelli et al 1992)
15
Figuras 2.7 – Juntas espaçadas e próximas observadas no testemunho (Santarelli et al
1992).
17
Figuras 2.8 – Observações de testemunho com uma fratura preenchida por calcita e
quartzo (Santarelli et al 1992).
17
Figuras 2.9 – Resíduos e sólidos de fluido em uma fratura. (Santarelli et al 1992).
18
Figura 2.10 – Geometria do modelo – Pm é a sobre pressão do fluido, D o diâmetro do
poço 8 ½”, e1 espaçamento de 4cm e e2 espaçamento de 2,5cm. (Santarelli et al 1992)
20
Figura 2.11– Abertura de juntas para massa específica do fluido de perfuração de 1.2
g/cm3(10,00lb/gal) (Santarelli et al 1992).
Figura 2.12 - Abertura de juntas para massa específicas do fluido de perfuração de 1.7
g/cm3 (14,18lb/gal)(Santarelli et al 1992).
x
23
24
Figura 2.13 – Taxa anisotrópica de deslocamento na parede versus orientação do bloco
(Santarelli et al 1992).
Figura 2.14 – Deslocamento cisalhante ao longo da junta para uma orientação de bloco
de 45º e massa específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal) e 1.7 g/cm3
(14,18lb/gal) A espessura da linha representa um deslocamento de 60µm. (Santarelli et
al 1992).
Figura 2.15 – Taxa de fluxo através da rede de fraturas com blocos inclinados a 45º e
massa específica do fluido de perfuração 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal) e 1.3 g/cm3
(10,84lb/gal) (Santarelli et al 1992).
Figura 2.16 – Abertura de juntas correspondentes a dois casos extremos de reboco
perfeito e sem reboco. (Santarelli et al 1992).
24
25
26
27
Figura 2.17 – Abertura de vários contatos de juntas sob aumento da massa específica do
fluido de perfuração. A orientação do bloco é 0º. Os contatos são situados como na
28
Figura 2.18 – Modelo conceitual e condições limites (Chen et al 2003).
31
Figura 2.19 – Padrão de fraturas para Casos 1 e 2 (Chen et al 2003).
33
Figura 2.20 – Padrão de fraturas para Casos 3 e 4 (Chen et al 2003).
33
Figura 2.21 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σh nos 4 Casos (Chen
et al 2003).
Figura 2.22– Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σH nos 4 Casos (Chen
et al 2003).
Figura 2.23 – Caso 1 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de
poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com
ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da
fratura reduzido devido à infiltração de do fluido (Chen et al 2003).
xi
36
36
38
Figura 2.24 – Caso 3 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de
poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com
ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da
fratura reduzido devido à infiltração de fluido (Chen et al 2003).
39
Figura 2.25 – Caso 2 – (a) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura
constante. (b) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido
devido à infiltração do fluido.
42
Figura 2.26 – Caso 4 – (a) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura
constante. (b) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido
devido à infiltração do fluido.
42
Figura 3.1 – Representação de algumas escavações subterrâneas – (a) Túnel com teto
plano; (b) Poço - teto circular.
44
Figura 3.2–Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a)
sujeito às forças N, S, R e W – (b) no estado de equilíbrio limite (Adaptado Brady e
Brown 2005).
46
Figura 3.3– Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a)
Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas – (b) em um estado
equilíbrio limite depois da aplicação de um carregamento externo e relaxação da junta
(Adaptado Brady e Brown 2005).
48
Figura 3.4 – Diagrama do corpo livre prismático assimétrico no teto plano de uma
escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas (b)
Corpos livres constituintes para análises de relaxação (Adaptado Brady e Brown 2005).
50
Figura 3.5 – Bloco de rocha simétrico no teto de um poço circular em um campo de
tensões biaxial (Sofianos et al 1999).
53
Figura 3.6 – Geometria do bloco no teto de um poço circular (Adaptado D. Elsworth
1986).
56
Figura 3.7 – Geometria do bloco em um nível diferencial (Adaptado D. Elsworth 1986).
57
Figura 4.1 – Poço perfurado com uma lâmina d’água hw.
60
Figura 4.2 – Representação de um bloco na parede de um poço – consideração de teto
plano.
Figura 4.3 – Representação da seção transversal de um bloco de rocha.
xii
62
64
Figura 4.4 – Tensões principais em um poço submetido a uma pressão interna ∆P
(Adaptado Enever and Chopra 1986).
66
Figura 4.5 – Bloco rochoso com ângulo apical negativo na parede de um poço.
67
Figura 4.6 – Representação de um bloco na parede de um poço – teto circular.
69
Figura 4.7 – Representação de um bloco na parede de um poço – caso geral.
70
Figura 4.8 – Representação da geometria dos espaçamentos entre descontinuidades.
71
Figura 4.9– Representação da força PL agindo sob uma superfície de comprimento AB.
74
Figura 4.10– Representação das componentes da força normal, N1 e N2 agindo sob uma
superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente.
Figura 4.11 – Variação da componente de tensão principal em um plano de inclinação
θ devido à descontinuidade ao redor de um poço.
75
77
Figura 5.1 – Ciclo de Cálculo dos Elementos Discretos (Alvarenga 1997).
80
Figura 5.2 – Ciclo de Cálculo da Relaxação Dinâmica (Alvarenga 1997).
81
Figura 5.3 – Ciclo básico de cálculo para o método do elemento discreto (Adaptado Hart
1993).
83
Figura 5.4 – Contatos entre blocos no UDEC (Adaptado Hart 1993).
85
Figura 5.5 - Definição dos contatos no UDEC – (a)Contato limite extremidade
arredondado (b) Interação extremidade-extremidade (Adaptado Hart 1993).
86
Figura 5.6 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (Adaptado Hart 1993).
87
Figura 5.7 – Modelagem de um poço (a) Elementos discretos – blocos (b) Zoneamento
dentro dos blocos (Adaptado Hart 1993).
90
Figura 5.8 – Tipos de amortecimento (Adaptado Hart 1993).
92
xiii
Figura 5.9 – Modelos do efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um
ângulo θ com a horizontal e com espaçamento S. (Adaptado Hart 1993).
95
Figura 5.10 – Efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo
θ=45o e ν=0,2. (Adaptado Hart 1993).
97
Figura 6.1 - Elementos geométricos do fraturamento em torno do poço. (Figueiredo et al
2006).
Figura 6.2 – Geometrias do fraturamento em torno do poço-(a) η1=45º; -(b) η1=30º; (c) η1=15º; -(d) η1=60º.
Figura 6.3 - Limites externos do modelo e geometria de fraturamento (e1 = 4 cm;
e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 =135o). (Figueiredo et al 2006).
106
107
109
Figura 6.4 - Detalhe da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas no
modelo (e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o). (Figueiredo et al 2006)
110
Figura 6.5 – Efeito da reorientação das tensões induzidas segundo as direções das
fraturas - Geometria 2; K = 1.5; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30°; η2 =120°; ∆p = 0. (a)
σmin e σmáx segundo Kirsch 1898 (meio contínuo); (b) σmin e σmáx reorientadas (rocha
fraturada). (Figueiredo et al 2006).
111
Figura 6.6 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5); e1 = 4 cm; e2 = 2 cm;
30o; η2 =120o.
112
η1 =
Figura 6.7 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5): (a) e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 =
0o; η2 = 90o.
113
Figura 6.8 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5; ρf = 13,34 lb/gal; ∆p = 26.4
MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.
114
Figura 6.9 - Fraturas abertas ou cisalhadas com K=1.5; ρf = 15,01 lb/gal; ∆p = 32.8
MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o. (Figueiredo et al 2006).
115
Figura 6.10 - Isofaixas de FS - Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ρf = 9,17 lb/gal; ∆p
= 4.1 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 15o; η2 = 105o. (Figueiredo et al 2006).
117
Figura 6.11 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 15o e η2 = 105o - (a) sem fluido de perfuração; (b)
9,17 lb/gal; (c) 10,01 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.w
119
xiv
Figura 6.12 - Isofaixas de FS (Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ∆p nula):
cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.
e1 = 4
121
Figura 6.13 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massa específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 45o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal;
(c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.
122
Figura 6.14 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 30o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal;
(c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.
124
Figura 6.15 - Análise visual comparativa (K=1.5; ρf = 10,00 lb/gal; ∆pf = 8.2 MPa; e1 =
4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30o; η2 = 120o): (a)Fraturas pressurizadas, não conectadas com o
poço (b) Padrão de fluxo nas fraturas conectadas com o poço (Figueiredo et al 2006).
127
Figura 6.16 - Análise visual comparativa (K=1.3; ρf = 16,68 lb/gal; ∆pf = 41.0 MPa; e1 =
4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o): (a) fraturas plastificadas (fluido não-penetrante);
(b) padrão de fluxo nas fraturas. (Figueiredo et al 2006).
128
Figura 6.17- Análise com fluxo irrestrito: (a) padrão de sobrepressões nas fraturas
K=1.3; ρf = 12,51 lb/gal; ∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm;
e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 =
135o; (b) Colapso do poço - K=1.3;
ρf = 13,34 lb/gal; ∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm;
o
o
e2 = 2 cm; η1 = 45 ; η2 = 135 - configuração deformada amplificada (60 vezes) da rocha
fraturada. (Figueiredo et al 2006).
130
Figura 7.1 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a
inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
136
Figura 7.2 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a
inclinação da descontinuidade (K=1,5; η2=η1+90).
137
Figura 7.3 – Variação do desvio das soluções analíticas com a massa específica do
fluido calculada pelo UDEC (η2=η1+90, K=1.3).
139
Figura 7.4 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3;
η2=η1+90).
140
Figura 7.5 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,5;
η2=η1+90).
140
Figura 7.6 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3;
η2=η1+45).
141
xv
Figura 7.7 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,5;
η2=η1+30).
141
Figura 7.8 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
142
Figura 7.9 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
143
Figura 7.10 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+45).
143
Figura 7.11 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+45).
144
Figura 7.12 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+30).
144
Figura 7.13 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+30).
145
xvi
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Variação da resistência da matriz rochosa com a profundidade.
Adaptado (Santarelli et al 1992).
18
Tabela 2.2 – Parâmetros usados durantes as simulações. (Adaptado Santarelli et al
1992).
21
Tabela 2.3 – Condições de tensão inicial e orientações da fratura Chen et al (2003).
31
Tabela 2.4 – Propriedades Mecânicas e Físicas da rocha intacta e da fratura
Chen et al (2003).
32
Tabela 2.5 – Resultados das Análises (Chen et al 2003).
36
Tabela 2.6 – Diferenças de porcentagem devido ao padrão de fraturas - tensão
anisotrópica (Chen et al 2003).
40
Tabela 2.7 – Diferenças de porcentagem entre respostas drenadas com ângulo de
atrito das fraturas constante e reduzido (Chen et al 2003).
42
Tabela 6.1 – Massa específica do fluido de perfuração (Figueiredo et al 2006).
100
Tabela 6.2 - Razões entre as tensões horizontais in situ. (Figueiredo et al 2006).
101
Tabela 6.3 - Aberturas hidráulicas (Figueiredo et al 2006).
105
Tabela 6.4 – Geometria dos blocos formados pelas descontinuidades
(Figueiredo et al 2006).
107
Tabela 6.5 - Mergulhos analisados por Geometria (Figueiredo et al 2006).
Tabela 6.6 – Formato dos blocos para cada geometria
107
108
Tabela 6.7 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas (Figueiredo et al 2006).
118
Tabela 6.8 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas (Figueiredo et al 2006).
120
Tabela 6.9 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
122
Tabela 6.10 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
123
xvii
Tabela 6.11 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
123
Tabela 6.12 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
125
Tabela 7.1 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica
η2=η1+90.
132
Tabela 7.2 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica
η2=η1+45.
133
Tabela 7.3 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica,
η2=η1+30.
133
Tabela 7.4– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC,
inclinação da descontinuidade η2=η1+90.
135
Tabela 7.5– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC,
inclinação da descontinuidade η2=η1+45.
135
Tabela 7.6– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC,
inclinação da descontinuidade η2=η1+30.
135
Tabela 7.7– Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos
pelo UDEC, η2=η1+90.
137
Tabela 7.8 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos
pelo UDEC, η2=η1+45.
138
Tabela 7.9 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos
pelo UDEC, η2=η1+30.
138
Tabela 7.10 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+90.
Tabela 7.11 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+45.
Tabela 7.12 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+30.
xviii
145
146
146
Lista de Símbolos, Nomenclatura e Abreviações
a
Raio do poço
A
Força de ancoragem
b
Comprimento da base do bloco rochoso
c
Coesão da rocha
cjunta
Matriz de rigidez da descontinuidade
crocha
Matriz de rigidez doa rocha
cj
Coesão da descontinuidade
e
Espaçamento entre fraturas
E
Módulo de Young
f0
Abertura da fratura sob tensão normal nula
Fi
Resultante das forças externas aplicadas no nó
e
Fi
c
Vetor força no nó
Fi
Vetor força no contato
Fj
Resultante das forças externas aplicadas no elemento
fmax
Abertura da fratura sob tensões máximas
fmin
Freqüência mínima
Fn
Força normal efetiva
fress
Abertura da fratura sob tensão residual
Fs
Força cisalhante
FS
Fator de Segurança
FSmin
Fator de Segurança mínima
g
Aceleração da gravidade
h
Distância vertical do ápice do bloco de rocha até o teto da escavação
Ht
Profundidade total do poço
Η
Força horizontal interna
H0
Força horizontal interna em equilíbrio estático
xix
hw
Lâmina d’água
i
Ângulo de dilatância
I
Momento de inércia
JCS
Coeficiente de rugosidade da junta
JRC
Resistência compressiva da junta
K
Razão entre tensão horizontal maior e menor
Kf
Módulo volumétrico
kn
Módulo de rigidez normal
ks
Módulo de rigidez cisalhante
N
Força normal
N0
Força normal em equilíbrio estático
P
Pressão para estabilidade do poço
P0
Força vertical no equilíbrio limite (Sofianos)
PL
Forca necessária à estabilidade do bloco rochoso
q
Força necessária à estabilidade (Sofianos)
r
Distância radial a partir do eixo do poço
R
Força de sustentação
Re
Raio do círculo de Mohr em um ponto qualquer do meio
Rr
Raio do círculo de Mohr hipotético
S
Força cisalhante
S0
Força cisalhante em equilíbrio estático
t
Tempo
u
Pressão de poros
uy
Deformação da junta na direção vertical
•
u
••
Vetor velocidade no nó
u
Aceleração translacional
un
Deformação da junta na direção normal
us
Deformação da junta na direção cisalhante
V0
Força vertical em equilíbrio estático
xi
Vetor posição
xx
Z
Profundidade
α
Ângulo apical do bloco de rocha
β
Ângulo formado entre o eixo normal e radial
∆εij
Incremento da deformação
∆εv
Incremento da deformação volumétrica
∆Fs
Incremento da força cisalhante
∆P
Incremento da pressão necessária para se estabilizar o poço
∆PL
Incremento de força necessária para se estabilizar o poço
∆t
Incremento de tempo
e
∆ τ ij
Incremento do tensor de tensões
∆us
Incremento do deslocamento cisalhante
δij
Delta de Kronecker’s
εij
Deformação no deslocamento nodal
φ
Ângulo de atrito da rocha
γ
Peso específico da rocha
γf
Peso específico do fluido de perfuração
γw
Peso específico da água
γ
Peso específico médio da rocha
η
Ângulo da fratura
λmin
Amortecimento mínimo
µf
Viscosidade dinâmica do fluido de perfuração
••
θ
Aceleração angular
•
θ ij
Rotação do deslocamento nodal
θ
Ângulo entre o plano xy e um ponto qualquer
ρf
Massa específica do fluido
σc
Tensão confinante
σh
Tensão horizontal menor
σH
Tensão horizontal maior
xxi
σh
Tensão horizontal menor média
σH
Tensão horizontal maior média
σH0
Tensão total mínima
σij
Tensor de tensões no elemento discreto
σmax
Tensão máxima
σmin
Tensão mínima
σn
Tensão normal
σθ
Componente da tensão normal na direção circunferencial
σr
Componente da tensão normal na direção radial
σt
Tensão de tração
σv
Tensão vertical total
σ'v
Tensão vertical efetiva
τrθ
Componente da tensão cisalhante normal na direção rθ
υ
Coeficiente de Poisson
Ângulo formado entre a horizontal que passa pelo eixo do poço e o bloco
ψ
rochoso
ψj
Ângulo de dilatância da descontinuidade
xxii
CAPÍTULO 1
1 – INTRODUÇÃO
A indústria de petróleo mobiliza grandes somas de recursos econômicos para
sustentar as operações de exploração e produção de óleo e gás. Deter reservas de óleo e
gás e dominar tecnologias para produzi-las é fator crítico de desenvolvimento para o
Brasil e para o mundo.
O caminho do petróleo, desde a pesquisa para sua descoberta até a sua chegada
a uma refinaria passa por diversas etapas sendo uma das principais delas, e que tem um
custo mais dispendioso, a etapa de perfuração de poços.
A avaliação da estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas tem
despertado um crescente interesse da indústria petrolífera devido à existência de
inúmeros poços atravessando formações fraturadas em rochas carbonáticas da Bacia de
Campos e do Golfo do México.
Trabalhos se referindo especificamente ao problema de estabilidade de poços
em rochas fraturadas são poucos e este é um assunto que precisa ser mais estudado e
analisado, sobretudo com os novos rumos que a perfuração de poços está tomando, com
perfurações profundas de até 8000m em rochas fraturadas. Este problema é muito
relevante para a indústria nacional e internacional do petróleo e necessita de soluções
para serem adotadas na prática da Engenharia.
1
1.1 – OBJETIVO
O objetivo principal deste trabalho é propor uma solução analítica, ou seja, uma
Solução de Engenharia, baseada no Método de Equilíbrio Limite para auxiliar no
problema de instabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas. As soluções
analíticas são propostas para se determinar a faixa de valores de massa específica do
fluido de perfuração, conhecida também como janela operacional, sendo calculado o
limite superior e o limite inferior da massa específica do fluido de perfuração,
favorecendo dessa forma, a estabilidade do poço em rochas fraturadas. É também
objetivo desta dissertação validar a solução analítica proposta através de comparações
com modelagens computacionais paramétricas como uso do software UDEC, os limites
de massa específica superior e inferior (Guenot, 1987; Fjaer et al., 1992; Roegiers,
2002), para a estabilidade de poços em rochas fraturadas de diferentes características
geomecânicas e geométricas.
1.2– CONTEÚDO E ACAPITULAÇÃO
Esta dissertação é composta do seguinte conteúdo e acapitulação:
- Capítulo 2: Estabilidade de Poços de Petróleo - são descritos os principais
problemas de estabilidade em meios contínuos e em meios descontínuos e a importância
do fluido de perfuração na estabilidade de um poço de petróleo.
- Capítulo 3: Equilíbrio de blocos de rocha no entorno de cavidades
subterrâneas - são descritas as soluções existentes na literatura com base no Método de
Equilíbrio Limite para blocos rochosos de teto plano e teto circular.
2
- Capítulo 4: Soluções Propostas - Equilíbrio de blocos no entorno de poços de
petróleo - são descritas as soluções analíticas propostas para o caso de estabilização de
poços de petróleo em rochas fraturadas.
- Capítulo 5: Método dos Elementos Discretos e o Software UDEC – é
descrito a fundamentação teórica do Método dos Elementos Discretos e o uso do
software UDEC como ferramenta de suporte para o estudo de estabilização de Poços em
Rochas Fraturadas.
- Capítulo 6: Modelagem Computacional de poços em rochas fraturadas – são
descritos as diversas análises computacionais que foram feitas fazendo o uso de
parâmetros reais de um poço da Bacia de Campos a fim de que se possam ter resultados
mais próximos da realidade.
- Capítulo 7: Validação e Comparação das Soluções Propostas – é feita a
validação das soluções propostas com comparações dos resultados da solução analítica
com os resultados da solução computacional utilizando o software UDEC.
- Capítulo 8: Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros – são apresentadas
as conclusões do trabalho realizado e sugestões para possíveis trabalhos futuros e logo
depois são apresentadas as Referências Bibliográficas seguidas dos Anexos.
3
CAPÍTULO 2
2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO
A perfuração de um poço de petróleo é realizada através de uma sonda,
conforme ilustrado na Figura 2.1.
Figura 2.1 – Esquema de uma sonda rotativa
Na perfuração rotativa, as rochas são perfuradas pela ação de rotação e peso
aplicados a uma broca existente na extremidade de uma coluna de perfuração. Os
fragmentos das rochas são removidos continuamente através do fluido de perfuração. O
fluido é injetado por bombas para o interior da coluna de perfuração através da cabeça
de injeção ou swivel e retorna à superfície através do espaço anular formado pelas
paredes do poço onde é depositado nos tanques de lama.
4
Os fluidos de perfuração são misturas de sólidos, líquidos, produtos químicos
e, por vezes, até gases. As funções do fluido de perfuração são basicamente:
- estabilização das paredes do poço;
- resfriamento e lubrificação da coluna de perfuração;
- limpeza do poço dos cascalhos gerados pela broca e transportá-los até a
superfície (Figura 2.2).
Coluna de Perfuração
Formações Rochosas
Broca de perfuração
Cascalhos sendo carregados pelo
fluido até a superfície
Figura 2.2 – Ilustração da remoção de cascalhos pelo fluido de perfuração
Os fluidos de perfuração são muito importantes para a estabilidade do poço,
pois é através dele que são exercidas pressões sobre as formações rochosas, de modo a
evitar o influxo e refluxo de fluidos e assim estabilizar as paredes do poço.
A pressão do fluido depende de sua massa específica e esta é a principal
propriedade responsável pela estabilidade do poço. Os problemas de instabilidade de
um poço de petróleo geralmente estão ligados ao desconhecimento das tensões in situ e
da pressão de poros; e do uso de massa específica do fluido de perfuração inadequada.
As pressões que levam a parede do poço à ruptura são pressão de colapso e pressão de
fratura. Os maiores problemas são:
5
(i) Colapso inferior: ocorre quando a parede do poço rompe por cisalhamento,
ocasionado por uma tensão de compressão. A origem desta ruptura geralmente é o uso
de uma massa específica do fluido de perfuração baixa, gerando uma pressão
insuficiente para estabilizar as paredes do poço, havendo o estreitamento do poço
através de desmoronamentos do mesmo. Neste caso pode ocorrer também o kick
ocasionado pelo fluxo de fluidos presentes na rocha para dentro do poço. (Figura 2.3).
(ii) Fraturamento superior: ruptura por tração, ocorre quando o valor da massa
específica do fluido de perfuração é alto, gerando uma pressão tal que fratura a rocha e
faz com que o fluido migre por entre estas fraturas, abrindo o poço (Figura 2.3).
Alargamento do poço
Estreitamento do poço
Figura 2.3 – Alguns tipos de instabilidade de poço (Last & Pumb, 1995).
Guenot (1987) identificou dois novos tipos de instabilidades geradas na parede
do poço. Sendo:
6
(i) Colapso superior: a depender do estado das tensões in situ pode haver a ruptura da
parede do poço por compressão utilizando um fluido de perfuração muito pesado, ou
seja, com massa específica elevada.
(ii) Fraturamento inferior: ocorre o fraturamento da parede do poço por tração
utilizando um fluido com massa específica baixa.
Entretanto, a forma mais comum de instabilidade do poço que é percebida na
prática da engenharia de poço é o colapso inferior e o fraturamento superior (Guenot
1987).
As situações descritas podem ter uma conseqüência extremamente indesejável
para as companhias de petróleo: a perda do poço. A perda do poço para uma companhia
de petróleo gera grandes prejuízos econômicos. Contudo, nota-se que o conhecimento
da faixa de valores da massa específica ideal do fluido é de grande importância para se
manter o poço estável. E percebe-se que não basta saber somente a massa específica do
fluido para não acontecer o colapso inferior do poço, deve-se conhecer também o valor
da massa específica do fluido para não acontecer o fraturamento superior da formação
rochosa e assim obter a janela operacional do poço.
2.1 – CONCEITO E MODELAGEM DE MEIOS CONTÍNUOS E
DESCONTÍNUOS
A rocha é diferenciada dos outros tipos de materiais da engenharia pela
presença de descontinuidades nela. O desenvolvimento de métodos para modelar
descontinuidades e de seus efeitos foi característica notável na adaptação de métodos de
engenharia envolvendo mecânica das rochas (Brady 2005).
A definição de um modelo de maciço rochoso contínuo e descontínuo depende
da influência das descontinuidades contidas neste maciço rochoso, de acordo com a
escala do problema em questão. A Figura 2.4 mostra a representação simplificada da
influência exercida na seleção de um modelo de comportamento de um maciço rochoso
pela relação entre o espaçamento da descontinuidade e a escala do domínio do
problema. Pode ser que, na escala do problema, o maciço rochoso está relativamente
7
livre de descontinuidades, podendo ser tratado como um “contínuo” como mostra a
Figura 2.4a. Para a estrutura do maciço rochoso da Figura 2.4b, na escala deste caso, há
presença de várias descontinuidades e estas se interceptam formando blocos que
interferem na estabilidade do poço. Neste caso, o meio é definido como descontínuo e o
método de avaliação de estabilidade que tem sido utilizado para este caso é o Método
dos Elementos Discretos, que é uma técnica computacional que tem se mostrado
eficiente para analisar meios descontínuos ou fraturados. Na Figura 2.4c, as
descontinuidades estão muito próximas umas das outras para a escala do domínio do
problema em questão e neste caso o maciço rochoso pode ser representado como um
contínuo equivalente, ou seja, as propriedades do maciço rochoso neste caso são
equivalentes ao maciço rochoso “contínuo”.
Devido às diferentes condições de modelagem do maciço rochoso ilustradas na
Figura 2.4, análises computacionais e/ou analíticas são requeridas para investigar o
comportamento do maciço rochoso em questão. Mesmo se o método computacional ou
analítico escolhido para as análises for adequado, as previsões do desempenho destas
análises podem conter erros devido à deficiência dos dados de caracterização do local
ou variabilidade das propriedades do maciço rochoso. Sendo assim tornam-se
necessário o uso de retroanálises, atualizações dos dados de caracterização do local e
modelagem geomecânica para uma efetiva análise.
8
Figura 2.4 – Representação da influência da escala no modelo de
comportamento do maciço rochoso (a) Rocha intacta – Meio
Contínuo (b) Várias descontinuidades – Meio Descontínuo
(c) Meio Contínuo Equivalente ou Pseudo-contínuo.
Análises computacionais e analíticas que são utilizadas para avaliar a
estabilidade de poços em meios contínuos e descontínuos são apresentadas a seguir.
9
2.1.1 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS CONTÍNUOS
As soluções analíticas existentes na literatura para meios contínuos são
baseadas nas Equações do Contínuo, também conhecidas como Equações de Kirsch
1898 (Eq. 2.1, 2.2 e 2.3). As Equações de Kirsh podem ser utilizadas a fim de computar
as redistribuições de tensões ao redor do poço através do uso de vários critérios de
ruptura por tração ou por compressão e assim auxiliar no cálculo da pressão de colapso
e de fraturamento (Figura 2.5).
Figura 2.5 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005).
σr =

 a2 
 4.a 2 3.a 4 
p


1 − 2 + 4 . cos 2θ 
(
)
1
+
κ
1
−
+
(
1
−
κ
)

2 

2
r
r 
 r 


(Eq. 2.1)
σθ =

 a2 
 3.a 4 
p


1 + 4 . cos 2θ 
(
1
+
κ
)
1
+
−
(
1
−
κ
)

2 

2
r 
r 



(Eq. 2.2)
τ rθ
 2.a 2 3.a 4
p
= − (1 − κ )1 + 2 − 4
2
r
r



. sin 2θ 


(Eq. 2.3)
Onde:
10
σr é a componente normal de tensão na direção radial;
σθ é a componente normal de tensão na direção circunferencial;
τrθ é a componente de tensão cisalhante;
θ é o ângulo medido no sentido anti-horário no plano xy e a partir da direção
y;
r é a distância radial a partir do eixo do poço;
a é o raio do poço;
κ é razão entre a tensão horizontal maior e menor.
Algumas hipóteses simplificadoras são adotadas para se utilizar as Equações
de Kirsch tais como: o meio ser homogêneo, isotrópico, contínuo e com comportamento
elástico e linear. No caso do meio ser contínuo, as demais hipóteses simplificadoras
geralmente não comprometem os resultados finais de estabilidade do maciço rochoso
(Santos 1989). Entretanto, como pode ser visto por Santarelli et al 1992 e Chen et al
2003, para análise de maciços rochosos fraturados, ou seja, em meios descontínuos os
resultados podem ser comprometidos uma vez que as Equações de Kirsch consideram
que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha é grande o bastante quando
comparadas ao diâmetro do poço. No entanto, as observações de campo mostraram que
apesar de seus relativamente pequenos diâmetros, os poços podem também ser afetados
pela presença de fraturas naturais do maciço rochoso. E as equações do contínuo não
levam esse fato em consideração, além de considerar a poro pressão sempre constante.
Detalhes da demonstração das Equações de Kirsch podem ser vistos no Anexo
I.
11
2.1.2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS DESCONTÍNUOS
Manter um poço estável é um dos principais problemas encontrados na
indústria do petróleo uma vez que instabilidade do poço resultará em custos elevados de
perfuração.
Além da ruptura na rocha intacta, a instabilidade do poço pode ser também
iniciada ao longo das descontinuidades naturais, tais como planos de estratificação e
fratura em maciços rochosos (Last et al 1995, Okland and Cook 1998). Tais
instabilidades ocorrem quando as tensões efetivas, agindo nas descontinuidades
alcançam seus valores críticos os quais resultarão no deslizamento e rotação dos blocos.
2.1.2.1 – MECANISMOS DE INSTABILIDADE EM ROCHAS FRATURADAS
A estabilidade de poços em meios contínuos tem sido muito estudada, entretanto
pouca atenção foi dada ao que acontece no caso de formações com fraturas. Santarelli et
al 1992, pesquisou e reuniu evidências de campo durante diversas tentativas de perfurar
a grandes profundidades através de rochas carbonáticas e basaltos intensamente
fraturados. Em suas análises, modelos de elementos discretos são usados para modelar
as condições de campo e para identificar os mecanismos que causam a instabilidade.
Estas instabilidades são provavelmente resultadas das aberturas de comunicação das
juntas com o poço e uma invasão subseqüente do fluido de perfuração nestas redes de
fraturas.
A perfuração de poços para a exploração e a produção de óleo e gás sob condições
críticas sempre revelou uma necessidade de melhor entendimento da instabilidade de
poços sob várias condições de carregamento.
As instabilidades do poço são causadas geralmente ou por uma concentração
excessiva ou baixa de tensão na parede do poço ou por reações químicas na formação.
Solução para estas instabilidades está associada ao aumento da massa específica do
fluido de perfuração e/ou mudança do sistema de lama. Entretanto, mesmo que estes
métodos possam ser bem sucedido ao perfurar formações intactas, para rochas
intensamente fraturadas isso pode não acontecer. Santarelli et al 1992 descreveu estudos
12
executados a fim de permitir uma segura perfuração em uma formação intensamente
fraturada (Figura 2.6). A eficiência das diferentes tentativas em resolver o problema é
analisada. O testemunho analisado mostrou que a formação estava intensamente
fraturada e quimicamente inerte. Para modelar o problema muitos parâmetros foram
inseridos no programa de elemento discreto (UDEC). Os dados teóricos e de campo
mostram que o aumento da massa específica do fluido de perfuração tem, em tal caso,
um papel negativo na estabilidade do poço.
Pesquisas nesta área usando concepções do meio contínuo (mecânica do
contínuo) consideram que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha é
grande o bastante quando comparados aos diâmetros comuns de poços. A aproximação
fundamental de tal estudo consiste em aplicar equações elásticas isotrópicas lineares,
conhecidas como equações de Kirsch a fim de computar as redistribuições de tensões ao
redor do poço através do uso de vários critérios de ruptura por tração ou por compressão
e assim calcular ou a pressão de colapso ou a pressão de fraturamento do poço. As
várias condições de carregamento que afetam poços durante a fase de perfuração tal
como tensões, a eficiência da sustentação do fluido, a poro pressão, etc, foram
analisadas em seu estado constante e em aspectos transientes. As várias melhorias foram
feitas à aproximação original nos termos de reologia da rocha, dos critérios da falha.
Entretanto, as observações do campo mostraram que apesar de seus relativamente
pequenos diâmetros, os poços podem também ser afetados pela presença de fraturas
naturais no maciço rochoso. Maury and Sanzay 1989, depois de uma longa série de
operações, relataram que um poço de gás profundo foi perdido pela pressurização de
uma falha que conduziu ao colapso completo do poço.
Analisando as condições existentes ao redor de um poço de óleo durante a fase de
perfuração e considerando a presença do fluido de perfuração, os seguintes fatores
influenciarão na pressão de colapso e na pressão de hidrofraturamento:
- a anisotropia das tensões in situ;
- a poro pressão
- a pressão e o índice de sólidos no fluido de perfuração que formarão o reboco
(mud cake);
13
- diferença de temperatura entre o fluido de circulação e a formação; em geral o
fluido mais frio conduz a uma contração e o fluido mais quente conduz a uma expansão
da parede do poço;
- a lei de comportamento da rocha que pode incluir componentes elásticos e
plásticos, deformação e resistência anisotrópica;
- reações químicas entre certas rochas tais como folhelho e o fluido de perfuração;
- outros fatores tais como broca de perfuração, erros de procedimentos, taxas de
perfuração, etc.
Todos esses parâmetros foram estudados do ponto de vista experimental,
teórico e de implicações práticas por Santarelli et al 1992 o qual apresenta um exemplo
de campo ao perfurar formações intensamente fraturadas, o que conduziu aos principais
problemas da instabilidade. Em uma segunda parte do estudo de Santarelli et al 1992,
um testemunho foi tirado durante uma das várias trilhas laterais e é descrito junto com
as análises do laboratório executadas. Após a observação do testemunho, foi usada uma
modelagem com elemento discreto (DEM) com o software UDEC a fim compreender
os mecanismos que tinham conduzido às instabilidades no poço. O uso de um modelo
desenvolvido que estude a circulação do fluido no poço foi apresentado e mostrado
como os parâmetros o fluido foram ajustados para minimizar a erosão da parede do
poço. Os resultados do estudo de Santarelli et al 1992 foram estendidos com sucesso a
diversos outros casos do campo.
Foram identificados os mecanismos e as características de instabilidade,
demonstrando como as análises de estabilidade dos poços podem ser adaptadas para
tratar meios altamente fraturados. Neste estudo foi apresentado primeiro as observações
e as evidências de campo que sugeririam um conceito tradicional de como estabilizar
um poço, ou seja, como as teorias do contínuo e as práticas normais de engenharia de
perfuração podem ser inapropriadas quando a formação for intensamente fraturada. Em
particular, Santarelli et al 1992 focalizou em como a fratura natural afeta a
redistribuição de tensões ao redor do poço e quais as conseqüências de invasão da rede
de fraturas pelo fluido de perfuração em termos de estabilidade de poços. E no fim das
análises os fatores que conduziram a estabilização do poço foram identificados.
14
Foram perfurados dois poços a grandes profundidades e uma série de
instabilidades ocorreram, o que conduz a grandes prejuízos. A seqüência na perfuração
que é apresentada na Figura 2.6 ocorreu da seguinte forma:
Prof
(m)
Mas. Esp. Vis. March. Filt. API.
(g/cm3)
(sec)
(cm3)
1.2 1.3 1.4 1.5 80 100 120 140 3 4
5 6
Mas. Esp. Vis. March. Filt. API.
(g/cm3)
(sec)
(cm3)
1.2 1.3 1.4 1.5 60 70 80 90
1 2
3 4
Mas. Esp. Vis. March. Filt. API.
(g/cm3)
(sec)
(cm3)
1.2 1.3 1.4 1.5 60 80 100 120
1 2
3 4
Mudança para Fluido base óleo
1ª Tentativa
Fluido Base-água
2ª Tentativa
Fluido Base-água depois
Fluido Base-óleo
3ª Tentativa
Fluido Base-óleo
Figuras 2.6 – Parâmetros do fluido de perfuração durante três tentativas para
perfurar formações vulcânicas (Santarelli et al 1992).
(i) O poço foi perfurado sem nenhum incidente visível até uma profundidade de
aproximadamente 3600m onde então foram encontrados estratos instáveis de
argilitos - silicatos. A instabilidade foi resolvida aumentando-se a massa específica do
fluido de perfuração base-água para 1.2g/cm3(10,00lb/gal). Paralelamente a viscosidade
de Marsh foi aumentada para 80 sec. A uma profundidade de 4000 m inicia-se a
formação de rochas carbonáticas e basaltos, e a perfuração torna-se difícil abaixo de
4042 m. Os maiores indícios de instabilidade foram uma grande quantidade de
desabamentos, elevados torques e grandes tensões. Para estabilizar as formações,
tratamentos clássicos foram usados; a massa específica do fluido de perfuração foi
aumentada para 1,26g/cm3 (10,51lb/gal) enquanto a viscosidade de Marsh foi
aumentada de 110 sec para 180 sec. Entretanto, a estabilidade do poço tornou-se pior,
conduzindo a um abandono do poço e seguindo lateralmente.
15
(ii) A segunda tentativa foi iniciada com um fluido de perfuração base-água de massa
específica 1,25g/cm3 (10,42lb/gal) e viscosidade de Marsh de 55 sec. Neste instante o
filtrado API tinha sido reduzido para 4cm3 e subsequentemente para 2,5 cm3 depois dos
primeiros sinais de instabilidade. A uma profundidade de 4020 m, decidiu-se mudar o
fluido para base-óleo pensando no inconveniente das formações contendo minerais de
argila que podiam ser a origem das instabilidades. Uma nova massa específica do fluido
de perfuração é aumentada para 1,29g/cm3 (10,76lb/gal) a viscosidade de Marsh para 46
sec e o filtrado API foi mantido abaixo de 3.2 cm3. Entretanto, o poço ainda estava
instável e a massa específica do fluido foi aumentada para 1,36g/cm3 (11,34lb/gal) e,
depois aumentada para 1,45g/cm3 (12,09lb/gal) o que não melhorou em nada a situação.
Simultâneo aumento da viscosidade Marsh e diminuição do filtrado API também falhou
para resolver o problema e o poço foi perdido mais uma vez.
(iii)Na terceira tentativa para perfurar aquelas formações foi utilizado um fluido baseóleo com massa específica de 1,36 g/cm3(11,34lb/gal). Neste último caso a viscosidade
de Marsh foi aumentada de 60 sec para 110 sec e o filtrado API foi reduzido até zero
sem mudança da massa específica do fluido de perfuração. Então a da massa específica
do fluido de perfuração foi reduzida ligeiramente para 1,33 g/cm3 (11,09lb/gal). Apesar
das condições difíceis de perfuração o poço foi completado com sucesso.
A seqüência esboçada acima mostrou que, neste caso, sempre que a massa
específica do fluido de perfuração foi aumentada, o poço tornou-se menos estável. Os
fatores estabilizantes poderiam ser somente a redução do filtrado, aumento da
viscosidade ou mudança do sistema de lama.
Durante a tentativa bem sucedida, um testemunho foi tirado de uma
profundidade de 4040 m, o perfil caliper mostrou que o testemunho foi retirado de uma
profundidade onde o alargamento do poço ocorria e que foi conseqüentemente
representativo de uma formação mais problemática. Análises do testemunho revelaram
que as formações vulcânicas – basaltos e depósitos calcários – contendo minerais que
quase não expandiam e, portanto uma causa químico-física para a instabilidade poderia
ser desconsiderada. A importância de troca de fluido base-água para fluido base-óleo
pode ser considerada como insignificante como uma primeira aproximação, e esta com
certeza foi parcialmente confirmada pela perda do segundo poço com fluido base-óleo.
16
Observações do testemunho mostraram que a rocha estava intensamente
fraturada, com o espaçamento entre fraturas de apenas 5 mm em uma direção e 8mm em
outra (Figura 2.7) mas na média de 2,5 a 4cm. A fratura estava ou vazia ou preenchida
com calcita e quartzo (Figura 2.8).
Figuras 2.7 – Juntas espaçadas e próximas observadas no testemunho (Santarelli et
al 1992).
Figuras 2.8 – Observações de testemunho com uma fratura preenchida por calcita
e quartzo (Santarelli et al 1992).
Em muitos exemplos, fraturas estavam claramente infiltradas pelo fluido de
perfuração, mas a rocha matriz estava quase impermeável (Figura 2.9).
17
Figuras 2.9 – Resíduos e sólidos de fluido em uma fratura. (Santarelli et al 1992).
A resistência da matriz rochosa (Tabela 2.1) foi medida diretamente por uma
série de ensaios de compressão uniaxial na parte dos testemunhos que estavam intactas.
Estes dados foram então extrapolados para o resto do testemunho por uma série de
medidas do ensaio de dureza de Brinnel.
Tabela 2.1 – Variação da resistência da matriz rochosa com a profundidade.
Adaptado (Santarelli et al 1992).
Profundidade (m)
4040-4042
4042-4043
4043-4044
Resistência Estimada (MPa)
80-100
50-70
80-130
As tensões in situ foram estimadas do perfil de poro pressão com a
profundidade e das respostas de pressão durante leak-off test executado a várias
profundidades impermeáveis ou seja, formações não fraturadas. Nestas análises
presumiu-se que a pressão de fraturamento hidráulico corresponde ao começo de não
linearidade das pressões versus curva de volume leak-off test poderia ser interpretado
pelo uso de elasticidade linear para inferir o valor da máxima tensão horizontal. Esta
estimativa é 30,7 MPa para uma máxima tensão in situ efetiva horizontal (σmáx) e 21,2
18
MPa para a tensão in situ efetiva mínima horizontal (σmin). O perfil da massa específica
dava uma estimativa da tensão in situ efetiva vertical (σv) de 45 MPa.
Uma comparação rápida entre estas tensões in situ e os dados de resistência da
Tabela 2.1 tornam evidente que tratando a rocha como um meio contínuo e usando as
Equações de Kirsch não conduziriria a uma previsão da grande instabilidade que foi
ocorrida no campo. Consequentemente foi feita a modelagem das descontinuidades da
rocha a fim de compreender melhor os mecanismos que originam a instabilidade e dessa
forma determinar quais eram os seus parâmetros governantes.
De certa forma, a maioria dos métodos numéricos clássicos, elementos finitos
e diferenças finitas, por exemplo, podem modelar descontinuidades usando elementos
especiais ou “nós” para acomodar deslocamentos cisalhantes. Entretanto estes tipos de
modelagem frequentemente apresentam dois tipos de limitações:
(i) as formulações são frequentemente baseadas em deformações pequenas e
são, portanto, limitadas para modelagens com grandes deslocamentos que ocorrem ao
longo das descontinuidades. Sendo assim, não são confiáveis quando ocorrem
deslocamentos maiores que 10% dos comprimentos iniciais das descontinuidades;
(ii) as formulações baseadas em elementos especiais não funcionam quando as
descontinuidades se interceptam porque tais métodos não lidam com rotação e
separação de blocos.
A modelagem de elemento discreto, conhecido como MED, foi proposto e
desenvolvido para resolver estas dificuldades. O estudo apresentado por Santarelli et al
1992 foi feito no software UDEC por este parecer ser o mais adequado ao estudo do
comportamento de maciço rochoso intensamente fraturado e por este software
considerar interação entre a rocha e o fluido nas suas análises.
No UDEC, o fluxo de fluido é acoplado ao comportamento mecânico do
maciço rochoso como uma variação da pressão na junta que modificará as forças no
bloco e assim a abertura da junta, que por sua vez modificará a queda de pressão ao
longo da mesma.
Uma seção de deformação plana 2D, ortogonal ao poço vertical, Figura 2.10,
foi estudada. A geometria da junta foi sugerida por algumas observações de testemunho
(Figura 2.10).
19
Figura 2.10 – Geometria do modelo – Pm é a sobre pressão do fluido, D o diâmetro
do poço 8 ½”, e1 espaçamento de 4cm e e2 espaçamento de 2,5cm.
(Santarelli et al 1992).
Parâmetros físicos que foram ou medidos diretamente no testemunho para uma
rocha intacta ou estimadas para as juntas, são dados na Tabela 2.2. Devido a uma
grande resistência uniaxial do material, os blocos foram considerados como elástico
linear, enquanto que as juntas foram consideradas como elasto-plástica utilizando o
critério de Mohr Coulomb. Foi também definido que o trabalho fosse em termos de
tensões efetivas, o que significa que as tensões efetivas exercidas pelo fluido dentro do
poço ou a sobre pressão de fluido, são as diferenças entre a pressão do fluido e a poro
pressão da formação.
20
Tabela 2.2 – Parâmetros usados durantes as simulações. (Adaptado Santarelli et al
1992).
Propriedade
Módulo de elasticidade
Coeficiente de Poisson
Rigidez normal
Rigidez cisalhante
Coesão
Ângulo de atrito
Permeabilidade equivalente
Massa específica da água
Módulo volumétrico
Viscosidade dinâmica
Valor
Rocha intacta
30
0,3
Juntas
106
105
0
30
10-7
960
2000
0,289
Unidade
MPa
MPa/m
MPa/m
MPa
(º)
m/sec
kg/m3
MPa
cP
Vários autores demonstraram que a inclinação da junta em nas direções da
tensão in situ desempenha um papel importante.
Para os cálculos hidráulicos assume-se que somente o filtrado do fluido,
essencialmente água, flui nas fraturas, e isto conduziu à estimativa das propriedades
hidráulicas contidas na Tabela 2.2. Deve-se notar que por causa das instabilidades
numéricas potenciais, somente condições de fluxo em regime permanente foram
consideradas neste modelo. Foram feitos dois tipos de cálculos, correspondendo a dois
casos extremos cujas conseqüências mecânicas foram descritas em termos de
estabilidade de poço em uma rocha não fraturada.
O primeiro caso é aquele onde o reboco do fluido tem baixa permeabilidade.
Em tal caso, a sobre pressão do fluido é concentrada na parede do poço e sem fluxo do
fluido ocorrendo em direção à formação. A poropressão dentro da formação é então
uniforme e um cálculo mecânico simples é suficiente. Esta análise é considerada como
um tipo de análise do fluido não-penetrante.
O segundo caso é aquele onde o reboco do fluido tem um desempenho
hidráulico ruim, ou seja, o reboco do fluido tem uma permeabilidade grande quando
comparado à formação e a sobre pressão conduz o fluido para a formação. Um cálculo
hidromecânico acoplado deve então ser executado, cálculo esse que é relativamente
simples para o caso de regime permanente. Esta análise é considerada como um tipo de
análise do fluido penetrante.
21
Em ambos os casos, a seqüência de modelagem era o seguinte: o conjunto de
blocos sem escavação foi primeiro consolidado sob a influência das tensões efetivas in
situ. O poço foi então escavado suprimindo os blocos apropriados, e a sobre pressão do
fluido é aplicada no bloco na parede do poço em condições limites. Os cálculos foram
então executados até o equilíbrio alcançado ou mecanicamente ou hidromecanicamente.
O último parâmetro que foi assumido e que tem um grande impacto nos
resultados dos modelos são as sobre pressões do fluido que são aplicados ao fluido com
uma dada massa específica. Cálculos foram então conduzidos para massas específicas
do fluido de perfuração 1.12, 1.20, 1.25, 1.30, 1.40, 1.70, 2.00 g/cm3. Os resultados
foram então analisados para dois aspectos diferentes do problema que serão
apresentados:
(i) O primeiro aspecto é a maneira em que as descontinuidades naturais da rocha afetam
a distribuição de tensões ao redor do poço;
(ii) O segundo aspecto é a invasão potencial nas juntas pelo fluido de perfuração, ou
seja, o potencial de invasão do filtrado.
Até as redistribuições de tensão ao redor do poço são preocupantes. Santarelli
et al 1992 comparam os resultados obtidos para massas específicas do fluido de
perfuração típicas de 1.2 e 1.7 g/cm3. Para ambos os casos, a influência da geometria
das fraturas nos resultados são enfatizados. Somente o caso onde o reboco do fluido é
praticamente impermeável que foi analisado.
Para baixas massas específicas do fluido de perfuração (1.2 g/cm3)
correspondente a uma sobre pressão de fluido de 8 MPa, as direções das tensões
principais ao redor do poço tendem a coincidir com o conjunto de fraturas, e não com as
direções de tensão in situ. Entretanto, para massas específicas do fluido de perfuração
maiores, 1.7 g/cm3, por exemplo, correspondem a uma sobre pressão do fluido de
28 MPa, e isto pode ser explicado pelo fato de que neste último caso, a sobre pressão no
poço é similar à tensão in situ efetiva mínima, cancelando o seu efeito.
As razões atrás do alinhamento de tensão principal com as direções da fratura
tornam-se claras quando se estuda a abertura das juntas. (Figura 2.11).
22
Figura 2.11– Abertura de juntas para massa específica do fluido de perfuração de
1.2 g/cm3 (10,00lb/gal).(Santarelli et al 1992).
A Figura 2.11 mostra as aberturas de juntas seguindo estritamente as direções
da fratura os quais são de certa forma, responsáveis pelo “grau de liberdade” do sistema.
É importante notar que estas aberturas de juntas não são conectadas ao poço, e assim
não podem ser invadidas pelo fluido de perfuração. A razão para tal fenômeno é que a
concentração de tensão próxima à parede do poço pressiona todas as fraturas, que são
consequentemente fechadas. A Figura 2.12 mostra que, aumentando a massa específica
do fluido de perfuração para 1.7g/cm3 (14,18lb/gal) reduzirá fortemente a abertura da
junta e que tal redução será quase completa para certas orientações, por exemplo, 20º e
somente parcial para outras (70º).
23
Figura 2.12 - Abertura de juntas para massa específicas do fluido de perfuração de
1.7 g/cm3 (14,18lb/gal)(Santarelli et al 1992).
A anisotropia do fechamento da parede do poço foi também estudada como
uma função da orientação das fraturas. (Figura 2.13)
Figura 2.13 – Taxa anisotrópica de deslocamento na parede versus orientação do
bloco (Santarelli et al 1992).
Sendo A, a taxa anisotrópica de deslocamento da parede calculada como sendo
a taxa do deslocamento radial na direção de σmáx sobre o deslocamento radial na direção
24
de σmin, ambos os deslocamentos sendo calculados na parede do poço. Aplicando as
Equações de Kirsch o resultado de A é 2.15. A Figura 2.12, entretanto, revela que o
valor de A é bastante similar para todas as orientações de blocos, exceto para 45º. Neste
caso, os dois conjuntos de juntas a 45º levam facilmente para movimentos cisalhantes
que ocorrem ao longo das juntas provocando um total movimento de blocos para dentro
do poço. (Figura 2.14).
Isto poderia ser possível para um bloco isolado e que se destacasse da parede e
daí criasse um início de breakout. O breakout resultante seria então orientado
paralelamente à direção de σmáx, por exemplo, 90º, o que é esperado para uma formação
sem fratura. Ainda, para valores elevados de massa específica do fluido de perfuração,
por exemplo, 1.7 g/cm3 (14,18lb/gal) tais fenômenos quase desaparecem (Figura 2.14).
Consequentemente tais mecanismos de instabilidade são incompatíveis com as
observações de campo, porque nas observações de campo o aumento da massa
específica do fluido de perfuração causava problemas de instabilidade.
Figura 2.14 – Deslocamento cisalhante ao longo da junta para uma orientação de
bloco de 45º e massa específica do fluido de perfuração de 1.2 e 1.7
g/cm3. A espessura da linha representa um deslocamento de 60µm.
(Santarelli et al 1992).
25
Além disso, nenhuma das tensões calculadas foram suficientes para produzir
alguma ruptura através dos blocos, sendo que todos eles ficaram distantes do critério de
ruptura do material intacto. A origem da instabilidade seria relacionada possivelmente
com a invasão do fluido de perfuração na rede de fraturas.
Um método para simular a invasão do fluido na rede de fraturas consiste em
assumir que o reboco do fluido tem uma permeabilidade alta, e então executar cálculos
hidromecânicos acoplados. Sob condições limites, a sobre pressão do fluido conduz o
fluxo de fluido na rede de fraturas somente nos blocos que são considerados
impermeáveis. Sob tais condições, as taxas de fluxo através das fraturas se tornarão
grandes quando a massa específica do fluido de perfuração diminuir, como ilustrado na
Figura 2.15.
Figura 2.15 – Taxa de fluxo através da rede de fraturas com blocos
inclinados a 45º e massa específica do fluido de perfuração
1.2 e 1.3 g/cm3 (Santarelli et al 1992).
Para massa específica do fluido de perfuração de 1.3 g/cm3(10,84lb/gal) a taxa
total de fluxo através da rede de fratura é quatro vezes maior que para uma massa
específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal). Outra conseqüência da
penetração do fluido na rede de fraturas é que as tensões efetivas normais na junta são
26
menores e que as aberturas de juntas tornam-se consideravelmente maiores quando o
reboco é impermeável (Figura 2.16). O atrito aplicado nos blocos em torno do poço
diminui e os blocos ficam praticamente soltos, tornando-se consequentemente mais
propensos a serem erodidos na parede do poço pela circulação do fluido.
Figura 2.16 – Abertura de juntas correspondentes a dois casos extremos de reboco
perfeito e sem reboco. (Santarelli et al 1992).
Tenta-se usar tais mecanismos para explicar os dados de campo, como o
aumento da massa específica do fluido de perfuração sendo nesse caso, o fator
desestabilizante. Além disso, a forma de como houve a erosão com a circulação do
fluido de perfuração foi evidenciada durante as operações de campo. De um ponto de
vista prático, a estratégica usada com sucesso para perfurar o poço consiste em designar
o fluido e adaptar a taxa de circulação de uma maneira que dê uma taxa de menor
velocidade de fluido na parede do poço e ainda assegurar a lubrificação e resfriamento
da broca. Se o mecanismo tivesse ocorrido precisamente como foi modelado acima, ele
sugeriria que uma quantidade relativamente grande de fluidos de perfuração seria
perdido na formação, no entanto, não havia nenhuma evidência de perda do fluido
durante as operações de campo. Isto significa que, se uma invasão da rede de fraturas
27
pelo fluido de perfuração ocorreu, ele afetou somente uma área limitada ao redor do
poço.
Outra maneira de estudar a invasão da rede de fraturas pelo fluido de
perfuração é imaginar que por causa de um reboco do fluido eficiente, nenhuma perda
de fluido ocorre até que um critério fosse encontrado. A Figura 2.17 mostra como o
contato de uma dada junta irá de um estado de fechamento, por exemplo, abertura de
junta negativa, para um estado de abertura, abertura de junta positiva. Para esta fratura
particular, a abertura ocorrerá para uma massa específica do fluido de perfuração crítica
de 1.6g/cm3(13,34lb/gal). Usando tais métodos, é possível definir para cada geometria
uma massa específica do fluido de perfuração crítica que corresponderá à abertura de
uma junta no contato com o poço, por exemplo, 1.6 g/cm3 (13,34lb/gal) quando o bloco
tiver uma orientação de 0º ou 1.8 g/cm3 (15,01lb/gal) para 45º. É grande a influência da
orientação do bloco nestas massas específicas do fluido de perfuração críticas.
A abertura de contatos no poço resultará na abertura de uma rede de fraturas
limitadas ao redor do poço. Estas juntas serão pressurizadas pelo fluido e os blocos
correspondentes ficarão soltos, como ocorreu quando cálculos hidromecânicos
acoplados foram feitos. Estes blocos serão susceptíveis à erosão pela circulação do
fluido de perfuração porque nenhuma força hidromecânica está mantendo-os no lugar.
Figura 2.17 – Abertura de vários contatos de juntas sob aumento da massa
específica do fluido de perfuração. A orientação do bloco é 0º. Os
contatos são situados como na Figura 2.16. (Santarelli et al 1992).
Com estes últimos mecanismos e com outros cálculos, torna-se possível
explicar as razões das observações de campo. O aumento da massa específica do fluido
de perfuração teve um efeito negativo, porque muitas juntas comunicantes com o poço
28
tornaram-se abertas e consequentemente conduziram a desestabilização de vários
blocos. Nenhuma perda de fluido foi registrada porque somente uma região limitada em
torno do poço tornou-se disponível à circulação de fluido a cada tempo. Diminuição de
filtrado e a correspondente melhoria do reboco de fluido são de importância primária no
impedimento da invasão de fluidos de perfuração na formação. O valor elevado da
viscosidade de Marsh mostrado na Figura 2.12 foi obtido pela mudança do fluido com
polímeros e vários sólidos de diferentes graus de distribuição, que também contribuem
para o efeito selante do fluido, tornando mais difícil a entrada do fluido na rede de
fraturas. Finalmente, a redução da erosão na parede pelo fluido contribui no sentido de
manter o poço estável por não remover totalmente os blocos soltos.
Nota-se pelo caso documentado por Santarelli et al 1992 que as observações
relatadas indicaram que o aumento sistemático da massa específica do fluido de
perfuração piorou a estabilidade do poço. A modelagem pelo UDEC foi usada para
explicar qualitativamente os mecanismos que causam tais instabilidades.
O modelo permitiu identificar e visualizar o mecanismo provável que foi
responsável pela instabilidade. Sob a sobre pressão do fluido, comunicação de fissuras
com a parede do poço podem abrir, e consequentemente fazer uma região limitada da
rede de fraturas disponível ao fluido de perfuração. Por causa da abertura de juntas e a
pressão insuficiente dos blocos nesta região, eles podem ficar soltos e então serem
erodidos pelo fluido de perfuração. Estes mecanismos são compatíveis com várias
observações de campo como se segue:
(i) O aumento da massa específica do fluido de perfuração abrirá as fissuras e
provocará adicionais desestabilizações;
(ii) Nenhuma detecção de perda de fluido ocorre do poço para a formação e
somente uma região limitada da rede de fratura é afetada;
(iii) O aumento da capacidade selante do fluido através da redução de filtrado
e aumento da viscosidade podem ter como resultado um efeito benéfico;
O parâmetro mais importante para estes mecanismos em rochas fraturadas é a
orientação dos blocos com respeito às direções de tensões in situ. Algumas direções tais
como 20º, parecem muito mais críticas que outras. Este último ponto é também
indiretamente confirmado por experiências quando poços subseqüentes são perfurados
na mesma formação. Nenhum deles teve o menor problema em termos de estabilidade, e
29
isto pode ser explicado de duas formas: ou, os parâmetros de perfuração foram
ajustados para tratar do problema, ou a rede de fraturas tinha intensidades ou orientação
críticas menores.
Do ponto de vista prático, o estudo de Santarelli et al 1992 mostrou que o uso
sistemático de aumentos da massa específica do fluido de perfuração para resolver
problemas de instabilidade de poços pode ter conseqüências desastrosas, principalmente
quando a formação é naturalmente fraturada. É difícil diagnosticar estas formações
através de dados de perfuração clássicos. Dessa forma análises mais criteriosas devem
ser estudadas para um melhor entendimento do que de fato ocorre durante a perfuração
de um poço em rochas fraturadas e assim auxiliar em técnicas que podem ajudar a
manter o poço estável.
2.1.2.2 – A INFLUÊNCIA DA INFILTRAÇÃO DO FLUIDO NA FRATURA
Poucos registros de análise numérica para investigar o comportamento de
poços perfurados em massas rochosas fraturadas podem ser encontrados na literatura
especialmente no que tange a redução do ângulo de atrito das fraturas quando estas são
infiltradas com o fluido. Chen et al. (2003) conduziram um trabalho de comportamento
de poços perfurados em massas rochosas fraturadas. Entretanto nenhum dado de
infiltração de fluido, o qual se acredita ser crítico em massas rochosas, é considerado
neste estudo.
Foram apresentadas análises acopladas para investigar a influência de maciço
rochoso fraturado, da poropressão e da infiltração do fluido sob os estados isotrópicos e
anisotrópicos de tensão. As análises são feitas no software UDEC.
Segundo Chen et al. (2003), o domínio do problema modelado no UDEC
corresponde ao da Figura 2.18.
30
Figura 2.18 – Modelo conceitual e condições limites (Chen et al 2003).
A parede do poço está submetida a uma pressão do fluido, Pm=26MPa. O
domínio do problema é de uma profundidade de 2000m sujeitado a uma tensão vertical
in-situ, σv, tensão horizontal maior e menor σH e σh (Tabela 2.3), e uma poropressão
inicial de 21MPa. Há duas famílias de fraturas (grandes) no modelo, orientadas
α1 e α2 e espaçamentos S1 = S2 = 0.065m.
Tabela 2.3 – Condições de tensão inicial e orientações da fratura Chen et al (2003).
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
σv (MPa)
44
44
44
44
σH (MPa)
40
60
40
60
σh(MPa)
40
40
40
40
α1 (o)
45
45
15
15
α2 (o)
45
45
45
45
O bloco da rocha intacta estava submetido a uma deformação elastoplástica
com o critério de ruptura de Mohr Coulomb e uma regra de fluxo não associada. As
deformações das fraturas são assumidas para seguir o modelo de deslizamento de
Coulomb.
31
As propriedades mecânicas e físicas da rocha intacta usadas no modelo são
valores típicos de um folhelho sintético (Chen et al. 1999), estão na Tabela 2.4.
Tabela 2.4 – Propriedades Mecânicas e Físicas da rocha intacta e da fratura
Chen et al (2003).
Propriedades
Valor
Rocha intacta
Massa específica (kg/m3)
2278
Módulo volumétrico (GPa)
18.87
Módulo Cisalhante (GPa)
7.72
Ângulo de atrito (o)
36.2
Coesão (MPa)
6.3
Ângulo de dilatação (o)
0
Resistência à tração (MPa)
2.07
Fratura
Módulo volumétrico do fluido (GPa)
2.0
Massa específica do fluido (kg/m3)
1000
Rigidez normal (Pa/m)
900 x 109
Rigidez cisalhante (Pa/m)
600 x 109
Coesão (MPa)
0
Ângulo de atrito (o)
36.5
Ângulo de atrito depois da infiltração do
fluido de perfuração (o)
25
Limite de tensão (MPa)
0
Abertura residual (m)
1.25x10-4
Abertura normal inicial de tensão (m)
2.5x10-4
Variando as orientações das fraturas e as condições de tensão in situ, 4 casos
do modelo UDEC foram gerados para investigar a influência de combinações de fratura
padrão e condição de tensão na estabilidade de poços. Dois locais da parede do poço são
selecionados em cada caso para monitorar a deformação. Além disso, dois locais
32
internos ao maciço rochoso, um de 0.04m e outro de 0.08m fora da parede do poço, são
monitorados para a poropressão e resposta de regime de fluxo. O padrão de fraturas e os
locais monitorados são ilustrados na Figura 2.19 e 2.20. Os parâmetros usados para
definir os quatro casos estão na Tabela 2.3.
Figura 2.19 – Padrão de fraturas para Casos 1 e 2 (Chen et al 2003).
Figura 2.20 – Padrão de fraturas para Casos 3 e 4 (Chen et al 2003).
33
Para a modelagem da redução do ângulo de atrito das fraturas devido à
infiltração do fluido, segundo Chan et al 2003, o modelo é inicialmente colocado em
equilíbrio sem escavação. O poço é então perfurado com uma pressão do fluido. As
respostas drenadas e não-drenadas podem ser investigadas durante este estágio. A
resposta não-drenada considera somente a mudança de poro pressão gerada devido à
deformação mecânica enquanto respostas drenadas levam em conta deformações
mecânicas e difusão da poro pressão, simultaneamente.
Segundo Chan et al 2003, infiltrações do fluido nas fraturas podem conduzir a
uma redução do ângulo de atrito da fratura, essa redução ocorre devido às interações
com formações reativas e/ou lubrificação das fraturas.
Um procedimento simples é adotado para avaliar a extensão de infiltração do
fluido de perfuração. O domínio de infiltração é circular em torno do poço. A distância
radial de infiltração do fluido, R, é estimada simplesmente usando uma regra de
proporção entre o volume de fluido e volume de fraturas. O ângulo de atrito das fraturas
localizado na região de infiltração de fluido é atribuído então um novo valor, reduzido,
e no modelo é dado um ciclo para avaliar a ruptura.
O ângulo de atrito das fraturas é atualizado cada vez que um novo R é
calculado. O domínio circular de infiltração do fluido é somente válido para materiais
homogêneos sob condições isotrópicas de tensão. A Tabela 2.5 mostra a máxima
mudança de poropressão da fratura, ∆Pp, deslocamento cisalhante da fratura, Sm , e vetor
de deslocamento da rocha intacta, Dm em diferentes estágios da perfuração para cada
caso. A Tabela 2.5 também lista as fraturas em equilíbrio limite. Os deslocamentos em
dois pontos de monitoração na parede do poço (Figuras 2.19 e 2.20) baseados em
abordagens de análise diferentes são comparados nas Figuras 2.21 e 2.22.
A fim de comparação, deslocamentos calculados de soluções do Contínuo são
também incluídas na Tabela. 2.5.
34
Tabela 2.5 – Resultados das Análises (Chen et al 2003).
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Resposta não drenada
∆Pp (MPa)
5
17.6
5
15.51
Dm (mm)
0.119
0.477
0.124
0.457
Sm (mm)
0.031
0.061
0.017
0.059
Não
Sim
Não
Sim
fraturas em limite
de equilíbrio de
atrito
Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura constante
∆Pp (MPa)
5
5
5
5
Dm(mm)
0.123
0.495
0.125
0.466
Sm(mm)
0.032
0.09
0.017
0.061
Não
Sim
Não
Sim
fraturas em limite
de equilíbrio de
atrito
Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura reduzido
∆Pp (MPa)
5
6.701
5
5
Dm (mm)
0.141
0.54
0.131
0.484
Sm (mm)
0.062
0.364
0.03
0.228
Sim
Sim
Sim
Sim
0.472
0.145
0.472
fraturas em limite
de equilíbrio de
atrito
Soluções do Contínuo
Dm (mm)
0.145
As propriedades da rocha intacta listadas na Tabela 2.4 são usadas para obter a
solução do Contínuo. Diferentes das soluções do UDEC, que neste caso são para meios
Descontínuos, as soluções do Contínuo são baseados em poropressão constante. As
soluções do Contínuo não predizem material deformado em nenhum dos casos.
35
Pode ser visto na Figura 2.21 que os deslocamentos radiais da parede do poço
no sentido de σh para condições isotrópicas de tensão (Casos 1 e 3) são quase os
mesmos.
Figura 2.21 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σh nos 4 Casos
(Chen et al 2003).
Entretanto, a Figura 2.22 mostra que, sob as mesmas condições de tensão, os
deslocamentos radiais da parede do poço no sentido do σH do Caso 3 são ligeiramente
maiores que no Caso 1.
Figura 2.22 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σH nos 4 Casos
(Chen et al 2003).
Esta diferença maior pode ser vista como uma deformação adicional na parede
do poço. Os deslocamentos maiores do Caso 3 são devido ao grande ângulo de
interseção das fraturas na parede do poço.
Como pode ser visto na Figura 2.23 para o Caso 1 e na Figura 2.24 para o
Caso 3, sob as mesmas condições de tensão, a distribuição de deslocamentos ao redor
do poço é similar para os dois padrões de fraturas.
36
(a)
(b)
(c)
Figura 2.23 – Caso 1 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de
poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de
poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio
limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de
do fluido (Chen et al 2003).
37
(a)
(b)
(c)
Figura 2.24 – Caso 3 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de
poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de
poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio
limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de
fluido (Chen et al 2003).
38
A magnitude de deslocamentos da rocha intacta para os dois casos em
diferentes estágios são também similares como mostra a Tabela 2.5 e nas Figuras 2.20 e
2.21.
Entretanto, o deslocamento cisalhante da fratura dos dois Casos são
significantemente diferentes. Fraturas no Caso 1 têm maiores deslocamentos que no
Caso 3. Espera-se que fraturas com grandes deslocamentos alcançarão sua resistência
limite mais cedo, resultando na ruptura do poço, devido ao deslizamento ao longo da
fratura. Em outras palavras, ruptura do poço pode acontecer no Caso 1, mas não no
Caso 3. A extensão da mudança de poropressão na formação no Caso 1 e no Caso 3 é
similar quando não há fluxo (resposta não drenada), mas tem uma grande diferença
quando o fluxo inicia. Comparando a Figura 2.25 com a Figura 2.26, pode ser visto que
o comprimento da fratura no equilíbrio limite no Caso 1 é maior que no Caso 3.
Algumas fraturas em equilíbrio limite no Caso 1 se cruzam podendo resultar nos blocos
livres que estão sendo gerados.
Observações semelhantes são também evidenciadas para os Casos 2 e 4, que
estão sob as mesmas condições de tensão in-situ. Entretanto, o deslocamento radial na
parede do poço no sentido de σh é em direções opostas, ou seja, para dentro da formação
no Caso 2 e para fora no Caso 4 (veja Figura 2.21) devido à diferença de padrão de
fraturas. Os deslocamentos radiais são nas mesmas direções em ambos os casos, mas
maior para o Caso 2 (veja Figura 2.21). Como também mostrado na Tabela 2.5, a
magnitude dos deslocamentos da rocha intacta e a magnitude do deslocamento
cisalhante da fratura do Caso 2, para todos os tipos de análises, são significantemente
maiores que aqueles do Caso 4. Isto indica que poços no Caso 2 são bem menos estáveis
que aqueles no Caso 4.
As diferenças de porcentagem entre os resultados para diferentes padrões de
fraturas e sob as mesmas condições de tensão são apresentadas na Tabela 2.6.
39
Tabela 2.6 – Diferenças de porcentagem devido ao padrão de fraturas - tensão
anisotrópica (Chen et al 2003).
Padrão de fraturas
Anisotropia de tensão
Diferença entre
Diferença entre
Diferença entre
Diferença entre
Casos 1 e 3
Casos 2 e 4
Casos 1 e 2
Casos 3 e 4
Resposta não drenada
∆Pp (%)
0
12
252
210
Dm (%)
4.2
4.2
301
269
Sm (%)
45
3.3
97
247
Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura constante
∆Pp (%)
0
0
0
0
Dm (%)
1.6
5.9
302
273
Sm (%)
47
32
181
259
Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura reduzido
∆Pp (%)
0
25
25
0
Dm (%)
7
10
283
270
Sm (%)
52
37
487
660
Para o mesmo padrão de fratura sob condições de tensão diferentes, tais como
no Caso 1 e 2, e no Caso 3 e 4, o deslocamento do bloco, o deslocamento cisalhante da
fratura e a mudança de poropressão são significantemente diferentes, como mostrado na
Tabela 2.5.
Deslocamentos maiores na rocha intacta e nas fraturas ocorrem sob
condições de tensão anisotrópica. As máximas mudanças de poropressões em diferentes
estágios de perfuração no Caso 1 e 3 são 5 MPa, que é a diferença entre a pressão do
fluido e a poropressão inicial. Entretanto, mudanças máximas de poropressão nos Casos
2 e 4 são geradas quando o fluxo não é permitido (não-drenado). Diferenças grandes
indicam a importância da anisotropia de tensão.
A diferença de porcentagem entre os resultados para o mesmo padrão de
fraturas sob diferentes condições de tensão estão apresentados na Tabela 2.6. Pode ser
visto que as diferenças de condições de tensão anisotrópicas são significativamente
maiores que aquelas para as condições de tensão isotrópicas. Além disso, diferenças de
40
porcentagem muito maiores de deslocamento cisalhante de fratura são observados para
respostas drenadas com redução do ângulo de atrito em comparação com ângulo de
atrito da fratura constante. Isso indica que a extensão da formação que sofre a mudança
de poropressão e a magnitude de deslocamento são dominados pela condições de tensão
in situ.
Segundo Chan et al 2003, a diferença significantiva entre as respostas
drenadas com ângulo de atrito reduzido e constante, como mostrado na Tabela 2.7,
indica claramente os efeitos de infiltração do fluido. As diferenças de porcentagem entre
cada caso estão apresentadas na Tabela 2.7.
Tabela 2.7 – Diferenças de porcentagem entre respostas drenadas com ângulo de
atrito das fraturas constante e reduzido (Chen et al 2003).
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
∆Pp (%)
0
25
0
0
Dm (%)
15
9.1
4.8
3.9
Sm (%)
94
304
77
274
Pode ser vista que a diferença de porcentagem de deslocamento cisalhante da
fratura pode ser maior que 75% para poços sob condições de tensão isotrópica. Quando
as tensões in situ são anisotrópicas, o deslocamento cisalhante da fratura com redução
do ângulo de atrito da fratura devido à infiltração do fluido pode ser até 250% maiores
que aqueles com ângulo de atrito constante. Quando o efeito de infiltração do fluido não
é considerado, nos Casos 1 e 3, nenhuma fratura está no equilíbrio limite. Quando o
efeito da infiltração do fluido é considerado naqueles casos, todas as fraturas
alcançaram o equilíbrio limite no final das análises (como mostrado na Figuras 2.22 e
2.23). Nos Casos 2 e 4, o comprimento e o número de fraturas em equilíbrio limite,
considerando o efeito de infiltração do fluido, são maiores que aqueles que não
consideram o efeito. (mostrado na Figura 2.25 e 2.26).
41
(a)
(b)
Figura 2.25 – Caso 2 – (a) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da
fratura constante. (b) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de
atrito da fratura reduzido devido à infiltração do fluido.
(a)
(b)
Figura 2.26 – Caso 4 – (a) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da
fratura constante. (b) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de
atrito da fratura reduzido devido à infiltração do fluido.
Por isso, as previsões de estabilidade de poços baseadas em cada mecanismo
serão significativamente diferentes. É, consequentemente, crítico para incluir o
42
mecanismo de redução do ângulo de atrito da fratura devido à infiltração do fluido nas
análises de estabilidade de poço em massas rochosas fraturadas.
Como a suposição de domínio circular do fluido é somente válido para
materiais homogêneos sob condições isotrópicas de tensão, a maior mudança de
poropressão no Caso 2 pode indicar a inadequação de uso de tal suposição, para a
anisotropia de tensão e padrão de fraturas dados.
As soluções do Contínuo são próximas às soluções do Descontínuo para o
deslocamento de rocha intacta Dm em cada caso. Isto é pela maior parte devido às
condições de tensão usadas nas análises, sob os quais nenhum bloco livre no maciço
rochoso é gerado quando há perda total de resistência da fratura. Sob estas condições, a
solução do Contínuo para massas rochosas fraturadas podem ser apropriadas. É
esperado que, com a redução das propriedades da fratura e/ou aumento da magnitude de
tensão e/ou anisotropia, blocos próximos à parede do poço podem remover massas
rochosas e cair no poço. Em tais situações, soluções do Contínuo já não são válidas.
Além disso, ruptura das fraturas devido ou ao deslocamento cisalhante ou à redução da
resistência das fraturas como um resultado de infiltração do fluido, não é válido para ser
modelado pela análise do Contínuo.
Chen et al 2003 com o trabalho desenvolvido pode concluir que a redução do
ângulo de atrito devido à infiltração do fluido afeta significativamente a estabilidade do
poço durante a perfuração. A influência tornou-se grande quando houve aumentos da
anisotropia de tensão. É, conseqüentemente, crítica a inclusão de mecanismos de
redução de ângulo de atrito devido à infiltração do fluido em análises de estabilidade de
poços em tais materiais rochosos. Sob as mesmas condições de tensão, deslocamentos
de fraturas podem ser significativamente diferentes entre diferentes padrões de fratura.
Dessa forma, conduzirá a previsões de estabilidade diferentes, especialmente quando
um grande número de fraturas alcançarem seus limites de resistência e a formação
obstruir grandes deslocamentos.O estado de tensão do campo será um fator dominante
para o comportamento de massas rochosas com padrão de fraturas similar. A diferença
torna-se maior com aumentos da anisotropia de tensões.
Serão apresentados a seguir, no Capítulo 3, os estudos do equilíbrio de blocos
rochosos no entorno de cavidades subterrâneas. Estes estudos foram feitos usando o
método do equilíbrio limite.
43
CAPÍTULO 3
3 – EQUILÍBRIOS DE BLOCOS ROCHOSOS AO REDOR DE
CAVIDADES SUBTERRÂNEAS
O equilíbrio de blocos ao redor de cavidades subterrâneas tem sido estudado
em diversas situações de escavação. Na Figura 3.1 estão sendo mostradas duas situações
de geometria de escavação: escavações subterrâneas com teto plano e escavações
subterrâneas com teto circular.
(b)
Figura 3.1 – Representação de algumas escavações subterrâneas – (a)
Túnel com teto plano; (b) Poço - teto circular.
44
O comportamento mecânico de um bloco de rocha no teto de uma escavação
subterrânea é governado por sua geometria, pelas características mecânicas das juntas,
pela deformabilidade do bloco e da área ao redor do bloco, e pelas tensões in situ da
rocha. A análise da estabilidade de um bloco confinado por um campo de tensões lateral
foi proposta originalmente por Bray 1977 que forneceu uma solução analítica supondo
um procedimento conhecido como relaxação.
A seguir é apresentada a análise de equilíbrio de blocos de rocha em duas
situações distintas: em aberturas com teto plano e em abertura com teto circular. Será
mostrado também o método de relaxação proposto por Bray 1976.
3.1 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – ESCAVAÇÃO
COM TETO PLANO
Um bloco de rocha no teto plano de uma abertura está sujeito ao seu peso, W,
forças de superfície associadas com o estado de tensões, e à poropressão nas fissuras.
Bray 1977 não considerou em seu trabalho a poropressão nas fissuras, então as forças da
superfície do bloco poderiam ser determinadas por algum procedimento analítico
independente, e o peso do bloco poderia ser determinado pelas orientações da junta e
pela geometria da escavação. A seguir é apresentada a formulação baseada no Método
do Equilíbrio Limite de um bloco de rocha prismático simétrico e assimétrico no teto
plano de uma abertura em rocha.
3.1.1 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO SIMÉTRICO
A Figura 3.2a representa a seção transversal de um prisma longo, uniforme,
triangular gerado no teto de uma escavação por juntas simetricamente inclinadas. O
ângulo semi-apical do prisma é α. As forças atuantes neste bloco são: o peso W, a força
de sustentação R e as forças N e S normal e cisalhante em seus contatos superficiais. O
valor da resultante de W e de R é P. Para avaliar a estabilidade do prisma sob as forças
impostas, substitui-se a força P por uma força PL, como mostrado na Figura 3.2b, e
45
encontra-se o valor de PL requerido, estabelecendo um estado de equilíbrio limite no
bloco.
Figura 3.2–Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação
(a) sujeito às forças N, S, R e W – (b) no estado de equilíbrio limite
(Adaptado Brady e Brown 2005).
Na Figura 3.2b, a equação de equilíbrio para a direção vertical é:
PL = 2.( S . cos α − N . sin α )
Eq. 3.1
Se a resistência ao deslizamento na superfície AB, AC for somente o atrito,
nas condições de equilíbrio limite:
S = N tan φ
Eq. 3.2
onde φ é o ângulo de atrito da descontinuidade.
Então a Eq. 3.1 torna-se:
PL = 2.N . sec φ . sin(φ − α )
Eq. 3.3
Dessa forma, para N>0, a condição de PL>0 pode ser satisfeita somente se
α > φ. Então se α < φ, PL< 0, o prisma seria deslocado sob a influência das forças
superficiais nas juntas, N e S. Para o caso α < φ; o prisma é potencialmente estável, mas
a estabilidade pode ser assegurada somente por uma análise mais extensiva.
A análise seguinte é para se entender e estabelecer os fatores dominantes que
afetam a estabilidade de um prisma simétrico no teto de uma escavação, para o
caso α < φ. É um exemplo do método de análise da relaxação, proposto originalmente
por Bray 1977.
46
O procedimento de relaxação proposto por Bray 1977, leva em conta a
deformabilidade das juntas. Inicialmente, a rigidez normal e cisalhante kn e ks são
consideradas suficientemente elevadas para que a presença de juntas seja ignorada. É
então possível determinar a distribuição de tensões em torno da cavidade, que supõe que
a rocha se comporta como um meio contínuo e elástico. Desde que nenhuma força de
massa seja induzida no meio pelo processo de escavação da abertura, as análises
elásticas levam em conta, implicitamente, o peso (W) do prisma. Tal análise permite
que o estado de tensões seja calculado em pontos do maciço rochoso que coincidem
com as superfícies do prisma. Sendo assim, estimam-se os valores das forças de
superfície que agem no prisma a partir dos valores das componentes de tensão, da área e
da orientação de cada superfície. Como resultado o método da relaxação introduz as
rigidezes kn e ks, e analisam os deslocamentos do bloco causados pela deformação da
junta. Segundo Bray 1977 desde que as rigidezes reais sejam baixas quando comparadas
com a elasticidade do material rochoso, a deformabilidade do prisma pode ser
desconsiderada neste processo. Como definido previamente, o bloco é sujeito ao seu
peso, W, e a força de suporte, R, cuja resultante é P=W-R. Os resultados das análises
através dos deslocamentos do corpo sob a influência das forças de superfície internas e
da força vertical PL, são definidos pela equação 3.3. O estado da estabilidade do prisma
é então avaliado com o fator de segurança FS, definido pela Eq. 3.4:
FS =
PL
P
Eq. 3.4
Antes do processo de relaxação (antes de aplicar a força P e reduzindo as
rigidezes nas juntas), o estado do carregamento do prisma é como mostrado na Figura
3.3a. Neste caso, as forças de superfície N0 e S0 estão em equilíbrio estático. Estas
forças da superfície original, N0 e S0, são relacionadas à força horizontal interna H0 pela
Eqs. 3.5:
N 0 = H 0 cos α
S 0 = H 0 sin α
Eqs. 3.5
onde α é o ângulo apical do bloco.
Quando a força resultante PL é aplicada, o bloco será deslocado verticalmente
a uma distância uy. Os deslocamentos us e un, com as direções indicadas na Figura 3.3b,
ocorrem na superfície da junta, e nas forças normal e cisalhante há um incremento,
47
mudando para novos valores de equilíbrio, N e S. As deformações da junta us e un são
relacionadas na vertical como mostrado na Fig. 3.3b. Sendo assim, têm-se as Eqs. 3.6:
u s = u y cos α
u n = u y sin α
Eqs. 3.6
Das Eqs. 3.6, tem-se que:
N 0 - N = K n .u n = K n u y sin α
S - S 0 = K s .u s = K s u y cos α
Eqs. 3.7
Figura 3.3– Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação
(a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas –
(b) em um estado equilíbrio limite depois da aplicação de um
carregamento externo e relaxação da junta (Adaptado Brady e Brown
2005).
A equação de equilíbrio estático na direção x será:
H = N cos α + S sin α
Eq. 3.8
Substituindo N0 e S0 na Eqs. 3.5 a Eqs. 3.7 tornam-se as Eqs. 3.9:
N = H 0 cos α - K n u y sin α
S = H 0 sinα + K s u y cos α
Eq. 3.9
Substituindo a Eq. 3.2 na Eqs. 3.9 torna-se a Eq. 3.10:
H 0 sin α + K s u y cos α = (H 0 cos α - K n u y sin α ) tan φ
Eq. 3.10
48
Rearranjando a Eq. 3.10, tem-se a Eq. 3.11:
uy =
H 0 ⋅ sen(φ − α )
( K S ⋅ cos α ⋅ cos φ + K n ⋅ senα ⋅ senφ )
Eq. 3.11
Substituindo a Eq. 3.11 nas Eqs. 3.9, têm-se as Eqs. 3.12:
H0
⋅ ( K s cos 2 α + K n ⋅ sin 2 α ). cos φ
D
H
S = 0 ⋅ ( K s cos 2 α + K n ⋅ sin 2 α ). sin φ
D
N=
Eq. 3.12
Onde:
D = K S ⋅ cos α ⋅ cos φ + K n ⋅ senα ⋅ senφ
Substituindo as Eqs. 3.12 nas Eqs. 3.8, e simplificando tem-se a Eq. 3.13:
H=
H0
⋅ ( K s cos 2 α + K n ⋅ sin 2 α ). cos(φ − α )
D
Eq. 3.13
A expressão de N na Eq. 3.12, quando substituída na Eq. 3.3 para um
equilíbrio vertical, tem-se:
PL =
2 .H 0
⋅ ( K s cos 2 α + K n ⋅ sin 2 α ). sin(φ − α )
D
Eq. 3.14
A Equação 3.14 é a equação de Bray 1977 para equilíbrio de blocos no
entorno de cavidades subterrâneas com geometria de teto plano.
A Eq. 3.14 pode ser simplificada fazendo a suposição de kn>>ks, tornando:
PL =
2.H 0 ⋅ sin α . sin(φ − α )
sin φ
Eq. 3.15
A análise feita por Bray indica que quando o estado elástico de tensão for
determinado, o carregamento externo vertical requerido para produzir um estado de
equilíbrio limite pode ser estimado pela Eq. 3.15, sendo conhecida a geometria do
49
prisma e o ângulo de atrito da junta. O fator de segurança pode ser calculado pela
Eq. 3.4.
Se PL > W, ou seja, se a força resultante no equilíbrio limite for maior que o
peso do bloco, então o bloco é estável, não sendo necessário qualquer suporte para
estabilizá-la do ponto de vista geotécnico. Se PL< W, a estabilidade do prisma pode ser
assegurada somente pela aplicação de uma carga positiva de sustentação.
É recomendado examinar a relação entre a força vertical limite, e os
componentes de força horizontal na superfície do prisma. Introduzindo a Eq. 3.2 na
Eq. 3.8, rearranjando e substituindo os resultados da expressão para N da Eq. 3.3, temse a Eq. 3.16:
PL = 2.H . tan(φ − α )
Eq. 3.16
3.1.2 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO ASSIMÉTRICO
O caso do equilíbrio de um prisma assimétrico no teto de uma abertura, uma
condição adicional é introduzida na análise do problema como mostra a Figura 3.4.
Figura 3.4 – Diagrama do corpo livre prismático assimétrico no teto plano de uma
escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões
elásticas (b) Corpos livres constituintes para análises de relaxação
(Adaptado Brady e Brown 2005).
As análises de relaxação a princípio são idênticas às feitas para o prisma
simétrico. Inicia com uma análise elástica e a deformabilidade da junta não é
considerada para obter as forças normais e cisalhantes que atuam nas interfaces do
prisma. Estes resultados podem ser usados diretamente para fazer uma avaliação inicial
50
do bloco e atrito nas juntas. Desde que o processo de relaxação resulte em uma redução
das forças normais e cisalhantes que agem na junta, as análises elásticas fornecem uma
primeira avaliação do potencial de estabilidade do bloco prismático.
Segundo Bray 1977 a formulação do problema do prisma assimétrico é
idêntica ao problema do bloco simétrico sendo adicionada uma nova condição como
mostra a Figura 3.4 e a Eq. 3.17:
PL = PL1 + PL 2
Eq. 3.17
As equações de equilíbrio estático na direção vertical para cada bloco são:
PL1 = S1 . cos α 1 − N 1 sin α 1 − R. cos β
PL 2 = S 2 . cos α 2 − N 2 sin α 2 + R. cos β
Eq. 3.18
Substituindo a Eq. 3.17 na Eq. 3.18 tem-se que:
PL = PL1 + PL 2 = N 1. sec φ1 . sin(φ1 − α 1 ) + N 2. sec φ 2 . sin(φ 21 − α 2 )
Eq. 3.19
Considerando os deslocamentos e mudanças nas forças normais e cisalhantes
associadas com a relaxação da junta de uma forma análoga à que foi usada para o
prisma simétrico, conduzem aos seguintes resultados expressos pela Eq. 3.20:
PL =
H0
H
⋅ ( K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(φ1 − α 1 ) + 0 ⋅ ( K s 2 cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(φ 2 − α 2 )
D1
D2
Eq. 3.20
Onde:
D1 = K S1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
D2 = K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ 2
Quando Kn1>>Ks1, Kn2>>Ks2, então:
PL =
H 0 ⋅ sin α 1 . sin(φ1 − α 1 ) H 0 ⋅ sin α 2 . sin(φ 2 − α 2 )
+
sin φ1
sin φ 2
Eq. 3.21
51
A relação entre as forças horizontais após a relaxação e a força vertical limite,
para um prisma assimétrico pode ser mostrada da seguinte forma:
PL = H 0 . tan(φ1 − α 1 ) + H 0 . tan(φ 2 − α 2 )
Eq. 3.22
O estudo apresentado é uma base importante para o estudo de estabil idade de
blocos no teto plano de uma escavação e demonstra que utilizando o Método do
Equilíbrio Limite é possível determinar a força necessária para se estabilizar o bloco
rochoso. Como foi mostrado, a depender da situação, não é necessária nenhuma
intervenção para se estabilizar o bloco uma vez que a mesma pode estar estável. Em
contrapartida pode ocorrer também a necessidade de uma força de sustentação para se
estabilizar o bloco e uma medida de estabilização deve ser executada no maciço
rochoso.
3.2 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – TETO CIRCULAR
Outros estudos foram feitos no sentido de analisar a estabilidade de blocos no
teto de escavações subterrâneas. Sofianos et al 1999 analisaram a estabilidade de blocos
no teto de uma abertura circular. O problema é resolvido de forma similar aos estudos
que foram feitos por Bray 1977 sendo adaptado para o caso do teto da abertura circular.
Para o exemplo particular de um bloco simétrico no teto de uma abertura
circular, Sofianos et al 1999 consideraram uma abertura de raio R em um campo de
tensões definido por p e por Kop, com as tensões principais orientadas no sentido
vertical e horizontal. A geometria do problema para um bloco de altura, h, é mostrada
em Figura 3.5. As grandezas envolvidas na estabilidade do bloco são o seu peso W, a
força da sustentação S, e as forças horizontais e verticais, H0 e V0, nas superfícies do
bloco. A estabilidade é avaliada em termos da força de confinamento horizontal H0 e
pela força vertical necessária para fazer com que o bloco esteja no equilíbrio limite, P0.
Para um bloco simétrico como mostrado na Figura 3.5, o fator de segurança
FS é definido pela Eq. 3.23:
52
FS =
S + P0
S
=
+q
W
W
Eq. 3.23
Na Eq. 3.23 q é o quociente entre a força P0 e o peso do bloco W. A força P0
nos estudos de Sofianos et al 1999 é análoga à força PL definida por Bray 1977 na Eq.
3.14.
Como no caso em questão o bloco se encontra no teto de uma abertura circular
e está situado em um campo biaxial de tensões definido pelas componentes principais p
e Kop, onde p é a tensão vertical de campo e Ko é o coeficiente de tensão lateral,
mostrado na Figura 3.5, a distribuição de tensões em torno do poço, no fim do primeiro
estágio de relaxação, é obtida usando as equações de Kirsch, Eqs. 2.1, 2.2 e 2.3 que
foram definidas no Capítulo 2 e têm a sua demonstração disponibilizada no Apêndice A
deste presente trabalho.
Figura 3.5 – Bloco de rocha simétrico no teto de um poço circular em um campo de
tensões biaxial (Sofianos et al 1999).
O vetor resultante das forças H0 e V0 é mostrado na Figura 3.5. O bloco ABC é
considerado como um corpo elástico que esteja em equilíbrio.
Integrando a componente de tensão ao longo da superfície CB, tem-se a força
H0 que é:
53
H0 = ∫
r =R+h
r=R
H0 =
σ θθ dr
p+R
.C H
2
Eq. 3.24
onde
3

 

 

 


1  
h 
h   1  
 − (1 − K 0 ). + 1 −
C H = (1 + K 0 ). + 1 −
 R   h + 1  
 R    h + 1  



 



 R   
  R   
Eq. 3.25
Para uma tensão principal vertical p dada por p = γ.z, onde z é a profundidade
abaixo da superfície, a força q (dada por P0/W) que é a força necessária para manter o
bloco estável é a seguinte expressão:
q=
z CH
.
.M
R CW
Eq. 3.26
onde:
CW = cos 2 θ .(tan θ + cot α ) −
π
+θ
2
M = [(k s / k n ). cos 2α cos i + sin(α − i ) sin α ] sin(φ − α ) / D. cos i
D = cos α . cos φ .k s / k n + sin φ . sin(α − i ) / cos i
Eqs. 3.27
sendo i o ângulo de dilatância da descontinuidade.
Para analisar a estabilidade de um bloco simétrico no teto de uma abertura
circular, basta utilizar a Eq. 3.23. Sendo o fator de segurança igual a 1, o bloco
encontra-se no equilíbrio limite e a força necessária para que o bloco esteja na
eminência da instabilidade pode ser calculada. Segundo Sofianos et al 1999, os
parâmetros mais importantes na estabilidade do bloco são: o ângulo apical, α, e o
ângulo de atrito, φ.
Em um desenvolvimento adicional, Nomikos et al 2002 considerou um bloco
simétrico em um campo de tensões inclinado. Foram encontradas equações mais
complexas para definir o fator de segurança e uma correspondência razoável foi
mostrada entre a solução analítica e algumas soluções usando o software UDEC.
54
D. Elsworth 1986 fez um trabalho que também analisava a estabilidade de
blocos simétricos no teto de uma abertura circular. A base dos seus estudos foi o
trabalho de Bray 1977. O equilíbrio do bloco é apresentado com a seguinte equação:
W − A = 2.S . cos α − 2 N . sin α
Eq. 3.27
Na Eq. 3.27, - A é a força de ancoragem necessária para que o bloco esteja no
equilíbrio limite. O fator de segurança FS é dado pela Eq. 3.28:
S=
N . tan(φ + i )
FS
Eq. 3.28
O deslocamento vertical V no equilíbrio limite tem uma componente normal,
v, e cisalhante, u. Sob os deslocamentos u e v, as tensões cisalhante e normal iniciais, N0
e S0 serão mudadas para valores N e S, de acordo com a Eq. 3.29:
N 0 − N = k n v − k nV (sin α − cos α tan i )
S − S 0 = k s u = k s .V . cos α
Eq. 3.29
Substituindo a Eq. 3.29 em 3.28 e rearranjando tem-se que:
V=
N 0 tan(φ + i ) − S 0 .FS
k s . cos α .FS + k n (sin α − cos α . tan i ) tan(φ + i )
Eq.
3.30
Elsworth 1986 utilizou equações de transformação de tensões para avaliar a
resultante das componentes destas tensões que agem no plano normal e tangente do
bloco. A distribuição de tensões normal e cisalhante podem ser somadas analiticamente
para obter as forças resultantes que podem então ser usadas nas análises de bloco rígido
discutidas previamente. Para expressar o raio de interesse, r, na análise de tensões,
utiliza-se a teoria clássica do cilindro de parede espessa, Eq. 3.31, que determina o raio
r em função da abertura da escavação, a, do ângulo semi-apical do bloco α e dos
_
ângulos θ e θ , mostrados na Figura 3.6.
r = a.
sin(α + θ )
_
Eq. 3.31
sin(α + θ )
55
Figura 3.6 – Geometria do bloco no teto de um poço circular (Adaptado D.
Elsworth 1986).
A expressão da tensão normal, σn que age na superfície do bloco é dada por:
_


2
_
 sin (θ + α )

σ n = P.1 + 2
. cos 2(θ + α )
 sin (θ + α )

Eq. 3.32
onde P é a magnitude das tensões num campo hidrostático antes da escavação.
A força normal na superfície do bloco, N0 pode ser determinada da seguinte forma:
θ
N 0 = ∫ σ n dl
Eq. 3.33
0
onde l é o incremento infinitesimal de comprimento do bloco, como mostrado
na Figura 3.7.
_
dl =
r.d θ
_
sin(θ + α )
= a.
sin(α + θ )
2
_
_
dθ
Eq. 3.34
sin (α + θ )
56
Figura 3.7 – Geometria do bloco em um nível diferencial (Adaptado D. Elsworth
1986).
Substituindo a Eq. 3.32 e a Eq. 3.34 na Eq. 3.33 e integrando tem-se tensão
normal que age na superfície do bloco:
 sin θ . sin(θ + 2α ) 
N 0 = P.a.

 tan α sin(θ + α ) 
Eq. 3.35
Utilizando um raciocínio similar, tem-se a tensão cisalhante que age na
superfície do bloco, dada por:
S0 =
P.a
.[cos 2(θ + α ) − cos 2α ]
2. sin(θ + α )
Eq. 3.36
O peso do bloco e dado por:
W = γ .a 2 .(sin 2 θ .(cot θ + cot α ) − θ )
Eq. 3.37
onde γ é o peso específico da rocha.
A solução para se encontrar a força
A
, que é a força necessária para o
2.P.a
bloco ficar no equilíbrio limite, segundo D. Elsworth 1986 procede da seguinte forma:
(i) Calcula-se a força normal e cisalhante na superfície do bloco, N0 e S0,
através das Eq. 3.35 e 3.36;
(ii) A aplicação da forca “–A” altera as forças iniciais na superfície do bloco,
N0 e S0, para N e S. A força normal N é encontrada substituindo N0 e S0 na Eq. 3.29 e
3.27 para F=1;
(iii) A força “–A” é então encontrada para um fator de segurança igual a 1.
57
Nos estudos paramétricos de D. Elsworth verificou-se que para um dado
ângulo apical (α) do bloco, um aumento do tamanho do bloco (aumentando θ) resulta
em um aumento da força requerida para iniciar a deformação do bloco. Ao contrário do
que ocorre em um bloco no teto plano de uma abertura que, mesmo dobrando a
dimensão linear do bloco não necessitará do valor da força requerida para iniciar a
deformação do bloco seja dobrada. Foi observado também que as descontinuidades com
a relação rigidez cisalhante e rigidez normal elevada necessitam de uma resistência
menor para tornar o bloco estável. As propriedades de deformação podem ser
significativas em avaliar a resistência final do bloco de rocha com o ângulo de atrito da
descontinuidade.
Dentre outras observações importantes, a principal diferença entre os trabalhos
de Sofianos et al 1999 e D. Elsworth 1986 é na forma de cálculo da distribuição de
tensões na superfície do prisma. Enquanto Elsworth 1986 utiliza uma integral na face do
prisma, Sofianos et al 1999 utiliza uma integral na altura do bloco e este fato conduz a
resultados diferentes.
É importante salientar que a distribuição de tensões in situ tem extrema
importância na estabilidade de um maciço rochoso. Sendo assim, ignorando a
capacidade de auto sustentação do prisma pode conduzir à utilização de reforços
desnecessários podendo resultar em atrasos no procedimento de escavação e/ou
perfuração além de elevar os custos envolvidos no processo.
No próximo capítulo serão apresentadas as soluções analíticas propostas por
este trabalho para o problema de estabilidade de poços em rochas fraturadas bem como
a sua demonstração e fundamentação teórica.
58
CAPÍTULO 4
4 – SOLUÇÕES PROPOSTAS: EQUILÍBRIOS DE BLOCOS DE ROCHA
NO ENTORNO DE POÇOS DE PETRÓLEO
Rochas intensamente fraturadas são consideradas como meios descontínuos,
tendo um comportamento geomecânico distinto de rochas consideradas contínuas.
Análises computacionais com o software UDEC têm sido utilizadas para
analisar a estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas ou descontínuas.
Entretanto tais análises demandam tempo o que torna a viabilidade de seu uso restrita.
Sendo assim, este presente trabalho tem como principal foco a apresentação e
demonstração de uma solução analítica para a análise da estabilidade de poços de
petróleo em rochas fraturadas.
Como foi apresentado anteriormente, análise de forças no equilíbrio limite de
escavações subterrâneas foram feitas por diversos autores tendo como principal
fundamentação o trabalho de Bray 1977 descrito no capítulo anterior. Contudo essas
análises não são diretamente aplicáveis para o caso de estabilidade de blocos no entorno
de poços de petróleo porque esta última tem uma pressão interna atuante, referente à
pressão do fluido de perfuração e que deve entrar no equilíbrio do sistema, o que não
ocorre com outros tipos de escavação subterrânea demonstradas anteriormente.
Pelo Princípio das Tensões Efetivas, TERZAGHI em 1943 constatou que:
Eq. 4.1
σ v′ = σ v − u
Onde σ´v é a tensão efetiva, σv é a tensão total e u é a pressão de poros.
TERZAGHI afirmou que todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações
de tensões, como compressão, distorção e resistência ao cisalhamento são devido às
variações de tensões efetivas.
Na Figura 4.1, a tensão vertical total é dada por:
σ v = γ w .hw + γ .H
Eq. 4.2
Onde:
γw é o peso específico da água;
59
γ é o peso específico médio da rocha dado por: γ =
∑γ z
∑z
i. i
i
Figura 4.1 – Poço perfurado com uma lâmina d’água hw.
Para a análise que foi feita subsequentemente, nos resultados da pressão
determinada analiticamente, ∆P, deve ser somada a pressão de poros, u, Eq. 4.2, e dessa
forma obter a pressão necessária para se estabilizar a parede do poço.
P = ∆P+u
Eq. 4.2
Onde:
P é a pressão necessária para se estabilizar o poço;
∆P é o incremento de pressão necessário para estabilizar o poço;
u é a pressão de poros.
60
Com este resultado da pressão, P, da Eq. 4.2, usando o Teorema Fundamental
da Hidrostática, tem-se a massa específica do fluido necessária para se estabilizar a
parede do poço, dada por:
ρf =
P
gH
Eq. 4.1
Onde ρf é a massa específica do fluido, P é a pressão total e H é a altura.
Sendo assim, a seguir são apresentados os estudos propostos neste presente
trabalho para que possa ser analisada analiticamente a estabilidade de um poço de
petróleo em rochas fraturadas.
4.1 – TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO
ENTORNO DE POÇOS PERFURADOS EM ROCHAS FRATURADAS
As principais tensões envolvidas na estabilidade de um poço durante a
perfuração são as tensões in situ e as tensões provocadas pelo fluido de perfuração.
Dessa forma para se estabilizar um poço durante a perfuração, é necessário que a tensão
provocada pelo fluido de perfuração não seja superior à tensão de fraturamento da rocha
nem inferior à tensão de colapso da rocha, sendo necessário se obter uma janela
operacional, como é conhecida tecnicamente o intervalo entre o máximo e o mínimo
valor de tensão provocado pelo fluido de perfuração.
Para se analisar o bloco de rocha originado por interseções de
descontinuidades no entorno de uma abertura são consideradas duas situações
geométricas distintas, a saber:
(i)
Estabilidade do bloco rochoso no teto plano de um poço;
(ii)
Estabilidade do bloco rochoso no teto circular de um poço.
61
4.1.1 - TENSÃO MÍNIMA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS AO REDOR DE
UM POÇO – TETO PLANO
Segundo os estudos originais de Bray 1977, o equilíbrio de um bloco
assimétrico no teto plano de uma abertura é dado pela Equação 3.20 do Capítulo 3.
Sendo a resistência ao deslizamento nas superfícies AB, CA da Figura 4.2
puramente de atrito, na condição de equilíbrio limite tem-se as Eqs. 4.2, que são dadas
por:
S1 = N1. tanφ1
S2 = N2. tanφ2
Eqs. 4.1
Figura 4.2 – Representação de um bloco na parede de um poço – consideração de
teto plano.
Fazendo o equilíbrio das forças na direção y na Figura 4.2, tem-se a Eq. 4.2:
PL = N 1 .senα 1 − S1 . cos α 1 + N 2 .senα 2 − S 2 . cos α 2
Eq. 4.2
Substituindo a Eq. 4.2 nas Eqs. 4.1, tem-se que:
62
PL = N 1 .senα 1 − N 1 . tan φ1 . cos α 1 + N 2 .senα 2 − N 2 . tan φ 2 . cos α 2
PL = N 1 .senα 1 − N 1 .
1
1
.senφ1 cos α 1 + N 2 .senα 2 − N 2 .
.senφ 2 . cos α 2
cos φ1
cos φ 2




1
1
PL = N 1 . senα 1 −
.senφ1 cos α 1  + N 2 . senα 2 −
.senφ 2 . cos α 2 
cos φ1
cos φ 2








1
1
 senα 1 −
 senα 2 −
.senφ1 cos α 1 . cos φ1
.senφ 2 . cos α 2 . cos φ 2
cos φ1
cos φ 2


PL = N 1 . 
+ N2. 
cos φ1
cos φ 2
Eq. 4.3
Rearranjando a Eq. 4.3 tem-se a Eq. 4.4:
PL = N 1 . sec φ1 .sen(α 1 − φ1 ) + N 2 . sec φ 2 .sen(α 2 − φ 2 )
Eq. 4.4
Fazendo o equilíbrio das forças na direção x na Figura 4.1 e rearranjando têmse as Eqs. 4.5 dadas por:
N1 = H 0 ⋅
( K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). cos φ1
K S1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
N2 = H0 ⋅
( K s 2 cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). cos φ 2
K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ 2
Eqs. 4.5
Substituindo as Eq. 4.5 ns Eq. 4.4, tem-se a Eq. 4.6 dada por:
PL = H 0 ⋅
( K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(α 1 − φ1 )
( K cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(α 2 − φ 2 )
+ H 0 ⋅ s2
K S 1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Eq. 4.6
Na Eq. 4.6, PL é a força necessária para que o bloco de rocha formado a partir
das interseções das descontinuidades se mantenha no equilíbrio limite, ou seja, é a força
mínima que o fluido de perfuração deve exercer sobre as paredes do poço para que o
mesmo fique estável. Sendo assim, o próximo procedimento é determinar a Eq. 4.6 em
termos de tensão para o posterior cálculo da massa específica do fluido de perfuração.
63
Para ser determinada a equação da tensão mínima do fluido de perfuração para
se manter o bloco rochoso formado a partir da interseção de descontinuidades no
entorno de um poço de petróleo estável do ponto de vista geotécnico foi analisada a
Figura 4.3, que é uma representação esquemática da seção transversal de um bloco de
rocha de comprimento unitário.
Figura 4.3 – Representação da seção transversal de um bloco de rocha.
Analisando a Figura 4.3, têm-se pelo triângulo ABC e pelo triângulo BCD as
Eqs. 4.7 e 4.8 respectivamente dadas por:
θ1 = 90 − α 1
Eq. 4.7
θ 2 = 90 − α 2
Eq. 4.8
Utilizando a lei dos senos no triângulo ABD, ABC e BCD da Figura 4.3, têmse que:
a1
a
b
= 2 =
sin θ 2 sin θ1 sin(α 1 + α 2 )
a1 =
a2 =
sin(90 − α 2 )
.b
sin(α 1 + α 2 )
Eq. 4.9
sin(90 − α 1 )
.b
sin(α 1 + α 2 )
Eq. 4.10
64
a1
a
m
= 2 =
sin 90 sin θ1 sin α 1
m = a1 sin α 1
h = a1 sin(90 − α 1 ) = a1 cos α 1
a1 =
h
cos α 1
Eqs. 4.11
a2
h
n
=
=
sin 90 sin θ 2 sin α 2
n = a 2 sin α 2
h = a 2 sin(90 − α 2 ) = a 2 cos α 2
a2 =
h
cos α 2
Eqs. 4.12
b = m+n
b = a1 sin α 1 + a 2 sin α 2
b=
h
h
. sin α 1 +
. sin α 2
cos α 1
cos α 2
b = h. tan α 1 + h. tan α 2
b
= tan α 1 + tan α 2
h
h
1
=
b tan α 1 + tan α 2
Eqs. 4.13
Sabe-se pela lei da hidrostática que:
P=
Força
Área
Eq. 4.14
onde P é a pressão, F é a força e A é a área.
Considerando que a força PL da Figura 4.2 está agindo numa superfície de
comprimento unitário e de largura b e que a força horizontal H0 está agindo numa
superfície de comprimento unitário e de altura h. A Eq. 4.15 a seguir é a equação em
65
termos de tensão para estabilidade do poço, ou seja, é a pressão mínima necessária na
parede do poço para que a mesma permaneça estável geotecnicamente.

A
 
A
1
∆PL = σ H 0 ⋅  1 . sin(α 1 − φ1 ) + 2 . sin(α 2 − φ 2 ) .
D2

 D1
  tan α 1 + tan α 2



Eq. 4.15
Onde:
A1
K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1
=
D1 K S1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
A2
K s 2 cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2
=
D2 K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Na Eq. 4.15, σH0 é a tensão horizontal mínima com o qual a parede do poço se
encontra estável.
Segundo Enever and Chopra 1986, Fig. 4.4, a tensão mínima necessária para
manter o poço estável é calculada pela Eq. 4.16, dada por:
Figura 4.4 – Tensões principais em um poço submetido a uma pressão interna ∆P
(Adaptado Enever and Chopra 1986).
σ H 0 = 3σ H − σ h − ∆P
Eq. 4.16
66
onde σH é a tensão horizontal maior, σh é a tensão horizontal menor e ∆P é a
pressão interna do fluido de perfuração.
Substituindo a Eq. 4.16 na Eq. 4.15, tem-se a Eq. 4.17, dada por:

 A1
 
A
1
. sin(α 1 − φ1 ) + 2 . sin(α 2 − φ 2 ) .
(3σ H − σ h ) ⋅ 
D2

 D1
  tan α 1 + tan α 2
∆PL =
  A1


A
1

. sin(α 1 − φ1 ) + 2 . sin(α 2 − φ 2 ) .
1 + 
D2
  tan α 1 + tan α 2 
  D1



Eq. 4.17
A Eq. 4.17 é a solução analítica para a estabilidade de um bloco prismático de
rocha formado a partir de interseções de fraturas ou descontinuidades em rochas
intensamente fraturadas, considerando teto plano.
É importante salientar que a Eq. 4.17 se aplica para ângulo semi-apical,
α, positivo. Para o ângulo semi-apical negativo, como mostrado na Figura 4.5, a pressão
interna mínima necessária para se estabilizar o bloco rochoso é calculada de forma
diferente, pois o equilíbrio de forças na direção x e na direção y ocorre de forma
diferente e as superfícies nas quais as forças estão sendo aplicadas não são as mesmas.
Figura 4.5 – Bloco rochoso com ângulo apical negativo na parede de um poço.
No caso do bloco rochoso com a geometria mostrada na Figura 4.5, fazendo o
somatório das forças na direção y obtém-se a Eq. 4.18, dado por:
67
Eq. 4.18
PL = − N 1 .senα 1 + S1 . cos α 1 + N 2 .senα 2 − S 2 . cos α 2
Substituindo a Eq. 4.5 na Eq. 4.18, tem-se a Eq. 4.19 dada por:
PL = H 0 ⋅
( K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(φ1 − α 1 )
( K cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(φ 2 + α 2 )
+ H 0 ⋅ s2
K S 1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Eq. 4.19
A Eq. 4.19 é a força mínima necessária para que o bloco rochoso esteja
estável. Fazendo os cálculos similares ao caso do bloco rochoso com ângulo apical
positivo, para este caso, utilizando a lei dos senos, e fazendo as devidas substituições e
rearranjos, tem-se a Eq. 4.20 dada por:

A
  cos α 2
A
∆PL = σ H 0 ⋅  1 . sin(φ1 − α 1 ) + 1 . sin(φ 2 + α 2 ) .
D1

 D1
  sen(α 1 + α 2



Eq. 4.20
Substituindo a Eq. 4.16 na Eq. 4.20 tem-se a Eq. 4.21, onde ∆P é a pressão
necessária para manter a bloco rochoso com ângulo apical negativo estável
geotecnicamente.

 A1
   cos α 2
A
. sin(φ1 − α 1 ) + 1 . sin(φ 2 + α 2 )  .
(3σ H − σ h ) ⋅ 
D1
 D1
   sen(α 1 + α 2

∆PL =
  A1
  cos α 2 
A

. sin(φ1 − α 1 ) + 1 . sin(φ 2 + α 2 ) .
1 + 
D1
  sen(α 1 + α 2 
  D1



Eq. 4.21
68
4.1.2 - TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO TETO
CIRCULAR DE UM POÇO
Para analisar a estabilidade de um bloco formado a partir de interseções de
descontinuidades ao redor de um poço, foi desenvolvido um estudo que abrange mais
variáveis, uma vez que o teto da escavação de um poço tem a forma circular, Figura 4.6.
Figura 4.6 – Representação de um bloco na parede de um poço – teto circular.
A força normal à superfície do bloco rochoso da Figura 4.6 é dada pela
Eq. 4.22:
N = ∫ σ n .dl
Eq. 4.22
Onde:
σn =
σ r + σθ
2
+
σ r −σθ
2
cos 2 β + τ rθ sin 2 β
Eq. 4.23
Substituindo a Eq. 4.23 na Eq. 4.22, tem-se que a Eq. 4.24 dada por:
⌠ (
 σr + σθ ) ( σr − σθ )

N :=  
+
⋅cos ( 2 ⋅β ) + τrθ ⋅sin( 2 ⋅β ) dl
 
2
2

⌡
Eq. 4.24
Partindo do princípio de que a integral da soma é igual à soma das integrais,
tem-se a Eq. 4.25 dada por:
69
⌠
N := 

⌡
( σr + σθ )
2
⌠
dl + 

⌡
( σr − σθ ) cos2β
2
⌠
dl +  τrθsin2β dl

⌡
Eq. 4.25
É importante salientar que os limites de integração variarão de acordo com a
posição do bloco rochoso em relação à circunferência do poço e ao eixo vertical de
referência. No caso da posição do bloco rochoso mostrado na Figura 4.7, serão
demonstrados todos os procedimentos necessários para se calcular a tensão necessária
para a estabilidade do bloco e consequentemente o peso específico mínimo do fluido de
perfuração para o poço. Trata-se de um caso mais geral, uma vez que o bloco é
considerado assimétrico e a posição do eixo vertical de referência não é coincidente
com o alinhamento CD do bloco com o centro do poço.
Figura 4.7 – Representação de um bloco na parede de um poço – caso geral.
Como se trata de um bloco assimétrico tem-se a Eq. 4.26 dada por:
N=N1+N2
Eq. 4.26
A equação para a força normal, N1, é dada por:
N1=N1a+N1b
Eq. 4.27
As componentes das forças normais, N1a e N1b, são dadas pelas Eqs. 4.28 e
4.29 respectivamente:
70
θ1 −θ
∫
N1a =
0
 σ r1 + σ θ 1 (σ r1 − σ θ 1 )

+
. cos 2β1 + τ rθ 1 . sin 2β1 dl1

2
2


Eq. 4.28
θ
 σ + σ θ 1 (σ r1 − σ θ 1 )

N1b = ∫  r1
+
. cos 2β1 + τ rθ 1 . sin 2 β1 dl1
2
2

0 
Eq. 4.29
Onde:
σ r1 =
 a2
p
(1 + κ )1 − 2
2 
 r1
σ θ1 =
 a2 
 3.a 4
p
(1 + κ )1 + 2  − (1 − κ )1 + 4
2 
r1
 r1 

τ r θ1 =
 2.a 2 3.a 4
p
1 + 2 − 4
κ
−
(
1
−
)


2 
r1
r1

κ=
2
4


 + (1 − κ )1 − 4.a2 + 3.a4


r1
r1




. cos 2θ1  ;





. cos 2θ1  ;





. sin 2θ1  ;



σH
;
σh
p =σh.
β1 = 90 − (θ1 + α 1 )
dl1 = a.
sin(α 1 + θ1 )
sin 2 (α 1 + θ )
Analisando a Figura 4.8 tem-se a Eq. 4.30 dada por:
a cos(ψ 1 − α 1 ) = e1
Eq. 4.30
Onde e1 é o espaçamento entre descontinuidades.
Figura 4.8 – Representação da geometria dos espaçamentos entre descontinuidades.
71
Rearranjando a Eq. 4.30, tem-se a Eq. 4.31 dada por:

ψ 1 =  arccos

e1 
 + α1
a
Eq. 4.31
Utilizando a lei dos senos e as devidas substituições tem-se a Eq. 4.32, dada
por:
θ1 =
90.α 1
ψ1
− 90 + ψ 1
Eq. 4.32
Como o bloco rochoso é assimétrico, então a força necessária para se
estabilizar a parede do poço é dada pela soma da força referente ao lado direito do
bloco, PL1, e pela força do lado esquerdo do bloco, PL2, mostrada na Eq. 4.33:
PL = PL1 + PL 2
Eq. 4.33
Numa primeira análise, se determina a força da parte direita do bloco rochoso,
PL1, que é dada pela Eq. 4.34:
PL1 = H 01 ⋅
( K s1 cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(α 1 − φ1 )
K S 1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
Eq. 4.34
Onde:
H 01 =
N1
cos(α 1 + θ )
Analogamente aos procedimentos feitos para determinação da componente de
força normal, N1, determina-se a componente de força normal, N2, dada pela Eq. 4.35:
N2=N2a - N2b
Eq. 4.35
A componente da força normal, N2a e N2b, são dadas pelas Eq. 4.36 e 4.37
respectivamente:
72
θ +θ 2
∫
θ
N 2a =
2
θ
N 2b =
∫
θ
2
 σ r 2 + σ θ 2 (σ r 2 − σ θ 2 )

+
. cos 2 β 2 + τ rθ 2 . sin 2 β 2 dl 2 Eq. 4.36

2
2


 σ r 2 + σ θ 2 (σ r 2 − σ θ 2 )

. cos 2 β 2 + τ rθ 2 . sin 2 β 2 dl 2 Eq. 4.37
+

2
2


Onde:
σ r2 =
σθ2


 4.a 2 3.a 4 
p
a 2 

1 − 2 + 4 . cos 2θ 2  ;
(
1
+
κ
)
1
−
+
(
1
−
κ
)

2
 r 

2 
r2
r2 
2 




 3.a 4
p
a 2 

= (1 + κ )1 + 2  − (1 − κ )1 + 4
2 
r2
 r2 

τ rθ 2 =
 2.a 2 3.a 4
p
− (1 − κ )1 + 2 − 4
2 
r2
r2



. cos 2θ 2  ;





. sin 2θ 2  ;



β 2 = 90 − (θ 2 + α 2 )
dl 2 = a.
sin(α 2 + θ 2 )
sin 2 (α 2 + θ )
Analisando a Figura 4.8 tem-se a Eq. 4.38 dada por:
a cos(ψ 2 − α 2 ) = e2
Eq. 4.38
Onde e1 é o espaçamento entre descontinuidades.
Rearranjando a Eq. 4.38, tem-se a Eq. 4.39 dada por:

ψ 2 =  arccos

e2 
 + α2
a
Eq. 4.39
Utilizando a lei dos senos e as devidas substituições tem-se a Eq. 4.40, dada
por:
θ2 =
90.α 2
ψ2
− 90 + ψ 2
Eq. 4.40
Dessa forma, determina-se a força da parte esquerda do bloco rochoso, PL2,
que é dada pela Eq. 4.41:
73
PL 2 = H 02 ⋅
( K s 2 cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(α 2 − φ 2 )
K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Eq. 4.41
Onde:
H 02 =
N2
cos(α 2 − θ )
Substituindo as Eq. 4.34 e 4.41 na Eq. 4.33, tem-se a Eq. 4.42, que é a força
mínima que o fluido de perfuração deve exercer sobre a parede do poço para mantê-lo
estável.
PL =
( K cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(α 1 − φ1 )
( K cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(α 2 − φ 2 )
N1
N2
⋅ s1
+
⋅ s2
cos(α 1 + θ ) K S1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1 cos(α 2 − θ ) K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Eq. 4.42
Sendo assim, o próximo procedimento é determinar em termos de tensão a Eq.
4.36 para o posterior cálculo da massa específica do fluido de perfuração.
Na Figura 4.9 nota-se que a força PL está agindo numa superfície de
comprimento AB, cuja equação deste comprimento é dada por:
AB =
π .a.(θ 1 + θ 2 )
180
Eq. 4.43
Figura 4.9– Representação da força PL agindo sob uma superfície de comprimento AB.
74
Analogamente, na Figura 4.10, nota-se que as componentes da força normal,
N1 e N2 estão agindo numa superfície de comprimento z1 e z2. Utilizando a lei dos
senos no triângulo ACD e BCD tem-se as Eqs. 4.44 e 4.45, respectivamente dadas por:
z1 = a.
sin θ 1
sin α 1
Eq. 4.44
z 2 = a.
sin θ 2
sin α 2
Eq. 4.45
Figura 4.10– Representação das componentes da força normal, N1 e N2 agindo sob uma
superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente.
Considerando que a força PL da Figura 4.10 esteja agindo numa superfície de
comprimento AB e de largura unitária e que as componentes de força normal, N1 e N2,
estejam agindo numa superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente e de largura
unitária, fazendo as substituições necessárias tem-se a Eq. 4.46 a seguir que é a equação
em termos de tensão para estabilidade do poço, ou seja, é a pressão mínima necessária
na parede do poço para que a mesma permaneça estável geotecnicamente.
∆PL =
( K cos 2 α 1 + K n1 ⋅ sin 2 α 1 ). sin(α 1 − φ1 ) z 2
( K cos 2 α 2 + K n 2 ⋅ sin 2 α 2 ). sin(α 2 − φ 2 )
z1
N1
N2
⋅ s1
+
⋅ s2
AB cos(α 1 + θ ) K S 1 ⋅ cos α 1 ⋅ cos φ1 + K n 1 ⋅ senα 1 ⋅ senφ1
AB cos(α 2 − θ ) K S 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos φ 2 + K n 2 ⋅ senα 2 ⋅ senφ
Eq. 4.46
75
4.2 – TENSÃO MÁXIMA NA PAREDE DO POÇO - LIMITE SUPERIOR
DA MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO DE PERFURAÇÃO
Para a análise da janela operacional, como foi citado anteriormente é
necessário saber o limite inferior da massa específica e o limite superior da massa
específica do fluido de perfuração.
Sendo assim, um procedimento de cálculo do limite superior do fluido de
perfuração é proposto neste presente trabalho a fim de se obter uma base teórica através
de procedimentos analíticos para cálculo da tensão máxima admissível na parede do
poço.
Das Equações de Kirsch, descritas no Capítulo 2 e demonstradas no Anexo I,
fazendo r=a nas Eq. 2.1, 2.2 e 2.3, tem-se a Eqs. 4.47, dadas por:
σ θ = σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ]
Eq. 4.47
Para o caso da inserção de uma pressão interna, que no caso de um poço de
petróleo é a pressão exercida pelo fluido de perfuração, ∆P, a Eq. 4.47 torna-se a
Eq. 4.48, dada por:
σ θ = {σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ]} − ∆P
Eq. 4.48
Para se obter o limite superior da massa específica do fluido de perfuração
deve-se ter a pressão máxima na qual a parede do poço ainda esteja estável
geotecnicamente.
Fazendo as devidas transformações de acordo com os eixos
mostrados na Figura 4.11, a componente de tensão na direção é dada pela Eq. 4.49:
σn =
∆P + σ θ ∆P − σ θ
+
cos 2.β
2
2
Eq. 4.49
76
Figura 4.11 – Variação da componente de tensão principal em um plano de
inclinação θ devido à descontinuidade ao redor de um poço.
Considerando que para qualquer esforço de tração a parede do poço se torne
instável, então é necessário que o mesmo seja nulo. Sendo assim, rearranjando a
Eq. 4.49 tem a Eq. 4.50 dada por:
1
.[(σ θ + ∆P) − (σ θ − ∆P) cos 2.β ] = 0
2
Eq. 4.50
Substituindo a Eq. 4.48 na Eq. 4.50 têm-se as Eqs. 4.51 dadas por:
1
1
.σ θ + ∆P = (σ θ − ∆P ) cos 2.β
2
2
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] − ∆P + ∆P = {σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] − ∆P − ∆P}cos 2.β
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] = {σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] − ∆P − ∆P}cos 2.β
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] = {σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] − 2∆P}cos 2.β
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ] = σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ]cos 2.β − 2∆P cos 2.β
2∆P cos 2.β = σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ]cos 2.β − σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ]
2∆P cos 2.β = σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ].(cos 2.β − 1)
∆P =
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ].(cos 2.β − 1)
2 cos 2.β
77
∆P =
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ].(cos 2.β − 1)
2 cos 2.β
Eqs. 4.51
Rearranjando a Eq. 4.51 tem-se a Eq. 4.52 dada por:
σ h [(1 + κ ) + 2(1 − κ ). cos 2θ ].( sen 2 β )
∆P =
cos 2.β
Eq. 4.52
Pela Eq. 4.52 tem-se a pressão máxima do fluido de perfuração com o qual a
parede do poço ainda se encontra estável. Para uma massa específica do fluido de
perfuração que ocasione uma pressão superior a ∆P, poderão ocorrer tensões de tração
no poço, ocorrendo alargamento do mesmo e podendo ocorrer até perda de circulação
do poço.
Serão apresentados a seguir, no Capítulo 5, a fundamentação teórica do
Método dos Elementos Discretos, conhecido como MED, o qual foi utilizado neste
presente trabalho,o software UDEC para analisar a estabilidade de poços de petróleo em
meios fraturados.
78
CAPÍTULO 5
5 – MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS E O SOFTWARE UDEC
Sendo o maciço rochoso fraturado, composto por blocos isolados com
deslocamentos independentes que não podem ser modelados satisfatoriamente através
de técnicas clássicas para meios contínuos, foi desenvolvido um método para estudar
este tipo de meio, conhecido como Método dos Elementos Discretos (MED).
Neste presente trabalho foi analisada computacionalmente a estabilidade de
poços de petróleo em rochas carbonáticas intensamente fraturadas através do código
bidimensional de elementos discretos UDEC, versão 1.83 (de 1993), desenvolvido pelo
Itasca Consulting Group, Minneapolis/EUA (Itasca, 1993).
O Método dos Elementos Discretos (MED) é uma técnica computacional
especialmente formulada para a modelagem de problemas de mecânica de meios
rochosos fraturados. Cada bloco é tratado como um elemento discreto. Os vários blocos,
ou elementos discretos, componentes da massa rochosa, interagem por contato através
de suas interfaces. Essas, por sua vez, simulam as descontinuidades rochosas naturais,
com suas respectivas relações constitutivas. Internamente, os blocos de rocha intacta
podem ser ou rígidos ou deformáveis, e rotações dos blocos são permitidos. No caso de
blocos deformáveis, estes podem ser discretizados por diferenças finitas, podendo ser
tratados como elásticos ou elastoplásticos.
O MED pode ser entendido como uma generalização das técnicas numéricas de
meios contínuos, na qual cada bloco representa um problema unitário, em cujos limites
externos (as interfaces representando as descontinuidades rochosas) tem condições de
contorno por contato. Essas são expressas nas forças de interação com os blocos
vizinhos, que são estabelecidas em conformidade com as relações constitutivas
prescritas para as descontinuidades. (Figura 5.1)
79
Figura 5.1 – Ciclo de Cálculo dos Elementos Discretos (Alvarenga 1997).
No seu atual estágio de desenvolvimento, o MED incorpora a possibilidade de
modelar problemas 3D, dinâmicos, com acoplamento termo-hidro-mecânico em
regimes transiente ou permanente. A versão do UDEC utilizada neste trabalho é 2D e
admite todos os acoplamentos citados. Há, todavia, a limitação do fluxo monofásico.
Um aspecto distintivo, importante do MED e do UDEC é a utilização de um
algoritmo iterativo de solução das equações de movimento discretas, dito Relaxação
Dinâmica (RD). No MED, as equações de movimento criticamente amortecidas são
integradas explicitamente no tempo, para todos os graus de liberdade, na busca de uma
solução de regime permanente. A utilização desse algoritmo iterativo explícito, de
solução transiente, para se obter soluções em regime permanente, tem profundas
implicações não só na compreensão das respostas fornecidas pelo código, mas,
principalmente, na maneira de operá-lo para se obter respostas fisicamente significativas
(Figura 5.2).
80
Figura 5.2 – Ciclo de Cálculo da Relaxação Dinâmica (Alvarenga 1997).
A relação das forças no MED é realizada nos contatos entre blocos ou elementos
discretos. Desta maneira o primeiro passo é determinar os contatos existentes.
São avaliados no UDEC modelos constitutivos para os blocos e as
descontinuidades utilizando os seguintes critérios: critério de ruptura de Mohr Coulomb,
critério de ruptura de Drucker-Prager, modelo de ruptura por deslizamento de Coulomb
e Modelo da deformação contínua da junta.
O UDEC tem a capacidade de assumir análises mecânico-hidráulica
completamente acoplada em que análise da condutividade da fratura é dependente da
deformação mecânica da abertura da fratura. Por sua vez, o comportamento mecânico
de fratura é afetado pela pressão do fluido na mesma.
81
5.1 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DISCRETO
O Método dos Elementos Discretos – MED é similar ao método dos elementos
finitos em que o domínio do problema é dividido em um sistema de elementos sólidos
(blocos). A principal diferença entre os métodos é que o MED também permite definir a
geometria dos blocos através das definições dos espaçamentos e orientações das
descontinuidades no maciço rochoso e assim permitindo que os blocos interajam com os
blocos vizinhos. O elemento discreto inclue não somente a representação da teoria do
contínuo para blocos como também leis de força-deslocamento e lei de movimento.
O maciço rochoso é representado no MED como uma união de blocos
discretos. As juntas são vistas como interfaces entre os corpos discretos. As forças de
contato e os deslocamentos nas interfaces de um conjunto de blocos são encontrados
através de uma série de cálculos que definem os movimentos dos blocos. Movimentos
são resultantes da propagação através do sistema de blocos por um distúrbio aplicado no
limite entre os blocos. Sendo assim, o que ocorre é um processo dinâmico em que a
velocidade de propagação é função das propriedades físicas do sistema discreto.
No MED o intervalo de tempo deve ser suficientemente pequeno porque
durante um intervalo, distúrbios não podem propagar em um elemento discreto no
modelo além daqueles elementos imediatamente próximos. Este esquema de solução é
idêntico ao usado pelo método de diferenças finitas para análises numéricas de meios
contínuos. Para blocos rígidos, a massa do bloco e a rigidez entre os blocos definem a
limitação do intervalo de tempo; para blocos deformáveis, a rigidez do sistema inclue
contribuição da rocha intacta e dos contatos.
O cálculo executado no MED alterna entre leis de força-deslocamento nos
contatos e Segunda Lei de Newton de movimento dos blocos. A lei força-deslocamento
é usada para encontrar forças a partir dos deslocamentos. Pela Segunda Lei de Newton a
resultante das forças que agem num corpo é igual à taxa de variação do momento linear
(quantidade de movimento) do mesmo. Dessa forma da Segunda Lei de Newton através
do movimento é possível determinar a força que age no bloco. Se os blocos são
deformáveis, movimentos são calculados nos “nós” dos elementos de deformação finita
dentro dos blocos. A Figura 5.3 mostra esquematicamente o ciclo de cálculo para o
MED.
82
INÍCIO DO CICLO
¤
LEIS CONSTITUTIVAS
CONTATOS
Fn
Fs
∆us
Fs = Fs − ks.∆u s
Fn = Fn − ks.∆u n
∆un
BLOCOS RÍGIDOS
BLOCOS DEFORMÁVEIS
LEIS DE MOVIMENTO
Elemento
“Nó”
Nos elementos
•
 •
1  d u j d ui
∆ε i j = 
+
ε  dx j dxi

σ i j = C (σ i j , ∆ε ij ,...)
Nos “Nós”
No Centróide
Fi
=
M
=
c
∑
Fi
n
∑
x i .F
i
i=1
e
•
F j = ∫ σ i j n j ds
u = Fi / M
••
θ = M
e
/ I
c
Fj = Fj + Fj
.
••
.
.


.∆t


t = t + ∆t
VOLTA AO INÍCIO DO CICLO
¤
u = Fi / M
.
.
Figura 5.3 – Ciclo básico de cálculo para o método do elemento discreto
(Adaptado Hart 1993).
83
Na Figura 5.3 pode ser visto um ciclo básico de cálculo para o método do
elemento discreto, onde: nos contatos: Fn e Fs é força normal e cisalhante, ∆un e ∆us é o
aumento do deslocamento normal e cisalhante, kn e ks é a rigidez normal e cisalhante e
c
µ é o coeficiente de atrito. Nos blocos rígidos: Fi é o vetor força do bloco, Fi é o vetor
••
força contato, I é o momento de inércia, u é a aceleração translacional, xi é o vetor
••
posição e θ é a aceleração angular. Nos blocos deformáveis, C é a forma funcional da
e
c
•
lei constitutiva, Fi vetor força no “nó” Fi é o vetor força contato, u é o vetor velocidade
no “nó”, ∆εij aumento de deformação do elemento e σij é o tensor de tensões do
elemento.
5.2 – PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO EXPLÍCITA
O MED é baseado em um procedimento de solução explícita. “Explícito”
refere-se à natureza das equações algébricas usadas na simulação numérica do sistema
físico. No método explícito, todas as equações de um lado da equação são conhecidas, e
cada equação é avaliada simplesmente para produzir o resultado no outro lado da
equação. As formulações explícitas diferem das formulações implícitas, onde as
quantidades desconhecidas existem em ambos os lados da equação; as formulações
implícitas requerem a solução de equações simultâneas por alguma técnica tais como
eliminação transposta ou eliminação de Gauss.
A formulação explícita considera um tempo finito para a informação propagar
através de um sistema dos blocos. A interdependência de variáveis sobre um intervalo
de tempo pode ser negligenciada se o intervalo do tempo for pequeno bastante e assim a
informação passa entre os blocos vizinhos em uma velocidade menor do que
fisicamente possível. Ou seja, o procedimento numérico é estável quando as equações
de movimento para todos os blocos se tornam desacopladas, selecionando um intervalo
do tempo entre intervalos subseqüentes da integração que seja menor do que àqueles
requeridos para que os blocos adjacentes se comuniquem fisicamente. O intervalo de
tempo pequeno é a principal desvantagem do método explícito. A determinação do
84
intervalo de tempo requerido é baseada nas massas e nas rigidezes dos blocos
envolvidos no problema. Uma vantagem do método explícito é que, grandes
deslocamentos e o comportamento não-linear ou não-elástico são possíveis sem nenhum
esforço computacional adicional.
5.3 – REPRESENTAÇÃO DA JUNTA DA ROCHA NO UDEC
As juntas são representadas numericamente como superfícies de contato
formadas na interface entre dois blocos (Figura 5.4). Em geral, para cada interface entre
dois blocos são criados elementos para representar os pontos de contato. No UDEC,
blocos adjacentes podem ter contato ao longo de um segmento limitante ou em pontos
discretos. Para blocos rígidos, é criado um contato no UDEC em cada extremidade do
bloco interagindo com uma extremidade ou limite de outro bloco. (Figura 5.4). Se os
blocos forem deformáveis, contatos entre pontos são criados em todos os “nós” no
limite entre os blocos.
Figura 5.4 – Contatos entre blocos no UDEC (Adaptado Hart 1993).
Para o modelamento exposto acima e na Figura 5.4 supõe-se que as
extremidades dos blocos têm resistência infinita.
Na realidade, o esmagamento das extremidades dos blocos ocorreria como um
resultado da concentração de tensões. Modelagem explícita deste efeito é impraticável.
Entretanto, uma representação realista pode ser realizada arredondando-se as
extremidades de modo que os blocos podem deslizar um sobre o outro quando duas
85
extremidades opostas interagem. Arredondamento das extremidades é utilizado no
UDEC especificando um arco para cada extremidade do bloco. O arco é definido pela
distância do ápice do ponto de tangência com os limites adjacentes. (Figura 5.5).
No UDEC, o ponto de contato entre uma extremidade e o limite é modelado de
acordo com a Figura 5.5a. Se as duas extremidades estão em contato, o ponto de contato
é modelado de acordo com a Figura 5.5b.
(a)
(b)
Figura 5.5 - Definição dos contatos no UDEC – (a)Contato limite extremidade arredondado
(b) Interação extremidade-extremidade (Adaptado Hart 1993).
86
Extremidades arredondadas são aplicadas no UDEC somente para cálculos
mecânicos. Para todos os outros cálculos e propriedades o UDEC baseia-se no bloco
inteiro. O uso das extremidades arredondadas pode resultar em soluções erradas se o
arredondamento for
muito extenso. Se o arredondamento
for
mantido em
aproximadamente 1% do comprimento do limite do bloco representado então obtém-se
um bom resultado (Hart 1993).
Pontos de contato no UDEC são atualizados automaticamente quando o bloco se
move. Os algoritmos para realizar esta atualização são eficientes, particularmente em
análises dinâmicas, em que grandes deslocamentos podem ocorrer requerendo exclusão e
adição de centenas de contatos durante a simulação dinâmica. UDEC tem a vantagem de
uma rede de “domínios” criados pela junção de blocos em duas dimensões. Domínios são
as regiões do espaço entre blocos que são definidos pelos pontos de contato (Figura 5.6).
Durante um certo intervalo de tempo, novos contatos podem ser formados somente com
as extremidades e os limites dentro de um mesmo domínio, dessa forma atualizações
podem ser executadas sempre que alguma medida prescrita de movimento é alcançada
dentro do domínio.
Figura 5.6 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (Adaptado Hart 1993).
87
5.4 – COMPORTAMENTO DAS JUNTAS
Numericamente, uma junta é um tipo de contato especial que é classificado
como um contato limite entre dois blocos em duas dimensões. No UDEC, uma junta é
reconhecida quando um domínio é definido pelo contato de dois pontos. Aumentos de
deslocamentos normais e cisalhantes são calculados para cada ponto de contato e
associado a um comprimento. (comprimentos L1, L2 e L3 na Figura 5.6). No UDEC,
cálculos de força-deslocamento são feitos para cada ponto de contato e associados à
área.
UDEC usa a mesma relação de comportamento da junta que descreve a
resposta mecânica na interface, sendo que na direção normal, a relação forçadeslocamento é suposta linear (Eq. 5.1) e governada pela rigidez kn tal que:
Fn = k n .u n
Eq. 5.1
onde Fn é a força normal efetiva e un é o deslocamento normal.
Em muitas aplicações, a tensão que pode ocorrer entre blocos é limitada. Se o
limite de tensão for excedido, a interface é rompida e os valores de tensão limite e de
coesão são restaurados a um valor inicial igual a zero. As forças cisalhantes e normais
são ajustadas também a zero quando o limite de tensão for excedido. Além dos pontos
de contato especificados por relações de força-deslocamento, os contatos da borda são
importantes fisicamente porque correspondem ao exemplo de uma descontinuidade
fechada ao longo de toda a sua área. Para tais casos, as expressões precedentes são
escritas nos termos de tensão e as áreas de descontinuidades representativas devem ser
levadas em conta. O aumento de forças cisalhantes é proporcional ao aumento de
deslocamentos relativos - Eq. 5.2:
∆Fs = k s .∆u s
Eq. 5.2
onde ∆Fs é o incremento da força cisalhante; ks rigidez cisalhante e ∆us é o
incremento do deslocamento cisalhante.
A força máxima é limitada de acordo com o critério de Mohr Coulomb – Eq.
5.3:
88
Fs ≤ c + Fn . tan(φ + i )
Eq. 5.3
onde: c é a coesão, φ é o ângulo de atrito da junta e i é o ângulo de dilatação.
Ruptura cisalhante plástica pode ocorrer quando a força cisalhante alcançar o
valor máximo.
Uma melhor compreensão do modelo de enfraquecimento por deslocamento é
possível através do UDEC onde o modelo de deformação continuada da junta (Cundall
e Lemos 1990) é proposto à mecânica intrínseca de dano progressivo na junta, sob
cisalhamento. O modelo de deformação continuada da junta pode ser mais apropriado
para análises dinâmicas do que o modelo de Coulomb porque ele fornece um
amortecimento contínuo da histerese para simulações dinâmicas.
5.5 – DEFORMABILIDADE DE BLOCOS
Como foi citado anteriormente no UDEC os blocos podem ser rígidos ou
deformáveis. A formulação básica para blocos rígidos é dada por Cundall et al. (1978).
Esta formulação representa o meio como um conjunto de blocos discretos que não
mudam sua geometria em conseqüência do carregamento aplicado. Conseqüentemente,
a formulação é mais aplicável aos problemas em que o comportamento do sistema é
dominado por descontinuidades e onde as propriedades elásticas, ou seja, as
propriedades de deformação podem ser ignoradas. Tais circunstâncias resultam em
ambientes de baixas tensões e/ou onde o material possui resistência elevada e baixa
deformabilidade. Para muitas aplicações, a deformação de blocos individuais não pode
ser ignorada, isto é, os blocos não podem ser considerados rígidos. Duas aproximações
foram desenvolvidas. Em uma aproximação, denominada “simplesmente deformável”,
para cada bloco são permitidos três graus de liberdade a eles deformam-se internamente.
Na segunda aproximação, denominada “totalmente deformável”, a deformação dos
blocos é permitida com a discretização interna dos blocos através de zonas de diferenças
finitas, Figura 5.7. Os algoritmos “simplesmente deformável” e “totalmente
deformável” são usados no UDEC e descritos por Cundall et al. (1978).
89
(a)
(b)
Figura 5.7 – Modelagem de um poço (a) Elementos discretos – blocos
(b) Zoneamento dentro dos blocos (Adaptado Hart 1993).
Os blocos inteiramente deformáveis são discretizados internamente em
triângulos de diferenças finitas. Os vértices destes triângulos são os “nós”, e as equações
do movimento para cada “nó” são formuladas pela Eq. 5.4:
∫σ
ui =
ij
.n j .ds + Fi
s
+ gi
m
Eq. 5.4
Onde: s é a superfície;
Fi é a resultante de todas as forças externas aplicadas no “nó”;
gi é a soma de todas as forças que agem no corpo (gravidade, etc).
Durante cada intervalo de tempo, deformações e rotações são relacionadas nos
deslocamentos nodais de acordo com as Eqs. 5.5 e 5.6:
•
1
2
•
•
•
1
2
•
•
ε ij = .(u i , j + u j ,i )
θ ij = .(u i , j − u j ,i )
Eq. 5.5
Eq. 5.6
90
Observa-se que, devido ao tratamento incremental, não há uma limitação às
pequenas tensões. As relações constitutivas para blocos deformáveis são usadas em um
de modo que a execução de problemas não linear possa ser realizada facilmente.
(Eq. 5.7)
e
∆τ i j = λ .∆ε v δ ij + 2.µ .∆ε ij
Eq. 5.7
Onde: λ e µ são constantes de Lamè;
e
∆τ i j é o incremento do tensor de tensões;
∆ε ij é o aumento da deformação;
∆ε v = ∆ε 11 + ∆ε 22 é o aumento da deformação volumétrica
δ ij é o delta de Kronecker´s.
Os modelos de resistência não lineares e de resistência “pós pico” são
incorporados no código de uma maneira direta, sem recorrer a mecanismos como
rigidezes equivalentes ou às tensões iniciais, que necessitam ser introduzidas em
programas de matriz orientados para preservar a linearidade requerida pela formulação
da matriz.
Em um programa explícito, entretanto, o processo é muito mais simples, sendo
que após cada intervalo de tempo, sabe-se o estado da tensão de cada zona. A tensão é
definida excepcionalmente pelo modelo de tensão-deformação se for uma relação
linear-elástica ou por um modelo complexo se a relação for não linear e de resistência
pós-pico.
5.6 – AMORTECIMENTO NUMÉRICO
Para soluções estáticas, o amortecimento deve ser usado para dissipar a
energia de vibração a fim de que o sistema convirja a um estado constante, caso
contrário, o sistema oscilará indefinidamente. Duas formas de amortecimento são
avaliadas no UDEC: amortecimento de massa proporcional e amortecimento de rigidez
proporcional. Amortecimento de massa proporcional tem um efeito similar àquele em
91
que um conjunto de blocos é mergulhado em um fluido viscoso, isto é, que o
movimento absoluto relativo à estrutura de referência é amortecido. Amortecimento
proporcional da rigidez é fisicamente equivalente aos “freios” amortecedores através
dos contatos para amortecer o movimento relativo do bloco.
Este amortecimento através dos contatos ocorre na direção cisalhante e
normal. Para um sistema contínuo que dissipe a energia no deslizamento, a teoria não se
aplica, mas o amortecimento ainda ocorre e pode ser compreendido nos termos dos
efeitos físico de cada tipo de mecanismo de amortecimento. Um ou outro tipo de
amortecimento pode ser usado junto ou separado. Amortecimento de massa
proporcional é eficaz em reduzir o movimento de baixa freqüência. Amortecimento de
rigidez proporcional é mais eficaz em combater o ruído de alta freqüência dos blocos
individuais que se chocam com os vizinhos. Fisicamente, amortecimento proporcional
de massa pode ser considerado como um conjunto dos mecanismos de amortecedores
viscosos conectados ao centróide de cada bloco (Figura 5.8).
Figura 5.8 – Tipos de amortecimento (Adaptado Hart 1993).
O valor de λmin e fmin são parâmetros de entrada do UDEC. Para análises
estáticas, os valores foram frequentemente determinados ou usando uma simplificação
análoga do modelo, ou monitorando um pequeno funcionamento não amortecido de
modo que a forma dominante para o amortecimento possa ser identificado.
Uma
92
abordagem alternativa utilizando o UDEC é adaptar um esquema de amortecimento que
ajusta a constante de amortecimento de massa, α, automaticamente para as condições do
problema durante a solução. (Cundall 1982).
Para análises dinâmicas, o amortecimento deve tentar reproduzir a freqüênciaindependente de amortecimento de materiais naturais no nível correto. Para materiais
geológicos, esta é geralmente 2% a 5% do amortecimento crítico. As freqüências são
uma combinação das ondas que são introduzidas e dos modos naturais do sistema.
Os mecanismos amortecedores geram uma força que se opõe à velocidade do
bloco e que é proporcional à velocidade e à massa do mesmo. Eq. 5.8.
•
•
∂u F
=
− α .u+ g
∂t M
Eq. 5.8
onde α é a constante de amortecimento.
Uma nova equação com o tempo pode ser escrita da seguinte forma:
 ∆t 
• t+ 2 


u
 ∆t 
• t− 2 


−u
∆t
 •  t + ∆2t  •  t − ∆2t  
u   + u   
F
=
− α .
+g
2
M




Eq. 5.9
Note que o amortecimento da força na equação é centrada no tempo.
Rearranjando a Eq. 5.9 tem-se a Eq. 5.10:
 ∆t 
•  t+ 2 


u
 •  t − ∆2t 

u   .1 − α .∆t  +  F + g .∆t 

2  M

 

=
α .∆t
1+
2
Eq. 5.10
5.7 – MODELAMENTO ESPECÍFICO
Avanços em modelagem de meios descontínuos fizeram várias tentativas para
tentar construir melhores detalhes da estrutura geológica no modelo. Isto conduziu a um
dilema se o modelo tem um uso prático na engenharia. O modelo deve incluir muitos
detalhes geológicos, ou ele deve focalizar primeiramente na análise simplificada?
93
Os principais argumentos contra a primeira abordagem, segundo Hart 1993
são:
(i)
Dificuldades em ter dados suficientes para modelar os detalhes de
juntas da rocha;
(ii)
A compreensão dos resultados do modelo torna-se menos eficazes
quanto mais detalhes forem adicionados.
A dificuldade percebida na segunda abordagem é que os modelos podem se
tornar extremamente simplificados e resumidos, não caracterizando o comportamento
da estrutura geológica.
Como uma abordagem pode estar certa de que a característica crítica da
estrutura geológica está dentro das análises? Este dilema é o maior problema na análise
do elemento discreto no desenvolvimento de projetos de mecânica das rochas.
Pode ser discutido de modo que modelos incorporando maiores detalhes
geológicos podem ser desenvolvidos para uso prático se a capacidade do modelo em
simular alguns mecanismos físicos for restrita. Por exemplo, o movimento das juntas de
um meio descontínuo pode ser limitado apenas para deslocamentos cisalhantes, ou a
rocha intacta pode ser restrita para movimentos de blocos rígidos sem deformação
interna. Contornando as análises para certos mecanismos, modelos incluindo maiores
detalhes na geometria da estrutura da junta podem ser feitos e resolvidos.
Uma falha nestas abordagens descritas acima é que o modelo pode não incluir
os mecanismos dominantes do problema físico. Se algum dado importante do
movimento da junta ou deformação da rocha não está incluído no modelo, a resposta do
cálculo do modelo pode estar errada.
Um simples exemplo demonstra que pode resultar em um comportamento
errôneo se os mecanismos críticos são omitidos no modelo. Considerando uma análise
de um carregamento de uma rocha fraturada confinada. As condições do problema são
mostradas na Figura 5.9. A resposta lateral será uma função de uma relação do
coeficiente de Poisson escolhido para um maciço rochoso. A deformação é em função
da tensão de confinamento. A verdadeira influência do coeficiente de Poisson em um
maciço rochoso fraturado é crítica, sendo muito importante em sua modelagem
numérica.
94
Figura 5.9 – Modelos do efeito de Poisson em rochas com juntas
mergulhando em um ângulo θ com a horizontal e com
espaçamento S. (Adaptado Hart 1993).
O coeficiente de Poisson de uma massa rochosa é composto por duas partes:
(1) uma componente devido à junta, e (2) uma componente devido às propriedades
elásticas da rocha intacta. Exceto em pequenas profundidades ou valores baixos de
tensão confinamento, a compressibilidade da rocha intacta faz uma grande contribuição
para a compressibilidade de um maciço rochoso como um todo. Sendo assim, o
coeficiente de Poisson da rocha intacta tem um efeito significante no coeficiente de
Poisson da rocha fraturada.
Coeficiente de Poisson, ν, está estritamente definido somente para materiais
elásticos e isotrópicos. Entretanto, há somente alguns padrões de juntas que possuem
propriedades elásticas e isotrópicas para um maciço rochoso. Consequentemente é
conveniente definir um “Efeito de Poisson” que pode ser usado para se ter uma
compreensão do que pode ocorre com materiais anisotrópicos.
O efeito de Poisson é definido como uma relação de tensão horizontal e
vertical quando um carregamento é aplicado na direção horizontal e sem deformação.
Condições de deformação plana são assumidas. O efeito de Poisson para um material
elástico isotrópico é dado pela Eq. 5.11:
95
σ xx
ν
=
σ yy 1 − ν
Eq. 5.11
Se uma forma de deformação de um bloco da rocha intacta eram excluídos do
modelo (por exemplos os blocos rígidos), então a aplicação de uma tensão vertical não
produziriria tensão horizontal. Isto não retrata a realidade porque a tensão horizontal
produzida pelo coeficiente de Poisson da rocha intacta está sendo ignorada.
As tensões que agem na rocha intacta e na junta são idênticas. A deformação
total do maciço rochoso fraturado é a soma das deformações devido à compressibilidade
da rocha.
As propriedades elásticas do maciço rochoso como um todo podem ser pela
adição da matriz de conformidade da junta e da rocha intacta:
ε xx 
( rocha )
+ c ( junta )
ε  = c
 yy 
[
] σσ


 yy 
xx
Eq. 5.12
Se a rocha intacta fosse modelada como um material elástico linear, a matriz
de conformidade seria:
c ( rocha ) =
1 +ν
E
1 − ν
− ν

−ν 
1 − ν 
Eq. 5.13
onde E é o módulo de Young do material.
A matriz de conformidade para a junta dependerá do espaçamento e da
orientação do conjunto de juntas. Para o caso mostrado na Figura 5.9, a matriz de
conformidade de juntas mergulhando a 45º pode ser mostrada na Eq. 5.14:
c ( junta ) =
1
2.S .k n .k s
k s + k n
k − k
n
 s
ks − kn 
k s + k n 
Eq. 5.14
Então, o efeito de Poisson para o maciço rochoso como um todo é dado pela
Eq. 5.15:
kn − ks
E
2.S .k n .k s
=
[(1 + ν ) (1 − ν )] + k n + k s
E
2.S .k n .k s
ν (1 + ν )
σ xx
σ yy
+
Eq. 5.15
96
A Figura 5.10 é um gráfico da Eq. 5.15 para vários valores de E
valores baixos de E
S .k s
S .k s
. Para
o efeito do coeficiente de Poisson de um maciço rochoso é
dominado pelas propriedades da rocha intacta. E para valores altos de E
S .k s
, o efeito
do coeficiente de Poisson é dominado pelas juntas.
Figura 5.10 – Efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo
θ=45o e ν=0,2. (Adaptado Hart 1993).
A Figura 5.10 mostra a importância em modelar a mecânica do problema
corretamente. Neste exemplo, a não ser que E
S .k s
seja muito grande, detalhes
adicionais da estrutura da junta não acarretariam em erros de cálculo do efeito de
Poisson se o bloco fosse rígido. Entretanto, uma resposta física real pode ser calculada
se a deformação da junta e da rocha intacta forem modeladas.
Esta análise também demonstra a importância do uso de valores reais de
rigidez cisalhante da junta no método de elementos discretos. Na Figura 5.10, a relação
da rigidez cisalhante e normal afeta consideravelmente a resposta do efeito de Poisson
do maciço rochoso.
97
Foi demonstrado a considerável eficiência e o modo de cálculo do UDEC que
utiliza o método dos elementos discretos - MED para modelar rochas fraturadas,
consideradas como meios descontínuos. Para um modelamento mais realista dos
problemas envolvendo estabilidade em meios descontínuos, foi demonstrada também a
necessidade de se ter dados de características geológicas da rocha bem como das
descontinuidades sendo estes de grande importância para se obter uma análise mais
minuciosa e precisa do que ocorre no maciço rochoso.
Será apresentado a seguir, no Capítulo 6, o modelamento computacional
através do código bidimensional de elementos discretos UDEC para poços em rochas
fraturadas. Esta é uma modelagem da estabilidade de um poço real da Bacia de Campos.
Os dados e parâmetros utilizados neste trabalho são definidos e demonstrados bem
como os resultados destas análises em diversas situações prováveis de campo.
98
CAPÍTULO 6
6 – MODELAGEM COMPUTACIONAL DA ESTABILIDADE DE POÇOS
EM ROCHAS FRATURADAS
Dentre os estudos feitos neste presente trabalho está a análise computacional
da estabilidade de rochas fraturadas . O principal objetivo desta análise é, dentre outros,
o uso dos resultados gerados computacionalmente como uma forma de comparação e
posterior validação das soluções analíticas aqui propostas. Os modelos computacionais
a serem apresentados foram elaborados com o código bidimensional de elementos
discretos UDEC, versão 1.83, desenvolvido pelo Itasca Consulting Group,
Minneapolis/EUA (Itasca, 1993), que teve a sua fundamentação teórica descrita no
Capítulo 5, para avaliar as condições de estabilidade de poços em rochas carbonáticas
intensamente fraturadas.
Figueiredo et al 2006 analisaram vários cenários representativos de um poço
de petróleo denominado Poço “B”, da Bacia de Campos, cujas características foram
fornecidas pela PETROBRAS (Henriques, 2005). O estudo visou estabelecer os
principais mecanismos de instabilização de poços em rochas carbonáticas intensamente
fraturadas, salientar os aspectos dos mesmos relacionados à condição de fraturamento
do meio e fornecer uma faixa de valores aceitável de massa específica do fluido de
perfuração, conhecida como “janela operacional” que poderia ser adotada no Poço “B”.
Foram feitas análises com a condição de fluido não penetrante no qual o
cálculo é exclusivamente mecânico e fluxo não acoplado pelas fraturas; e a outra
condição foi a de fluido penetrante, no qual o cálculo é hidromecânico e fluxo acoplado
pelas fraturas.
Neste presente trabalho, além de apresentar os principais resultados obtidos
por Figueiredo et al 2006, foram executadas análises computacionais adicionais no
software UDEC para uma maior abrangência de resultados em diversas condições
geomecânicas e geométricas do denominado Poço “B”.
99
6.1 – PRECEDENTES PARA A MODELAGEM COMPUTACIONAL
6.1.1 – DADOS DO POÇO
Inicialmente foi analisado um poço (representativo do Poço “B”) a uma
profundidade total de 4800 m, sendo 1200 m de lâmina d'água e 3600 m abaixo do
fundo do mar. O diâmetro nominal de perfuração foi de 81/2'' (21.59 cm).
A massa específica do fluido de perfuração foi um parâmetro para iniciar a
análise, cujos valores utilizados estão na Tabela 6.1
Tabela 6.1 – Massa específica do fluido de perfuração (Figueiredo et al 2006).
Massa específica (ρf)
g/cm3
lb/gal
1.1
9.18
1.2
10.01
1.35
11.26
1.5
12.51
1.7
14.18
1.85
15.43
6.1.2 – TENSÕES IN SITU
A tensão vertical efetiva in situ, σ V , foi deduzida das informações contidas
em Henriques (2005),dadas pela Eq. 6.1:
σ V = γ ( z − hw ) − γ w ( z − hw ) = (γ − γ w )( z − hw ) = γ sub ( z − hw )
Eq. 6.1
Onde: γ é o peso específico médio das rochas (0.027 MN/m3);
100
γw é o peso específico da água (0.01MN/m3);
γsub é o peso específico submerso das rochas ( γ − γ w = 0.017 MN/m3);
z é a profundidade total (4800 m) e
hw é a espessura da lâmina d'água (1200 m).
Sendo assim: σ V = 61.3 MPa
A mínima tensão horizontal efetiva in situ, σ h , será mantida fixa. Seu valor
foi calculado, conforme Henriques (2005), a partir da Eq. 6.2 dada por:
 υ 
σ V
1−υ 
σh = 
Eq. 6.2
Onde υ é o coeficiente de Poisson (igual a 0.3 − ver subitem 6.1.3).
Sendo assim: σ h = 26.3 MPa
A componente de tensão horizontal máxima, σ H , foi considerada um
parâmetro. O valor da sua razão para com a tensão horizontal mínima, K = σ H / σ h , foi
variado de acordo com a Tabela 6.2.
Tabela 6.2 - Razões entre as tensões horizontais in situ. (Figueiredo et al 2006).
K
σ H (MPa)
1.0
26.3
1.2
31.6
1.3
34.2
1.5
39.5
1.6
42.1
Henriques (2005) propôs K = 1.3. Todavia, alguns resultados para outros
valores de K já haviam sido obtidos e estão igualmente disponíveis. Neste trabalho,
entretanto, para não estender a descrição das análises, serão enfatizados os resultados
para K = 1.3.
101
6.1.3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DA ROCHA INTACTA
Seguindo Santarelli et al. (1992), admitiu-se nos modelos computacionais que
a rocha intacta é um material linear elástico isotrópico. As propriedades médias de
deformabilidade, para tanto, foram fornecidas por Henriques (2005) sendo:
-
Módulo de Young ⇒ E = 3.88 x 106 psi = 26.75 GPa;
-
Coeficiente de Poisson ⇒ υ = 0.3.
Mesmo sendo a rocha intacta considerada elástica, as suas propriedades de
resistência também foram utilizadas nos modelos computacionais, para o cálculo de
Fatores de Segurança (FS) pontuais. No UDEC o procedimento de determinação do
fator de segurança procede de acordo com a Eq. 6.3 dada por:
FS=Rr/Re
Eq. 6.3
Onde:
Re é o raio do círculo de Mohr de um ponto qualquer do meio, obtido a partir
da distribuição elástica das tensões;
Rr é o raio de um círculo de Mohr hipotético que, para o mesmo ponto,
tangencia a envoltória de resistência mantendo-se fixa a tensão principal menor.
Pontos com FS < 1 (Re > Rr) são aqueles susceptíveis à ruptura da rocha
intacta, pois apresentam estados de tensão cujos círculos de Mohr elásticos são
inadmissíveis.
Henriques (2005) indica que a Resistência à Compressão Uniaxial (σc) média
das rochas carbonáticas é dado por σc = 19185 psi = 132.3 MPa.
Para se estimar os parâmetros de resistência de Mohr-Coulomb, a serem
utilizados no cálculo dos FS, utilizou-se a seguinte a Eq. 6.4 dada por:
σc =
2c cos φ
1 − sen φ
Eq. 6.4
Onde c é a Coesão e φ é o Ângulo de Atrito.
102
Adotando-se um φ = 35o para rochas carbonáticas (Goodman, 1989), pode-se
calcular, a partir da Eq. (6.4), c = 34.44 MPa. Além disso, foi assumida uma Resistência
à Tração de um décimo da Resistência à Compressão, ou seja, σt = 0.1σc = 13.23 MPa.
6.1.4 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS DESCONTINUIDADES
Para as descontinuidades, utilizou-se também um critério de resistência de
Mohr-Coulomb com os seguintes parâmetros estimados:
-
Ângulo de Atrito das Descontinuidades ⇒ φj = 30o (conforme Tabela 1 de
Barton & Choubey, 1977);
-
Coesão das Descontinuidades ⇒ cj = 0;
-
Resistência à Tração das Descontinuidades ⇒ σtj = 0;
-
Ângulo de Dilatância das Descontinuidades ⇒ ψj = 0.
É importante salientar que enquanto os blocos têm o comportamento
considerado elástico, as descontinuidades apresentam um comportamento elastoplástico.
Com relação às propriedades de deformabilidade, admitiu-se que as rigidezes
normal (kn) e cisalhante (ks) são ambas constantes, isto é, independentes do nível de
tensão normal atuante sobre a descontinuidade e da escala da mesma. Para os níveis de
tensão esperados no entorno do Poço B à profundidade de 4800 m, da ordem de 70
MPa, e para a escala dos blocos rochosos a serem modelados (1 a 4 cm − subitem 6.1.6,
na seqüência). Bandis et al (1983) sugere que ks ≈ 1 x 105 MPa/m e uma relação kn / ks ≈
10. Assim, foram adotados os seguintes valores:
-
ks = 1 x 105 MPa/m e kn = 1 x 106 MPa/m (valores que coincidem com os
adotados por Santarelli et al., 1992).
6.1.5 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS E REGIMES DE FLUXO
A condutividade hidráulica, k, de uma fratura, em regime laminar, é dada pela
Eq. 6.5, de autoria de Vargas Jr., 1982; Harper & Last, 1989:
103
k=
f 2γ f
12µ f
Eq. 6.5
Onde: f é a abertura da fratura;
γf é o peso específico do fluido e
µf é a sua viscosidade dinâmica.
Segundo Figueiredo et al 2006, a abertura f irá variar com o fechamento da
fratura, acoplando integralmente, a partir daí os problemas hidráulicos e mecânico. O
UDEC utiliza as aberturas sob tensão normal nula, f0, residual em altas tensões, fres, e
máxima, fmax, para controle dessa variação.
Para se estimar f0 levou-se em conta, primeiramente, que o fechamento total
máximo das descontinuidades, notado nas análises envolvendo cálculos puramente
mecânicos, ou seja, sem fluxo, foi da ordem de 5 x 10-5 m. Portanto, o valor selecionado
para f0 deverá ser compatível com o mesmo. Utilizou-se, para uma verificação da
pertinência de tal valor, uma expressão empírica proposta em Barton et al. 1986,
Eq. 6.6, dada por:
f0 =
JRC
JCS
( 0 .2
− 0.1)
σc
5
Eq. 6.6
Onde: JRC é o Coeficiente de Rugosidade da Junta (Barton & Choubey, 1977) e
JCS é a Resistência Compressiva da Junta (Barton & Choubey, 1977).
Para o nível de tensões esperado, a escala de fraturamento modelada
(espaçamentos de 1 a 4 cm − subitem 6.1.6, na seqüência) e na inexistência de qualquer
exposição intempérica pode-se assumir que JCS/σc ≈ 1 e JRC ≈ 2.5 são valores
razoáveis. Então, pela Eq. 6.6, f0 = 0.05 mm = 5 x 10-5 m, que coincide com o
fechamento total máximo supra-referido e foi, assim, o valor adotado. E considerou-se
também que fres ≈ 1 x 10-5 m.
Com relação à abertura máxima, optou-se por admiti-la igual a f0, uma vez que
as descontinuidades são não dilatantes e a adoção de valores de fmax muito maiores que
f0 tem também implicações em termos da eficiência do algoritmo iterativo de solução
104
(reduz a magnitude do passo de tempo da integração temporal, que é inversamente
proporcional à abertura). Assim, fmax = 5 x 10-5 m.
A Tabela 6.3, abaixo, resume os valores atribuídos às aberturas hidráulicas.
Tabela 6.3 - Aberturas hidráulicas (Figueiredo et al 2006).
Aberturas hidráulicas
f0
0.05 mm
fres
0.01 mm
fmáx
0.05 mm
Seguindo Santarelli et al 1992, o fluido que poderá adentrar-se na rede de
fraturas será a água. Considerando-se que à profundidade em questão (3600 m abaixo
do fundo do mar) haverá um substancial acréscimo da temperatura crustal, decorrente
do gradiente geotérmico local, as propriedades relevantes à determinação da
condutividade hidráulica deverão levar em conta tal fato.
Considerou-se que o gradiente geotérmico local seja aproximadamente
0.024 oC/m (o mesmo varia entre 0.02 e 0.03 oC/m − Turcotte & Schubert, 2002).
Assim, o acréscimo de temperatura será de ≈ 70 oC. A essa temperatura as propriedades
da água são, de acordo com Bastos 1983:
- Peso específico ⇒ γf = 977.8 Kg/m3;
- Viscosidade dinâmica ⇒ µf = 0.407 cP = 4.07 x 10-4 Pa.s.
Ainda há a necessidade de se fornecer o valor do módulo volumétrico (inverso
da compressibilidade), que relaciona a geração de pressão à variação de volume do
mesmo. A 70 oC o mesmo será de acordo com Bastos 1983
- Kf = 2196.69 ≈ 2200 MPa.
O UDEC oferece ainda a possibilidade de prescrição, na Eq. 6.5 de um
expoente para a abertura hidráulica (diferente de dois). Tal opção poderia ser usada, por
exemplo, para melhor representar um possível fluxo em regime turbulento nas fraturas.
Nas análises aqui realizadas, o expoente dois foi mantido, modelando-se, portanto, o
fluxo como laminar.
105
Finalmente, deve-se ressaltar que o fluxo pode ser modelado tanto em regime
transiente como permanente. Assim como Santarelli et al. (1992), para facilitar e
simplificar foi adotado por Figueiredo et al 2006, apenas fluxo na condição de regime
permanente. Além disso, existem as alternativas de se admitir que o fluxo ocorra por
toda a rede de fraturas ou tão somente por aquelas fraturas que tenham sofrido algum
tipo de plastificação (por tração ou cisalhamento). Essa segunda possibilidade pretende
representar a existência de fraturas seladas hidraulicamente, as quais só se tornam
permeáveis, caso estejam plastificadas. As duas opções foram aqui modeladas.
6.1.6 – GEOMETRIAS DE FRATURAMENTO
As geometrias consideradas para análise estão esquematizadas nas Figuras 6.1
e 6.2 que ilustram os elementos geométricos e sua posição em relação às tensões
principais aplicadas aos modelos.
Figura 6.1 - Elementos geométricos do fraturamento em torno do poço. (Figueiredo et al 2006).
106
Figura 6.2 – Geometrias do fraturamento em torno do poço-(a) η1=45º; -(b) η1=30º; (c) η1=15º; -(d) η1=60º.
Na Tabela 6.4 estão representados os valores dos espaçamentos entre as
descontinuidades. Na Tabela 6.5 estão os mergulhos analisados para cada geometria
(assinalado com X) e na Tabela 6.6 os formatos dos blocos analisados para cada
geometria (assinalado com X).
Tabela 6.4 – Geometria dos blocos formados pelas descontinuidades (Figueiredo et al 2006).
e1(cm)
e2(cm)
Geometria 1
4
4
Geometria 2
4
2
Geometria 3
4
1
Tabela 6.5 - Mergulhos analisados por Geometria (Figueiredo et al 2006).
o
0
Geometria 1
X
Geometria 2
X
Geometria 3
15
o
X
η1
o
30
45o
X
X
X
X
60o
90o
X
X
X
107
Tabela 6.6 – Formato dos blocos para cada geometria
η2
η1+30º
η1+45º
Geometria 1
Geometria 2
η1+90º
X
X
X
Geometria 3
X
X
Para as Geometrias 1 e 2 (com exceção de η1 = 15o) foram analisados todos os
casos de tensões horizontais in situ mencionados na Tabela 6.2 e de massa específica do
fluido de perfuração mostrados na Tabela 6.1. Já para a Geometria 3, somente o caso de
tensão in situ com K = 1.6 foi considerado.
6.1.7 – LIMITES EXTERNOS E CONDIÇÕES DE CONTORNO
Segundo Figueiredo et al 2006, os limites externos do modelo foram locados
de modo a se ter um domínio quadrangular cujas dimensões correspondem a 5 vezes o
diâmetro do poço. Uma possibilidade adicional oferecida pelo UDEC, que pode ser útil
nesse sentido, é a transformação dos limites externos em uma malha de elementos de
contorno. Com isso tem-se um método numérico híbrido (Lorig et al., 1986), no qual o
domínio próximo ao poço é modelado por elementos discretos e o domínio remoto
infinito (far field) é modelado por elementos de contorno.
Segundo Santarelli et al 1992, os mergulhos das famílias de fraturas foram
mantidos mas seus espaçamentos duplicados, Figura 6.3. O objetivo dessa duplicação
dos espaçamentos foi, diminuindo o número de blocos do modelo, reduzir o tempo de
computação das análises.
As condições de contorno foram em termos de tensões efetivas, sendo aplicada
σ h , tensão horizontal mínima segundo a horizontal e σ H , tensão horizontal máxima
segundo a direção vertical, Figura 6.1. Adicionalmente, foram aplicadas as tensões
iniciais (in situ) a todo o domínio modelado. Um estado de equilíbrio inicial entre as
tensões no domínio e no contorno ("consolidação" dos blocos) foi então determinado,
108
antes da abertura do poço, com as propriedades de resistências das fraturas
artificialmente elevadas. Posteriormente, o poço foi aberto, as propriedades colocadas
nos seus valores reais e a sobre pressão do fluido de perfuração (diferença em relação à
pressão de poros na formação) aplicada no interior do poço, Figura 6.3. Esse tipo de
seqüência de modelagem é bastante usual no MED, mostrado no Capítulo 5 deste
presente trabalho.
Figura 6.3 - Limites externos do modelo e geometria de fraturamento (e1 = 4 cm;
e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 =135o). (Figueiredo et al 2006).
Nas análises hidromecânicas acrescentaram-se condições de contorno em termos
de poro-pressões. As mesmas são nulas nos limites externos. A seqüência de
modelagem é análoga. A lógica de fluxo acoplado do UDEC só é aplicada, no entanto,
na segunda etapa do processo, após a consolidação inicial e a abertura do poço.
6.1.8 – SEQUÊNCIA DE MODELAGEM E DISCRETIZAÇÃO
Nas análises realizadas neste presente trabalho, além da máxima força
desbalanceada e da velocidade, foram monitorados também o deslocamento de um
ponto da parede do poço, alinhado com a tensão horizontal máxima, e a velocidade de
outro ponto da parede, alinhado com a tensão horizontal mínima. Segundo Figueiredo et
109
al 2006, o comportamento desses dois últimos pontos auxilia na avaliação da
estabilidade do poço.
Um exemplo típico da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas,
pode ser visto na Fig. 6.4.
Figura 6.4 - Detalhe da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas no modelo
(e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o). (Figueiredo et al 2006)
6.2 – APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
6.2.1 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES IN SITU EM ROCHAS FRATURADAS
Como primeiro resultado importante deste estudo, é o efeito do fraturamento
sobre as tensões em torno de um poço. Santarelli et al. (1992) salientaram que a
existência das famílias de fraturas teria o efeito de reorientar as tensões principais in
situ, que se alinhariam paralelamente aos mergulhos das mesmas. Esse efeito valeria
conquanto as pressões do fluido de perfuração fossem bem menores que a mínima
compressão principal. Figueiredo et al 2006 e neste presente trabalho foi encontrada
tendência similar, mostrada na Figura 6.5, na qual representa uma condição com pressão
do fluido de perfuração nula.
110
η1
Figura 6.5 – Efeito da reorientação das tensões induzidas segundo as direções das
fraturas - Geometria 2; K = 1.5; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30°; η2 =120°;
∆p = 0. (a) σmin e σmáx segundo Kirsch 1898 (meio contínuo); (b) σmin e
σmáx reorientadas (rocha fraturada). (Figueiredo et al 2006).
Mais importante e associado a essa reorientação está o efeito sobre as
concentrações de tensão ao redor do poço em rochas fraturadas, que são bastante
diferentes daquelas que se esperariam baseadas somente nas soluções do meio contínuo,
conhecidas como soluções de Kirsch (citadas no Capítulo 2 e demonstradas no Anexo
1).
A Fig. 6.6 mostra as isofaixas de tensão principal menor, o UDEC considera
trações positivas; portanto, a Fig. 6.6 diz respeito à máxima compressão principal para
duas geometrias de fraturamento, K = 1.5 e sem pressão do fluido de perfuração (∆P=0).
Segundo Goodman 1989, na solução de Kirsch 1898 para meios contínuos, as máximas
concentrações de tensões previstas deveriam ocorrer nas paredes do poço de acordo
com a Figura 6.5a, sendo assim, o valor da mesma seria: σ max = 3σ H − σ h =
3(39.5) − 26.3 = 92.2 MPa. Ocorre que as concentrações de tensões fornecidas pelo
UDEC naqueles mesmos pontos estão entre 120 e 140 Mpa (Figura 6.6). A mínima
concentração de tensão, por raciocínio análogo seria igual a σ H = 39.4 MPa. O UDEC
indica em tais pontos concentrações entre 60 e 80 MPa (Figura 6.6).
É importante observar que para um campo de tensões com k = 1.5, não se esperariam
tensões de tração nas paredes do poço (Goodman, 1989). Todavia, o UDEC mostra que
tensões de tração aparecem em quatro pontos.
111
η1
Figura 6.6 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5); e1 = 4 cm; e2 = 2 cm;
η1 = 30o; η2 =120o.
Na Figura 6.7 para um caso em que o fraturamento consiste de famílias
mergulhando 30o e 120o. Observe-se que as máximas (entre 100 e 120 MPa; e mínimas
entre 60 e 80 Mpa, concentrações compressivas se dão, agora, paralela e
perpendicularmente à família com 30o de mergulho. As tensões de tração novamente
aparecem segundo as bissetrizes do fraturamento.
112
η1
Figura 6.7 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5): (a) e1 = 4 cm; e2 = 2 cm;
η1 = 0o; η2 = 90o.
Tal tendência, de mudança nos valores e posições das concentrações de tensões,
é observada em todos os casos analisados para os quais a sobrepressão do fluido de
perfuração (excesso em relação à poro-pressão) tem valor inferior a σ h . As diferenças
entre os resultados analíticos e numéricos diminuem, entretanto, à medida que o valor
da sobrepressão se aproxima de σ h e, paradoxalmente, as tensões de tração
desaparecem.
Por exemplo, para o mesmo caso de fraturamento da Figura 6.6, mas com uma
sobrepressão do fluido de perfuração (∆p) de 24.6 MPa (correspondente a uma massa
específica de 13,82 lb/gal), a máxima concentração de tensões dada pela solução de
Kirsch (nos mesmos pontos anteriormente citados) seria de σ max = 3σ H − σ h − ∆p =
3(39.5) − 26.3 − 24.6 = 67.6 MPa. O UDEC indica uma concentração em torno de 70
Mpa, mostrada na Figura 6.8. A mínima concentração, por sua vez, seria, pela solução
de Kirsch, de 14.8 MPa. O resultado numérico indica algo próximo a 20 Mpa, Figura
6.8. Note-se que na Fig. 6.8, não há pontos tracionados na parede do poço.
113
Figura 6.8 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5; ρf = 13,34 lb/gal; ∆p = 26.4
MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.
Uma possível explicação para as discrepâncias entre os resultados numéricos e
analíticos está nos processos não-lineares que ocorrem na rocha fraturada. Segundo
Figueiredo et al 2006 a existência de fraturas abertas e/ou sobre as quais ocorreu algum
deslizamento parece ter o efeito de "desacoplar" as tensões principais in situ,
restringindo suas influências às respectivas direções (como se fossem campos uniaxiais
independentes). Assim, as concentrações máxima e mínima são aproximadamente
iguais a 3 vezes a respectiva componente (o que sucederia no caso de um campo de
tensões uniaxial), sendo:
-
σ max = 3σ H = 3(39.5) = 118.5 MPa, que é próximo de 120 MPa, limite
inferior dos valore fornecidos pelo UDEC;
-
σ min = 3σ h = 3(26.3) = 78.9 MPa, que é próximo de 80 MPa, limite superior
dos valores fornecidos pelo UDEC.
Essa tendência desaparece quando as plastificações não sucedem, como é
justamente o caso da Figura 6.8 (∆p = 26.4 MPa), em que não há fraturas abertas ou
cisalhadas em torno do poço.
114
É importante ainda observar que quando as sobrepressões internas são maiores
que a tensão principal mínima in situ, nota-se nas concentrações de tensões, uma
tendência inversa, ou seja, ao invés das concentrações serem mais elevadas que as
deduzidas da solução de Kirsch têm-se normalmente concentrações mais baixas.
Consequentemente a abertura da rede de fraturas pelo filtrado do fluido de perfuração
fica facilitada, podendo ter conseqüências extremamente danosas à estabilidade do
poço.
Como exemplo, a Fig.6.9 mostra a abertura das fraturas (em azul), nos pontos
onde se teriam as mínimas concentrações de tensões. Pela solução de Kirsch:
σ min = 3σ h − σ H − ∆p = 3(26.3) − 39.5 − 32.8 = 6.6 MPa. No entanto, como as fraturas
naqueles pontos encontram-se abertas e com a tensão de tração nula, pode-se concluir
que as tensões ali atuantes são iguais ou inferiores a zero (mais baixas, portanto, que as
deduzidas por Kirsch).
Figura 6.9 - Fraturas abertas ou cisalhadas com K=1.5; ρf = 15,01 lb/gal; ∆p = 32.8 MPa;
e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o. (Figueiredo et al 2006).
Dessa forma de acordo com as importantes observações mostradas acima além
de se verificar que as concentrações de tensões em rochas fraturadas diferem daquela de
meios contínuos, pode-se concluir que valores baixos de massa específica do fluido de
perfuração podem não funcionar adequadamente no sentido de inibir os processos não
lineares intrínsecos da rocha fraturada (abertura e deslizamento das fraturas),
permitindo, com isso, tanto concentrações de tensões compressivas excessivamente
115
elevadas quanto o aparecimento de trações. As primeiras poderão induzir rupturas
inesperadas da rocha intacta e as segundas, uma abertura da rede de fraturas. Não
obstante, valores altos de massa específica do fluido de perfuração, por outro lado,
também podem romper a rocha intacta por compressão ou por tração.
A massa específica do fluido de perfuração deve ficar, portanto, numa faixa de
valores intermediários que não permita nenhum dos dois fenômenos supramencionados.
No subitem seguinte, são apresentados os valores de massa específica do fluido de
perfuração para um cenário representativo do Poço "B", considerando as hipóteses de
fluido não-penetrante (cálculos puramente mecânicos) e penetrante (cálculos com
acoplamento hidromecânico).
6.2.2 - RESULTADOS
6.2.2.1 – CONDIÇÃO DE FLUIDO NÃO PENETRANTE
Como foi ressaltado anteriormente, um primeiro conjunto de análises
computacionais envolveu cálculos puramente mecânicos, simulando, assim, a condição
de fluido não-penetrante. As condições de contorno do problema foram, então, em
termos de tensões efetivas horizontais (principais) in situ, nas fronteiras externas dos
modelos, e de sobrepressões do fluido de perfuração aplicadas no interior do furo.
Também, como já foi dito, todos os modelos foram, antes da abertura do poço,
"consolidados" sob ação das tensões in situ, com altas propriedades de resistência.
Na seqüência serão abordados os resultados dos modelos para os quais K=1.3,
que se considera mais realista. Para os demais valores de K, serão mencionados os
resultados, enfatizando os efeitos de se tê-los acima ou abaixo de 1.3. Serão avaliadas as
possibilidades de ruptura da rocha intacta com valores baixos de massa específica do
fluido de perfuração e abertura da rede de fraturas com valores altos de massa específica
do fluido de perfuração.
Com relação à ruptura da rocha intacta, avalia-se a sua possibilidade pelas
distribuições de Fator de Segurança calculados para um critério de Mohr-Coulomb. Em
nenhum dos casos em que K=1.3, mesmo tendo em conta as concentrações de tensões
116
mais elevadas verificou-se fator de segurança FS < 1. A Figura 6.10 ilustra as isofaixas
de fator de segurança (FS) para a Geometria 2, com uma massa específica do fluido de
perfuração de 9,17lb/gal e fraturas mergulhando 15o e 105o, este é o caso em que as
plastificações nas fraturas foram mais generalizadas e extensas, tendo, como
conseqüência, maior efeito concentrador de tensões apresentando 1.0 ≤ FSmin ≤ 2.0.
Portanto, resta analisar as situações nas quais poderia haver plastificação (abertura ou
deslizamento) das fraturas conectadas ao poço. Ressalte-se que Santarelli et al. (1992)
utilizaram precisamente esse critério, de ocorrência de plastificação, para determinarem,
num problema semelhante, as massas específicas do fluido de perfuração mais
adequadas.
Figura 6.10 - Isofaixas de FS - Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ρf = 9,17 lb/gal;
∆p = 4.1 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 15o; η2 = 105o. (Figueiredo et
al 2006)
A Tabela 6.7 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve
plastificação das fraturas vizinhas ao poço.
117
Tabela 6.7 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas (Figueiredo et al 2006).
K=1.3
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1
η2 =η1+90
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
90o
X
X
X
-
-
-
X
15o
105o
X
X
X
-
-
-
X
30o
120o
X
X
X
-
-
-
X
45o
135o
X
X
X
-
-
-
X
60o
150o
X
X
X
-
-
-
X
90o
180o
X
X
X
-
-
-
X
Portanto, a janela operacional, para quaisquer que sejam os mergulhos das
fraturas, fica entre 11.26 lb/gal (limite inferior) e 14.18 lb/gal (limite superior). A Figura
6.11 mostra as fraturas plastificadas, para massas específicas do fluido de perfuração
crescentes. É possível ver pela Figura 6.11 que para este caso específico, valores de
massa específica do fluido de perfuração menores ou iguais a 10.00lb/gal o poço está
instável geotecnicamente, ocorrendo abertura do poço e deslizamentos, colapsando o
poço.
118
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 6.11 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 15o e η2 = 105o - (a) sem fluido de
perfuração; (b) 9,17 lb/gal; (c) 10,01 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.
A consideração de outras geometrias e de valores de K inferiores a 1.3 (1.0 e
1.2) não alterou significativamente os resultados acima. Apenas nos casos mais
favoráveis do fraturamento (η1 de 0o e 90o), sendo assim pode-se admitir nestas análises
um limite inferior de massa específica do fluido 10.00 lb/gal. Todavia, nos demais casos
a faixa de possibilidades é a mesma do caso em que K=1.3.
119
Já para valores de K superiores a 1.3 a "janela operacional" acima se estreita.
A Tabela 6.8 assinala, com X, os casos em que houve plastificação das fraturas, para a
Geometria 2, com um K=1.5.
Tabela 6.8 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas (Figueiredo et al 2006).
K=1.5
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1
η2 =η1+90
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
90o
X
X
X
-
-
X
X
15o
105o
X
X
X
X
-
X
X
30o
120o
X
X
X
X
-
X
X
45o
135o
X
X
X
X
-
X
X
60o
150o
X
X
X
X
-
X
X
90o
180o
X
X
X
-
-
X
X
Na Tabela 6.7 para K=1.5 e η1 = 0o, se não houvesse pressão do fluido de
perfuração, ter-se-ia uma ruptura da rocha intacta. Isso se conclui de imediato da Figura
6.6, na qual a máxima concentração de tensões compressivas alcança valores entre 120
e 140 MPa, superando, assim, σc que é de 132.3 MPa (subitem 6.1.3). Esse resultado
não seria previsível a partir da solução de Kirsch e embora possa não ter importância
prática no presente contexto, serve de alerta para o possível aparecimento de rupturas da
rocha intacta em maiores profundidades, mesmo com as pressões do fluido de
perfuração não nulas. A Fig. 6.12 ilustra a distribuição de FS no caso comentado.
120
Figura 6.12 - Isofaixas de FS (Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ∆p nula):
e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.
Análises adicionais foram implementadas no UDEC para que dessa forma se
possa ter uma melhor visão do comportamento do poço para orientação de fraturas
diferentes. A Tabela 6.9 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve
plastificação das fraturas vizinhas ao poço para fraturas orientadas da seguinte forma:
η 2 = η1+30. E a Figura 6.13 ilustra uma seqüência mostrando as fraturas plastificadas,
para massas específicas crescentes, no caso η1=45º e η2=75º.
121
Tabela 6.9 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
K=1.3
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1
η2 =η1+30
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
30o
X
X
X
-
-
-
-
30o
60o
X
X
X
-
-
-
X
45o
75o
X
X
X
X
-
-
X
60o
90o
X
X
X
X
-
-
X
Figura 6.13 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massa específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 45o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b)
12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.
Para uma condição de estado de tensões mais severo, como K=1,5, ou seja, a
tensão horizontal máxima é 1,5 vezes a tensão horizontal mínima, a janela operacional
se estreita substancialmente, como pode ser notado na Tabela 6.10.
122
Tabela 6.10 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação das fraturas.
K=1.5
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1
η2 =η1+90
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
30o
X
X
X
-
-
-
X
30o
60o
X
X
X
X
-
X
X
45o
75o
X
X
X
X
-
-
X
60o
90o
X
X
X
X
-
X
X
90o
120o
X
X
X
X
-
X
X
A Tabela 6.11 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve
plastificação das fraturas vizinhas ao poço para fraturas orientadas da seguinte forma:
η 2 = η1+45. E a Figura 6.14 ilustra uma seqüência mostrando as fraturas plastificadas,
para massas específicas crescentes, no caso η1=30º e η2=75º
Tabela 6.11 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
K=1.3
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1
η2 =η1+45
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
45o
X
X
X
-
-
-
X
15o
60o
X
X
X
X
-
-
X
30o
75o
X
X
X
X
-
-
X
45o
90o
X
X
X
-
-
-
X
60o
105o
X
X
X
X
-
-
X
123
Figura 6.14 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas
crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 30o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b)
12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.
Para confirmar que para um estado de tensões mais severo, como K=1,5; a
janela operacional se estreita substancialmente, isso pode ser notado na Tabela 6.12.
124
Tabela 6.12 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve
plastificação nas fraturas.
K=1.5
Massa Específica do fluido de perfuração - ρf (lb/gal)
η1 η 2 = η 1+45
0.0
9.17
10.00
11.26
12.51
14.18
15.43
0o
45o
X
X
X
X
-
X
X
15o
60o
X
X
X
X
-
X
X
30o
75o
X
X
X
X
-
X
X
45o
90o
X
X
X
X
-
X
X
60o
105o
X
X
X
X
-
X
X
6.2.2.2 – CONDIÇÃO DE FLUIDO PENETRANTE
Para as análises de fluido penetrante foi utilizado o acoplamento
hidromecânico
implementado
no
UDEC
(Itasca,
1993).
Como
mencionado
anteriormente, modelou-se o fluxo em regime permanente e laminar. Segundo
Figueiredo et al 2006, os modelos passam por uma fase inicial, puramente mecânica, de
consolidação pelas tensões in situ, anteriormente à abertura do poço. Em seguida foram
aplicadas as condições de contorno do problema de fluxo: poro-pressões nulas nos
limites externos e a sobrepressão do fluido de perfuração no interior do poço. O
problema é então analisado de uma maneira acoplada.
Os casos estudados (geometrias de fraturamento, valores de K e massa específica
do fluido de perfuração) foram os mesmos da condição com fluido não-penetrante.
No UDEC existem as alternativas de se permitir o fluxo por toda a rede de
fraturas ou somente pelas fraturas que vierem a se plastificar. Outra possibilidade
representaria a existência de fraturas seladas (impermeáveis), que só se tornam
permeáveis por plastificação.
As análises de fluxo acoplado nessas condições levam a resultados distintos,
conforme se tenha massa específica do fluido de perfuração abaixo ou acima do limite
superior determinado nas análises com fluido não-penetrante.
125
No caso de massa específica do fluido de perfuração abaixo do limite inferior, os
resultados seriam razoavelmente previsíveis a partir das respectivas análises para fluido
não-penetrante. Isso porque o fluxo ocorrerá justamente pelas fraturas plastificadas
obtidas naquelas análises. Mais além, a invasão da rede de fraturas só pode acontecer a
partir daquelas fraturas plastificadas que estiverem conectadas à parede do poço. Assim,
o fluxo ficará restrito à porção da rede de fraturas que, além de plastificada, estiver
interconectada, entre si e com a parede do poço.
Como exemplo, na Figura 6.15 tem-se uma comparação visual entre as fraturas
plastificadas, obtidas nas análises com fluido não-penetrante, e a respectiva porção da
rede de fraturas invadida pelo fluido nas análises de fluxo penetrante. Pode-se perceber,
claramente, que na porção plastificada da rede que constitui um circuito hidráulico
fechado, conectado com o poço, estabelece-se o fluxo, Figura 6.15a. Já as fraturas
conectadas ao poço, que não constituem um circuito fechado, ficam apenas
pressurizadas Figura 6.15b.
(a)
126
(b)
Figura 6.15 - Análise visual comparativa (K=1.5; ρf = 10,00 lb/gal; ∆pf = 8.2 MPa;
e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30o; η2 = 120o): (a)Fraturas pressurizadas,
não conectadas com o poço (b) Padrão de fluxo nas fraturas
conectadas com o poço (Figueiredo et al 2006).
A Figura 6.15 mostra que, havendo a hipótese de fraturas pré-existentes
hidraulicamente seladas (impermeáveis) e no caso de massa específica do fluido de
perfuração abaixo do limite inferior das análises com fluido não-penetrante, não se teria
diferença substancial entre as análises computacionais com fluxo penetrante e sem fluxo
penetrante. Sendo assim, os cálculos puramente mecânicos seriam, pois, o suficiente
para uma avaliação da extensão da rede de fraturas invadida pelo fluido.
No caso de massa específica do fluido de perfuração acima do limite superior,
todavia, as análises mostram resultados bastante diversos. Ocorrerá um fenômeno de
fraturamento da formação, com o fluido adentrando e abrindo as fraturas plastificadas
conectadas ao poço. A Figura 6.16 ilustra tal situação.
127
(a)
(b)
Figura 6.16 - Análise visual comparativa (K=1.3; ρf = 16,68 lb/gal; ∆pf = 41.0 MPa;
e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o): (a) fraturas plastificadas
(fluido não-penetrante); (b) padrão de fluxo nas fraturas.
(Figueiredo et al 2006).
Portanto, com fluxo restrito às fraturas plastificadas e massa específica do
fluido de perfuração acima do limite superior, haverá uma tendência de fraturamento da
128
formação, que as análises puramente mecânicas não reproduzem adequadamente.
Percebe-se, no entanto, que o caso ilustrado na Fig. 6.16 é irreal, uma vez que a
sobrepressão (41.0 MPa) tem valor mais elevado que a própria tensão principal maior in
situ (34.2 MPa).
Mediante as considerações acima, conclui-se que os principais resultados
obtidos com as análises de fluido não-penetrante, quais sejam as faixas de massa
específica do fluido de perfuração adequada, os resultados são próximos da análise com
fluxo acoplado.
Uma análise no qual é permitindo o acesso do fluido a todas as fraturas, ou
seja, fluxo irrestrito pelas fraturas, a invasão da rede de fraturas ocorreria em qualquer
caso, mesmo naqueles em que as análises de fluido não-penetrante não indicam
plastificação de fraturas conectadas ao poço e a instabilização do poço ocorreria para
qualquer massa específica do fluido de perfuração. A Figura 6.17a mostra o padrão de
sobre-poropressões nas fraturas e a Figura 6.17b, mostra o colapso do poço.
(a)
129
(b)
Figura 6.17- Análise com fluxo irrestrito: (a) padrão de sobrepressões nas fraturas
K=1.3; ρf = 12,51 lb/gal; ∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o;
η2 = 135o; (b) Colapso do poço - K=1.3; ρf = 13,34 lb/gal; ∆pf = 24.6
MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o - configuração
deformada amplificada (60 vezes) da rocha fraturada. (Figueiredo et
al 2006).
É provável que a realidade do processo de invasão do fluido das fraturas
esteja entre os extremos aqui analisados: fluxo restrito às fraturas plastificadas ou
absolutamente irrestrito. Dessa forma, o ideal é que se tenha uma estimativa adequada
da massa específica do fluido de perfuração e um rigoroso controle do filtrado para que
assim poço possa ser perfurado com segurança.
Será apresentado a seguir, no Capítulo 7, a validação das soluções analíticas
propostas neste trabalho bem como comparações entre os métodos computacionais e
analíticos até aqui discutidos e demonstrados.
130
CAPÍTULO 7
7 - VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES PROPOSTAS
Soluções para os problemas de estabilidade de poços de petróleo tem sido
um desafio da indústria. No que concerne especificamente à estabilidade de poços de
petróleo em rochas intensamente fraturadas, poucos estudos têm sido feitos. A maioria
dos estudos que envolvem estabilidade de poços em meios fraturados são análises
computacionais utilizando softwares baseados nos elementos discretos, tais como o
UDEC.
Soluções computacionais como o UDEC apresentam resultados satisfatórios,
no entanto demandam tempo para serem feitas e esta é uma limitação do seu uso na
indústria.
Neste presente trabalho, até os capítulos anteriores, foram demonstrados os
fundamentos principais e a base teórica deste estudo que compreende a elaboração de
soluções analíticas propostas para a estabilidade de poços em rochas intensamente
fraturadas. A análise computacional abordada no Capítulo 6 também é importante para
o prosseguimento do trabalho.
Este presente Capítulo é composto pela apresentação dos resultados das
soluções analíticas propostas, pela apresentação de uma retroanálise feita no UDEC,
pela validação das soluções analíticas e por uma comparação entre os métodos.
Para validar e comparar as soluções analíticas propostas, Eq. 4.17, Eq. 4.21 e
Eq. 4.46 foram feitos estudos de retroanálise no UDEC. Como o objetivo de analisar
pontualmente a mínima massa específica nos quais não houve plastificação da fratura
no UDEC e assim comparar com os resultados analíticos.
A pressão de poros (u) considerada nas análises subseqüentes é a pressão de
poros normal. No entanto, nas soluções analíticas propostas a pressão de poros entra nas
análises como um dado de entrada, podendo ser normal, anormalmente alta ou
anormalmente baixa. Neste caso específico, nas análises foi considerada pressão de
131
poros normal, no qual se considera que a pressão de poros em uma certa profundidade é
igual à pressão exercida por uma coluna hidrostática de fluido da formação.
7.1 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS – SOLUÇÕES
ANALÍTICAS
Para obter os resultados do limite inferior da massa específica do fluido de
perfuração através das soluções analíticas propostas pelas Eqs. 4.17, 4.21 e 4.46 foi
utilizado o software Mathcad 2001 Professional. Foi analisado a estabilidade do “Poço
B” e os dados geomecânicos e geométricos da rocha e das descontinuidades necessários
para os cálculos analíticos são os mesmos descritos no Capítulo 6, para as análises com
o UDEC.
Como descrito no Capítulo 4, foram considerados dois tipos de geometria do
“teto” do bloco de rocha na parede do poço, a saber: teto plano e teto circular.
Tabela 7.1 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica η2=η1+90.
K =σH
INCLINAÇÃO DA
DESCONTINUIDADE
σh
K=1.3
K=1.5
η1
η2=η1+90
15
30
45
15
30
45
105
120
135
105
120
135
SOLUÇÃO ANALÍTICA PROPOSTA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
TETO PLANO
lb/gal
10,57095
10,58930
10,60514
11,03132
11,32489
11,40705
TETO CIRCULAR
lb/gal
10,63016
10,72424
10,78830
11,03132
11,32822
11,50253
132
Tabela 7.2 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica η2=η1+45.
K =σH
INCLINAÇÃO DA
DESCONTINUIDADE
σh
1.3
1.5
η1
η2=η1+45
15
30
60
15
60
60
75
105
60
105
SOLUÇÃO ANALÍTICA PROPOSTA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
TETO PLANO
lb/gal
12,21727
12,79403
12,99455
13,01707
13,95532
TETO CIRCULAR
lb/gal
11,53088
11,65015
12,02128
12,57217
11,96623
Tabela 7.3 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica,
η2=η1+30.
K =σH
1.3
1.5
INCLINAÇÃO DA
DESCONTINUIDADE
σh
η1
η2=η1+30
15
30
45
15
45
45
60
75
45
75
SOLUÇÃO ANALÍTICA PROPOSTA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
TETO PLANO
lb/gal
11,53672
11,53350
12,63176
11,53505
12,32819
TETO CIRCULAR
lb/gal
11,20229
11,19979
12,07382
11,25566
12,13303
Analisando os resultados mostrados na Tabela 7.1, 7.2 e 7.3 pode-se notar que
os valores de massa específica do fluido de perfuração considerando bloco de rocha
com teto circular na parede do poço, nas condições geomecânicas e geométricas, são
menores que os resultados considerando bloco de rocha com teto plano na parede do
poço. Isto pode ocorrer devido ao fato de que os resultados considerando bloco de rocha
com teto circular consideram todo o contorno circular localizado da parede do poço,
sendo mais detalhado localmente, se aproximando mais da geometria real do poço.
Entretanto os resultados das Tabelas 7.1, 7.2 e 7.3 mostram também que a massa
específica calculada considerando o bloco de rocha com teto plano e teto circular na
parede do poço tem uma pequena diferença. Uma possível explicação para tal fato é que
133
quanto menor o bloco na parede do poço, mais próximo de uma reta se torna o teto do
bloco e numa condição mais instável se encontra este bloco de rocha.
No que se refere à geometria das fraturas, no caso dos resultados mostrados
pelas Tabelas 7.1 e 7.2 é possível notar que os valores de massa específica calculados
analiticamente crescem à medida que se torna maior a inclinação das descontinuidades.
Como estes resultados indicam o mínimo valor da massa específica do fluido de
perfuração para que não haja colapso inferior da parede do poço, o fato das massas
específicas estarem aumentando à medida que o ângulo da fratura aumenta indica que o
poço se encontra numa condição a favor da segurança, pois os valores de massa
específica mínima são maiores.
7.2 – VALIDAÇÃO DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS
A análise computacional feita no Capítulo 6 foi muito importante e serviu
como uma primeira comparação dos resultados analíticos com os resultados obtidos
através do UDEC.
Uma vez que foi constatado que os resultados obtidos analiticamente
resumidos nas Tabelas 7.1, 7.2 e 7.3; estavam dentro da janela operacional mostradas
nas Tabelas 6.7 a 6.12 da análise computacional, mostradas no Capítulo 6, partiu-se
para a análise pontual dos resultados do UDEC.
A retroanálise executada neste trabalho foi feita com o objetivo de se ter uma
forma direta de comparação dos resultados obtidos analiticamente. Foram analisadas
massas específicas no UDEC, fazendo divisões estatísticas sucessivas do valor obtido
analiticamente. Através dessa retroanálise foi possível verificar qual era o valor mínimo
de massa específica obtida no UDEC no qual não houve plastificação da fratura e assim
compará-lo com o valor obtido analiticamente.
Os valores encontrados na retroanálise estão resumidos nas Tabelas 7.4, 7.5
e 7.6.
134
Tabela 7.4– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação
da descontinuidade η2=η1+90.
K =σH
σh
1.3
1.5
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
RETROANÁLISE UDEC
η1
η2=η1+90
lb/gal
15
105
10,67259
30
120
10,79008
45
135
10,86285
15
105
11,17362
30
120
11,49164
45
135
11,70728
Tabela 7.5– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação
da descontinuidade η2=η1+45.
K =σH
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
σh
1.3
1.5
η1
η2=η1+45
15
30
60
15
60
60
75
105
60
105
RETROANÁLISE UDEC
lb/gal
11,44368
11,38410
11,34240
12,26272
11,81846
Tabela 7.6– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação
da descontinuidade η2=η1+30.
K =σH
1.3
1.5
σh
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
RETROANÁLISE UDEC
η1
η2=η1+30
lb/gal
15
45
11,05050
30
60
10,88370
45
75
11,59260
15
45
11,20688
45
75
11,92620
135
Analisando os resultados da retroanálise apresentados na Tabela 7.4 com os
resultados obtidos através das soluções analíticas propostas, resumidos nas Tabelas 7.1,
7.2 e 7.3, pode ser visto que os valores tem uma aproximação razoável, podendo ser
uma forma de validação das soluções analíticas propostas para as condições
geomecânicas e geométricas da rocha as quais a massa específica foi calculada.
Pela Tabela 7.4 pode-se notar que quanto maior for a inclinação das
descontinuidades, maior será a massa específica do fluido de perfuração. Esta
constatação pode ser visualizada na Figura 7.1 e na Figura 7.2. Tendência semelhante
foi pode ser vista nos resultados obtidos analiticamente e esse é mais um indicativo de
que os resultados analíticos são razoáveis quando comparados com os resultados
obtidos pelo UDEC.
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
11,00
10,50
10,00
9,50
9,00
8,50
0
10
20
30
40
50
o
Inclinação da descontinuidade - η1 ( )
SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR
SOL. ANALIT. TETO PLANO
UDEC
Figura 7.1 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a
inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
136
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
12,00
11,50
11,00
10,50
10,00
9,50
9,00
8,50
0
10
20
30
40
50
Inclinação da descontinuidade - η1 (o)
SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR
SOL. ANALIT. TETO PLANO
UDEC
Figura 7.2 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a
inclinação da descontinuidade (K=1,5; η2=η1+90).
7.3 – COMPARAÇÕES DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS COM O UDEC
Para comparar as soluções analíticas com a solução computacional foram
feitos cálculos dos desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados
obtidos pelo UDEC, mostrados nas Tabelas 7.7, 7.8 e 7.9.
Tabela 7.7– Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados
obtidos pelo UDEC, η2=η1+90.
η1
K=1.3
K=1.5
15
30
45
15
30
45
DESVIO TETO DESVIO TETO
PLANO
CIRCULAR
η2=η1+90
%
%
105
0,95
0,40
120
1,86
0,61
135
2,37
0,69
105
1,27
1,16
120
1,45
1,42
135
2,56
1,75
137
Tabela 7.8 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados
obtidos pelo UDEC, η2=η1+45.
η1
K=1.3
K=1.5
15
30
60
15
60
DESVIO TETO
PLANO
η2=η1+45
%
60
-6,76
75
-12,39
105
-14,57
60
-6,15
105
-18,08
DESVIO TETO
CIRCULAR
%
-0,76
-2,34
-5,99
-2,52
-1,25
Tabela 7.9 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados
obtidos pelo UDEC, η2=η1+30.
η1
K=1.3
K=1.5
15
30
45
15
45
DESVIO TETO
PLANO
η2=η1+30
45
60
75
45
75
%
-4,40
-5,97
-8,96
-2,93
-3,37
DESVIO TETO
CIRCULAR
%
-1,37
-2,90
-4,15
-0,44
-1,73
Os resultados analíticos para as condições das Tabelas 7.8 e 7.9 mostram que
os resultados obtidos pelo UDEC são menores que os resultados analíticos, pois os
desvios são negativos. Esta é uma tendência esperada, uma vez que, como descrito no
Capítulo 5, o cálculo do elemento discreto não considera que as bordas dos elementos
discretos tenham “pontas” e em cada elemento discreto as bordas são arredondadas, e
dessa forma os resultados da massa específica para que não haja colapso inferior do
poço são menores.
Entretanto, pode-se notar que os desvios mostrados na Tabela 7.7 são
sensivelmente positivos, ou seja, os valores de massa específica calculados no UDEC
são um pouco maiores que a massa específica calculada analiticamente. Esta tendência
138
pode ser visualizada na Figura 7.3 é verificada nesta análise no caso de geometria das
fraturas serem η2=η1+90.
Desvio em relação à UDEC (%)
2,50
2,00
1,50
1,00
Teto Plano
Teto Circular
0,50
0,00
10,65
10,7
10,75
10,8
10,85
10,9
Massa Específica do Fluido - UDEC
(lb/gal)
Figura 7.3 – Variação do desvio das soluções analíticas com a massa específica do
fluido calculada pelo UDEC (η2=η1+90, K=1.3).
Uma constatação é no que concerne ao estado de tensões horizontais in situ, ou
seja, de acordo com os resultados da Tabela 7.7, quanto maior for a tensão horizontal
máxima, σH, em relação à tensão horizontal mínima, σh, maior será o desvio entre
resultados computacionais e os resultados analíticos mostrados nas Figuras 7.4 e 7.5.
Isto pode ser devido ao fato de quanto maior forem as tensões in situ, mais instável
estará o poço. Uma tendência crescente dos desvios também pode ser notada nas
Figuras 7.4 e 7.5 com relação ao ângulo da fratura.
139
Desvio em relação UDEC-Teto Circular
Desvio em relação UDEC-Teto Plano
2,37
1,86
Desvio (%)
2,50
2,00
0,95
1,50
1,00
0,40
0,61
0,69
0,50
0,00
η1=15
η1=30
η1=45
Inclinação da descontinuidade η1 (o)
Figura 7.4 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto
plano e teto circular em relação ao resultado do UDEC com
a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
Desvio em relação UDEC - Teto Circular
Desvio em relação UDEC-Teto Plano
2,56
3,00
1,27
Desvio (%)
2,50
2,00
1,50
1,16
1,45
1,42
1,75
1,00
0,50
0,00
η1=15
η1=30
η1=45
Inclinação da descontinuidade η1 (o)
Figura 7.5 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,5; η2=η1+90).
Uma variação crescente dos desvios negativos mostrados na Tabela 7.8 e 7.9
podem ser visualizadas nas Figuras 7.6 e 7.7. Pode ser visualizado de outra forma, um
fato citado anteriormente que se refere aos resultados analíticos, ou seja, os resultados
analíticos considerando o bloco rochoso com teto circular são mais próximos dos
140
resultados do UDEC do que resultados considerando bloco rochoso com teto plano pois
os seus desvios são menores, mostrando uma melhor adequação prática realística do
resultado analítico considerando bloco rochoso com teto circular.
Desvio em relação UDEC-Teto Circular
Desvio em relação UDEC-Teto Plano
η1=15
η1=30
η1=60
0,00
Desvio (%)
-0,76
-5,00
-6,76
-2,34
-5,99
-10,00
-12,39
-14,57
-15,00
Inclinação da descontinuidade η1 (o)
Figura 7.6 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,3; η2=η1+45).
Desvio em relação UDEC-Teto Circular
Desvio em relação UDEC-Teto Plano
η1=15
η1=45
0,00
Desvio (%)
-0,50
-0,44
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
-3,00
-2,93
-1,73
-3,37
-3,50
Inclinação da descontinuidade η1 (o)
Figura 7.7 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto
circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,5; η2=η1+30).
141
As Figuras 7.8 a 7.13 mostram o valor absoluto calculado analiticamente e o valor
da diferença da massa específica, em lb/gal, em relação ao resultado da massa específica
calculada pelo UDEC. Estas figuras têm o objetivo de se ter uma análise mais criteriosa em
termos de valores dos resultados e mostram que os resultados não apresentam diferenças
discrepantes.
SOL. ANALIT. TETO PLANO
DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC
Massa específica do fluido - ρ f (lb/l)
12,00
11,50
11,00
0,10164375
0,2007855
0,257706
10,57095
10,589298
10,605144
10,50
10,00
9,50
9,00
η1=15
Inclinação da descontinuidade- η1 (o)
η1=30
η1=45
Figura 7.8 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade
(K=1,3; η2=η1+90).
142
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR
10,9
10,7
DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC
0,07455
0,0658435
0,04242975
10,5
10,3
10,1
10,7883
10,72424
10,630164
9,9
9,7
9,5
η1=15
η1=30
η1=45
Inclinação da descontinuidade - η1 (o)
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
Figura 7.9 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular
em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).
13
11
9
7
12,79403
12,217266
12,994554
5
3
1
-1
-3
-0,773587125
η1=15
-1,40993
η1=30
-1,652154
η1=60
Inclinação da descontinuidade - η1 (o)
SOL. ANALIT. TETO PLANO
DESVIO EM RELAÇAO AO UDEC
Figura 7.10 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade
(K=1,3; η2=η1+45).
143
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
12,5
10,5
8,5
6,5
11,530884
11,650146
12,021276
-0,087205125
-0,266046
-0,678876
4,5
2,5
0,5
-1,5
η1=15
η1=30
Inclinação da descontinuidade - η1 (o)
SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR
η1=60
DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
Figura 7.11 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular
em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,3; η2=η1+45).
12,5
10,5
8,5
6,5
11,202288
11,199786
-0,151788
-0,316086
12,073818
4,5
2,5
0,5
-1,5
-0,481218
o
Inclinação da descontinuidade - η1 ( )
η1=30
η1=45
η1=15
SOL. ANALIT. TETO PLANO
DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC
Figura 7.12 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em
relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade
(K=1,3; η2=η1+30).
144
Massa específica do fluido - ρ f (lb/gal)
12,5
10,5
8,5
6,5
11,536722
11,5335
-0,486222
-0,6498
12,631764
4,5
2,5
0,5
η1=15
-1,5
η1=30
-1,039164
η1=45
Inclinação da descontinuidade - η1 (o)
SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR
DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC
Figura 7.13 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular
em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da
descontinuidade (K=1,3; η2=η1+30).
Para obter os resultados do limite superior da massa específica do fluido de
perfuração através da solução analítica proposta pela Eq. 4.52 foi utilizado o software
Mathcad 2001 Professional. Foi analisado a estabilidade do “Poço B” e os dados
geomecânicos e geométricos da rocha e das descontinuidades necessários para os
cálculos analíticos são os mesmos descritos no Capítulo 6, para as análises com o
UDEC. Os resultados estão resumidos nas Tabelas 7.10, 7.11 e 7.12.
Tabela 7.10 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+90.
K =σH
1.3
1.5
σh
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
LIMITE SUPERIOR
η1
η2=η1+90
lb/gal
15
105
15,93072
30
120
16,07837
45
135
16,32095
15
105
12,68310
30
120
12,75925
45
135
13,01691
145
Tabela 7.11 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+45.
K =σH
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
σh
1.3
1.5
η1
η2=η1+45
15
30
60
15
60
60
75
105
60
105
LIMITE SUPERIOR
lb/gal
15,77239
15,76461
15,83913
15,73185
15,89624
Tabela 7.12 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+30.
K =σH
1.3
1.5
σh
INCLINAÇÃO DA
MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO
DESCONTINUIDADE
LIMITE SUPERIOR
η1
η2=η1+30
lb/gal
15
45
14,85924
30
60
14,92418
45
75
15,06845
15
45
15,04325
45
75
15,15943
As tendências apresentadas para o limite inferior são também observadas para
o caso do limite superior da massa específica do fluido de perfuração. Os valores de
massa específica do limite superior são próximos dos resultados apresentados pelo
UDEC. Os resultados analíticos são sensivelmente maiores que os resultados
apresentados no UDEC. A explicação para tal fato, citada anteriormente, é a geometria
arredondada das bordas dos elementos discretos, que faz com que a análise seja mais
conservadora obtendo resultados a favor da estabilidade.
Será apresentado a seguir, no Capítulo 8, as conclusões deste trabalho e as
sugestões para trabalhos futuros.
146
CAPÍTULO 8
8 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Neste presente trabalho foi discutida a estabilidade de poços de petróleo em
rochas fraturadas. Foi proposta uma solução de engenharia para o problema de
instabilidade de poços sendo que foram demonstradas análises computacionais e
analíticas da estabilidade de um poço real na Bacia de Campos bem como uma
fundamentação teórica geomecânica das variáveis no processo de estabilidade.
Várias conclusões podem ser citadas, tanto do ponto de vista da mecânica das
rochas quanto do ponto de vista da engenharia de perfuração de poços.
No que concerne ao uso da mecânica do continuo para resolver os problemas
da estabilidade de poços, também conhecida como solução de Kirsch, conclui-se que
somente o uso desta solução não se aplica de forma satisfatória. As distribuições e
concentrações de tensões ao redor do poço são sensivelmente diferentes (contra a
segurança) das previstas pela solução do contínuo. Além disso, as tensões ao redor do
poço dependem criticamente da geometria e das propriedades mecânicas das fraturas. E
a mecânica do contínuo não considera a influência das propriedades das fraturas na
estabilidade do poço.
Para os casos estudados, as soluções analíticas propostas obtém resultados
razoáveis do ponto de vista de estabilidade geotécnica do poço, pois os resultados
obtidos analiticamente se assemelham dos resultados obtidos numericamente (UDEC)
sendo que encontram resultados próximos tanto do valor do limite inferior, conhecido
como colapso inferior, quanto do limite superior, conhecido como fraturamento
superior.
A solução para limite inferior da massa específica do fluido de perfuração
proposta neste trabalho não é uma solução analítica apenas considerando a rocha como
um contínuo. Trata-se de uma solução para rocha fraturada, que para o cálculo do
estado de tensões, leva em conta também as propriedades geomecânicas e geométricas
147
das fraturas. E é verificado analiticamente e computacionalmente que estas propriedades
são importantes nas análises do meio rochoso fraturado.
Sendo a rocha intacta de alta resistência, o principal fator a controlar a
estabilidade será a possível invasão da rede de fraturas pelo fluido de perfuração. As
conseqüências dessa invasão irão depender principalmente da condição de abertura
hidráulica das fraturas. Estando as fraturas hidraulicamente abertas e conectadas ao
poço, o fluxo poderá se estabelecer pelas mesmas e a instabilidade das paredes do poço
será uma conseqüência. Assim, só o controle rigoroso do filtrado poderá evitar uma
percolação descontrolada e o insucesso da perfuração.
No caso de apenas as fraturas plastificadas ficarem hidraulicamente abertas, é
possível a determinação de uma faixa de massa específica do fluido de perfuração
adequada no UDEC. O limite inferior da massa específica será um valor abaixo do qual
as fraturas conectadas ao poço irão se plastificar. Entre o limite inferior e superior da
massa específica não haverá nenhuma plastificação. Acima do limite superior de massa
específica, as fraturas voltam a apresentar plastificação.
Uma importante constatação feita é que análises computacionais puramente
mecânicas (correspondentes à hipótese de fluido não-penetrante) fornecem resultados
semelhantes aos das análises acopladas com fluxo restrito às fraturas plastificadas,
servindo igualmente à determinação da faixa de massa específica do fluido, ou seja,
análises computacionais demonstraram que a análise de fluido penetrante (com fluxo
restrito às fraturas plastificadas) e a análise de fluido não penetrante (sem fluxo nas
fraturas), obtiveram resultados próximos.
Pelas análises numéricas pôde-se constatar que para maiores tensões
horizontais máximas (σH) em relação à mínima (σh), mais instável é o poço, pois a
janela operacional se estreita. Este fato é percebido tanto analiticamente quanto
computacionalmente e demonstra que quanto maior for a relação σH/σh , mais instável é
o poço.
A aplicabilidade das soluções analíticas aqui propostas deve ser investigada
futuramente de forma sistemática em poços situados em diferentes locais em rochas
fraturadas para que a solução analítica seja verificada em casos distintos, não somente
em um caso isolado.
148
Para estudos futuros sugere-se que se investiguem outras geometrias de
fraturamento. E na ausência de dados das tensões in situ, que então se investigue a
influência de diferentes estados tensões da rocha. É importante que se faça análises com
variação das propriedades hidráulicas e mecânicas das fraturas presentes na rocha.
Para análises futuras é importante que se tenha dados das geometrias das
fraturas através de fotometria, por exemplo, que como foi visto neste presente trabalho,
é um dado importante quando se trata de rochas intensamente fraturadas. Dessa forma a
solução analítica proposta pode ser verificada para um caso real e com um dado real da
geometria de fraturamento.
No que se refere à retroanálises, que sejam feitas mais retronálises,
investigando pontualmente mais casos e assim fazer comparações ainda mais precisas,
porque dessa forma pode-se notar mais análises interdependentes, e assim comparar de
forma direta as soluções analíticas e computacionais.
Conclui-se enfim que, para que este estudo tenha um aproveitamento real na
indústria do petróleo é necessário que análises paramétricas sejam comprovadas e
sistematicamente investigadas na prática da engenharia de poços através de medições in
situ ou, na ausência da anterior, que sejam feitas variações sucessivas de possíveis
cenários do poço a ser investigado através de dados de poços de correlação, medições
aproximadas do estado de tensões, e dados obtidos com experiência da prática de
perfuração de poços em uma região conhecida.
149
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153
ANEXO I
Este apêndice tem o objetivo de apresentar o desenvolvimento da solução de
Kirsch (1898) a fim de que se possa ter uma fundamentação teórica desta solução bem
como analisar matematicamente as variáveis envolvidas. É importante salientar que
estas soluções são utilizadas para um meio homogêneo, isotrópico, contínuo, com
comportamento elástico e linear. Além destas considerações deve-se citar que a
aplicabilidade destas equações para o cálculo das tensões ao redor do poço considera o
meio como um contínuo e que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha
é grande o bastante quando comparadas ao diâmetro do poço.
I.1 – TENSÕES AO REDOR DE UM POÇO
G. Kirsch obteve as seguintes equações em 1898 que podem ser usadas para o
cálculo de tensões ao redor de um poço:
σr =
p  a 2  p  3.a 4 4.a 2
1 −  + 1 + 4 − 2
2  r 2  2 
r
r

. cos 2θ

p  a 2  p  3.a 4 
σ θ = 1 + 2  − 1 + 4 . cos 2θ
2
r  2
r 
p
2
τ r θ = − 1 −
3.a 4 2.a 2
+ 2
r4
r

. sin 2θ

(Eq.I.1)
(Eq. I.2)
(Eq. I.3)
A seguir, a fundamentação teórica das Equações de Kirsch 1898.
154
I.1.1 – EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO EM COORDENADAS POLARES
A posição de um ponto no plano médio de uma chapa é definida pela distância
da origem O (Figura I.1) e pelo ângulo θ entre r e um certo eixo Ox fixado no plano:
Figura I.1 – Posição de um ponto no plano médio de uma chapa (Timoshenko
1980)
Considerando agora um equilíbrio de um pequeno elemento 1234 delimitado pelas
seções radias O4 e O2, normais a chapa, e por duas superfícies cilíndricas 3 e 1 normais à
chapa. A componente normal da tensão na direção radial é designada por σr, a
componente normal na direção circunferencial por σθ, e as componentes cisalhantes por
τrθ, referindo-se estes símbolos à tensão no ponto r e θ, que é o ponto médio P do
elemento. Devido à variação da tensão, os valores nos pontos médios das faces 1, 2, 3 e
4 não são exatamente os mesmos que os valores σr, σθ, τrθ e são designados por (σr)1, na
Figura 2.5. Os raios das faces 3 e 1 são designados por r3 e r1. A força radial na face 1 é
(σrr)1dθ, e similarmente, a força radial no lado 3 é (σrr)3dθ. A força normal na face 2
tem uma componente, na direção do raio OP, dada por –(σθ)2(r1-r3)sen(dθ/2), que pode
155
ser substituída por (σθr)2 dr (dθ/2). A correspondente componente na face 4 é -(σθr)4 dr
(dθ/2). As forças cisalhantes nas faces 2 e 4 são [(τrθ)2−(τrθ)4]dr.
Fazendo o somatório das forças na direção radial, incluindo a força de massa R
por unidade de volume na direção radial, obtemos a equação de equilíbrio:
(σ θ r )1 dθ − (σ θ r )3 dθ − (σ θ r )2 .dr. dθ  − (σ θ r )4 .dr. dθ  + [(τ rθ )2 − (τ rθ )4 ]dr + Rr.dθ .dr = 0
 2 
 2 
Eq. I.4
Dividindo por drdθ ela se torna:
(σ θ r )1 − (σ θ r )3 [(σ θ r )2 − (σ θ r )4 ].
dr
−
2
+
[(τ rθ )2 − (τ rθ )4 ] + Rr = 0
dθ
Eq. I.5
Se as dimensões dos elementos são tomadas agora cada vez menores, até o limite zero,
o primeiro termo desta equação é, no limite,
∂ (σ r )
. O segundo se torna σθ, e o terceiro,
∂r
∂τ rθ
. A equação de equilíbrio na direção tangencial pode ser estabelecida da mesma
∂θ
maneira. As duas equações tomam a forma final:
∂σ r I ∂τ rθ σ r − σ θ
+
+
+R=0
∂r
r ∂θ
r
I ∂σ θ ∂τ rθ ∂τ rθ
+
+
+ p=0
r ∂θ
∂r
R
Eqs. I.6
Onde p é a componente de força de massa (por unidade de volume) na direção
tangencial (com o sentido de θ crescente).
As Eqs. I.6 resolvem problemas bidimensionais por meio de coordenadas
polares e são conhecidas como Equações de Airy em Coordenadas Polares. Quando a
força de massa é nula, elas são satisfeitas da seguinte forma:
1 ∂φ 1 ∂ 2φ
+
r ∂r r 2 ∂θ 2
∂ 2φ
σθ = 2
∂r
1 ∂φ 1 ∂ 2φ
∂  1 ∂φ 
−
=−  . 
τ rθ = 2
∂r  r ∂θ 
r ∂θ r ∂θ .∂r
σr =
Eqs. I.7
156
onde φ é a função de tensão expressa como função de r e θ. Isto pode ser facilmente
verificado por substituição direta. As equações A.6 são substituídas pelas Eqs I.7.
Em vez de instituir a Eq. I.6 e observando que , quando R=p=0, elas são
satisfeitas pela Eq. I.7, pode-se considerar a distribuição de tensões como
primeiramente expressas em componentes xy, quais sejam σx, σy, τxy, sendo:
σ x = σ r cos 2 θ + σ θ sen 2θ + 2.τ rθ senθ . cos θ
σ y = σ r sen 2θ + σ θ cos 2 θ − 2.τ rθ senθ . cos θ
τ xy = (σ r − σ θ ) senθ . cos θ + τ rθ (cos 2 θ − sen 2θ )
Eqs. I.8
Para obter as Eq. I.8, considera-se as relações entre derivadas nos dois
sistemas de coordenadas. Primeiramente, tem-se que:
r 2 = x2 + y2
θ = arctan
y
x
que conduzem a:
∂r x
= = cos θ
∂x r
∂θ
y
senθ
=− 2 =−
∂x
r
r
∂r y
= = senθ
∂y r
∂θ
x cos θ
= 2 =
∂y r
r
Eqs. I.9
Portanto, para qualquer função f(x,y), em coordenadas polares f(r.cosθ,r.senθ),
∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ
∂f senθ ∂f
=
+
= cos θ . −
∂x ∂r ∂x ∂r ∂x
∂r
r ∂θ
Eqs. I.10
Para obter
∂2 f
, repete-se a operação indicada no último membro de I.10.
∂x 2
Então:
∂2 f 
∂ senθ ∂  
∂f senθ ∂f 
−
−
. 
=  cos θ
. cos ϑ
2
∂r
r ∂θ  
∂r
r ∂ϑ 
∂x

157
∂2 f
∂2 f
∂  1 ∂f  senθ ∂
2
θ
cos
=
− cos θ .senθ .  .  −
2
2
r ∂θ
∂r  r ∂θ 
∂x
∂r
∂f  senθ ∂

 cos θ .  + 2
∂r 
r ∂θ

∂f 

 senθ . 
∂θ 

Eq. I.11
Rearranjando a Eq. I.11, tem-se que:
∂2 f
∂2 f
1 ∂2 f
2
2  1 ∂f

=
+
+
cos
sen
.
θ
θ
 r ∂r r 2 . ∂θ 2
∂x 2
∂r 2


∂  1 ∂f 
 − 2.senθ . cos θ  . 
∂r  r ∂θ 

Eq. I.12
Analogamente, encontra-se:
2
∂2 f
1 ∂2 f
2 ∂ f
2  1 ∂f

sen
cos
.
=
+
+
θ
θ
 r ∂r r 2 . ∂θ 2
∂y 2
∂r 2


∂  1 ∂f 
 − 2.senθ . cos θ  . 
∂r  r ∂θ 

Eq. I.13
 1 ∂f
∂2 f
1 ∂2 f ∂2 f

−
= senθ . cos θ  . + 2 . 2 − 2
∂x∂y
∂r
 r ∂r r ∂θ

∂  1 ∂f 
 − (cos 2 θ − sen 2θ ). 

∂r  r ∂θ 

Para assumir a equação diferencial na forma polar, primeiramente soma-se
I.11 e I.12 para obter:
 ∂2
∂2
 2 + 2
∂y
 ∂x

 ∂2 1 ∂
1 ∂2
 f =  2 +
+ 2
r ∂r r ∂θ 2

 ∂r

 f

Eq. I.14
Mostrando que o operador da direita é o equivalente polar laplaciano da esquerda.
Verifica-se somando as duas primeiras Eqs. I.8, que:
σ x + σ y = σ r + σθ
Eq. I.15
Para forças de massas nulas, tem-se que:
 ∂2
∂2
 2 + 2
∂y
 ∂x

.(σ x + σ y ) = 0

Eq. I.16
158
Sendo assim, com as Eqs. I.14, I.15 a expressão I.16 se torna:
 ∂2 1 ∂
1 ∂2
 2 +
+ 2. 2
r ∂r r ∂θ
 ∂r
  ∂ 2φ 1 ∂φ 1 ∂ 2φ
. 2 +
+
r ∂r r 2 ∂θ 2
  ∂r

 = 0

Eq. I.17
De várias soluções desta equação diferencial parcial, também conhecida como
equação de compatibilidade, obtêm-se soluções de problemas bidimensionais em
coordenadas polares para diversas condições de contorno.
I.1.2 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A UM EIXO
Quando a função de tensão depende somente de r, a equação de
compatibilidade I.17 se torna:
 d 2 1 d   d 2φ 1 dφ  d 4φ 2 d 3φ 1 d 2φ 1 dφ
 2 +
. 2 + .  = 4 +
− 2. 2 + 3. 3 =0
3
r
dr
r
dr
r
dr
dr
dr
dr
r dr
r dr



Eq. I.18
Esta é uma equação diferencial ordinária, que pode ser reduzida a uma
equação linear com coeficientes constantes, pela introdução de uma nova variável r=et.
Desta maneira, a solução geral I.18 pode ser facilmente obtida. Esta solução tem quatro
constantes de integração, que devem ser determinadas a partir de condições de
contorno. Por substituição, pode ser verificado que:
φ = A. log r + B.r 2 . log r + C.r 2 + D
Eq. I.19
A eq. I.19 é a equação geral. As soluções de um grupo de problemas de
distribuição simétrica de tensões, sem força de massa, podem ser obtidas a partir desta
expressão. As correspondentes componentes de tensão, pelas Eqs. I.8-I.16 são:
159
1 ∂φ
A
= 2 + B.(1 + 2. log r ) + 2.C
r ∂r r
∂ 2φ
A
σ θ = 2 = − 2 + B.(3 + 2. log r ) + 2.C
∂r
r
τ rθ = 0
σr = .
Eqs. I.20
Se não houver orifício na origem de coordenadas, as constantes A e B são
nulas, pois de outro modo as componentes de tensão (Eqs. I.10) se tornam infinitas
quando r=0. Assim, para uma chapa sem orifício na origem e sem forças de massa, só
um caso de distribuição simétrica em relação ao eixo pode existir, qual seja, aquele em
que σr=σθ=constante e a chapa está num estado de tração uniforme ou de compressão
uniforme em todas as direções do seu plano.
Se houver um orifício na origem, outras soluções além de tração ou
compressão uniforme podem ser obtidas a partir das Eqs. I.20. Considerando B=0, as
eqs. I.20 se tornam:
A
+ 2.C
r2
A
σ θ = − 2 + 2.C
r
σr =
Eqs. I.21
A equação I.21 é uma solução que pode ser adaptada para representar a
distribuição de tensões num cilindro vazado, submetido à pressão uniforme nas
superfícies externa e interna (Figura I.2). Sejam a e b os raios interno e externo do
cilindro, e pi e po a pressão uniforme interna e externa. Então, as condições de contorno
são:
(σ ) r =a = − pi
(σ ) r =b = − po
Eqs. I.22
160
Figura I.2 – Distribuição de tensões num cilindro vazado (Adaptado Timoshenko
1980)
Substituindo na Eq. I.21 a Eq. I.22, obtemos as seguintes equações para
determinar A e C:
A
+ 2.C = − p i
a2
A
+ 2.C = − p o
b2
Eqs. I.23
Das Eqs. I.23 obtém-se:
a 2 .b 2 ( p 0 − p i )
b2 − a2
2
2
pi − p0
2.C = 2
b − a2
A=
Eq. I.24
Substituindo estes valores nas Eqs. I.23 e I.24, as seguintes expressões para as
componentes de tensão são obtidas:
a 2 .b 2 ( p 0 − p i ) 1
p i .a 2 − p 0 .b 2
σr =
+
b2 − a2
r2
b2 − a2
a 2 .b 2 ( p 0 − p i ) 1
p i .a 2 − p 0 .b 2
σθ = −
+
b2 − a2
r2
b2 − a2
Eq. I.25
161
O deslocamento radial u é facilmente determinado, uma vez que ε θ =
u
e
r
para um estado plano de tensão:
Εε θ = σ θ − ν .σ r
A soma σ r + σ θ é constante ao longo da espessura da parede do cilindro.
Portanto, as tensões σr e σθ produzem um alongamento o uma contração uniforme na
direção do eixo do cilindro e as seções transversais perpendiculares a este eixo
permanecem planas. Assim, a deformação produzida pelas Eqs. A.25 num elemento do
cilindro, limitado por duas seções transversais adjacentes, não interfere com a
deformação dos elementos vizinhos, sendo justificável considerar o elemento na
condição de estado plano de tensão como foi feito na discussão acima.
No caso particular em que p0=0, e o cilindro está submetido somente à pressão
interna, as Eqs. I.25 fornecem:
σr =
a 2 . pi
b2 − a2
a 2 . pi
σθ = 2
b − a2
 b2
1 − 2
 r



 b2 
1 + 2 
 r 
Eq. I.26
As Eq. I.26 mostram que σr é sempre uma tensão de compressão e σθ, uma
tensão de tração. Esta última é máxima na superfície interna do cilindro, onde:
(σ θ ) max
pi .(a 2 + b 2 )
=
b2 − a2
Eq. I.27
A tensão (σθ)max é sempre numericamente maior que a pressão interna e se
aproxima deste valor quando b cresce, de tal forma que nunca pode ser reduzida abaixo
de pi, não obstante mais material seja acrescentado no lado externo.
O correspondente problema para um cilindro excentricamente perfurado foi
resolvido por G. B. Jeffery. Se o raio da perfuração é a e o da superfície externa é b, e
se a distância entre seus centros é e, a tensão máxima, quando o cilindro estiver sob uma
162
pressão interna pi, será a tensão tangencial na superfície interna na parte mais delgada,
se e <
1
e seu valor será:
2a


2.b 2 .(b 2 + a 2 − 2.a.e − e 2 )
− 1
2
2
2
2
2
 (a + b ).(b − a − 2.a.e − e ) 
σ = pi 
Eq. I.28
Se e=0 esta a Eq. I.28 coincide com a Eq. I.27.
I.1.3 – EFEITOS DE ORIFÍCIOS CIRCULARES NA DISTRIBUICÃO DE
TENSÕES
A Figura I.3 representa uma chapa submetida a uma tração uniforme p na
direção x Se um pequeno orifício circular é feito no centro da chapa, a distribuição de
tensões na vizinhança do orifício será alterada, mas pode-se concluir pelo princípio de
Saint-Venant que a variação é desprezível a distâncias grandes em comparação com o
raio a do orifício.
Figura I.3 – Chapa submetida à tração uniforme p (Adaptado Timoshenko 1980)
163
Considerando a porção da chapa no interior de um círculo de raio b, grande em
comparação com a, concêntrico com o orifício. As tensões à distância b do centro são
efetivamente as mesmas que na chapa sem orifício, e são, portanto dadas por:
(σ r ) r =b = p. cos 2 θ =
1
p.(1 + cos 2.θ )
2
1
(τ rθ ) r =b = − . p.sen 2.θ
2
Eq. I.29
Estas forças, atuando na periferia do anel de raios interno e externo r=a e r=b,
produzem uma distribuição de tensões no interior do anel que pode-se considerar como
constituída por duas partes. A primeira é devida à componente constante
1
p das forças
2
normais. As tensões que ela produz podem ser calculadas por meio das Eqs. I.25. A
parte restante, consistindo nas forças normais
cisalhantes −
1
p. cos 2.θ , juntamente com as forças
2
1
p.sen2.θ , produz tensões que podem ser determinadas com uma função
2
de tensão da forma:
φ = f (r ). cos 2.θ
Eq. I.30
Substituindo a Eq. I.30 na equação de compatibilidade (Eq. A.17), tem-se que:
 ∂2 1 ∂
1 ∂2
 2 +
+ 2
r ∂r r ∂θ 2
 ∂r
  ∂ 2φ 1 ∂φ 1 ∂ 2φ
. 2 +
+
r ∂r r 2 ∂θ 2
  ∂r

 = 0

Obtêm-se a seguinte equação diferencial ordinária para determinar f(r):
 d2 1 d
4   ∂ 2 f 1 ∂f 4. f 
 2 +
=0
− 2 . 2 +
−
r dr r   ∂r
r ∂r r 2 
 dr
Eq. I.31
A solução geral é:
f (r ) = A.r 2 + B.r 4 + C.
1
+D
r2
Eq. I.32
A função de tensão é, portanto:
164


φ =  A.r 2 + B.r 4 + C.
1

+ D . cos 2θ
2
r

Eq. I.33
E as componentes de tensão, pelas Eqs. I.7, são:
1 ∂φ 1 ∂ 2φ
6.C 4.D 

+ 2
= − 2. A + 4 + 2 . cos 2θ
2
r ∂r r ∂θ
r
r 

∂ 2φ 
6.C 
σ θ = 2 =  2. A + 12.B.r 2 + 4 . cos 2θ
∂r
r 

σr =
τ rθ == −
∂  1 ∂φ  
6.C 2.D 
2
 .  =  2. A + 6.B.r + 4 − 2 .sen2θ
∂r  r ∂θ  
r
r 
Eqs. I.34
As constantes de integração devem ser determinadas pelas Eqs. A.29, para o
bordo externo, e pela condição de que o bordo do orifício esteja livre de forças externas.
Estas condições conduzem a:
6.C 4.D
1
2. A + 4 + 2 = − . p
2
b
b
6.C 4.D
2. A + 4 + 2 = 0
a
a
6.C 2.D
1
2. A + 6.B.b 2 − 4 − 2 = − p
2
b
b
6.C 2.D
2. A + 6.B.a 2 − 4 − 2 = 0
a
a
Eqs. I.35
Resolvendo as Eqs. I.35 e pondo
a
= 0 , ou seja, admitindo uma chapa
b
infinitamente longa, obtêm-se:
Substituindo os valores das constantes A, B, C e D nas Eqs. I.34 e somando as
tensões produzidas pela tração uniforme
1
. p no contorno externo, calculadas pelas
2
Eqs. I.25 encontra-se, a renomada solução de G. Kirsch (1898) que vêm sido
confirmada por medição de deformações e para diversos métodos.
165
 p  3.a 4 4.a 2 
 + .1 + 4 − 2 . cos 2θ
r
r 
 2 
p  a 2  p  3.a 4 
σ θ = .1 + 2  − .1 + 4 . cos 2θ
2 
r  2 
r 
p  3.a 4 2.a 2 
τ rθ = − .1 − 4 + 2 . sin 2θ
2 
r
r 
σr =
p  a2
.1 −
2  r 2
Eqs. I.36
Nas Eq. A36, o ângulo θ é contado a partir da horizontal e no sentido antihorário. Tomando como referência o eixo vertical (Fig. I.4), as equações de Kirsch
tornam-se:
p  a 2  p  3.a 4
.1 −  + .1 + 4
2  r 2  2 
r
p  a 2  p  3.a 4
σ θ = .1 + 2  − .1 + 4
2 
r  2 
r
σr =
p
2 
τ rθ = − .1 −
−
4.a 2
r2

. cos 2θ


. cos 2θ

3.a 4 2.a 2 
+ 2 . sin 2θ
r4
r 
Eqs. I.37
Figura I.4 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005).
166