Bioestática
Biomecânica é o estudo da mecânica aplicada usado em sistemas biológicos. A Tabela 3.1
mostra que a biomecânica é uma sub-disciplina da biofísica e da engenharia biomédica. É assim
porque muitos trabalhos de Biomecânica precisam ser feitos sem a necessidade de justificar porque
estão sendo realizados. A Ciência, ou biofísica, neste caso, buscam as razões, e portanto colecionam
muitas informações importantes. A Engenharia biomédica e a Engenharia de Fatores Humanos (em
particular) buscam aplicar este conhecimento para beneficiar seres humanos.
A Tabela 3.1 mostra que a biomecânica pode ser subdividida em três sub-sub-matérias.
Bioestática é a ciência da estrutura dos biorganismos em relação as forças com que interagem.
Biodinâmica estuda a natureza e determinação dos movimentos ( associado as forças) dos
biorganismos
Bioenergética é o estudo das tranformações energéticas nos organismos vivos, inclui processos a
biotermodinâmica.
Bioestática é o fundamento da engenharia de fatores humanos. Para utiliza-la precisamos:
1. rever os fundamentos do equilíbrio estático, 2. Definir o sistema a ser estudado e o modelo
analítico a ser usado, e 3. aplicar 1. E 2. para obter informações úteis na engenharia de fatores
humanos.
Este capítulo foi dividido em 4 seções. A primeira, revê os fundamentos da estática, a Segunda
se concentra da parte superior , incluindo a mão; a terceira lida com a parte inferior, incluindo o pé e
a Quarta se ocupa das costas humanas em relação ‘a abaixar, levantar e carregar pesos.
Tabela 3.1 EFH Fundamentos: Sumário da relações
Disciplina
Subdisciplina
Subsubdisciplina
Biofísica
Biomecânica
Bioestática
Biodinâmica
Bioenergética
Bioeletricidade
Biotermodinâmica
Bioquímica
Bioquímica Física
Bioenergética
Engenharia Biomédica
Biomecânica
Bioestática
Biodinâmica
Bioenergética
Bioeletrônica
Biothermodinâmica
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
12
Tabela 3.2 Dados Antropométricos
Segmento do Corpo
Comprimento
(Usados nos Exemplos)
(Fração de Ha)
Cabeça e pescoço
.17
Antebraço e mão
.20
Braço superior
.20
Braço
.40
Cabeça, pescoço, ambos braços
Tórax e abdômen
.30
Pélvis
Pé e ante-perna
.29
Cocha
.24
Perna
.53
Cabeça, pescoço, ambos braços, tórax, abdômen, e
—
Três-oitavos da pélvis
Uma perna e cinco-oitavos da pélvis
aH =
Peso
(Fração de Wb )
.08
.02
.03
.05
.18
.36
.16
.05
.10
.15
.60
.25
Altura Total do corpo , ereto, em pé ( metros)
Total do corpo ( Newtons)
b W = Peso
3.1
ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS
a. Equações de Equilíbrio Estático.
Consideraremos a estática de corpos rígidos em duas dimensões. Um corpo rígido é um corpo
que não sofre deformação, e pode ser tratado como a combinação de um grande número de
partículas. A análise levara em conta o tamanho do corpo e também as forças que nele estão
aplicadas. O corpo na realidade se deforma porém esta aproximação não afeta o estado de equilíbrio
do corpo em consideração..
As forças num corpo rígido são consideradas de dois tipos: Externas e Internas.
As forças externas representam a ação daquelas forças que agem externas ao corpo rígido
que está sendo estudado.
As forças internas são as que agem dentro do corpo, segurando as partículas que constituem
o corpo.
No século XVII Sir Isaac Newton definiu três leis fundamentais. A primeira lei de Newton:
Quando a resultante das forças agindo em uma partícula é zero, a partícula continuará em
repouso ou se moverá com velocidade constante se estivesse originalmente em movimento. Esta
lei refere-se a uma partícula e define as condições necessárias para equilíbrio translacional. Para
um corpo estar em equilíbrio ele necessita estar equilíbrio não só translacional mas também
rotacional.
De acordo com a primeira lei de Newton, um corpo estará em equilíbrio se a resultante das
forças externas que nele atuam for nula. Para movimento bidimensional no espaço de
coordenadas x-y, isso representa::
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
13
∑ Fy = 0
(1)
∑ Fx = 0
(2)
Ao usar a condição de equilíbrio translacional, as forças que tem sentido do eixo x são ditas
positivas, caso contrário são ditas negativas.
Para um corpo rígido estar em equilíbrio rotacional, o momento externo em relação a um eixo
arbitrário localizado em um ponto do corpo é zero. Considerando-se a origem dos eixos x-y , 0 e M0
na origem, a condição de equilíbrio rotacional é:
∑ M0 = 0
(3)
Os momentos serão considerados positivos ou negativos dependendo de agirem no sentido antihorário ou horário.
O procedimento geral para analisar as forças e momentos agindo em um corpo rígido em duas
dimensões para a condição de equilíbrio estático é:
1. Desenhar o diagrama de corpo rígido dos elementos do sistema, indicando todas as forças
externas conhecidas e desconhecidas.
2. Estabelecer um sistema de coordenadas x- e y- indicando as direções positivas para movimento
translacional e rotacional.. Decompor todas as forças externas em suas componentes em relação
aos eixos coordenados.
3. Para cada diagrama de corpo rígido aplicar a condição de equilíbrio translacional e rotacional.
Para sistemas bidimensionais planos, as equações de equilíbrio são (1-3).
4. Solucionar o sistema de equações resultante. Cuidado para colocar as direções e unidades
corretas nas forças e momentos.
A condição de equilíbrio rotacional pode ser aplicada mais de uma vez, quando por exemplo, ao
considerarmos os momentos das forças externas aplicadas em dois ou mais pontos do corpo rígido.
b. Estruturas Simplesmente Apoiadas
Consideremos algumas aplicações específicas examinando forças em vigas e cabos. Uma viga é
um membro estrutural longo carregado transversalmente ao seu eixo. Em alguns casos, as forças
aplicadas são ortogonais ao eixo da viga neste caso, só flexão e cisalhamento ocorrem na viga. Em
outros casos, quando as cargas não são perpendiculares, estas cargas irão também produzir forças
axiais na viga. A viga pode estar ligada ao chão ou a outras vigas por vários suportes, vínculos,
cabos, apoios, pinos, etc.
Duas conexões específicas e apoios são usadas em sistemas mecânicas são de particular interesse
quando estuda-se o sistema muscular do esqueleto humano. As conexões usadas são pinos e cabos.
Pino conecta e cabo suporta.
14
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
A ligação em pino pode unir a viga a outra viga ou ao chão. O pino limita o movimento tanto na
direção x como y. Consequentemente, não permite translação da viga. Em relação às forças de
translação, lembre-se que estas forças são denominadas por Rx e Ry, representando as componentes
da reação das forças aplicadas ao chão (ou outra viga). Um pino irá girar se nele agir um momento.
Consequentemente, para satisfazer a condição de equilíbrio estático, o momento resultante no pino
deve ser nulo.
Cabos são usados para conectar diversos membros do sistema mecânico ou liga-los ao chão.
Lembre-se que cabos são elementos flexíveis e só suportam forças trativas. O cabo não pode
suportar forças compressivas, caso isso ocorra haverá colapso do sistema pois a condição de
equilíbrio estático não se manterá. A tensão trativa nos cabos será constante em todo o elemento.
Nas seções seguintes trataremos músculos como cabos.
EXEMPLO 3.0
A viga uniforme horizontal de peso, W, 100 N, e comprimento 1,33M, está ligada a parede
no ponto A. A outra extremidade (B) é suportada por um cabo que faz o ângulo θ com a
horizontal, como mostra a Figura 3.0. Em B temos um corpo com peso WL =25N. Ache a
força no cabo e as reações no pino (Rx and Ry).
Figura 3.0 Estrutura simplesmente apoiada
representando um sistema mecânico cabo-viga.
SOLUÇÃO 3.0
Da Figura 3.0, desenha-se o diagrama de corpo rígido do sistema mecânico: 1.Neste ponto note que
foi arbitrada uma convenção de sinal e arbitrou-se ambas as reações positivas, 2.como A é
uma união em pino, não suporta momento aplicado, portanto somaremos os momentos em torno
deste ponto; 3. Diremos que a viga e o peso aplicado são uniformes, assim o centro de massa estará
localizado no ponto médio; 4. A massa do cabo será considerada desprezível comparada as
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
15
massas do resto da estrutura; 5. Existem 3 incógnitas (F, Rx, e Ry), portanto teremos de obter 3
equações para solucionar o sistema estaticamente determinado.
A força F foi decomposta em duas componentes ortogonais.
As equações de equilíbrio estático são:
∑MA=0:
—Wp(AC) — WL(AB) + F1y(AB) = O
(i)
Note que: 1. Os momentos em relação ao ponto A foram somados; 2. A convenção de sentido
positivo contrário aos ponteiros do relógio (anti-horário) foi usada; 3. F1x, Rx, e Ry não exercem
momento no ponto A, pois elas agem diretamente no ponto.
∑Fx=0:
Rx -Fx=0
Rx — F. cos θ =0
(ii)
Note que consideramos o sentido positivo da esquerda para a direita.
∑Fy=0
Ry —Wp —WL+FY=0
Ry—Wp—WL+F. sin θ =0
Note que consideramos o sentido positivo de baixo para cima.
Substituiremos as incógnitas nas equações (i), (ii), e (iii) para solucionar F, Rx, e Ry:
∑MA=0: [equação (i)]:
- (100)(.665) — (25)(1.33) + F(.766)(1.33) =0
F= 99.8 =97.8N
1.02
∑Fx=0: [equação (ii)]:
Rx - (97.8)(.643) = O
(iii)
16
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
Rx = 62.9N(
)(Rx agem para direita)
∑Fx=0: [equação (iii)]:
Ry -
(100) - (25) + (97.8)(.766) = 0
Ry =125 —74.9=50.1N ( ) (Ry age para cima)
c. O Sistema Muscular do Esqueleto Humano
Para o uso em engenharia dos fatores humanos, a bioestática foca o sistema muscular do
esqueleto humano. Este sistema caracteriza-se por 5 elementos essenciais. Dois deles são os
segmentos proximal e distal. Se considerarmos o umbigo como o centro do corpo com os braços e
pernas esticados e afastados ao máximo, o segmento proximal é a estrutura anatômica próxima ao
umbigo e o distal é a estrutura em torno. Uma ligação é a união de um segmento proximal com um
distal. O músculo agonista é uma força que atravessa a articulação. Uma origem está ligada ao
segmento proximal, e a outra extremidade esta ligada a um segmento distal. Este músculo chama-se
“agonista” quando é o primeiro a mover o sistema anatômico. O músculo antagonista é uma força
interna que também atravessa a articulação, geralmente uma origem esta ligada ao segmento
proximal, e a outra extremidade esta ligada a um segmento distal. O músculo antagonista
desenvolve uma força oposta a do músculo agonista. Em alguns modelos de biostática só um
músculo é representado. Ele é o músculo agonista afuncional (onde a força gerada é a diferença entre
as forças dos músculos agonista e antagonista). Em sistemas biológicos reais (não idealizados), a
contração simultânea de ambos os músculos é necessária para estabilizar as articulações.
Engenharia de Fatores Humanos usa bioestática de duas formas diferentes. Na primeira (e a
mais comum), forças externas agem no corpo humano. Estas forças são dados de entrada e os dados
de saída são as forças internas. A bioestática representa a solução inversa do que realmente ocorre.
Na segunda aplicação (menos comum), um cenário mais realista é feito. Forças internas são geradas
pela contração de músculos. Estas forças são os dados de entrada para o modelo bioestático. Os
dados de saída são as forças do ambiente externo.
Três passos à serem usados neste capítulo:
1.
Dados de Entrada: formula-se uma aplicação de Engenharia de Fatores Humanos, que
exige análise.
2.
Análise e Modelagem: nesse estágio construímos analítica e aproximadamente um
modelo do sistema. Este capítulo vai fazer uma análise matemática e achar a solução para um
problema específico.
3.
Avaliação e interpretação: Qual o significado da resposta? Qual informação útil para o
sistema ela resolve? Podemos satisfazer à uma especificação do sistema? Precisamos de mais ou
diferentes medidas e dados descritivos? Algum novo problema foi descoberto? Neste capítulo
devemos limitar a avaliação e a interpretação para a resposta mais proveitosa à solução do
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
17
3.2 EXTREMIDADES SUPERIORES E MÃOS
a. Ombro e Braço
O sistema anatômico para o ombro e o braço é o seguinte:
Segmento proximal: escápula (osso do ombro)
Segmento distal: úmero (osso do braço)
Articulação: Ombro
Músculo (ação): Deltóide (abdução do braço: vendo-se uma pessoa de frente, levantando o
braço perpendicular ao corpo, como se estivesse “batendo os braços, levantando
vôo”).
O modelo aproximado para o ombro e o braço é mostrado na Figura 3.1.a, e o diagrama de corpo
livre para o ombro e braço é mostrado na Figura 3.1.b
Figura 3.1.a modelo aproximado para o ombro e o braço. b diagrama de corpo livre para
o ombro e braço.
Aplicação da HFE Como é exigido aos músculos do esqueleto humano desempenhar tarefas por
períodos prolongados de tempo , estes entram em fadiga. As bases bioquímicas e/ou biofísicas para a
fadiga muscular permanecem incertas. Entretanto fadiga muscular é caracterizada fisicamente como
a diminuição progressiva de sua capacidade de gerar força. Modificando-se o trabalho para reduzir a
força muscular pode-se aumentar a resistência e prolongar o período que antecede a fadiga.
18
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
EXEMPLO 3.1
Figura 1.3
a) Um voluntário, com altura H=1.75 M e peso W=700N, precisa continuamente esticar o braço
em um ângulo θ = 90o, segurando um sinal de carga WL=18N, onde está escrito “Desvio a
direita”, (Figuras 3.1.a e 1.3.a). Determine a força muscular exercida pelo deltóide(FM), a reação
vertical do corpo (Ry) e a reação horizontal na articulação do ombro (Rx).
b) Com o passar do tempo e quando a fadiga chega, o braço esticado desce para o ângulo de 65º.
Ache a nova força no ombro, com ângulo α = 25o, como é mostrado na Figura 1.3.b.
c) O voluntário dobra o braço no cotovelo a 90o, (tal que o antebraço fique na vertical). Ache a
força no ombro, agora com ângulo α = 30o, com é mostrado na Figura 1.3.c.
Verificaremos que ao modificar a posição do braço o voluntário reduz a força muscular em 40%.
SOLUÇÃO 3.1(a)
Dado: H= 1.75M,W=700N
Dado: WL = 18 N, θ = 90o, α = 30o
Ache: Fw, Rx, e Ry:
Usando o diagrama de corpo livre da Figura 3.1.b, e os dados:
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
19
AB =0.14M
AC=0.35M
AD =0.70M
Convenção de símbolos:
ΣFy=0:
Fm sen(30o) + Ry - 35 – 18=0
(i)
ΣFx=0:
ΣMA=0
-FM cos(30o) + Rx = 0
(ii)
[FM sen(30o)](.14) — (35)(.35) — (18)(.70) = 0
(iii)
(.5)(.14)FM — (12.25) — (12.6) = 0
(iv)
FM =
24.85
= 355N
0.07
A força exercida pelo músculo deltóide é a metade do peso do corpo! Substituindo a
equação (v) na equação (ii):
—(355)(0.866) + Rx = 0
(vi)
Rx = 307 N (à direita)
(vii)
Substituindo a equação (v) na equação (i):
(355)(0.5) + Ry - 52 = 0
Ry = 53 - 177.5 = 125.5 N (para baixo)
(viii)
(ix)
SOLUÇÃO 3.1(b)
Dado: WL = 18 N, θ = 65o, α = 25o
Ache: FM
Modifique o FBD do Exemplo 3.1(a):
AB =.14 M
AC= .35M
AD =.70 M
Desde que estamos solucionando apenas FM (nem Rx ou Ry); soma dos momentos em
A:
ΣMA=0
20
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
β= 90o — θ = 90o — 65o = 25o
(FMY)[AB cos β] — FMX[AB sen β] — (35)[AC. cos β] — (18)[AD cos β] = 0
(FM)[sen(α + β)](.14)(.906) - FM[cos (α + β)](.14)(.423) - (35)(.35)(.906) - (18)(.70)(.906) =
0
FM(.766)(.127) — FM(.643)(.059) — 11.1 — 11.4 = 0
FM =
22.5
= 379N
.0973 — .0379
Ao dobrar o braço estendido, o músculo deltóide precisa exercer ainda mais força!
SOLUÇÃO 3.1(c)
Dado: θ = 90o, α = 30o
Ache: FM (at WL)
WL é o novo carregamento do braço levantado e o cotovelo dobrado para cima à 90o. Da
Antropometria (Tabela 3.2), temos dados que dividem o peso do braço inteiro em:
WUA = W(braço) = 0.03 W
WLAH = W (antebraço e mão) = 0.02 W
O peso do novo carregamento (WLX):
WL WLAH + WL
WL = 14N + 18N = 32N
e
WuA=21N
O diagrama de corpo livre para o Exemplo 3.1(c):
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
21
AB = .14M
AC=.35M
AE = 0.175 M, aproximado
FBD simplificado:
Desde que estamos solucionando apenas FM (nem Rx ou Ry):
ΣMA=0
[FM sen(30o)](.14) — (21)(.175) — (32)(.35) = 0
(.5)(.14)FM — 3.67 — 11.20 = 0
FM=1488=213N
0.07
Ao dobrar o cotovelo para cima reduz-se a força exercida pelo músculo deltóide em 40%
(comparado com o braço reto estendido).
b.
Cotovelo e Antebraço
O sistema anatômico do cotovelo e antebraço é:
Segmento proximal: úmeros (osso do braço)
Segmento distal: Radio e ulna (ossos do antebraço)
Articulação: Cotovelo
Músculo agonista (ação): Tríceps (extensão do antebraço: abaixando o antebraço do
braço, e aumentando o ângulo do cotovelo).
Figura 3.2.a Modelo aproximado do cotovelo e antebraço. b diagrama de corpo livre do cotovelo
e antebraço .
Músculo Antagonista (ação): Bíceps (flexão do antebraço: levantamento do antebraço em direção ao
braço, diminuindo o ângulo do cotovelo).
22
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
O modelo aproximado para o cotovelo e o ante braço esta representado na Figura 3.2.a, e o FBD
para o cotovelo e antebraço é mostrado na Figura 3.2.b.
HFE Aplicação Embora muitos modelos biomecânicos do sistema muscular do esqueleto
humano considerem representada apenas a função agonista , na realidade os músculos
sempre trabalham em pares agonistas-antagonistas e muitas tarefas exigem a interação
destes pares de músculos agonistas-antagonistas. Durante o movimento em uma determinada
direção, o músculo agonista (por definição) é o primeiro a se mover nesta direção.
Entretanto a força predominante pode ser gerada pelo músculo agonista inicial alternando-se
com seu antagonista oposto, dependendo da natureza da tarefa à ser executada.
EXEMPL0 3.2
Uma porta corrediça tem duas forças opostas agindo sobre ela. Enquanto a porta é
progressivamente abaixada, há uma força mola para cima (FS) que diminui progressivamente
(Figura 3.3.a). Existe também enquanto a porta é abaixada uma força para baixo, devido ao
seu peso próprio (FD), que aumenta progressivamente (Figura 3.3.b). Uma pessoa (H = 1.67
M e W = 550 N) esta parada diretamente em frente da porta overhead roller
Figura 3.3.a Força da mola versus caída vertical. Caída vertical é a distancia da parte
superior da porta até a borda inferior da porta. WD = peso da porta quando a força da
mola é nula. b Força da porta (peso) versus caída vertical.
e puxando-a para baixo por sua beira inferior com o antebraço e a mão (enquanto o braço
encontra-se reto ao longo da lateral do corpo da pessoa). Usando as Figuras 3.2.a e 3.2.b
como referência (e então as modificando conforme as seguintes condições):
a. Se o ângulo do cotovelo (entre o braço e o antebraço) é θ = 25º quando a caída
vertical da porta (h) é 0.78 M, então temos o peso da porta (WD)de 120 N: ache a
força exercida pelo músculo tríceps (FT), a força exercida pelo músculo
bíceps(FB) e a força da reação no cotovelo (Re).
b. Se o ângulo do cotovelo (entre o braço e o antebraço) é θ = 142o quando a caída
vertical (h) é 1.41 M, ache FT, FB, e Re para o peso da porta de 120-N (WD).
SOLUÇÃO 3.2(a)
Dado: H = 1.67 M, W = 550 N
Dado: θ = 25o, h = 0.78 M, WD = 120 N
Ache: FT, FB, Re
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
23
Usando o diagrama do corpo livre da Figura 3.2.b, e dado θ e designados H, W:
AB =.025M
BC=.025M
BD = .167M
BE = .334M
Da Figura 3.3.a, ache FS:
Por inspeção:
FS = ⎛ 120N ⎞
⎟h + 120N
⎜
⎝ 2.1M ⎠
Para h = 0.78 M,
FS= - (57.1)(0.78) + 120 = 75.4 N
Da Figura 3.3.b, ache FD:
Por inspeção:
FD= ⎛ 120 N ⎞
⎟h
⎜
⎝ 2.1M ⎠
FD = (57.1)(0.78) = 44.5 N
Calcule a força resultante :
FN = FS — FD = 75.4 — 44.5 = 309 N (para cima)
Modifique o FBD para FN para cima:
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
24
ΣFy=0:
FT - Re - 11+30.9 = 0
Re = FT + 19.9
ΣMB=0:
—(FT)[AB . sen(25o)] — (11)[BD sen(25o)] + (30.9)[BE. sen(25o)] = 0
—(FT)(.025)(.423) — (11)(.167)(.423) + (30.9)(.334)(.423) = 0
—(FT)(.0106) — (.7771) + 4.3656 = 0
FT = 3.5885— 339 N (para cima)
.0106
A força resultante é exercida pelo músculo tríceps e é de aproximadamente 60% do
peso do corpo.
Ache Re:
Re = 339 + 19.9 = 359 N (para baixo)
SOLUÇÃO 3.2(b)
Dado: θ = 142o, h = 1.41 M, WD = 120 N
Ache: FT, FB, Re
Usando o FBD do Exemplo 3.2(a), exceto θ = 142o:
Ache FS (Figura 3.3.a):
FS =
FS =
—(57.1)h + 120
—(57.1)(1.41) + 120 = 39.5 N
Ache FD (Figura 3.3.a):
FD = (57.1)h
FD = (57.1)(1.41) = 80.5 N
Ache a força resultante :
FN = — FD = 39.5 — 80.5 = —41 N
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
25
Modifique o diagrama do corpo livre para FN para baixo:
ΣFy=0:
FB — Re — 11 — 41 = 0
Re = FB—52
ΣMB=0:
(FB)[BC cos(52o)] — (11)[BD cos(25o)] — (41)[BE cos(25o)] = 0
(FB)(.025)(.616) — (11)(.167)(.616) — (41)(.334)(.616) = 0
(.0154)(FB) — 1.1316 — 8.4355 = 0
FB = 9.5671 = 621 N
.0154
A força resultante é exercida pelo músculo bíceps e é de aproximadamente 110% do peso do
corpo.
Ache Re:
Re = 621 — 52 = 569 N (para baixo)