1
PARTE II
E QUILÍBRIO DA P ARTÍCULA E DO C ORPO R ÍGIDO
Neste capítulo inicialmente tratamos do equilíbrio de partículas. Em
seguida são apresentadas as definições dos centros de gravidade, centros de massa
e centróides - centros geométricos - dos corpos rígidos. São definidas as condições
gerais de equilíbrio para os corpos rígidos, isto é, corpos para os quais as
deformações são desprezadas. As equações gerais de equilíbrio para sistemas
planos de forças e sistemas espaciais de forças são apresentadas. Ao final é feita
uma análise dos modelos de vínculos mais comuns aplicados aos corpos rígidos.
2.1
C ONDIÇÕES DE E QUILÍBRIO PARA PARTÍCULAS
Nas aplicações em projetos é comum ao engenheiro usar modelos simples
quando os resultados assim obtidos são adequados em termos de aproximação aos
valores reais de casos analisados. Muitas vezes corpos rígidos são substituídos por
partículas como simplificação. Definimos como partícula um corpo rígido cujas
dimensões podem ser desprezadas. Podemos aplicar também as regras do
equilíbrio de partículas para corpos nos quais todas as forças a ele aplicadas são
concorrentes num único ponto.
Dadas várias forças aplicadas a uma partícula, ver Figura 2.1, qual ou quais
são as condições para ocorrer o equilíbrio?
Vamos definir o equilíbrio através da primeira lei de Newton: se a
resultante de todas as forças que atuam numa partícula for nula, então a sua
velocidade é constante, ou seja
n
R   Fi  0  v  c (constante)
i 1
(2.1)
2
F2
F3
F1
A
F4
Figura 2.1 - Forças aplicadas numa partícula A.
Muitas vezes diz-se que o equilíbrio estático ocorre quando a velocidade é
nula. Mas, para maior precisão de linguagem é melhor identificar o caso de
velocidade nula como condição de repouso e equilíbrio estático como qualquer
condição de força resultante nula.
Consideremos a segunda lei de Newton para partículas:
n
R   Fi  ma
(2.2)
i 1
Se a força resultante R for nula, então,
R0  a 0
(2.3)
e a velocidade é constante. Assim a condição dada em (2.1) é necessária e t ambém
suficiente para ocorrer o equilíbrio.
2.2
D IAGRAMA DE C ORPO L IVRE
Para a correta solução dos problemas de estática é sempre necessário
esboçar o diagrama de corpo livre. No caso das partículas é um diagrama simples:
resume-me no esboço de todas as forças aplicadas na partícula (conhecidas ou
incógnitas) com suas direções, ou através de suas componentes. Veja o exemplo
apresentado na Figura 2.2.
3
FAC
A
C
A
B
FAB
k
Fk
Q
P
Figura 2.2 - Diagrama de corpo livre da partícula A.
Neste caso, há três forças aplicadas em A, sendo uma aplicada pelo cabo
AB, outra pelo cabo AC e outra pela mola AD. A força desta mola é igual à força P
enquanto que a força do cabo AC, que passa pela polia, será igual à Q no caso de
se desprezar o atrito entre o mesmo e a polia.
Existe uma relação importante para molas lineares, entre as forças aplicadas
às molas e as correspondentes deformações. Esta relação é conhecida como lei de
Hooke para molas lineares, expressa da seguinte forma:
FM  k  l
(2.4)
onde k é a constante elástica da mola,  l  l  l0 é a sua deformação, sendo l o seu
comprimento quando deformada e l0 o seu comprimento quando sem carga e
correspondentemente sem deformação.
F M = k l
FM
k
l
FM
Figura 2.3 - Lei de Hooke para molas lineares de constante k.
4
2.3
S ISTEMAS DE F ORÇAS C OPLANARES
Quando todas as forças aplicadas a uma partícula estão num mesmo plano
dizemos que estas forças são coplanares. Se utilizarmos o plano xy como o plano
destas forças, podemos decompô-las nas duas coordenadas x e y. Neste caso a
aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos conduz a
n
R   Fi  0 
i 1
 F i   F  j  0
x
(2.5)
y
ou, a um sistema de duas equações escalares dadas por
F
F
2.4
x
0
y
0
(2.6)
S ISTEMAS DE F ORÇAS T RIDIMENSIONAIS
Quando não é possível colocar todas as forças aplicadas a uma partícula
num único plano, dizemos que o sistema formado por estas forças é
tridimensional. Neste caso devemos decompor todas estas forças aplicadas nas
coordenadas cartesianas xyz. A aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos
conduz a
n
R   Fi  0 
i 1
 F i   F  j   F k  0
x
y
z
(2.7)
ou a um sistema de três equações escalares
F
F
F
x
0
y
0
z
0
(2.8)
5
2.5
C ENTRO DE G RAVIDADE , C ENTRO DE M ASSA E C ENTRÓIDE
Vamos definir as propriedades de determinados pontos particulares de um
corpo rígido.
Centro de Gravidade é definido como o ponto na qual o sistema equivalente
de forças distribuídas de um corpo, devido à ação da gravidade, se resume a uma
força, denominada força-peso W ou simplesmente peso do corpo.
Da definição de sistema equivalente obtemos as seguintes relações:
W   dW   g dm
m
(2.9)
m
Considerando que o vetor aceleração da gravidade g não varia ao longo de toda a
massa do corpo rígido, temos que
W  mg
onde
m   dm
(2.10)
m
Podemos determinar as coordenadas da posição do centro de gravidade x G , y G e z G
usando as propriedades de sistemas equivalentes através de
xG W   x dW   x g dm
m
m
m
m
m
m
yG W   y dW   y g dm
(2.11)
zG W   z dW   z g dm
As coordenadas da posição do centro de massa x C , y C e z C são definidas por
xC m   x dm
m
yC m   y dm
(2.12)
m
zC m   z dm
m
Observe-se que se considerarmos a aceleração da gravidade g constante
para todos os pontos do corpo rígido, então o centro de massa coincide com o
centro de gravidade e assim será tratado em todo este texto.
6
Finalmente, considerando que a densidade de massa, ou massa específica ρ,
seja constante ao longo de todo o volume, definimos o centróide ou centro de
volume como:
x V   x dV
V
y V   y dV
(2.13)
V
z V   z dV
V
Podemos estender a definição de centróide de volume para áreas e para
linhas, através de procedimento análogo. Assim, para uma dada área A no plano
xy, o seu centróide fica dado por equações similares a (2.13), obtidas fazendo a
substituição do diferencial dV por edA. Considerando a espessura e muito pequena,
obtemos
x A   x dA
A
(2.14)
y A   y dA
A
Para uma dada linha plana de comprimento L, o seu centróide fica dado por
equações similares a (2.13), obtidas fazendo a substituição do diferencial dV por
adL. Considerando a área a da seção transversal da linha muito pequena, obtemos
x L   x dL
L
(2.15)
y L   y dL
L
Para sólidos de revolução há dois teoremas, conhecidos como teoremas de
Pappus e Guldinus, que relacionam propriedades de linhas com áreas de
superfícies geradas e propriedades de áreas com volumes dos sólidos gerados.
l
dl
r
C
rC
z
Figura 2.4 - Teorema I de Pappus e Guldinus.
7
Seja uma linha l de comprimento L, cujo centróide está na posição r C ,
conforme indicado na figura 2.4. O elemento de área de superfície dS gerado pela
rotação completa do elemento da linha dl é igual a dS  2 r dl . Portanto, a área da
superfície S gerada pela rotação completa da linha é dada por
S  2   rdl
(2.16)
L
Aplicando em (2.16) a propriedade de centróide de linha, obtemos:
S  2  rC L
Teorema I de Pappus e Guldinus
(2.17)
l
da
r
C
A
rC
z
Figura 2.5 - Teorema II de Pappus e Guldinus.
Seja a área A entre a linha l e o eixo z, e o centróide desta área na posição
r C , conforme indicado na figura 2.5. O elemento de volume dV gerado pela rotação
completa do elemento de área da é igual a dV  2 r da . Portanto, o volume V
gerado pela rotação completa desta área é dado por
V  2   rda
(2.18)
A
Aplicando em (2.18) a propriedade de centróide de área, obtemos:
V  2  rC A
Teorema II de Pappus e Guldinus
(2.19)
8
2.6
E QUILÍBRIO DE U M C ORPO R ÍGIDO
Seja um corpo rígido C, conforme mostra a figura 2.6, sobre o qual atuam
várias forças externas em diferentes pontos. Vamos identificar a força externa
resultante que atua na partícula P i como F i e a força interna que a partícula j faz
sobre i como f ij , conforme mostra a figura 2.6. Agora vamos escrever a equação de
equilíbrio desta partícula do corpo rígido da seguinte forma
Fi   f ji  0
(2.20)
j
Se somarmos as equações de equilíbrio aplicadas a todas as partículas deste corpo
rígido, obteremos
 F   f
i
i
i
ji
0
(2.21)
j
Fi
fji
z
Pi
ri
C
O
x
y
Figura 2.6 - Forças numa partícula P i de um corpo rígido C.
Se tomarmos os momentos de todas as forças que atuam na partícula P i em relação
a um ponto qualquer O, teremos como conseqüência de (2.20)
MO  ri  Fi   ri  f ji  0
(2.22)
j
Vamos somar esta equação aplicada a todos os pontos do corpo rígido,
M
i
O
  ri  Fi   ri  f ji  0
i
i
j
(2.23)
9
Uma vez que as forças internas sempre ocorrem aos pares, os segundos termos das
equações (2.21) e (2.23) são nulos. Logo estas equações de equilíbrio podem ser
escritas como
F  0
(2.24)
i
i
onde a soma se faz apenas com todas as forças externas, e
M
O
  ri  Fi  0
i
(2.25)
i
onde a soma se faz apenas com os momentos de todas as forças externas.
Outra forma de se obter as equações de equilíbrio de um corpo rígido é
fundamentada nas leis de Newton-Euler. Define-se o equilíbrio de um corpo como
o estado no qual as acelerações de todos os pontos são nulas. Isto corresponde
num corpo rígido a um estado no qual a aceleração do centro de massa e a
aceleração angular deste corpo são nulas.
Usando esta definição a s equações
(2.24) e (2.25) são obtidas imediatamente a partir das leis de Newton -Euler para o
movimento, fazendo nulas as acelerações indicadas.
Desta forma, a equação vetorial (2.24) de equilíbrio das forças externas
pode ser escrita em suas componentes x, y e z, ou seja,
F
F
F
x
y
z
0
0
0
(2.26)
e a equação vetorial (2.25) de equilíbrio dos momentos das forças externas em
relação à origem do sistema de referência O, pode ser escrita através do equilíbrio
dos momentos em relação aos eixos x, y e z, ou seja
M
M
M
x
y
z
0
0
0
(2.27)
10
Portanto, nos problemas de sistemas de forças espaciais podemos ter até
seis equações escalares de equilíbrio, linearmente independentes. Se tivermos
algumas condições particulares, como por exemplo, um sistema espacial onde
todas as forças são concorrentes, temos apenas as três equações (2.26) como
condição de equilíbrio. Outro caso particular é de um sistema espacial onde todas
as forças são paralelas. Neste caso temos apenas três equações para o equilíbrio,
sendo uma das equações (2.26) e duas das (2.27).
Para sistemas nos quais todas as forças estão num plano, por exemplo, o
plano xy, as equações (2.26) e (2.27) ficam reduzidas à:
F
F
x
y
0
0
(2.28)
e
M
z
0
(2.29)
Observe-se que neste caso, as forças correspondentes a binários aplicados devem
estar no mesmo plano das forças, pois de outra forma o sistema de forças não seria
plano.
2.7
M ODELOS DE V ÍNCULOS ENTRE C ORPOS R ÍGIDOS
Corpos rígidos estão em geral presos a outros corpos através de
determinados vínculos reais. Para os cálculos de engenharia, são criados alguns
modelos que procuram representar de forma próxima os vínculos reais.
Os modelos de vínculos introduzem restrições a movimentos, representadas
por forças e momentos de binários correspondentes à atuação dos vínculos sobre o
corpo rígido em análise. Assim, ao fazermos o diagrama do corpo livre de um
corpo rígido devemos colocar todas as forças externas aplicadas, que podemos
dividir em dois tipos: carregamentos, incluindo o peso próprio, e as ações dos
vínculos, muitas vezes denominadas reações de apoio.
Com relação à vinculação de um corpo rígido podemos considerá -la sobre
várias condições:
11
(i) vinculação incompleta que não impede completamente o movimento do
corpo rígido, permitindo o movimento em algumas direções se houver ação nestas
direções, e que o equilíbrio só pode ocorrer em condições particulares de
carregamento. Estes casos são chamados às vezes de hipostáticos.
(ii) vinculação completa que introduz um conjunto mínimo de forças ou
momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com quaisquer
carregamentos. Nestes casos qualquer movimento do corpo rígido é impedido e as
equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos são suficientes para a
determinação das condições de equilíbrio. Estes casos são chamados de
isostáticos.
(iii) vinculação completa que introduz um conjunto maior que o mínimo de
forças ou momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com
quaisquer carregamentos. Diz-se também que há vínculos redundantes. Nestes
casos, assim como no anterior, qualquer movimento do corpo rígido é impedido.
Entretanto aqui as equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos não são
suficientes para a determinação das condições de equilíbrio. Há necessidade de
equações adicionais para determinação completa dos esforços de equilíbrio. Em
geral estas equações adicionais correspondem às condições de compatibilidade de
deformações, assunto que é tratado na Mecânica dos Sólidos Deformáveis. Estes
casos são chamados de hiperestáticos.
A questão de vínculos de um corpo rígido está ligada diretamente ao
conceito de graus de liberdade. Definimos graus de liberdade ao número mínimo
de coordenadas independentes necessário para descrever o movimento de um
corpo rígido. Corpos rígidos têm no máximo 3 graus de liberdade nos movimentos
planos e 6 graus de liberdade nos movimentos espaciais. Os vínculo s são
introduzidos para limitar os movimentos. Naqueles elementos que o projeto requer
que não ocorra movimento, como nas aplicações da estática, os vínculos devem ser
escolhidos para impedir qualquer tipo de movimento.
2.7.1 Estruturas submetidas a esforços contidos num plano
Nas estruturas submetidas a um conjunto de esforços, todos num único
plano, podemos ter vínculos que tenham de 0 a 3 graus de liberdade.
12
Modelos de vínculos com 0 graus de liberdade são usualmente chamados de
engastamentos. Nestes casos o vínculo introduz esforços de tal maneira que
qualquer movimento é impedido independente da existência de outros vínculos na
estrutura. No diagrama de corpo livre este vínculo introduz 1 força de direção
desconhecida e 1 binário ou 2 forças de direções conhecidas, em geral adota-se
perpendiculares entre si, e 1 binário – ver Figura 2.7a.
Modelos de vínculos com 1 grau de liberdade são usualmente chamados de
articulações, que correspondem a pinos lisos em ligações. Estes tipos de vínculos
introduzem esforços que impedem deslocamentos lineares, mas não impedem
deslocamentos angulares. No diagrama de corpo livre introduzem 1 força de
direção desconhecida, ou 2 forças de direções conhecidas – ver Figura 2.7b. Há
também os vínculos engastamento móvel e guia com colar rígido.
Modelos de vínculos com 2 graus de liberdade são usualmente chamados de
articulações móveis, que correspondem aos apoios em superfícies sem atrito. Os
colares articulados que correm sobre guias também são vínculos com 2 graus de
liberdade.
Estes
tipos
de
vínculos
introduzem
esforços
que
impedem
deslocamentos lineares apenas na direção normal às superfícies em contato, mas
não impedem deslocamentos lineares na direção tangente às superfícies em contato
e permitem deslocamentos angulares. No diagrama do corpo livre estes vínculos
introduzem 1 força de direção conhecida – ver Figura 2.7c.
Posições da estrutura onde não há ligação a outros corpos têm 3 graus de
liberdade. De fato, neste caso não há vínculo introduzido na estrutura.
Exemplos de símbolos e vínculos em casos planos estão apresentados na
Figura 2.7.
2.7.2 Estruturas submetidas a esforços espaciais
Nas estruturas submetidas a um conjunto de esforços quaisquer, que não
estejam contidos num único plano, podemos ter vínculos que tenham de 0 a 6
graus de liberdade.
Modelos de vínculos com 0 graus de liberdade são usualmente chamados de
engastamentos. Nestes casos o vínculo introduz esforços de tal maneira que
qualquer movimento é impedido independente da existência de outros vínculos na
estrutura. Usando o sistema cartesiano, são introduzidos os seguintes esforço s no
diagrama de corpo livre: F x , F y , F z , M x , M y e M z .
13
Modelos de vínculos com 1 grau de liberdade são usualmente chamados de
articulações, que correspondem a pinos lisos em ligações. Alguns tipos de
dobradiças, guias e mancais de encosto (combinação de mancal radial e mancal
axial) também possuem apenas 1 grau de liberdade. Estes tipos de vínculos
introduzem esforços que impedem deslocamentos lineares, mas não impedem
deslocamentos angulares. Há ainda o caso de mancal com eixo de seção
retangular, que permite apenas movimentos de translaç ão numa direção.
Modelos de vínculos com 2 graus de liberdade usualmente correspondem
aos mancais radiais, considerando que impedem flexões nos eixos. Estes tipos de
vínculos permitem apenas deslocamentos lineares e angulares em relação à direção
longitudinal.
Modelos de vínculos com 3 graus de liberdade usualmente correspondem às
juntas esféricas. Podem também corresponder a mancais de encosto, quando se
desprezam os momentos de vínculos introduzidos por este tipo de apoio. Assim
são impedidos deslocamentos lineares em qualquer direção, deixando livres os
deslocamentos angulares. Este tipo de vínculo introduz no diagrama do corpo livre
uma força de direção desconhecida, ou o que é mais usual, suas 3 componentes
ortogonais.
Modelos de vínculos com 4 graus de liberdade usualmente correspondem
aos mancais radiais, considerando que não impedem flexões nos eixos. Estes tipos
de vínculos impedem apenas deslocamentos lineares nas direções radiais.
Modelos de vínculos com 5 graus de liberdade usualmente correspondem
aos apoios simples em superfícies lisas. Introduz no diagrama do corp o livre uma
força de vínculo da direção normal às superfícies em contato. Uma ligação através
de cabos também corresponde a um vínculo com 5 graus de liberdade. Portanto,
impõe restrição apenas a deslocamentos na direção deste tipo de vinculação.
Posições da estrutura onde não há ligação a outros corpos têm 6 graus de
liberdade com relação a movimentos espaciais. De fato, neste caso não há vínculo
introduzido na estrutura.
14
a) 0 GL = 3 vínculos : engastamento.
Mz
Mz
Fx
F
θ
Fy
b) 1 GL = 2 vínculos : união por pino liso, articulação, engastamento
móvel e guia.
Fx
F
θ
Fy
Mz
Fy
Mz
Fx
c) 2 GL = 1 vínculo : apoio simples, articulação móvel, colar e guia.
Fn
Fn
Fn
Figura 2.7 - Vínculos de estruturas com sistema plano de forças.
15
a) 0 GL = 6 vínculos : engastamento.
Mx
Fx
Fy
My
Mz
Fz
b) 1 GL = 5 vínculos: mancal radial com encosto, guia e eixo de seção
retangular, união por pino liso, dobradiça.
Mx
Fx
Fy
Mz
Fz
Mx
Fx
My
Mz
Fz
Fx
Fy
My
Mz
Fz
Mx
Fx
Fy
Mz
Fz
c) 2 GL = 4 vínculos: mancal radial
Mx
Fx
Mz
Fz
Figura 2.8 - Vínculos de estruturas com sistema espacial de forças.
16
d) 3 GL = 3 vínculos: junta esférica ou rótula.
Fx
Fy
Fz
e) 4 GL = 2 vínculos : mancal radial que permite rotação.
Fx
Fz
f) 5 GL = 1 vínculo: apoio simples, apoio através de rolete, fio ou cabo.
Fn
F
Figura 2.9 - Vínculos de estruturas com sistema espacial de forças.