13.00 Introdução à Ciência e Tecnologia do Oceano
Conjunto de Problemas 2 - Soluções
1. A velocidade deve satisfazer a equação de continuidade, que é, para um fluido
incompressível,
Já que w = 0, o terceiro termo desaparece e substituindo o u que nos é dado,
Esta é uma equação diferencial que pode ser resolvido por v:
Onde f (x, z) é uma função arbitrária (o único requerimento é que sua derivativa parcial com
respeito a y é zero). Entretanto, também somos informados que v = 0 a y = 0, então
podemos deduzir que f(x, z) é zero. Portanto:
2. Se as distribuições de velocidade prescritas forem válidas para o movimento de um
fluido incompressível, a forma simplificada da equação de continuidade, conforme dada
acima, pode ser satisfeita.
(a) As derivativas de velocidade relevantes são, conforme a seguir:
Seu somatório é zero, obviamente, e então a equação de continuidade para o fluxo de um
fluido incompressível é satisfeita. O fluxo está em todo lugar junto com círculos centrados
na origem e a magnitude da velocidade é inversamente proporcional à distância do centro:
onde r = (x2 + y2 )1/2 . O fluxo é indefinido próximo da origem, onde a magnitude da
velocidade vai ao infinito. Veja o esboço para o Problema 3(a).
(b) Para x2 + y2 > 1, tudo é igual como em (a). Na região x2 + y2 < 1, a equação de
continuidade é satisfeita de uma maneira trivial, isto é, cada termo é separadamente igual a
zero. Então a continuidade é satisfeita em todo lugar. No limite entre as duas regiões x2 + y2
= 1,
2
13.00, Outono de 2002 Conjunto de problemas 2 - soluções
as expressões de velocidade nas duas regiões são consistentes (dado os mesmos valores).
Na região mais interna, a magnitude da velocidade é C(x2 + y2 )1/2 . Veja o esboço para o
Problema 3(b).
(c) Um fluxo uniforme na direção z é adicionado aquele especificado em (b). A equação
de continuidade é ainda satisfeita, desde que
para w uniforme. O movimento do
plano x-y é a mesma na parte (b).
(d) Os primeiros dois termos na equação de continuidade estão inalterados de (b) e (c) e
desta forma sua soma é novamente zero. Mas o terceiro termo,
não é zero, então a
equação de continuidade para um fluido incompressível não é satisfeita.
Esboço para o problema 3(a).
3
13.00 Outono de 2002, Conjunto de problemas 2 - soluções
Esboço para o problema 3(b).
Esboço para o problema 3( e).
3. Para a descrição Euleriana de um campo de fluxo,
a aceleração
de uma partícula de fluido é dada pela derivativa substancial
4
13.00 Outono de 2002, Conjunto de problemas 2 - soluções
4. Há várias maneiras de fazer isto com base na ambiguidade da declaração do problema.
Esta solução assume que as duas colunas no arranjo de tempo foram trocadas.
Precisamos avaliar os termos numericamente:
u a x = 0, y = 0 = 20
v a x = 0, y = 0 = 10
ax = 0 = 5
5. Um veículo remotamente operado (ROV), medindo a salinida de da água, está se
movendo com velocidade
. A salinidade S da água muda com as correntes
de maré e é dada por
Encontre a taxa de mudança da salinidade da
água, conforme medido pelo ROV.
A taxa de mudança é dada por
É assim:
, onde
é a velocidade do ROV.