Introdução à Teoria dos Números - Notas 5
Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética
Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números inteiros p maiores
que 1 tais que seus únicos divisores são ±1 e ±p. Também mostramos que se um número
primo divide um produto de número inteiros, então ele divide pelo menos um destes números.
Resumimos estes resultados na proposição abaixo.
Proposição 1 Sejam p um número primo e a1 , a2 , . . . , ak números inteiros tais que p|a1 .a2 . . . . .ak .
Então, existe um ı́ndice i tal que p|ai . Em particular, se um número primo p é tal que p|an
para algum inteiro a e um número natural n, então p|a.
Aplicação 2 Mostre que não existe um número racional x tal que x2 = 2.
Solução 3 Em sala!
Observação 4 Um número inteiro n > 1 que não seja primo, será dito um número composto.
Note que n será um número composto se, e somente se, existem números inteiros a, b, com
1 < a, b < n tais que n = ab.
Análoga à proposição anterior, temos:
Proposição 5 Sejam p1 , p2 , . . . , pk números primos distintos e n um número natural. Então,
p1 .p2 . . . pk |n ⇔ pi |n ∀ i.
Prova. Exercı́cio(Por indução sobre k)
Uma proposição simples, mas muito útil, é dada abaixo.
Proposição 6 Seja n > 1 um número natural. Existe um número primo p tal que p|n, ou
seja, todo número inteiro positivo maior que 1 possui pelo menos um divisor primo.
Aplicação 7 Sejam a e b números naturais tais que mdc(a, b) = 1. Mostre que mdc(an , bm ) =
1 ∀ n, m ∈ N.
Solução 8 Em sala!
1
A proposição abaixo nos será útil para justificar o chamado “Crivo de Eratóstenes”.
n maior que 1 não é primo, então n possui um divisor
Proposição 9 Se um número inteiro
√
primo menor do que ou igual a n.
Crivo de Eratóstenes
Proposição 10 O conjunto dos números primos é infinito.
Ainda que o conjunto dos números primos seja infinito é possı́vel obtermos uma quantidade
finita de números compostos consecutivos tão grande quanto desejarmos, isto é,
Proposição 11 Para qualquer inteiro positivo n, existem n inteiros consecutivos compostos.
Vejamos, agora, o Teorema Fundamental da Aritmética.
Teorema 12 (Teorema Fundamental da Aritmética) Dado um número natural n > 1,
existem únicos números naturais k, r1 , r2 , . . . , rk e únicos números primos p1 < p2 < . . . < pk
tais que
n = pr11 pr22 . . . prkk
(1)
ou seja, qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única, a menos da
ordem, como um produto de potências de números primos distintos.
Observação 13 Quando escrevemos um número natural n na forma (1) temos a chamada
“decomposição em fatores primos de n”.
Proposição 14 Seja n um número natural tal que sua decomposição em fatores primos seja
dada por n = pr11 pr22 . . . prkk . Então, os divisores positivos de n são os números naturais a da
forma
a = ps11 ps22 . . . pskk com 0 ≤ si ≤ ri ∀ i = 1, 2, . . . , k.
Em particular, o número de divisores de n será dado por d(n) = (r1 + 1)(r2 + 1) . . . (rk + 1).
Prova. Em sala!
Proposição 15 Sejam a e b números naturais maiores que 1 tais que suas decomposições em
s
fatores primos são a = pr11 pr22 . . . prkk e b = q1s1 q2s2 . . . pj j . Então:
1) O mdc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns às duas decomposições elevados
ao menor expoente.
2) O mmc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns e não-comuns às duas decomposições elevados ao maior expoente.
Prova. Em sala—
2
Corolário 16 mdc(n, a) = mdc(n, b) = 1 ⇔ mdc(n, ab) = 1.
()
Lema 17 Seja p um número primo. Então, se 0 < i < p, teremos p| pi .
Prova. Em sala!
Teorema 18 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é um número primo e a é um número
natural, então p|(ap − a).
Prova. Em sala !
Corolário 19 Se p é um número primo e a um número natural tal que p - a, então
p|(ap−1 − 1).
Prova. Em sala !
Exercı́cio 20 1) Mostre que 3 é o único primo p tal que p, p + 2, p + 4 são todos primos.
2) Mostre que para nenhum n natural, teremos 2n + 1 um cubo.
3) Mostre que, exceto para n = 1, nenhum número da forma n3 + 1 é primo.
4) Mostre que não existe um número natural n tal que 7|4n2 − 3.
5) Mostre que para n > 1 os números n4 + 1 e n4 + n2 + 1 são, ambos, compostos.
6) Mostre que se 2n + 1 é um primo ı́mpar, então n é uma potência de 2.
7) Determine todos os possı́veis valores de n, m números naturais tais que o número 9m .10n
tenha:
(a) 27 divisores (b) 243 divisores
8) Sejam a, b números naturais com mdc(a, b) = 1. Mostre que ab é um quadrado se, e
somente se, a e b são quadrados.
9) Qual o menor número natural n tal que 1000|n!? Justifique!
10) Qual a potência de 3 que aparece na decomposição em fatores primos de 1000!? Justifique!
11) Mostre que existem infinitos números naturais n tais que 77|8n2 + 5.
12) Mostre que 42|a7 − a para todo número natural a.
13) Sendo n um número natural, nostre que é natural o número 35 n5 + 23 n3 +
14) Sendo n um número natural, mostre que 15|3n5 + 5n3 + 7n.
15) Sendo a, k ∈ N, mostre que 7|a6k − 1, se mdc(a, 7) = 1.
16) Mostre que, sendo mdc(a, 13) = mdc(b, 13) = 1, teremos 13|a12 − b12 .
13) Mostre que todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m + 1.
3
11
n.
15
14) Seja n > 2 um número natural. Mostre que entre n e n! existe um número primo.
15) Sejam a, b, n, m números naturais tais que an +bm seja primo. Mostre que mdc(n, m) =
1 ou mdc(n, m) = 2r para algum r ∈ N.
4