Exemplos:
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
M
m–1
+a2.x
m–2
3
4
3
8
3
Resolução - Pesquisa de Raízes
2
1
x - 7x + 8x - 15 = 0  não tem raiz nula.
+ ... am = 0
O primeiro membro representa um polinômio com pleto do grau m, ordenado segundo as potências de crescentes de x.
2
x - 5x + 6x - x = 0  uma raiz nula
Equação algébrica de uma incógnita, do grau m, é
toda equação reduzida à forma inteira, simplificada, que
se escreve:
a0 . x + a1 . x
5
x - 2x - 4x = 0  duas raízes nulas
Raízes Complexas
Se uma equação racional e inteira, de coeficientes
reais, admitir a raiz complexa (a + bi), também admitirá
a raiz complexa conjugada (a - bi).
Conseqüência s:
o número de raízes imaginárias é sempre par;
Raiz, zero ou solução de uma equação algébrica P (x) =
0 é o valor x 0, real ou imaginário, tal que P(x 0) = 0.
toda equação do grau ímpar tem pelo menos
uma raiz real.
Dadas as raízes x 1, x2, ..., x m de uma equação algébri ca do grau m, podemos montar sua equação mediante
a fórmula:
Raízes Irracionais
Se uma equação algébrica racional e int eira de
(x - x 1) (x - x 2) (x - x 3) ... (x - x m) = 0
coeficientes racionais admitir a raiz irracional (a +
Quantidade de raízes
também admitirá a raiz irracional conjugada (a -
b ),
b ).
Toda equação algébrica, racional e inteir a, do grau
m, admite m raízes (distintas ou não), reais ou imagi nárias. Em outras palavras, o número de raízes de uma
equação algébrica é igual ao seu grau.
TESTES
Multiplicidade
76. (CESCEM) Uma das raízes do polinômio x + 2x - 9x - 18
é -2. A soma das outras raízes é:
Pode acontecer que as m raízes de uma equação
P(x) = 0, de grau m, não sejam todas distintas. Suponhamos, por exemplo, que existam raíz es iguais a x 1
e raízes iguais a x 2.
Então, x 1 é denominada raiz de multiplicidade e x 2,
raiz de multiplicidade .
As raízes de multiplicidade 2 denominam-s e raízes
duplas. As raízes de multiplicidade 3 denominam -se
raízes tripla s. E, por extensão, as raízes simple s são
as raízes de multiplicidade 1.
Raízes nulas
Dada uma equação racional inteira P(x) = 0, se nela
existir um fator x de modo que se possa escrever a
equação sob a forma x . P1(x) = 0, onde P 1(x) seja um
polinômio racional inteiro completo, dizemos que
P(x) = 0 possui raízes nulas.
BASE
3
a)
b)
c)
d)
e)
2
-2
-1
0
1
2
77. (CESCEM) A equação 2x3 – 5x2 – x + 6 = 0 admite uma
raiz igual a 2. Então as duas outras raízes são:
a)
b)
c)
d)
e)
3/2 e 1
–1 e 1
3 e –1
3/2 e –1
3/2 e 2
78. (UEPG-PR) A soma dos quadrados das raízes da equação x3 - x2 - 9 x + 9 = 0, que tem uma raiz igual a 1, é:
a) 10
b) 14
c) 16
d) 19
e) n.d.a.
Do que foi estudado tiramos as seguintes conclusões:
uma equação com termo independente não possui
raiz nula;
uma equação sem termo independente possui um
número de raízes nulas igual ao menor expoente da
incógnita.
79. Sabendo que
P(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8 (x – 1) (x – 2) (x – 4), podemos afirmar que:
a) P(x) tem uma raiz nula.
b) P(x) tem duas raízes nulas.
c) 3 é raiz de P(x).
d) 1, 2 e 4 são raízes de P(x).
e) n.d.a
9
80. (FAE-PR) Determine o conjunto-solução da equação
x3 - 4 x = 0, sabendo-se que se suas raízes formam uma P.A.:
a)
b)
c)
d)
e)
{-2,0,2}
{0,2,4}
{4,2,0}
{-2,2,2}
{-4,0,4}
81. (PUC-PR) A equação x4 + 2x3 – 4x2 – 2x + 3 = 0 possui
uma raiz dupla igual a 1. Determine o produto das outras duas
raízes.
a)
b)
c)
d)
e)
3
-3
1
-1
4
82. (CEFET-PR) Determine m para que –2 seja raiz da equação x3 + (m +2)x2 + (1 + m)x – 2 = 0 :
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
2
0,2,3
0,3,5
0,1,3
2,3,5
2,3,7
88. (CEFET-PR) Determine a soma das raízes não inteiras da
equação 6x3 - 7 x2 - 7 x + 6 = 0.
a)
b)
c)
d)
e)
7/6
6/7
5/6
13/6
19/6
89. (UFRJ) O polinômio P(x) = x3 - 2x2 - 5x + d, d
divisível por (x - 2).
 R é
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0.
3
-4
-2
2
4
DESAFIO
83. (UEPG-PR) O polinômio P(x) = 3x3 – 13x2 + 17x – 15 tem
uma das raízes igual a 3, logo, ele é divisível por:
a)
b)
c)
d)
e)
3
87. As raízes do polinômio P(x) = x – 5 x + 6 x = 0 são:
x+ 3
x- 3
3x + 1
3x - 1
n.d.a
90. (CEFET) Seja o polinômio P(x) = a 1x3 + a 2 x2 + a 3 x + a 4.
Sabe-se que a 2 e a 4 são iguais, a soma de a 2, a 3 e a 4 é
igual a - 1, que a diferença entre a 3 e a 1 é igual a 10 e que
a soma de a 1 com a 3 é igual ao oposto do dobro de a 2. Sendo
assim, podemos afirmar que as raízes reais de P(x) são:
a)
b)
c)
d)
e)
1, raiz tripla.
1, 2, 3.
1, 11, -3.
1, -5, 6.
1, 11, -6.
APERFEIÇOAMENTO
3
2
84. (UEPG-PR) O polinômio P(x) = x - x + x + a é divisível
por x - 1. Suas raízes são:
a)
b)
c)
d)
e)
1, i , -i
-1, -i, i
0, 1, i
1, -1, -i
n.d.a.
85. (BAURU) Sabendo-se que 2 é raiz do polinômio
P(x) = 2x3 - 4x2 - 2x + 4 podemos expressá-lo em fatores
lineares, do seguinte modo:
a) P(x) = 2 (x + 2) (x – 1) (x + 1)
b) P(x) = (x - 2) (x – 1) (x + 1)
c) P(x) = 2 (x + 2) (x + 1)2
d) P(x) = 2 (x - 2) (x + 1) (x - 1)
e) n.d.a.
TESTES
BASE
91. (CEFET-PR) Determine a equação cujas raízes são 1, -1
e 2.
3
a)
b)
c)
d)
e)
2
-2x + 2x - x + 1 = 0
2x3 - 2x2 + x - 1 =0
x3 + x2 + 2 x + 2 = 0
- x3 + 2 x2 - x + 2 = 0
x3 - 2 x2 - x + 2 = 0
92. Determine o número de raízes nulas da equação
5
4
6x - 10x - 80 x +
2 = 0.
86. (UFRS) Entre os números a seguir, identifique aquele que
não pode ser raiz do polinômio 3x4 + b x3 + cx2 + d x - 4.
a) 1
b) 2
c) 4
2
3
3
e)
4
d)
10
93. Determine o número de raízes nulas da equação
3x5 - 10x2 = 0.
94. (MACK) O número de raízes reais distintas da equação
x2
1
2
= 0 é:
1 x