Lista 10 - Cônicas
Exercício 1. Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações
relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
a) (x − 3)2 = 4(y − 1);
b) (x + 1)2 = 6y;
c) (y − 3)2 = 10(x − 9);
d) (y + 9)2 = −4(x + 5);
e)
(x − 2)2 (y − 2)2
+
= 1;
16
25
f)
(x + 1)2 (y − 1)2
+
= 1;
20
36
g)
(x + 1)2 (y − 1)2
+
= 1;
20
36
h)
x2 (y − 2)2
+
= 1;
36
27
i)
y 2 x2
−
= 1;
4
16
j)
4(y − 1)2 4(x − 3)2
−
= 1;
9
27
k)
(x + 3)2 (y − 1)2
−
= 1.
4
5
Exercício 2. Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
a) x2 − 10x + 2y + 23 = 0;
b) x2 + 4x + 4y 2 + 8y + 4 = 0;
c) y 2 − 8y + 9x + 16 = 0;
d) 5y 2 − 6x − 3x2 − 10y − 13 = 0;
e) 9x2 − 18y 2 + 24y − 26 = 0;
f) 3x2 − 12x + 2y 2 + 8y + 14 = 0.
1
RESPOSTAS
Ex. 1:
a) Equação Geral: x2 − 6x − 4y + 13 = 0, Vértice: V (3, 1), Foco: F (3, 2) e Diretriz: y = 0;
7
6
p5
4
3
2
F
1
V
d
−2 −1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
−1
−2
3
b) Equação Geral: x2 + 2x − 6y + 1 = 0, Vértice: V (−1, 0), Foco: F (−1, 3/2) e Diretriz: y = − ;
2
8
7
p
6
5
4
3
2
F
1
V
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
d
−1
−2
2
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
c) Equação Geral: y 2 − 10x − 6y + 99 = 0, Vértice: V (9, 3), Foco: F (11.5, 3) e Diretriz: x = 6.5;
d
V
3
4
5
6
7
8
9
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
d) Equação Geral: y 2 + 4x + 18 + 101 = 0, Vértice: V (−5, −9), Foco: F (−6, −9) e Diretriz: x = −4;
d
1
−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
p
−6
−7
−8
F V
−9
−10
−11
−12
−13
−14
−15
3
0 1
2
√
√
e) Equação Geral: 4x2 + 25y 2 − 100 = 0, Centro: C(0, 0), Focos: F1 (− 21, 0) e F2 (+ 21, 0);
3
2
c
1
F1
F2
−5 −4 −3 −2 −1
−1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
f) Equação Geral: 25x2 + 16y 2 − 100x − 64y − 236 = 0, Centro: C(2, 2), Focos: F1 (2, −1) e F2 (2, 5);
8
7
6
F2
5
4
3
C
2
1
c
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
01 F
1
−2
−3
−4
g) Equação Geral: 9x2 + 5y 2 + 18x − 10y − 166 = 0, Centro: C(−1, 1), Focos: F1 (−1, −3) e F2 (−1, 5);
7
6
F52
4
3
2
C1
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−2
F1
−3
−4
−5
4
h) Equação Geral: 3x2 + 4y 2 − 16y = 92, Centro: C(0, 2), Focos: F1 (−3, 2) e F2 (3, 2);
9
8
7
6
5
4
3
F1
2
F2
C
1
−9−8−7−6−5−4−3−2−1
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−2
−3
−4
√
√
i) Equação Geral: x2 − 4y 2 + 16 = 0, Centro: C(0, 0), Focos: F1 (0, 2 5) e F2 (0, −2 5);
20
15
10
c 5 F2
C
−35−30−25−20−15−10 −5
−5
0 5
F1
−10
−15
−20
−25
−30
5
10 15 20 25 30 35 40 45
j) Equação Geral: 4x2 − 12y 2 − 24x + 24y + 51 = 0, Centro: C(3, 1), Focos: F1 (3, −2) e F2 (3, 4);
8
6
F2
4
2
C
−8 −6 −4 −2
−2
0 2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22
F1
−4
−6
−8
−10
k) Equação Geral: 5x2 − 4y 2 + 30x + 8y + 21 = 0, Centro: C(−3, 1), Focos: F1 (−6, 1) e F2 (0, 1);
12
10
8
6
4
F1 C 2 F2
−20−18−16−14−12−10−8 −6 −4 −2
−2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
−4
−6
−8
−10
−12
−14
Ex. 2:
a) Parábola: (x − 5)2 = −2(y − 1);
b) Elipse:
(x + 2)2
+ (y + 1)2 = 1;
4
6
c) Parábola: (y − 4)2 = −9x;
(y − 2)2
−
3
x2
e) Hiperbole:
− y−
2
d) Hiperbole:
f) Elipse:
(x + 1)2
= 1;
5
2 2
= 1;
3
(x − 2)2 (y + 2)2
+
= 1.
2
3
7