Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
7. PREVISÃO DE ENCHENTES
7.1. GENERALIDADES
O termo previsão de enchentes, neste curso, aplica-se ao cálculo de uma enchente de
projeto por extrapolação dos dados históricos para as condições mais críticas. Como exemplo,
considera-se certa seção fluviométrica de um rio para a qual se dispõe de 30 anos de dados de
vazão. Assim, a maior vazão observada tem a probabilidade aproximada de ocorrer, ou ser
superada, uma vez a cada 30 anos. Se o problema for o cálculo da vazão máxima provável de
acontecer uma vez a cada 100 anos, estar-se-á tratando, basicamente, da extrapolação de dados
históricos para a previsão da enchente de 100 anos.
É interessante fazer a distinção dos conceitos de cheia (ou enchente) e inundação. A
enchente caracteriza-se pela ocorrência da vazão relativamente grande do escoamento
superficial, enquanto a inundação distingue-se pelo extravasamento do canal. Uma enchente
pode ou não causar inundação. Obras de controle podem ser realizadas no rio para evitar a
ocorrência da inundação. Por outro lado, a existência de alguma obstrução no escoamento natural
do rio pode levar à inundação, mesmo não havendo grande aumento do escoamento superficial.
Em suma, a enchente refere-se a uma ocorrência natural, cíclica, que normalmente não afeta
diretamente os habitantes da região; já as inundações são decorrentes de alterações no uso do
solo e podem provocar danos de grandes proporções.
7.2. CÁLCULO DA VAZÃO DE ENCHENTE
O cálculo da enchente, utilizado no projeto de obras hidráulicas (bueiros, canais,
vertedores etc.), é um procedimento necessário no dimensionamento de obras de controle e
proteção contra inundações. A finalidade do cálculo da vazão de enchente pode ser:
a) para definir a vazão máxima de projeto;
b) para estabelecer, se possível, o hidrograma da cheia, isto é, para determinar a distribuição das
vazões ao longo do tempo, desde o instante em que se tem o aumento da vazão determinado pelo
escoamento superficial produzido por determinada chuva, até o fim da contribuição do
escoamento superficial.
No cálculo da vazão de enchente podem ser utilizados métodos baseados em dados de
chuva, que fazem a transformação da chuva em vazão, como o método do hidrograma unitário1 e
o método racional, vistos no capítulo anterior. Pode-se, ainda, quando se dispõe da série histórica
de vazão, recorrer a modelos ou leis de probabilidade já consagrados, que permitem prever a
enchente com base na descrição das frequências de ocorrência dos eventos extremos de vazão. A
seleção da técnica mais apropriada para a determinação da enchente de projeto depende do tipo,
quantidade e qualidade dos dados hidrológicos disponíveis.
1
O método do hidrograma unitário (método do HU) empregado no cálculo da vazão de enchente requer poucos
dados e é facilmente adaptável às chuvas de diferentes durações e intensidades. Contudo, ele não permite a
associação do período de retorno aos resultados obtidos. Mesmo quando o período de retorno da chuva é conhecido,
a transformação efetuada pelo modelo geralmente afeta a distribuição de frequência do evento.
150
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7. Previsão de Enchentes
Os métodos de transformação de chuva em vazão já foram estudados no capítulo anterior,
que trata do escoamento superficial. Por isso, no presente capítulo tratar-se-á apenas do uso de
leis de probabilidade na previsão da vazão de enchente.
7.3. PERÍODO DE RETORNO PARA O CÁLCULO DA ENCHENTE
Conforme já visto, o período de retorno ou intervalo de recorrência de uma enchente é o
tempo médio, em anos, em que a enchente é igualada ou superada pelo menos uma vez. Como
forma de determinação do período de retorno para o cálculo da vazão de enchente pode ser
utilizado um critério baseado na fixação do risco, ou um critério econômico ou, ainda, um
critério baseado na experiência do projetista, este último sendo o mais comumente adotado no
Brasil.
i) Critério de Fixação do Risco
Para a escolha do período de retorno da enchente de projeto pode-se recorrer ao
procedimento de fixação do risco assumido para o caso de a obra vir a falhar dentro do seu
tempo de vida útil. Isto porque a estrutura projetada para determinada vazão de pico correrá certo
risco de falha dentro do seu período de vida útil: isso significa que a vazão de projeto poderá ser
excedida dentro do período de vida útil da obra. A seleção do risco que se deseja correr depende
da gravidade da falha para o funcionamento da estrutura ou obra, bem como dos recursos
disponíveis para a sua construção, entre outros fatores.
Para obter uma expressão para o período de retorno em função do risco, considere o
evento de magnitude Qp2, com intervalo de recorrência Tr. Então a probabilidade de que este
evento seja igualado ou superado em um ano qualquer pode ser expressa por
PQ  Q p  
1
.
Tr
(1)
Assim, em outras palavras, se determinada obra (vertedor de barragem, galeria de águas pluviais,
bueiro, canal de sistema de drenagem, etc.) for construída para a vazão de cheia de projeto Qp,
correspondente a um intervalo de recorrência de Tr anos, então, para cada ano de funcionamento
do sistema, a probabilidade de ocorrer falha (vazão de projeto ser superada) é igual a 1/Tr.
Considerando-se somente as possibilidades de que a falha ocorra ou não, a probabilidade
de não ocorrência da falha num ano qualquer será, então, 1 1 Tr .
Para n anos de vida útil da obra, ou para um tempo de construção de n anos, a
probabilidade do sistema não falhar nenhuma vez neste período é a chamada segurança, S:
S  1  1 Tr  1  1 Tr  1  1 Tr  S  1  1 Tr .



n
(2)
n vezes
Consequentemente, numa série de n anos, o risco de falha será representado pela
probabilidade R de que ao menos um evento iguale ou exceda o evento de intervalo de
recorrência Tr. Ou seja,
R  1 S

R  1  1  1 Tr .
n
(3)
Dessa maneira, pode-se escolher o período de retorno da cheia a ser utilizado no projeto
da obra hidráulica, conhecendo-se o tempo de vida provável da estrutura, ou o tempo de duração
da sua construção, e fixando-se o risco que se deseja correr de que a obra venha a falhar. A título
de ilustração, na Tabela 7.1 apresentam-se os períodos de retorno para diferentes valores do risco
2
Qp é a vazão de pico ou de projeto.
151
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7. Previsão de Enchentes
e da vida útil provável da estrutura, calculados com base na Eq. (3). Sugere-se ao estudante
completar a tabela para os valores de Tr correspondentes ao risco assumido de 90%.
Tabela 7.1 – Período de retorno estabelecido de acordo com o critério de fixação do risco
Período de retorno, Tr (anos)
Vida provável da estrutura, n (anos)
Risco a ser
assumido
1
10
20
50
100
1000
1%
100
995
1990
4975
9950
99500
5%
20
195
390
975
1950
19496
10%
10
95
190
475
950
9492
50%
2
15
29
73
145
1443
1,0
2,7
4,9
11
22
217
90%
99%
EXEMPLO 7.1
Para uma usina hidrelétrica como a de Itaipu, para a vazão de projeto dos vertedores assumiu-se
um risco de falha de 1%. Se a vida útil do sistema é estimada em 100 anos, qual o período de
retorno da vazão de projeto?
SOLUÇÃO
A partir da Eq. (3) rearranjada, é possível expressar o período de retorno como uma função da
vida útil n e do risco R. Este período de retorno, chamado período de retorno de projeto, é
calculo como
Tr 
1
.
1  1  R 
1n
(4)
Assim, com os dados do problema,
Tr 
1
1  1  0,01
1 100
 Tr  9950 anos.
O resultado desse problema confere com aquele apresentado na Tabela 7.1.
EXEMPLO 7.2
Para a canalização de um córrego urbano adotou-se a vazão de projeto correspondente ao
período de retorno Tr = 20 anos. Se a vida útil da obra é de 50 anos, qual o risco que se corre de
a obra falhar?
SOLUÇÃO
Pela Eq. (3):
1 

R  1  1  
 20 
50
 0,92  92% .
152
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Observação:
Admitindo-se que o período de retorno de uma vazão de cheia de vazão Qp = 1.000m3/s seja de
100 anos, a probabilidade de que essa vazão seja excedida num ano qualquer será:
P{QQp} = 1/Tr = 1/100 = 0,01.
Ou seja, a “probabilidade de excedência” da vazão de 1.000m3/s será igual a 1%.
Importante compreender que ao se fixar uma cheia de 100 anos não significa que a vazão
correspondente será excedida exatamente a cada 100 anos, e sim que, para um número
extremamente grande de ocorrências, ter-se-á, em média, uma excedência da vazão de cheia a
cada 100 anos. Este período de 100 anos é, portanto, um período de retorno médio.
Vazões de enchente seguem um modelo de Bernoulli, para o qual a probabilidade de ocorrência
de um evento é independente do tempo e do histórico das ocorrências e não ocorrências. Para tal
modelo, num tempo qualquer, um evento de dada magnitude poderá ocorrer com a probabilidade
P=1/Tr, ou não ocorrer com a probabilidade (1P) = (11/Tr). Assim, por exemplo, a
probabilidade de ocorrer um único evento em 3 anos será:
P·(1P)·(1P) + (1P)·P·(1P) + (1P)·(1P)·P
que é igual a 3·P·(1P)2.
Pode-se, então, generalizar para a probabilidade de ocorrência de exatamente k eventos em n
anos, a qual será igual ao número de modos de se arranjar k valores de P, entre os n itens. Em
termos da probabilidade de excedência, isso corresponde a uma distribuição binomial de
probabilidade:
f x exatamente k eventos em n anos  C nk  P k  1  P
n k
em que:
P = probabilidade de excedência de um evento num ano qualquer;
fx = probabilidade de ocorrência de k eventos (excedência) em n anos;
n!
.
C nk 
k!n  k !
Em estudos hidrológicos, usualmente não é importante conhecer a probabilidade com que a cheia
é excedida exatamente k vezes, e sim a probabilidade de ocorrência de um ou mais eventos de
excedência em n anos. Ou seja, interessa conhecer
f x 1 ou mais eventos em n anos  1  f zero evento em n anos.
Ou,
n 0
f x 1 ou mais eventos em n anos  1  C 0n  P 0  1  P ,
que resulta em
n
f x pelo menos uma cheia em n anos  1  1  P .
A última expressão fornece, então, a probabilidade, fx, da obra ou estrutura falhar ao menos uma
vez, em anos. Representa, portanto, o risco de ocorrência R de uma cheia com vazão superior à
de projeto (ou vazão superior à de recorrência Tr), em n anos de vida útil da obra.
Alternativamente, para o tempo de vida útil do projeto, n, e para um nível de risco de falha
aceitável, R = fx100 (%), a probabilidade de excedência P e o período de retorno Tr (Tr=1/P) da
cheia de projeto podem ser calculados a partir daquela expressão, que é idêntica à Eq. (3).
EXEMPLO 7.3
Um bueiro é projetado para um intervalo de recorrência de 50 anos. Qual a probabilidade de
ocorrer exatamente uma cheia da magnitude igual à de projeto em 100 anos de vida útil da
estrutura?
153
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7. Previsão de Enchentes
SOLUÇÃO
f x exatamente k eventos em n anos  C nk  P k  1  P
No caso: Tr = 50 anos; n = 100 anos; k = 1.
Assim, P = probabilidade de excedência = 1/Tr = 1/50 = 0,02.
Portanto,
100!
1001
1
99
1
f x exatamente 1 evento em 100 anos  C100

 0,02  1  0,02  0,27
1  P  1  P 
1!100  1!
f x  0,27  27% .
n k
EXEMPLO 7.4
Qual a probabilidade do bueiro do problema exemplo 7.3 experimentar pelo menos uma cheia de
projeto em seu tempo de vida útil?
SOLUÇÃO
O que se procura, agora, é exatamente o risco:
100
R = f x pelo menos uma cheia em n  100 anos  1  1  P
Portanto,
100
R = f x pelo menos uma cheia em n  100 anos  1  1  0,02  0,87
R = f x  0,87  87% .
ii) Critério Econômico de Fixação do Risco
Pelo critério econômico, o período de retorno da vazão de projeto deveria ser aquele que
conduzisse ao menor custo global. Por exemplo, em caso de existência de seguro contra
enchentes, poder-se-ia construir uma curva que fizesse a representação dos custos anuais do
seguro em função do período de retorno Tr e, no mesmo gráfico, se lançariam os gastos anuais
de amortização do capital aplicado na obra. A soma dessas duas parcelas geraria uma nova curva
que, passando por um ponto de mínimo, produziria neste ponto o período de retorno mais
econômico. A Figura 7.1 procura ilustrar a aplicação do critério econômico.
iii) Critérios usualmente adotados no Brasil
Em geral, a ausência de seguros contra enchentes ou a dificuldade de obtenção de
informações a esse respeito conduz à utilização de outros critérios para a fixação do período de
retorno da vazão de cheia de projeto. A depender do tipo de obra, as principais variáveis
consideradas para a fixação do período de retorno são: a) a vida útil da obra, b) o tipo de
estrutura, c) a facilidade de reparação e ampliação, e d) o perigo de perda de vida. Baseado
nestes parâmetros, adotam-se os seguintes valores médios do período de retorno:
 Para o dimensionamento do extravasor de barragem de terra:
Tr  1000 anos
 Para o dimensionamento do extravasor de barragem de concreto:
Tr  500 anos
 Para galerias de águas pluviais:
Tr  5 a 20 anos
 Para pequena barragem de concreto para fim de abastecimento:
Tr  50 a 100 anos
154
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7. Previsão de Enchentes
Figura 7.1 – Obtenção do período de retorno pelo critério econômico.
7.4. USO DE LEI DE PROBABILIDADE NA PREVISÃO DE ENCHENTES
Todos os projetos de engenharia são planejados para o futuro, não havendo certeza
absoluta das exatas condições de trabalho da obra ou estrutura. Na área estrutural, por exemplo,
o projetista estabelece as cargas atuantes, mas não tem certeza de que estas cargas não serão
excedidas. Para levar em conta as incertezas, lança mão de hipóteses, baseadas na razão, e
considera fatores de segurança nos dimensionamentos. Da mesma forma, o engenheiro de
recursos hídricos não estará absolutamente certo da vazão que afetará o projeto. Contudo, deve
estar consciente de que um erro acentuado de previsão das quantidades hidrológicas poderá
causar efeitos destruidores indesejáveis, que podem inviabilizar economicamente todo o projeto.
Uma vez que o comportamento exato das vazões em anos futuros não pode ser
absolutamente previsto, procura-se introduzir leis de probabilidade de modo a estabelecer as
prováveis variações para permitir que o plano seja completado com base em um risco calculado.
Recorre-se, pois, à análise estatística com o propósito de utilizar os eventos de descargas
observadas (série histórica de vazões) num dado período, como meio de se efetuar a projeção
para um período de tempo maior.
Na previsão de enchentes, ou seja, na determinação da magnitude das vazões de pico das
cheias (que são as vazões críticas ou de projeto), recorre-se ao uso de modelos de probabilidade,
a partir de um enfoque estatístico que consiste em definir a relação entre as descargas máximas e
as correspondentes frequências de ocorrência, apoiando-se no estudo de uma série3 de dados
observados. A suposição básica é que as cheias verificadas durante um determinado período
possam ocorrer em um período futuro de características hidrológicas similares, isto é, com uma
expectativa de repetição.
As funções matemáticas de distribuição de probabilidade mais utilizadas na análise de
frequência das vazões de enchente são:
1) distribuição gama, também conhecida como distribuição Pearson tipo III;
2) transformação logarítmica da distribuição gama, também conhecida como distribuição logPearson tipo III;
3) transformação de potência da distribuição gama, ou distribuição de Kritskiy-Menkel;
3
Na análise de frequência das cheias, a série anual é mais popular do que a série parcial.
155
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7. Previsão de Enchentes
4) distribuições exponenciais, também conhecidas como distribuições de valores extremos ou
distribuições de Fisher-Tippett, que são de três tipos: tipo I, duplo exponencial, conhecida como
distribuição Gumbel; tipo II, conhecida como distribuição de Fréchet; e tipo III, conhecida como
distribuição de Goodrich ou Weibull;
5) distribuição gaussiana (distribuição normal de probabilidade);
6) transformação logarítmica da distribuição normal, também conhecida como distribuição lognormal ou distribuição de Galton.
Em princípio, não existe nenhuma razão para considerar um dos modelos acima como
superior aos demais. Por isso, na seleção da distribuição mais apropriada a ser ajustada a uma
determinada base empírica de dados recorre-se, normalmente, a técnicas matemáticas de ajuste
de curvas. Um procedimento simples e rápido, embora não necessariamente o mais preciso,
consiste em lançar os pares de valores de frequência e vazão em papel de probabilidade4. Assim,
se num dado papel de probabilidade os dados ajustarem-se segundo uma linha reta, então a
distribuição de probabilidade correspondente será considerada adequada para a realização das
previsões.
Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuições de probabilidade usadas em
hidrologia pode ser posta na forma
x Tr  x  K  s
(05)
onde:
xTr = magnitude da variável (vazão ou chuva) atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr
anos,
x = valor médio da variável considerada,
s = desvio-padrão, e
K = fator de frequência.
O fator de frequência da equação de Chow depende do tipo de distribuição, da frequência (ou
período de retorno) e do coeficiente de assimetria.
Apresentam-se, a seguir, algumas distribuições de probabilidade normalmente
empregadas na análise de frequência das cheias e outros eventos extremos.
7.4.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Um fenômeno completamente aleatório segue a distribuição de probabilidade de Gauss,
ou distribuição normal. Se uma variável aleatória x tem distribuição normal, a função densidade
de probabilidade da variável aleatória x, f(x), é dada por
 1  x   2 
f x  
exp  
 
 2
 2    
1
(06)
onde  e  são, respectivamente, a média e o desvio-padrão da população.
Para uma amostra da população, as estimativas da média e do desvio-padrão podem ser
obtidas, respectivamente, de
N
x
4
x
i 1
N
i
,
(07)
Cada distribuição terá um papel probabilidade específico.
156
Elementos de Hidrologia Aplicada
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N
s
 x
i 1
i
 x
7. Previsão de Enchentes
2
N 1
.
(08)
Ao medir x, a probabilidade de se encontrar um valor menor ou igual a um valor extremo
xp é dada pela função densidade de probabilidade acumulada:
Fx p   Px  x p   
xp

f x  dx .
(09)
Para a distribuição normal, os gráficos representativos das expressões de f(x) e F(x), em
função da variável x, são mostrados nas Figuras 7.2 e 7.3.
Em vez de plotar F(x) em escala aritmética, pode-se utilizar o chamado papel aritmético
de probabilidade, onde a escala de F(x) é tal que transforma a “curva em S”, característica da
distribuição normal, em uma reta, tendo a abscissa escala aritmética, conforme ilustrado na
Figura 7.4. Para o traçado desta reta, lança-se mão de algumas propriedades da distribuição
normal, sendo suficiente, no caso, considerar:
F( x ) = P{x < x }= 0,5;
F( x  s ) = P{X < x  s } = 0,1587;
F( x  s ) = P{X < x  s } = 0,8413.
Nos manuais de estatística e probabilidade, os valores das frequências acumuladas da
distribuição normal são fornecidos em tabelas construídas em termos de uma nova variável,
chamada de variável reduzida z, que se obtém da transformação:
z
xx
.
s
(10)
Esta nova variável z, também chamada variável normalizada, tem média zero e desvio-padrão
igual a unidade. Consequentemente, a função densidade de probabilidade escrita para a variável
normalizada z, também chamada função densidade de probabilidade normalizada, exprime-se
na forma:
f z  
 1 
exp   z 2  .
2
 2 
1
(11)
E a função densidade de probabilidade acumulada correspondente escreve-se como
Fz p   
zp

f z  dz  P{z<zp}.
(12)
As representações gráficas de f(z) e F(z) são conforme a Figura 7.5
A comparação da Eq. (10) com a Eq. (5) mostra que, para a distribuição normal, o fator
de frequência de Chow corresponde à própria variável reduzida z, isto é:
K
x Tr  x
 z.
s
(13)
Para esta distribuição simétrica, os valores de K podem, então, ser obtidos de tabelas de z
construídas em função da frequência acumulada F(z), como a Tabela 7.2. Na Tabela 7.2,
F(z) = P{Z<z} =

z

 1 
exp  z 2  dz
2
 2 
1
157
(14)
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7. Previsão de Enchentes
Figura 7.2 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade
Figura 7.3 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada
Figura 7.4 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada em papel de probabilidade
158
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7. Previsão de Enchentes
Figura 7.5 – Representações gráficas das frequências relativas e acumuladas para a variável reduzida z da
distribuição normal de probabilidade.
7.4.2 A DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL
Os registros das vazões médias diárias durante um ano hidrológico mostram que estas não
constituem um evento completamente aleatório. Em verdade, as vazões dependem de um
conjunto de fatores5, tais como precipitação, solo, vegetação, topografia, precipitação
antecedente, temperatura, estação do ano, obras no curso d’água, etc. Os pesos desses fatores na
formação do escoamento superficial, que juntamente com a contribuição subterrânea dá a vazão
do rio, não são iguais: as influências da precipitação e dos fatores geomorfológicos são mais
determinantes.
Conforme exposto, as vazões máximas anuais, isto é a série anual dos eventos extremos
constituídos pelas máximas vazões médias diárias de cada ano, por não serem tais vazões
completamente aleatórias não seguem uma distribuição de Gauss. Entretanto, se ao invés das
vazões forem considerados os logaritmos dos seus valores, esses últimos aproximam-se
relativamente bem da distribuição normal.
Assim, denotando por x à variável hidrológica (no caso, x representando a vazão Q), e
fazendo-se
y  log x
(15)
ter-se-á
f y  
 1  y  y 2 
 
exp  
 2  s y  
2


1
sy
onde
y  média dos logaritmos de x; e
s y  desvio-padrão dos logaritmos de x.
5
Tais fatores foram vistos e analisados nos capítulos anteriores.
159
(16)
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7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.2 – Função de distribuição acumulada de probabilidade – Lei normal ou de Gauss
( = 0;  = 1)
K=z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,5700
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,5359
0,5753
0,6141
06517
0,6879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9888
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
Observações:
1) Para valores negativos de z, utilizar o complemento aritmético para 1 dos valores de F(z)
correspondentes ao valor positivo. Isto é, F(–z) = 1 – F(z)  o mesmo que P{Z < –z}= 1 – P{Z<z}.
Exemplo:
F(-1) = 1 – F(1) = 1 – 0,8413 = 0,1587
F(-2,5) = 1 – F(2,5) = 1 – 0,9938 = 0,0062.
2) Para valores de F(z) < 0,5, calcular 1 – F(z), ler o valor de z e afetar esse valor do sinal negativo.
Exemplo:
F(z) = 0,1587  1 – F(z) = 0,8413  da tabela, z = –1,0.
F(z) = 0,0668  1 – F(z) = 0,9332  da tabela, z = –1,5.
160
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
Isto é,
N
y
 yi
i 1
N
N
 log x 

i
i 1
(17)
N
e
N
sy 
 y
i 1
 y
2
i
(18)
N 1
Para a variável y (transformada logarítmica de x), a função distribuição acumulada de
probabilidade, F(y), se escreve como
Fy   PY  y   f y dy
y
(19)

Os valores desta integral são fornecidos na Tabela 7.2, agora em termos da também variável
reduzida
z
yy
.
sy
(20)
Pela distribuição log-normal, a previsão da enchente de período de retorno Tr, com base
no modelo de Chow, exige que a Eq. (5) seja reescrita na forma
y Tr  y  K  s y ,
(21)
sendo K o fator de frequência de Chow determinado com o auxílio da Tabela 7.2.
Uma vez que y = log x, a variável procurada, xTr (ou a vazão QTr), se obtém da
transformação
x Tr  10
y
Tr
.
(22)
7.4.2.1 USO DO PAPEL LOGARÍTMICO DE PROBABILIDADE – POSIÇÃO DE
PLOTAGEM
Para facilitar o uso prático da distribuição log-normal, utiliza-se o chamado papel
logarítmico de probabilidade, no qual: i) a escala das abscissas é logarítmica, dispensando o
cálculo dos logaritmos da variável x (entra-se diretamente com os valores de vazão); ii) a escala
das ordenadas (escala normal de probabilidade) é tal que transforma a “curva em S” em um reta.
Quando a série de valores máximos anuais das descargas 6 é suficientemente grande (N >
30 anos de registros), a sequência de procedimentos abaixo pode ser utilizada para as estimativas
das frequências:
1o - classificar os dados da série de vazão em ordem crescente;
2o - definir a dimensão do intervalo de classe e agrupar os dados dentro dos intervalos;
3o - contar o número de observações (frequências absolutas) dentro de cada intervalo;
4o - calcular as frequências relativas (dividir o número de observações de cada intervalo pelo
total de observações);
6
Série anual dos valores médios diários na seção de um curso d’água natural (estação fluviométrica).
161
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
5o - calcular as frequências acumuladas, F(y), que são medidas das probabilidades de
ocorrência de vazões menores (ou iguais) ao valor superior da classe;
6o - plotar as frequências (probabilidades) em ordenadas e as vazões em abscissas, em papel
logarítmico de probabilidade;
7o - traçar a reta representativa da distribuição log-normal de probabilidade.
Convém destacar que a reta mencionada passa, necessariamente, pelos pontos:

F( y ) = P{ y  y }=50%
x 50%  10 y ;
F( y  s y ) = P{ y  y  s y }=15,87%; 
x 15,87%  10 ys ; e
F( y  s y ) = P{ y  y  s y }=84,13% 
x 84,13%  10 ys .
Se os valores plotados apresentarem boa aderência em relação à reta traçada poder-se-á
dizer, com boa segurança, que as frequências dos logaritmos das vazões seguem uma
distribuição normal (ou que as frequências das vazões seguem uma distribuição log-normal). Daí
surge a possibilidade de previsão de enchentes pela extrapolação dos dados históricos baseandose no modelo log-normal de probabilidade.
Alternativamente, a análise de frequência poderia ser feita utilizando-se o método de
Weibull7: os eventos, em termos de sua magnitude, são classificados em ordem decrescente,
atribuindo-se um número de ordem a cada evento. O evento de maior magnitude teria, então,
ordem m=1 e o de menor magnitude ordem m=N, sendo N o número de anos da série (na série
anual, N também é o número de dados ou observações). A frequência do evento de ordem m, ou
a probabilidade de que um evento da mesma magnitude, ou de magnitude maior, venha a ocorrer
num ano qualquer (no caso, probabilidade de excedência) pode ser calculada por
F(x) = PX  x 
m
.
N 1
(23)
Da definição de período de retorno,
Tr 
1
N 1
.

PX  x
m
(24)
No presente capítulo, foi definida a frequência F(x) como uma probabilidade de não
excedência, isto é, Fx   PX  x. Assim, como, então
Fx   PX  x  1  PX  x  1 
1
.
Tr
(25)
Para a distribuição log-normal, empregando-se as Eqs. (22) e (25), as posições de
plotagem podem ser prontamente obtidas no papel logarítmico de probabilidade.
EXEMPLO 7.5
Considere a série anual das vazões máximas diárias referidas à seção de um curso d’água natural,
conforme é fornecido nas duas primeiras colunas da Tabela 7.3. Com base nesses dados, pede-se:
a) testar visualmente, por meio de construções gráficas, a validade dos modelos normal e lognormal de probabilidade;
b) estimar as magnitudes das cheias de 100 anos e de 200 anos de recorrência.
7
V. capítulo de “Precipitação”.
162
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
SOLUÇÃO
a) Teste do modelo gaussiano de probabilidade e da distribuição log-normal
Nas colunas 5 e 8 da Tabela 7.3, os dados de vazão e do logaritmo decimal da vazão,
respectivamente, são classificados em ordem decrescente. A ordem da classificação (ranking),
m, é posta na coluna 3 da Tabela.
Pela Eq. (23), as frequências F(x), que são probabilidade de excedência (a classificação é feita
em ordem decrescente) são calculadas e subtraídas da unidade, antes de serem lançadas na
coluna 4 da Tabela 7.2, que contém os valores de F(x).8
As estatísticas média e desvio-padrão são calculadas pelas Eqs. (7), (8), (17) e (18) e os
resultados são introduzidos no final da Tabela 7.3.
Nos gráficos das Figuras 7.6 e 7.7 encontram-se lançados os valores das vazões máximas anuais,
no eixo das abscissas, em função das frequências acumuladas, nas ordenadas. Nestes gráficos, as
frequências, como calculadas na Tabela 7.3, representam as probabilidades de não excedência,
isto é, F(Qp) = P{Q < Qp}.
Para testar o modelo gaussiano, na Figura 7.6 os valores de F encontram-se em escala de
probabilidade e os valores de Q em escala aritmética (papel aritmético de probabilidade). A linha
traçada representa, neste gráfico, a distribuição normal definida pela Eq. (9). Conforme também
ilustrado na Figura 7.4, a reta passa pelos pontos característicos:
Q  Q  194,34 m /s e F=50%
3
3
Q  Q  s  194,34  84,17  110,17 m /s e F=15,87%
Q  Q  s  194,34  84,17  278,51m /s e F=84,13%.
3
A Figura 7.6 mostra que, na faixa de valores extremos de vazão, a aderência da linha aos pontos
não é boa. Nota-se, ainda, que para o caso de previsões por extrapolação dos dados históricos
com base no modelo gaussiano seriam obtidos valores subestimados das vazões.
De forma semelhante, para testar o modelo log-normal, na Figura 7.7 os valores de F encontramse em escala de probabilidade, enquanto os valores de Q são lançados em escala logarítmica
(utiliza-se o papel logarítmico de probabilidade). A linha traçada, que representa o modelo
normal de probabilidade para a função transformada logarítmica das vazões, Eq. (19), passa
agora pelos pontos:
y  y  2,24758  Q 50%  10 2 ,24758  176,84 m3/s e F=50%
y  y  s y  2,05394  Q15,87%  10 2 ,05394  113,22 m3/s e F=15,87%
y  y  s y  2,44122  Q84,13%  10 2 ,44122  276,20 m3/s e F=84,13%.
Vê-se que, neste caso, o modelo log-normal, representado pela linha reta que passa pelos pontos
acima na Figura 7.7, apresenta uma boa aderência aos dados da série.
Portanto, numa inspeção visual comparativa das duas figuras conclui-se que, pela maior
aderência dos pontos à reta, o modelo log-normal de probabilidade é superior ao modelo
gaussiano. Conclui-se, ainda, que o modelo log-normal pode ser considerado como capaz de
fornecer boas estimativas para as vazões de enchentes por extrapolação dos dados históricos.
b) Estimativas das cheias de 100 e 200 anos de recorrência
8
F(x) = 1  F(x)
163
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
Da conclusão tirada no item (a) do presente problema, as extrapolações seriam confiáveis se
realizadas empregando-se o modelo log-normal. Contudo, apenas a título de ilustração do uso do
modelo gaussiano, far-se-ão as determinações das vazões com recorrência de 100 e 200 anos por
ambos os modelos e segundo a equação de Chow (Eq. 5).
b1. Para Tr = 100 anos, F=11/Tr = 11/100 = 0,99.
 Distribuição Normal:
Da Tabela 7.2, para F=0,99  z = K  2,33. Da Eq. (5),
QTr 100  194,34  2,33  84,17  QTr 100  390,46 m3/s.
 Distribuição log-Normal:
Como antes, K = 2,33. Da Eq. (21),
y Tr 100  2,2476  2,33  0,19364  2,69878  Q Tr 100  10 2 ,69878  499,78 m3/s.
b2. Para Tr = 200 anos, F=11/Tr = 11/200 = 0,995.
 Distribuição Normal:
Da Tabela 7.2, para F=0,995  z = K  2,575. Da Eq. (5),
Q Tr 200  194,34  2,575  84,17  Q Tr 200  411,08 m3/s.
 Distribuição log-Normal:
Como antes, K = 2,575. Da Eq. (21),
y Tr 200  2,2476  2,575  0,19364  2,74622  Q Tr 200  10 2,74622  557,47 m3/s.
7.4.3 DISTRIBUIÇÃO DE PEARSON TIPO III
A função distribuição de probabilidade de Pearson tipo III constitui um caso especial da
função gama. A forma matemática da função densidade de probabilidade desta distribuição é
f x  
1 x


     
 1
  x   
exp  

   
(26)
sendo x a variável aleatória, ,  e  parâmetros da distribuição e
 


e  x  x 1dx .
0
O uso da distribuição Person tipo III para a previsão de cheias pode ser feito segundo o
método de Foster, conforme Vilela & Mattos (1975), ou ainda empregando-se a relação de
Chow, definida pela Eq. (5).
Para considerar a natureza assimétrica da distribuição de Pearson tipo III, o fator de
frequência da Eq. (5) é função da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de
assimetria, este último definido como
N
N
g

N  1  N  2
 x
i 1
 x
3
i
s3
.
(27)
com x representando a variável hidrológica, N o número de dados da série e os demais elementos
como anteriormente definidos.
164
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7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.3 – Série anual das descargas máximas diárias
(Fonte de dados: U.S. Geological Survey Open File Report I 19.2: W75, 1971)
(1)
(2)
ano
3
(3)
(4)
(5)
Q(m /s)
m
F(Q) %
1896
1897
1898
1899
1900
96,79
124,24
81,08
153,67
77,83
1
2
3
4
5
98,65
97,30
95,95
94,59
93,24
438,65
430,16
376,39
331,11
325,45
59687,91 14582419,82
55611,59 13114386,61
33142,60 6033647,34
18706,33 2558485,85
17190,12 2253815,61
2,64212
2,63363
2,57564
2,51997
2,51248
0,15566
0,14903
0,10762
0,07420
0,07017
6,1414x10-2
5,7535x10-2
3,5306x10-2
2,0211x10-2
1,8589x10-2
1901
1902
1903
1904
1905
176,31
86,32
144,33
146,03
183,10
6
7
8
9
10
91,89
90,54
89,19
87,84
86,49
319,79
314,13
305,64
297,15
294,32
15737,98
14349,91
12387,93
10570,12
9996,22
1974346,71
1718991,22
1378790,78
1086725,90
999433,11
2,50486
2,49711
2,48521
2,47298
2,46882
0,06620
0,06226
0,05647
0,05080
0,04895
1,7031x10-2
1,5537x10-2
1,3419x10-2
1,1451x10-2
1,0829x10-2
1906
1907
1908
1909
1910
205,18
144,33
123,11
96,79
99,05
11
12
13
14
15
85,14
83,78
82,43
81,08
79,73
291,49
288,66
285,83
282,72
270,83
9438,34
8896,47
8370,62
7811,22
5850,89
916944,75
839124,83
765837,36
690364,11
447540,89
2,46462
2,46039
2,45611
2,45136
2,43270
0,04711
0,04529
0,04348
0,04152
0,03427
1,0224x10-2
9,6373x10-3
9,0676x10-3
8,4618x10-3
6,3436x10-3
1911
1912
1913
1914
1915
88,30
259,79
231,21
240,27
120,56
16
17
18
19
20
78,38
77,03
75,68
74,32
72,97
259,79
253,57
240,27
240,27
231,21
4283,85
3508,32
2109,67
2109,67
1359,48
280382,47
207801,84
96899,28
96899,28
50125,45
2,41462
2,40410
2,38070
2,38070
2,36401
0,02790
0,02450
0,01772
0,01772
0,01356
4,6610x10-3
3,8344x10-3
2,3590x10-3
2,3590x10-3
1,5782x10-3
1916
1917
1918
1919
1920
253,57
228,10
205,74
179,71
305,64
21
22
23
24
25
71,62
70,27
68,92
67,57
66,22
228,10
224,70
221,87
221,02
217,91
1139,81
921,80
757,96
711,88
555,60
38481,30
27986,75
20867,51
18993,77
13096,03
2,35813
2,35160
2,34610
2,34443
2,33828
0,01222
0,01082
0,00971
0,00938
0,00823
1,3509x10-3
1,1256x10-3
9,5621x10-4
9,0849x10-4
7,4607x10-4
1921
1922
1923
1924
1925
185,65
438,65
285,83
206,02
120,84
26
27
28
29
30
64,86
63,51
62,16
60,81
59,46
215,08
211,40
210,84
210,27
206,02
430,19
291,08
272,29
253,80
136,45
8922,68
4966,16
4493,02
4043,31
1593,86
2,33260
2,32510
2,32395
2,32278
2,31391
0,00723
0,00601
0,00583
0,00565
0,00440
6,1456x10-4
4,6593x10-4
4,4547x10-4
4,2521x10-4
2,9182x10-4
1926
1927
1928
1929
1930
126,50
179,42
221,02
319,79
82,07
31
32
33
34
35
58,11
56,76
55,41
54,05
52,70
205,74
205,18
202,06
198,10
185,65
129,99
117,53
59,62
14,15
75,50
1481,97
1274,15
460,30
53,20
-655,99
2,31332
2,31214
2,30548
2,29688
2,26869
0,00432
0,00417
0,00335
0,00243
0,00045
2,8410x10-4
2,6902x10-4
1,9411x10-4
1,1986x10-4
9,4139x10-6
1931
1932
1933
1934
1935
61,13
120,56
150,56
169,80
270,83
36
37
38
39
40
51,35
50,00
48,65
47,30
45,95
183,10
179,99
179,71
179,42
176,31
126,31
205,89
214,00
222,57
325,04
-1419,62
-2954,31
-3130,65
-3320,55
-5860,14
2,26269
2,25525
2,25457
2,25387
2,24628
0,00023
0,00006
0,00005
0,00004
1,69810-6
3,4487x10-6
4,5093x10-7
3,4186x10-7
2,4896x10-7
-2,2125x10-9
1936
1937
1938
1939
1940
210,84
179,99
325,45
314,13
138,10
41
42
43
44
45
44,59
43,24
41,89
40,54
39,19
174,61
172,06
169,80
168,95
164,99
389,23
496,35
602,16
644,60
861,36
-7679,07
-11058,12
-14776,29
-16365,59
-25279,91
2,24207
2,23568
2,22994
2,22776
2,21746
0,00003
0,00014
0,00031
0,00039
0,00091
-1,6737x10-7
-1,6852x10-6
-5,4912x10-6
-7,7881x10-6
-2,7332x10-5
3
Q (m /s)
(6)
Q  Q 
2
(7)
Q  Q 
3
(8)
(9)
y=log(Q)
y  y 
(10)
2
y  y 3
(continua...)
165
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7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.3 – Série anual das descargas máximas diárias
(continuação)
(1)
(2)
ano
3
(3)
(4)
Q(m /s)
m
F(Q) %
1941
1942
1943
1944
1945
202,06
224,70
331,11
172,06
215,08
46
47
48
49
50
37,84
36,49
35,14
33,78
32,43
154,52
153,67
150,56
146,88
146,03
1585,54
1653,96
1916,59
2252,35
2333,75
-63134,65
-67264,71
-83906,29
-106893,92
-112740,89
2,18898
2,18659
2,17771
2,16696
2,16444
0,00343
0,00372
0,00488
0,00650
0,00691
-2,0118x10-4
-2,2688x10-4
-3,4110x10-4
-5,2394x10-4
-5,7464x10-4
1946
1947
1948
1949
1950
291,49
168,95
154,52
113,77
198,10
51
52
53
54
55
31,08
29,73
28,38
27,03
25,68
144,33
144,33
138,10
126,50
124,24
2500,89
2500,89
3162,81
4602,12
4913,86
-125066,76
-125066,76
-177873,17
-312202,51
-344455,89
2,15936
2,15936
2,14019
2,10209
2,09426
0,00778
0,00778
0,01153
0,02117
0,02351
-6,8667x10-4
-6,8667x10-4
-1,2384x10-3
-3,0796x10-3
-3,6040x10-3
1951
1952
1953
1954
1955
297,15
430,16
294,32
112,63
164,99
56
57
58
59
60
24,32
22,97
21,62
20,27
18,92
123,11
120,84
120,56
120,56
113,77
5073,56
5402,09
5443,33
5443,33
6491,35
-361383,83
-397047,55
-401602,61
-401602,61
-523000,74
2,09029
2,08221
2,08120
2,08120
2,05603
0,02474
0,02735
0,02768
0,02768
0,03669
-3,8911x10-3
-4,5224x10-3
-4,6055x10-3
-4,6055x10-3
-7,0285x10-3
1956
1957
1958
1959
1960
211,40
93,96
94,84
221,87
376,39
61
62
63
64
65
17,57
16,22
14,86
13,51
12,16
112,63
99,05
97,64
96,79
96,79
6676,34
9079,97
9350,68
9515,79
9515,79
-545516,75
-865220,78
-904200,21
-928254,64
-928254,64
2,05165
1,99585
1,98963
1,98583
1,98583
0,03839
0,06337
0,06654
0,06851
0,06851
-7,5210x10-3
-1,5951x10-2
-1,7164x10-2
-1,7933x10-2
-1,7933x10-2
1961
1962
1963
1964
1965
210,27
240,27
217,91
97,64
282,72
66
67
68
69
70
10,81
9,46
8,11
6,76
5,41
94,84
93,96
88,30
86,32
82,07
9900,03
10075,92
11244,25
11668,08
12604,31
-985042,20
-1011410,12
-1192327,72
-1260373,46
-1415071,56
1,97699
1,97294
1,94596
1,93611
1,91418
0,07322
0,07543
0,09097
0,09701
0,11115
-1,9812x10-2
-2,0715x10-2
-2,7440x10-2
-3,0216x10-2
-3,7058x10-2
1966
1967
1968
146,88
288,66
174,61
71
72
73
4,05
2,70
1,35
81,08
77,83
61,13
12827,58 -1452837,42
13574,32 -1581529,53
17744,61 -2363740,12
1,90891
1,89115
1,78625
0,11469 -3,8843x10-2
0,12704 -4,5283x10-2
0,21282 -9,8180x10-2
14186,74 510128,46 31110154,95
164,07326
 
Estatísticas
(5)
(6)
3
Q (m /s)
Q  Q 
2
(7)
Q  Q 
3
(8)
(9)
y=log(Q)
y  y 
y
(10)
2
2,69982
Q 
s 
194,339
84,173
sy 
2,24758
0,19364
g 
0,745
gy 
-0,200
y  y 3
-0,10185
Observação:
Os resultados encontrados no problema Exemplo 7.3 também poderiam ser obtidos graficamente,
pelas Figuras 7.6 e 7.7. Para isso, apoiando-se nas linhas retas representativas dos modelos de
probabilidade, bastaria obter os valores de vazão correspondentes às frequências de 99% e
99,5%.
166
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7. Previsão de Enchentes
Freqüência acumulada, F(Q) %
99,999
99,5
95
70
40
10
1
0,01
0
100
200
300
400
500
vazão, Q (m3/s)
Figura 7.6 – Gráfico das frequência das cheias anuais (máximos valores de cada ano), para os dados da
Tabela 7.3, em papel aritmético de probabilidade.
Freqüência acumulada, F(Q) %
99,999
99,5
95
70
40
10
1
0,01
100
1000
vazão, Q (m3/s)
Figura 7.7 – Gráfico das frequências das cheias anuais (máximos valores de cada ano), para os dados da
Tabela 7.3, em papel logarítmico de probabilidade.
167
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7. Previsão de Enchentes
Valores do fator de frequência da distribuição Pearson tipo III de probabilidade, para uso
com a Eq. (5) de Chow, são apresentados na Tabela 7.4.
A distribuição Pearson tipo III é assimétrica e não admite valores negativos da variável
hidrológica. A assimetria pode ser positiva ou negativa, conforme se procura representar na
Figura 7.8.
Figura 7.8 – Distribuições assimétricas de probabilidade: assimetria positiva para a média maior que a
mediana; assimetria negativa para a média menor que a mediana.
EXEMPLO 7.6
Usando os dados da Tabela 7.3, determinar a magnitude das cheias de 100 e de 200 anos de
recorrência, empregando a distribuição de probabilidade Pearson tipo III.
SOLUÇÃO
Das estatísticas produzidas na Tabela 7.3: Q  194,339 m3/s, s  84,173 m3/s e g  0,745 .
-
para Tr = 100 anos e g = 0,745, obtém-se K da Tabela 7.4 por interpolação:
g = 0,7  K = 2,824;
g = 0,8  K = 2,891 e g = 0,745  K=?
K  2,824
0,745  0,7

 K = 2,854
2,891  2,824
0,8  0,7
Da Eq. (5),
Q Tr 100  194,339  2,854  84,173  Q Tr 100  434,57 m3/s.
-
para Tr = 200 anos e g = 0,745, da Tabela 7.4:
g = 0,7  K = 3,223; g = 0,8  K = 3,312 e g = 0,745  K=?
K  3,223
0,745  0,7

 K = 3,263.
3,312  3,223
0,8  0,7
Da Eq. (5),
Q Tr 200  194,339  3,263  84,173  Q Tr 200  469,00 m3/s.
168
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7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.4 – Valores do fator de frequência K para a distribuição de Pearson tipo III
Coef. de
assimetria,
g
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
-1,7
-1,8
-1,9
-2,0
-2,1
-2,2
-2,3
-2,4
-2,5
-2,6
-2,7
-2,8
-2,9
-3,0
1,0101
1,0526
1
5
-0,667
-0,690
-0,714
-0,740
-0,769
-0,799
-0,832
-0,867
-0,905
-0,946
-0,990
-1,037
-1,087
-1,140
-1,197
-1,256
-1,318
-1,383
-1,449
-1,518
-1,588
-1,660
-1,733
-1,806
-1,880
-1,955
-2,029
-2,104
-2,178
-2,252
-2,326
-2,400
-2,472
-2,544
-2,615
-2,686
-2,755
-2,824
-2,891
-2,957
-3,022
-3,087
-3,149
-3,211
-3,271
-3,330
-3,388
-3,444
-3,499
-3,553
-3,605
-3,656
-3,705
-3,753
-3,800
-3,845
-3,889
-3,932
-3,973
-4,013
-4,051
-0,665
-0,688
-0,711
-0,736
-0,762
-0,790
-0,819
-0,850
-0,882
-0,914
-0,949
-0,984
-1,020
-1,056
-1,093
-1,131
-1,168
-1,206
-1,243
-1,280
-1,317
-1,353
-1,388
-1,423
-1,458
-1,491
-1,524
-1,533
-1,586
-1,616
-1,645
-1,673
-1,700
-1,726
-1,750
-1,774
-1,797
-1,819
-1,839
-1,858
-1,877
-1,894
-1,910
-1,925
-1,938
-1,951
-1,962
-1,972
-1,981
-1,989
-1,996
-2,001
-2,006
-2,009
-2,011
-2,012
-2,013
-2,012
-2,010
-2,007
-2,003
Tr,
Período
1,1111 1,2500
2
F = probabilidade de
10
20
50
-0,660
-0,681
-0,702
-0,724
-0,747
-0,771
-0,795
-0,819
-0,844
-0,869
-0,895
-0,920
-0,945
-0,970
-0,994
-1,018
-1,041
-1,064
-1,086
-1,107
-1,128
-1,147
-1,166
-1,183
-1,200
-1,216
-1,231
-1,245
-1,258
-1,270
-1,282
-1,292
-1,301
-1,309
-1,317
-1,323
-1,328
-1,333
-1,336
-1,339
-1,340
-1,341
-1,340
-1,339
-1,337
-1,333
-1,329
-1,324
-1,318
-1,310
-1,302
-1,294
-1,284
-1,274
-1,262
-1,250
-1,238
-1,224
-1,210
-1,195
-1,180
-0,636
-0,651
-0,666
-0,681
-0,696
-0,711
-0,725
-0,739
-0,752
-0,765
-0,777
-0,788
-0,799
-0,808
-0,817
-0,825
-0,832
-0,838
-0,844
-0,848
-0,852
-0,854
-0,856
-0,857
-0,857
-0,876
-0,855
-0,853
-0,850
-0,846
-0,842
-0,836
-0,830
-0,824
-0,816
-0,808
-0,800
-0,790
-0,780
-0,769
-0,758
-0,745
-0,732
-0,719
-0,705
-0,690
-0,675
-0,660
-0,643
-0,627
-0,609
-0,592
-0,574
-0,555
-0,537
-0,518
-0,499
-0,479
-0,460
-0,440
-0,420
-0,396
-0,390
-0,384
-0,376
-0,368
-0,360
-0,351
-0,341
-0,330
-0,319
-0,307
-0,294
-0,282
-0,268
-0,254
-0,240
-0,225
-0,210
-0,195
-0,180
-0,164
-0,148
-0,132
-0,116
-0,099
-0,083
-0,066
-0,050
-0,033
-0,017
0
0,017
0,033
0,050
0,066
0,083
0,099
0,116
0,132
0,148
0,164
0,180
0,195
0,210
0,225
0,240
0,254
0,268
0,282
0,294
0,307
0,319
0,330
0,341
0,351
0,360
0,368
0,376
0,384
0,390
0,396
de Retorno (anos)
5
10
25
não excedência
(%)
80
90
96
0,420
0,440
0,460
0,479
0,499
0,518
0,537
0,555
0,574
0,592
0,609
0,627
0,643
0,660
0,675
0,690
0,705
0,719
0,732
0,745
0,758
0,769
0,780
0,790
0,800
0,808
0,816
0,824
0,830
0,836
0,842
0,846
0,850
0,853
0,855
0,856
0,857
0,857
0,856
0,854
0,852
0,848
0,844
0,838
0,832
0,825
0,817
0,808
0,799
0,788
0,777
0,765
0,752
0,739
0,725
0,711
0,696
0,681
0,666
0,651
0,636
169
1,180
1,195
1,210
1,224
1,238
1,250
1,262
1,274
1,284
1,294
1,302
1,310
1,318
1,324
1,329
1,333
1,337
1,339
1,340
1,341
1,340
1,339
1,336
1,333
1,328
1,323
1,317
1,309
1,301
1,292
1,282
1,270
1,258
1,245
1,231
1,216
1,200
1,183
1,166
1,147
1,128
1,107
1,086
1,064
1,041
1,018
0,994
0,970
0,945
0,920
0,895
0,869
0,844
0,819
0,795
0,771
0,747
0,724
0,702
0,681
0,660
2,278
2,277
2,275
2,272
2,267
2,262
2,256
2,248
2,240
2,230
2,219
2,207
2,193
2,179
2,163
2,146
2,128
2,108
2,087
2,066
2,043
2,018
1,993
1,967
1,939
1,910
1,880
1,849
1,818
1,785
1,751
1,716
1,680
1,643
1,606
1,567
1,528
1,488
1,448
1,407
1,366
1,324
1,282
1,240
1,198
1,157
1,116
1,075
1,035
0,996
0,959
0,923
0,888
0,855
0,823
0,793
0,764
0,738
0,712
0,683
0,666
50
100
200
98
99
99,5
3,152
3,134
3,114
3,093
3,071
3,048
3,023
2,997
2,970
2,942
2,912
2,881
2,848
2,815
2,780
2,743
2,706
2,666
2,626
2,585
2,542
2,498
2,453
2,407
2,359
2,311
2,261
2,211
2,159
2,107
2,054
2,000
1,945
1,890
1,834
1,777
1,720
1,663
1,606
1,549
1,492
1,435
1,379
1,324
1,270
1,217
1,166
1,116
1,069
1,023
0,980
0,939
0,900
0,864
0,830
0,798
0,768
0,740
0,714
0,689
0,666
4,051
4,013
3,973
3,932
3,889
3,845
3,800
3,753
3,705
3,636
3,605
3,553
3,499
3,444
3,388
3,330
3,271
3,211
3,149
3,087
3,022
2,957
2,891
2,824
2,755
2,686
2,615
2,544
2,472
2,400
2,326
2,252
2,178
2,104
2,029
1,955
1,880
1,806
1,733
1,660
1,588
1,518
1,449
1,383
1,318
1,256
1,197
1,140
1,087
1,037
0,990
0,946
0,905
0,867
0,832
0,799
0,769
0,740
0,714
0,690
0,667
4,970
4,909
4,847
4,783
4,718
4,652
4,584
4,515
4,444
4,372
4,398
4,223
4,147
4,069
3,990
3,910
3,828
3,745
3,661
3,575
3,489
3,401
3,312
3,223
3,132
3,041
2,949
2,856
2,763
2,670
2,576
2,482
2,388
2,294
2,201
2,108
2,016
1,926
1,837
1,749
1,664
1,581
1,501
1,424
1,351
1,282
1,216
1,155
1,097
1,044
0,995
0,949
0,907
0,869
0,833
0,800
0,769
0,741
0,714
0,690
0,667
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
7.4.4 DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON TIPO III
A função de distribuição de probabilidade log-Pearson tipo III é assim denominada
porque a função de distribuição da Eq. (26) é aplicada à transformada logarítmica da variável x,
isto é,
1 y
f y  


     
 1
  y   
exp  

   
(28)
onde y = log(x) e as demais grandeza são como já definidas na seção 7.4.3.
Para obter a variável de magnitude x do evento de recorrência Tr com o emprego da
equação de Chow para a distribuição log-Pearson tipo III9 deve-se, preliminarmente, calcular as
três estatísticas: média y (Eq. 17), desvio-padrão sy (Eq. 18) e coeficiente de assimetria, gy,
agora definido como
N
gy 
N

N  1  N  2
 log x
i 1
sy
 y
3
i
.
3
(29)
Com as Eqs. (21) e (22), determina-se a variável x Tr . De forma resumida, deve-se proceder de
acordo com a seguinte marcha de procedimentos de cálculo:
i) construir a série para a variável transformada, calculando a transformada logarítmica,
y i  log x i ;
ii) calcular a média y , o desvio-padrão sy e o coeficiente de assimetria gy para a série
transformada;
iii) obter, por meio da Tabela 7.4, o fator de frequência em função do coeficiente de assimetria gy
e do período de retorno Tr;
iv) calcular y Tr por meio da Eq. (21) de Chow e obter x Tr pela Eq. (22): y Tr  y  K  s y 
x Tr  10 yTr .
EXEMPLO 7.7
Empregando os dados da Tabela 7.3, determinar as magnitudes das cheias de 100 e 200 anos de
recorrência com base na distribuição log-Pearson tipo III.
SOLUÇÃO
Das estatísticas produzidas conforme a Tabela 7.3: y  2,24758 , s y  0,19364 e g y  0,200 .
 para Tr = 100 anos e gy = 0,200, obtém-se K diretamente da Tabela 7.4  K = 2,178.
Da Eq. (21),
y Tr 100  2,24758  2,178  0,19364  2,66933  Q Tr 100  10 2 ,66933  467,01m3/s.
 para Tr = 200 anos e gy = 0,200, da Tabela 4  K = 2,388.
Da Eq. (21),
9
Com o fim de estabelecer uma padronização de procedimentos, o U.S. Water Resources Council adotou, em 1967,
a distribuição log-Pearson tipo III como o padrão para uso pelas agências federais americanas.
170
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
y Tr 200  2,24758  2,388  0,19364  2,70999  Q Tr 200  10 2 ,70999  512,85 m3/s.
4.5 DISTRIBUIÇÃO TIPO I DE FISHER-TIPPETT OU GUMBEL
Em 1928, Fisher e Tippett, tomando de vários conjuntos de muitas amostras o maior
valor de cada conjunto, mostraram que a distribuição dos valores extremos é independente da
distribuição original e se comporta como função limite. Gumbel, em 1945, sugeriu que essa
distribuição de valores extremos seria apropriada para a análise de frequência das cheias, desde
que a série fosse anual, isto é, cada vazão da série de valores extremos fosse a maior vazão de
uma amostra de 365 possibilidades (maior vazão do ano).
Apoiando-se no argumento de que não há limite físico para o valor da máxima vazão de
enchente, Gumbel sugeriu que a probabilidade de ocorrência da cheia de magnitude igual ou
superior a um dado valor x (probabilidade de excedência) pode ser expressa por
PX  x  1  e e
y
(30)
sendo e a base dos logaritmos neperianos e y uma variável reduzida, definida pela expressão
y
1
x  x  0,45  s .
0,7797  s
(31)
Ou, definindo-se a frequência F(x) pela probabilidade de não excedência,
Fx   PX  x  e e .
y
(32)
EXEMPLO 7.8
Obter a expressão do fator de frequência de Chow em função do período de retorno para a
distribuição de Gumbel.
SOLUÇÃO
Comparando-se a equação de Chow (Eq. 5) com a Eq. (31), obtém-se
y
1
K  0,45 .
0,7797
(33)
Da Eq. (30), lembrando que PX  x  1 Tr , tem-se 1 Tr  1  e e . Exprime-se, então, y em
função de Tr:
y

1 

y   ln  ln1   .
 Tr 

(34)
Finalmente, pelas equações (33) e (34),

K  0,45  0,7797 ln


1  

 ln 1  Tr   .

 

171
(35)
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
EXEMPLO 7.9
Com base nos dados da Tabela 7.3, calcular os períodos de retorno das seguintes vazões de
enchente: a) Q = Q = 194,34m3/s; b) Q = 500m3/s.
SOLUÇÃO
a) Neste caso, busca-se determinar o período de retorno da média da série. Da Eq. (31) tem-se
y
que, se Q = Q  y = 0,5771. E, como 1 Tr  1  e e , tem-se
Tr 
1
1  e e
y

1
1  e e
 0 ,5771
 2,33 anos.
Portanto, para a distribuição Gumbel o período de retorno da vazão média é igual a 2,33 anos.
Isto é, existe uma probabilidade teórica de aproximadamente 43% de ocorrer uma vazão igual ou
superior à média em um ano qualquer10.
b) Para obter o Tr correspondente a Q = 500m3/s, calcula-se inicialmente o valor de y da Eq.
(31). Com Q = 194,34m3/s e s = 84,17m3/s,
y
1
500  194,34  0,45  84,17  5,235 .
0,7797  84,17
Finalmente, calcula-se Tr
Tr 
1
1  e e
 5 ,235
 188 anos.
Deve ser apontado que a expressão analítica do coeficiente K em função de Tr, na forma
da Eq. (35), aplica-se apenas ao caso da distribuição Gumbel, referida a uma amostra muito
grande (dita Gumbel teórica, com N = ). Para os casos reais de séries de tamanho finito
(quando a distribuição é também conhecida como Gumbel-Chow), o fator de frequência deve
considerar ainda o tamanho N da série, isto é, K = K(Tr, N). Para esse último caso, apresentamse na Tabela 7.5 os valores de K para diferentes períodos de retorno e tamanhos de amostra. Na
última linha desta tabela incluem-se os valores de K para a amostra de tamanho infinito.
EXEMPLO 7.10
Usando os dados da Tabela 7.3, estimar as magnitudes das cheias de 50 e 100 anos de
recorrência, com base na distribuição Gumbel-Chow.
SOLUÇÃO
Da Tabela 7.3, Q  194,339m3/s e s  84,173m3/s.
 para Tr = 100 anos e N=73, obtém-se K diretamente da Tabela 7.5  K = 3,4044.
Pela Eq. (5),
10
Note que, para a distribuição normal, esta probabilidade seria de 50%. Isto é, para a distribuição normal, o período
de retorno da média é de 2 anos.
172
Elementos de Hidrologia Aplicada
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7. Previsão de Enchentes
Q  194,339  3,4044  84,173  Q  480,90 m3/s.
para Tr = 50 anos e N=73, da Tabela 7.5 K = 2,8167.
Pela Eq. (05),
Q  194,339  2,8167  84,173  Q  431,43 m3/s.
7.4.5.1 USO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE GUMBEL
As respostas ao problema-exemplo 7.10 também poderiam ser obtidas por meio da
construção do gráfico de frequência, com o emprego do papel de probabilidade de Gumbel. O
papel de Gumbel apresenta uma escala linear (abscissa) para a variável sendo estudada (evento
extremo, chuva ou vazão) e uma escalar linear para a variável reduzida de Gumbel, y (ordenada).
Por conveniência e para facilitar o lançamento dos dados em gráfico, escalas deformadas de Tr e
F também são construídas (ordenadas). Na Figura 7.9 é apresentado o papel de probabilidade de
Gumbel. Sugere-se ao aluno repetir o problema-exemplo 7.10 utilizando a construção do gráfico
de probabilidade.
7.5 FÓRMULAS PRÁTICAS PARA A VAZÃO DE ENCHENTE DE PROJETO
No passado, para o cálculo da enchente de projeto, os engenheiros sempre recorriam ao
uso de equações empíricas da vazão. Estas equações, ainda hoje utilizadas, são normalmente
escritas em termos das características físicas e climáticas locais. Uma das formas mais simples
dessas equações empíricas exprime a vazão em função da área de drenagem da bacia
hidrográfica, na forma
Q  c  An ,
(36)
onde c e n são coeficientes empíricos.
O expoente n da Eq. (36) é frequentemente tomado como n= –0,5, indicando que os picos
de vazão variam inversamente com a raiz quadrada da área de drenagem. Por essa formulação
simples, as influências dos outros fatores recaem sobre o coeficiente c.
Algumas outras fórmulas empíricas incluem, ainda, fatores que levam em conta, por
exemplo, a forma da bacia hidrográfica e a precipitação anual média, numa tentativa de reduzir a
influência das variações no valor do coeficiente c.
O emprego de fórmulas do tipo da Eq. (36) ocorreu com mais intensidade no passado,
basicamente pela ausência de dados hidrométricos que permitissem o emprego de métodos mais
precisos e elaborados, como aqueles discutidos no presente capítulo. As fórmulas práticas são
ainda hoje utilizadas na forma conhecida como modelos de regionalização e requerem uma boa e
confiável base de dados para produzir um ajuste estatístico satisfatório.
Deve ficar claro que uma expressão tão simples como a Eq. (36) não é, em geral, capaz
de representar a complexidade dos fenômenos envolvidos na ocorrência de uma cheia. Ademais,
fórmulas desse tipo não permitem a introdução da análise de probabilidade para a vazão
calculada. Atualmente, em face da existência de uma quantidade relativamente abundante de
dados e com a melhor compreensão dos fenômenos hidrológicos, não mais se justifica o emprego
das fórmulas empíricas.
173
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow
tamanho
da
Amostra
N
Período de retorno, Tr, em anos
15
20
25
50
75
Probabilidade de não excedência, F (%)
93,33
95
96
98
98,67
2,8467 3,5874
2,7894 3,5163
2,7409 3,4563
2,6993 3,4048
2,6632 3,3600
2
5
10
100
1000
10
11
12
13
14
50
-0,1355
-0,1376
-0,1393
-0,1408
-0,1422
80
1,0580
1,0338
1,0134
0,9958
0,9806
90
1,8483
1,8094
1,7766
1,7484
1,7240
99
4,3227
4,2379
4,1664
4,1050
4,0517
99,9
15
16
17
18
19
-0,1434
-0,1444
-0,1454
-0,1463
-0,1470
0,9672
0,9553
0,9447
0,9352
0,9265
1,7025
1,6835
1,6665
1,6512
1,6373
2,117
2,410
2,6316
2,6035
2,5784
2,5559
2,5354
3,3208
3,2860
3,2549
3,2270
3,2017
3,721
4,0049
3,9635
3,9265
3,8932
3,8631
6,265
20
21
22
23
24
-0,1478
-0,1484
-0,1490
-0,1496
-0,1501
0,9187
0,9115
0,9049
0,8988
0,8931
1,6247
1,6132
1,6026
1,5929
1,5838
2,023
2,302
2,5169
2,4999
2,4843
2,4699
2,4565
3,1787
3,1576
3,1383
3,1205
3,1040
3,563
3,8356
3,8106
3,7875
3,7663
3,7466
6,006
25
26
27
28
29
-0,1506
-0,1510
-0,1515
-0,1518
-0,1522
0,8879
0,8830
0,8784
0,8742
0,8701
1,5754
1,5676
1,5603
1,5535
1,5470
1,963
2,235
2,4442
2,4326
2,4219
2,4118
2,4023
3,0886
3,0743
3,0610
3,0485
3,0368
3,463
3,7283
3,7113
3,6954
3,6805
3,6665
5,842
30
31
32
33
34
-0,1526
-0,1529
-0,1532
-0,1535
-0,1538
0,8664
0,8628
0,8594
0,8562
0,8532
1,5410
1,5353
1,5299
1,5248
1,5199
1,922
2,188
2,3934
2,3850
2,3770
2,3695
2,3623
3,0257
3,0153
3,0054
2,9961
2,9873
3,393
3,6534
3,6410
3,6292
3,6181
3,6076
5,727
35
36
37
38
39
-0,1540
-,01543
-0,1545
-0,1548
-0,1550
0,8504
0,8476
0,8450
0,8425
0,8402
1,5153
1,5110
1,5068
1,5028
1,4990
1,891
2,152
2,3556
2,3491
2,3430
2,3371
2,3315
2,9789
2,9709
2,9633
2,9561
2,9491
3,341
3,5976
3,5881
3,5790
3,5704
3,5622
40
41
42
43
44
-0,1552
-0,1554
-0,1556
-0,1557
-0,1559
0,8379
0,8357
0,8337
0,8317
0,8298
1,4954
1,4920
1,4886
1,4854
1,4824
1,866
2,126
2,3262
2,3211
2,3162
2,3115
2,3069
2,9425
2,9362
2,9301
2,9243
2,9187
3,301
3,5543
3,5467
3,5395
3,5325
3,5259
5,576
45
46
47
48
49
-0,1561
-0,1562
-0,1564
-0,1566
-0,1567
0,8279
0,8262
0,8245
0,8228
0,8212
1,4794
1,4766
1,4739
1,4712
1,4687
1,847
2,104
2,3026
2,2984
2,2944
2,2905
2,2868
2,9133
2,9081
2,9031
2,8983
2,8937
3,268
3,5194
3,5133
3,5073
3,5016
3,4961
5,478
50
51
52
53
54
-0,1568
-0,1570
-0,1571
-0,1572
-0,1573
0,8197
0,8182
0,8168
0,8154
0,8141
1,4663
1,4639
1,4616
1,4594
1,4573
1,831
2,086
2,2832
2,2797
2,2763
2,2731
2,2699
2,8892
2,8849
2,8807
2,8767
2,8728
3,241
3,4908
3,4856
3,4807
3,4759
3,4712
(continua)
174
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
Tabela 7.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow
(continuação)
tamanho
da
amostra
N
Período de retorno, Tr, em anos
15
20
25
50
75
Probabilidade de não excedência, F (%)
93,33
95
96
98
98,67
1,818
2,071
2,2669 2,8690
3,219
2,2639 2,8653
2,2610 2,8618
2,2583 2,8583
2,2556 2,8550
2
5
10
55
56
57
58
59
50
-0,1575
-0,1576
-0,1577
-0,1578
-0,1579
80
0,8128
0,8116
0,8103
0,8092
0,8080
90
1,4552
1,4532
1,4512
1,4494
1,4475
60
61
62
63
64
-0,1580
-0,1581
-0,1582
-0,1583
-0,1583
0,8069
0,8058
0,8048
0,8038
0,8028
1,4458
1,4440
1,4424
1,4407
1,4391
1,806
2,059
2,2529
2,2504
2,2479
2,2455
2,2432
2,8518
2,8486
2,8455
2,8426
2,8397
3,200
3,4461
3,4424
3,4387
3,4352
3,4317
65
66
67
68
69
-0,1584
-0,1585
-0,1586
-0,1587
-0,1587
0,8018
0,8009
0,8000
0,7991
0,7982
1,4376
1,4361
1,4346
1,4332
1,4318
1,796
2,048
2,2409
2,2387
2,2365
2,2344
2,2324
2,8368
2,8341
2,8314
2,8288
2,8263
3,183
3,4284
3,4251
3,4219
3,4188
3,4158
70
71
72
73
74
-0,1588
-0,1589
-0,1590
-0,1590
-0,1591
0,7974
0,7965
0,7957
0,7950
0,7942
1,4305
1,4291
1,4278
1,4266
1,4254
1,788
2,038
2,2304
2,2284
2,2265
2,2246
2,2228
2,8238
2,8214
2,8190
2,8167
2,8144
3,169
3,4128
3,4099
3,4071
3,4044
3,4017
75
76
77
78
79
-0,1592
-0,1592
-0,1593
-0,1593
-0,1594
0,7934
0,7927
0,7920
0,7913
0,7906
1,4242
1,4230
1,4218
1,4207
1,4196
1,780
2,029
2,2211
2,2193
2,2176
2,2160
2,2143
2,8122
2,8101
2,8080
2,8059
2,8039
3,155
3,3991
3,3965
3,3940
3,3916
3,3892
80
81
82
83
84
-0,1595
-0,1595
-0,1596
-0,1596
-0,1597
0,7899
0,7893
0,7886
0,7880
0,7874
1,4185
1,4175
1,4165
1,4154
1,4145
1,773
2,020
2,2128
2,2112
2,2097
2,2082
2,2067
2,8020
2,8000
2,7982
2,7963
2,7945
3,145
3,3868
3,3845
3,3823
3,3801
3,3779
85
86
87
88
89
-0,1597
-0,1598
-0,1598
-0,1599
-0,1599
0,7868
0,7862
0,7856
0,7851
0,7845
1,4135
1,4125
1,4116
1,4107
1,4098
1,767
2,013
2,2053
2,2039
2,2026
2,2012
2,1999
2,7927
2,7910
2,7893
2,7877
2,7860
3,135
3,3758
3,3738
3,3717
3,3698
3,3678
90
91
92
93
94
-0,1600
-0,1600
-0,1601
-0,1601
-0,1602
0,7840
0,7834
0,7829
0,7824
0,7819
1,4089
1,4081
1,4072
1,4064
1,4056
1,762
2,007
2,1986
2,1973
2,1961
2,1949
2,1937
2,7844
2,7828
2,7813
2,7798
2,7783
3,125
3,3659
3,3640
3,3622
3,3604
3,3586
95
96
97
98
99
100
-0,1602
-0,1602
-0,1603
-0,1603
-0,1604
-0,1604
0,7814
0,7809
0,7804
0,7800
0,7795
0,7791
1,4048
1,4040
1,4033
1,4025
1,4018
1,4010
1,757
2,002
1,998
2,7769
2,7754
2,7740
2,7726
2,7713
2,7700
3,116
1,752
2,1925
2,1913
2,1902
2,1891
2,1880
2,1869
3,109
3,3569
3,3552
3,3535
3,3519
3,3503
3,3487
5,261

-0,1642
0,7197
1,3048
1,6350
1,8662
2,0442
2,5927
2,9115
3,1372
4,9363
175
100
1000
99
3,4667
3,4623
3,4581
3,4540
3,4500
99,9
5,359
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
Figura 7.9 – Papel de probabilidade de Gumbel para a distribuição de frequência de eventos extremos
176
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
BIBLIOGRAFIA
CETESB. Drenagem Urbana: Manual de Projeto. 121 – Água. Convênio CETESB –
ASCETESB.
HAAN, C.T., (1977). Statistical Methods in Hydrology. The Iowa State University Press.
HWANG, N.H.C. (1984). Fundamentos de Sistemas de Engenharia Hidráulica. Prentice-Hall do
Brasil.
LINSLEY, R.K. & FRANZINI, J.B. (1987). Water-Resources Engineering. McGraw-Hill Int.
Ed. – Civil Engineering Series.
RIGHETTO, A.M., (1998). Hidrologia e Recursos Hídricos. S. Carlos: EESC/USP
TUCCI, C.E.M., PORTO, R. L. & BARROS, M.T. – organizadores (1995). Drenagem Urbana.
Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Ed. da UFRGS.
TUCCI, C.E.M. (organizador), (1993). Hidrologia: Ciência e Aplicação. Porto Alegre, Ed.
UFRGS/ABRH/EDUSP. Coleção ABRH de Recursos Hídricos – v. 4.
VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. Ed. McGraw-Hill do Brasil.
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Vol. I: Data acquisition and processing. WMO - No168 – 4a ed. Secretariat of the World
Meteorological Organization – Geneva – Switzerland.
WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION, (1983). Guide to hydrological practices –
Vol. II: Analysis, forecasting and other applications. WMO - No168 – 4a ed. Secretariat of
the World Meteorological Organization – Geneva – Switzerland.
177
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
EXERCÍCIOS: PREVISÃO DE ENCHENTES
7.1) Uma usina hidrelétrica tem vida útil de 50 anos. Qual o risco que se corre se o seu vertedor é
projetado para uma cheia de tempo de recorrência igual a:
a) vida útil da obra? ; b) 1000 anos?; c) 10000 anos?
R: a) 63%; b) 4,8%; c) 0,5%.
7.2) Qual o período de retorno a considerar no projeto da hidrelétrica com vida útil de 50 anos,
se se admite um risco de 10%?
R: Tr = 475 anos.
7.3) Que período de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma galeria de drenagem de
uma rodovia, se ele está disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos
próximos 5 anos?
R: Tr = 48 anos.
7.4) Uma ensecadeira deverá ser construída para proteger as atividades de construção de uma
barragem durante os 5 anos de obra. Se a ensecadeira é projetada para resistir uma cheia de 20
anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassada a) no primeiro ano?; b) em um ano
qualquer dos 5 anos de construção da barragem? ; c) em nenhum ano dos 5 anos de construção?
R: a) 5,0%; b) 22,6%; c) 77,4%.
7.5) O conjunto de dados abaixo foi obtido em um posto de medição de vazão, no período de
1940 a 1959 (inclusive).
3
 média das cheias anuais (série anual): 198,24 m /s;
3
 desvio-padrão das cheias anuais: 28,32 m /s;
 coeficiente de assimetria das cheias: 1,0;
 média dos logaritmos (base 10) das cheias anuais: 1,27;
 desvio-padrão dos logaritmos das cheias anuais: 0,50;
 coeficiente de assimetria dos logaritmos das cheias anuais: 0,2.
Com base nestes dados, determinar a magnitude da cheia de 100 anos, assumindo que os picos
de vazão sigam as distribuições: a) Normal; b) Log-normal; c) Pearson tipo III; d) Log-Pearson
tipo III; e) Gumbel (teórica); f) Gumbel-Chow.
R: a) 264m3/s; b) 271m3/s; c) R: 284m3/s; d) 320m3/s; e) 287m3/s; f) 307m3/s
7.6) Os dados de vazões máximas anuais da bacia do rio Jacupiranga, correspondentes a 28 anos
de observação são fornecidos na tabela abaixo. a) Estimar as cheias de 100 anos e de 1000 anos
com base nas distribuições Log-normal, Log-Pearson III e Gumbel-Chow. b) Discutir os
resultados, lançando os dados em papel de probabilidade. (Utilizar relação de Weibull para a
posição de plotagem: dados da série anual em ordem decrescente):
Ordem m
Q(m3/s)
Ordem m
Q(m3/s)
Ordem m
Q(m3/s)
Ordem m
Q(m3/s)
1
2
3
4
5
6
7
261
239
210
196
190
189
189
8
9
10
11
12
13
14
182
180
179
176
172
170
169
15
16
17
18
19
20
21
167
163
158
153
151
151
150
22
23
24
25
26
27
28
150
140
137
126
120
111
104
7.7) As cheias anuais de um rio seguem uma distribuição Log-normal de probabilidade. A cheia
de período de recorrência de 2 anos foi estimada em 113m3/s e a de 10 anos em 150m3/s.
Determine a magnitude da cheia de 25 anos.
R: QTr=25 =166m3/s.
178
Elementos de Hidrologia Aplicada
Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
7. Previsão de Enchentes
7.8) Repetir o Exemplo 7.10 utilizando a construção gráfica em papel de probabilidade de
Gumbel.
7.9) O registro das máximas vazões anuais em um rio, levantado durante 40 anos, indica que tais
eventos se distribuem segundo Gumbel e têm média e desvio-padrão respectivamente iguais a
60m3/s e 23m3/s.
a) Qual a probabilidade de ocorrer um evento de magnitude menor que 85 m3/s?
b) Qual o valor de uma cheia com período de retorno de 200 anos?
c) Qual a probabilidade de que ao menos uma cheia com período de retorno de 100 anos venha
ocorrer durante os próximos 25 anos?
R: a) P{Q<85}=87%; b) Q200=144,6m3/s; c) R=22,2%.
7.10) Demonstre que o período de retorno da média, na distribuição de Gumbel, é 2,33 anos.
7.11) Determine, pelo método de Gumbel-Chow, o valor médio de uma série histórica de eventos
máximos com 35 anos de observações, sabendo-se que: i) o evento de magnitude 180 m3/s tem
período de retorno de 50 anos; e ii) o desvio-padrão da amostra é de 30 m3/s.
R: Q  90,6 m3/s.
7.12) Considere os dados das vazões máximas observadas no rio Jaguari, em Posto Jaguariúna
(área de drenagem da bacia igual a 2.220 km2), conforme tabela abaixo. Obter as enchentes com
tempos de recorrência de 50, 100, 200 e 1000 anos, considerando as distribuição das vazões
Normal, log-Normal, log-Pearson e Gumbel.
data
01/02/1931
09/12/1932
17/12/1933
05/01/1934
21/12/1935
07/03/1936
19/12/1937
22/12/1938
24/01/1939
14/01/1940
29/09/1941
Q(m3/s)
314,0
165,0
113,0
109,0
289,0
121,0
225,0
153,0
139,0
250,0
75,7
data
11/03/1942
15/03/1943
07/03/1944
05/02/1945
28/01/1946
04/03/1947
16/03/1948
09/02/1949
24/02/1950
19/01/1951
26/02/1952
179
Q(m3/s)
96,4
244,0
116,0
240,0
167,0
302,0
182,0
93,1
212,0
171,0
163,0
data
29/03/1953
13/02/1954
17/01/1955
05/01/1956
21/01/1957
29/01/1958
23/03/1959
25/02/1960
23/12/1961
17/03/1962
31/12/1963
21/02/1964
Q(m3/s)
51,9
169,0
102,0
135,0
206,0
425,0
95,0
123,0
490,0
212,0
237,0
205,0