Universidade Federal do ABC Bacharelado em Ciência e Tecnologia Evolução dos Conceitos Matemáticos Daniel Miranda Questionário I Matemática empı́rica e matemática grega Exercı́cio 1 Usando a figura seguinte obtenha uma aproximação para π e para a área do cı́rculo de raio 1. Compare as suas estimativas, por exemplo, com as estimativas dos egı́pcios. Qual tipo de método de obtenção de conhecimento este exemplo ilustra? E, em especial, qual o significado deste conhecimento, e.g., tem caráter empı́rico, justifica-se indutivamente, tem a propriedade da infalibilidade? Exercı́cio 2 Explique como podemos empiricamente “mostrar“ que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Exercı́cio 3 O Teorema de Pitágoras, um célebre dos teoremas da matemática, estabelece uma relação, ora designada Pgora, entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 1 Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 2 Em outras palavras, se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o Teorema afirma que: c2 = a2 + b2 . Os babilônios conheciam um resultado análogo, diremos o fato que expressa o cálculo para valores de associados à medidas de comprimentos em diversas aplicações. E, aplicavam-no reiteradamente a muitas situações práticas de cálculo. Conforme as informações arqueológicas e históricas disponı́veis e a análise das informações, interrogamos se poderı́amos asseverar acima de qualquer dúvida que os babilônicos tinham uma compreensão que a regra (ou procedimento) de cálculo da relação entre medidas (e.g., comprimentos relativo a terrenos) seria um teorema, no sentido da expressão Teorema de Pitágoras? Examine a natureza da relação Pgora, em especial, quanto ao significado de ser uma relação matemática ou um fato matemático. Parece provável que a primeira demonstração desta relação seja devida a Pitágoras (ou aos trabalhos da Escola Pitagórica). Conquanto não saibamos de qual modo Pitágoras demonstrou esse resultado, é provável que tenha utilizado um método de dissecção como a demonstração sugerida na figura abaixo. Descreva essa prova e, em particular, quais termos e quais relações matemáticas (ou fatos) devem estar previamente definidos ou provados. Um passo importante é mostrar que o quadrado central na segunda figura é realmente um quadrado. Figura 1: Exercı́cio 4 Há uma inovação metodológica na matemática grega, por exemplo, que transforma o modo conceber os objetos matemáticos, os métodos de investigação e o modo de aceitar proposições relativas aos temas (ou sistemas conceituais) da matemática (e.g., geometria, aritmética). Interroga-se: a) Na medida em que pode ser historicamente identificada, descreva a concepção de método axiomático subjacente aos Elementos de Euclides. Explicite a distinção entre as categorias de axioma e postulado. Ofereça dois exemplos de cada categoria relativos aos temas geometria e aritmética (ou sistema conceitual das proporções). b) Qual a interpretação a respeito da declaração que afirma serem os postulados e os axiomas não demonstráveis? c) Qual a noção de teorema de um sistema conceitual (ou teoria)? Recordamos que a noção de correção do um argumento não se confunde com a noção de verdade. Considerado tãosomente quanto à estrutura lógica do argumento dedutivo (ou demonstração), ou seja, de um ponto de vista estritamente abstrato e formal, exite a possibilidade de um teorema ser falso? Qualquer que seja a resposta, justifique. Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 3 d) Levando em atenção a noção de teorema e o contexto conceitual dos Elementos, seria possı́vel existir um teorema falso (i.e., não verdadeiro), relativo a axiomática para a geometria em os Elementos? Exercı́cio 5 Mostre que não existe mais do que cinco poliedros regulares, também chamados poliedros de Platão. Figura 2: Exercı́cio 6 Explique como a afirmação a seguir, acerca da justificação para aceitar um postulado, reflete a concepção de axiomática material e, em especial, aquela de postulado (e axioma). Recordamos que uma proposição utilizada como postulado significa uma escolha intencional. Na concepção da axiomática material, qual o papel das chamadas definições e explicações primeiras, i.e., prévias aos postulados? “Um postulado consiste em uma proposição cuja verdade é auto-evidente a respeito de um domı́nio.” Em qual sentido, uma verdade auto-evidente é conhecimento matemático? Por exemplo, se aceitamos que os postulados e axiomas subjacentes à geometria dos Elementos de Euclides são auto-evidentes, então em qual sentido a existência de triângulo eqüilátero é verdadeira? Se for porque há auto-evidência, então qual a necessidade de demonstrar a existência e as propriedades que caracterizam triângulo eqüilátero? Exercı́cio 7 Enunciamos a seguir a Proposição 1, Livro I, dos Elementos de Euclides: Para todo segmento de linha reta, existe um triângulo eqüilátero tendo o segmento de linha reta como um lado. Vejamos o argumento dedutivo (ou a demonstração) nas palavras aproximadas dos Elementos 1 : Seja AB uma dada linha reta finita. A prova requer a construção de um triângulo eqüilátero sobre a linha AB. Seja o cı́rculo BCD desenhado [ou traçado] com o centro A e distância AB. Seja o cı́rculo ACE desenhado com o centro B e distância AB. Então, a partir do ponto C, na qual os cı́rculos interceptam-se e dos pontos A e B, sejam as linhas retas CA e CB unidas. O ponto A é o centro do cı́rculo CDB, então AC é igual a AB; o ponto B é o centro do cı́rculo CAE, logo BC é igual a AB. Portanto, cada linha reta AC e CB é igual a AB. Logo, CA é igual a CB. Portanto, as três linhas retas CA, AB e CB são iguais entre si. Por conseguinte, o triângulo ABC é eqüilátero; e é construı́do a partir de uma dada linha reta AB. Quanto ao argumento dedutivo para a Proposição 1, levando em atenção sistema de definições, postulados e axiomas dos Elementos, Livro I, designado SEG. 1 Edição de T. Heath. Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 4 a) Identifique os termos conceituais primitivos utilizados e, se for o caso, aqueles termos conceituais que parecem e não estão expressados em SEG, embora tenham ocorrência no argumento dedutivo. b) Identifique os postulados e os axiomas pertencentes a SEG. c) Descreva o argumentos em termos das propriedades que uma prova (ou justificativa) para uma proposição matemática deve exibir. d) Elabore uma figura pictórica (i.e., um desenho geométrico) adequado para o argumento dedutivo relativo à Proposição 1. e) A leitura do argumento dedutivo parece sugerir a necessidade de alguma figura pictórica e, com efeito, há referências a alguma figura pictórica. Então, se for o caso, qual o papel da figura pictórica relativamente ao argumento dedutivo? Se a figura pictórica é essencial para o argumento que justifica a aceitação e verdade da Proposição 1, então por que inexiste menção explı́cita a figuras pitóricas em SEG? f) Uma figura pictórica tem status epistemológico e lógico análogo àquele de uma demonstração (ou argumento dedutivo) relativamente a justificação para aceitar alguma proposição de um sistema conceitual matemático, e.g., a geometria nos Elementos de Euclides? Em outras palavras, pode afirma-se que a geometria é a arte do desenho rigoroso e uma proposição geométrica tão-somente descreve desenhos geométricos ou modos de utilizar figuras geométricas? g) Questionamos, haveria a necessidade de alguma noção de contunidade geométrica subjacente ao conteúdo da Proposição 1 e ao correspondente argumento dedutivo? Justifique a resposta. h) Destaca-se no argumento dedutivo (ou prova) formulado por Euclides a utilização de um ponto denominado C, no qual o cı́rculo contendo o ponto A e o cı́rculo contendo o ponto B interceptam-se; ou seja, o ponto C pertence aos dois cı́rculos. O ponto C é o terceiro vértice de um triângulo eqüilátero. Indagamos, há algum postulado em SEG que assegura que o cı́rculo contendo o ponto A e o cı́rculo contendo o ponto B tem algum ponto em comum, i.e., interceptam-se? 1. Se a resposta for afirmativa, seja porque há algum postulado ou seja porque exista alguma proposição anterior a Proposição 1 cuja demonstração assegure a interseção dos cı́rculos, explicite e qual a conseqüência em termos da prova lógica para a aceitação da Proposição 1? 2. Se a resposta for negativa, qual a conseqüência em termos da prova lógica para a aceitação da Proposição 1? i) Com a finalidade de assegurar a existência de pontos de interseção, e.g., entre linhas e linhas, linhas e cı́rculos, o matemático R. Dedekind (1831-1916) introduz no sistema conceitual da geometria euclidiana – ou seja, não necessariamente na axiomática SEG – um postulado a respeito da continuidade geométrica, enunciamos os postulados de modo próximo aquele dos Elementos 2 : 2 Obviamente, há abusos de ordens histórica, metodológica e conceitual. Note-se que o enunciados menciona a relação estar a esquerda de entre pontos de uma linha e a possibilidade de uma ponto e da relação estar a esquerda de determinarem segmentos de linha. Não obstante, o caráter da questão e a breve advertência permitem tolerar minimamente a ausência de rigor. Citamos a versão de Richard Dedekind para o axioma da geometria euclidiana: “Se todos os pontos de um linha reta estão em duas classes, tal que todo o ponto pertencente a primeira classe encontra-se a esquerda de todos os pontos pertencentes a segunda classe, então existe um, e somente um, ponto que produz a divisão de todos os pontos em duas classes, i.e., um ponto que divida a linha reta em duas partes”. Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 5 Se todos os pontos de um linha estão em dois segmentos sobre a linha, tal que todo ponto do primeiro segmento encontra-se a esquerda de todos os pontos do segundo segmento, então existe um ponto que produz a divisão de todos os pontos em dois segmentos de linha, i.e., um ponto que divida a linha em duas partes. Admitamos o enunciado precedente como se fosse uma proposição justificada de modo análogo àquelas que compõem os Elementos de Euclides. Perguntamos, se for o caso, em qual momento do argumento dedutivo correspondente à Proposição 1 utilizar-se-ia o postulado de continudade? Exercı́cio 8 As realizações em epistemologia, lógica e matemática associadas à Grécia Clássica e Helênica são destacadas. Aparentemente, origina-se das investigações filosóficas uma forma de argumento dedutivo peculiar, o argumento por redução ao absurdo (ou, também chamado, prova indireta). Utilizamos o artifı́cio de representar por α, β e ϕ proposições da linguagem de um sistema conceitual, e.g., os Elementos de Euclides3 ; e, também, por Γ e ∆ coleções de proposições. Denominamos: 1. Uma contradição (lógica e conceitual) pode ser representada por meio do esquema α e não-α, em que e e não-α designm respectivamente a conjunção de proposições e a negação da proposição. Dito informalmente, representa a conjunção de uma proposição e de sua correspondente negação. 2. Uma coleção ∆ de proposições diz-se inconsistente se, e só se, a partir de ∆ deriva por meio de um argumento dedutivo correto uma contradição. Seja Γ a coleção de proposições supostas como premissas para uma conclusão α. Considere o esquema de argumento dedutivo, ou de demonstração, que utiliza o método por redução ao absurdo: se Γ e não-α logos β, e Γ e não-α logos não-β, então Γ logos α A expressão logos significa “existe um argumento dedutivo correto”. Por exemplo, ∆ logos ϕ significa que a partir das premissas ∆, existe um argumento dedutivo correto para a conclusão ϕ. Escreva em linguagem natural (e.g., em lı́ngua portuguesa) e de modo dissertativo o esquema. Identifique algumas das principais pressuposições lógicas subjacentes a aplicação do método de por redução ao absurdo, e.g., uma contradição pode ser verdadeira, a coleção Γ pode ser inconsistente. √ Exercı́cio 9 Aparentemente, a matemática babilônica encontrou-se com o valor de 2 e realizou cálculos aproximados para o valor numérico. A matemática babilônica pode ser entendida como empı́rica, no sentido que seu corpo seria composto por regras e procedimentos de cálculos relativos a aplicações ou coleções de aplicações práticas. Os métodos, de um lado, utilizavam analogia, experimentos, tentativas e erros; e, de outro, os valores numéricos reportavam-se a medições. Em alguma medida, os resultados matemáticos encontravam-se dispersos e isolados. Inexistem relações entre os objetos matemáticos, sobretudo há similaridades entre problemas de natureza prática e, então, modos √ semelhantes de solucioná-los segundo certos critérios e os êxitos anteriores. Neste contexto, 2 não provocou qualquer reação, podemos cogitar que seria apenas um valor numérico associado a solução de alguma coleção de problemas; ou seja um fato 3 Inicialmente, esclarecemos que a formulação ora exposta não pretende ser uma reconstrução histórica. Salientamos que α, β e ϕ não são proposições da linguagem do sistema, mas recursos metamatemáticos para referência. No entanto, incorremos em abusos de linguagem e alguma ausência de rigor. Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 6 matemático individual e isolado. Todavia, a matemática grega teve uma reação distinta acerca √ de 2 e seu significado. Do ponto de vista geométrico aparente um caso particular, entretanto quanto à concepção dos números na aritmética provocou um desconcertante surpresa. √ a) Mostre que 2 é irracional. b) Explique porque este fato origina uma crise no sistema de crenças pitagórico. Em particular, qual o caráter deste fato, ou seja, seria mı́stico, matemático, empı́rico? Exercı́cio 10 Levando em conta, de um lado, a prova da existência de números irracionais e, de outro, o caráter de verdade auto-evidante para os postulados. A existência de números irracionais ou aceita-se números irracionais por postulado, ou justifica-se por meio de um argumento dedutivo correto (i.e., uma demonstração correta). Acredita-se, e procedemos deste modo, que as operações lógicas que compõem um argumento dedutivo (ou uma demonstração) são neutras quanto à introdução de entidades e quanto ao conhecimento. Então, indaga-se: a existência de números irracionais não seria auto-evidente, ou um resultado matemático decorrente justificado por intermédio de uma demonstração e, logo, necessário e aceito como outras fatos provados? Exercı́cio 11 Considere os Elementos de Euclides, Livro I, cujo tema é a geometria. Examine os postulados, os axiomas e as definições4 no sentido de verificar se as distinções para as noções de postulados, axiomas e definições evocadas por Proclus e Aristóteles verificam-se. Identifique os termos primitivos que ocorrem nos postulados e axiomas de modo a verificar se todos os termos primitivos são exatamente aqueles que ocorrem na definições e se há alguma distinção entre os termos que ocorrem nos postulados e nos axiomas. Exercı́cio 12 O denominado Algoritmo de Euclides revela-se um dos mais antigos algoritmos conhecidos, apareceu nos Elementos de Euclides proximadamente em 300 a.C. e fora formulado inicialmente como um problema geométrico. O problema de encontrar a “medida” comum para dois segmentos de retas (uma linha que poderia ser usada para medir as linhas sem deixar restos); e, com efeito, o algoritmo baseia-se na subtração repetida do segmento mais curto do segmento mais longo. No entanto, o algoritmo provavelmente não foi descoberto por Euclides, pode ter sido conhecido há 200 anos antes. Era provavelmente conhecido por Eudoxus de Cnido (cerca de 375 a.C.) e Aristóteles (cerca de 330 a.C). Descrição do algoritmo: Dado dois números naturais a e b, não ambos iguais a zero: se b for zero, então a é o mdc. Se não, repita o processo, utilizando respectivamente b; e o resto de a por um b. O processo termina quando a divisão for exata. a) Calcule o máximo divisor comum de 5913 e 7592. b) Prove que o algoritmo de Euclides realmente calcula o mdc c) Prove que a e b são primos se, e somente se, existem inteiros p e q não necessariamente positivos tais que pa + qb = 1. Exercı́cio 13 No corpo dos Elementos de Euclides, a Proposição 20, Livro IX enuncia: 4 Conforme expostos em H. Eves, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics ou T. Heath, Elements. Questionário I Evolução dos Conceitos Matemáticos 7 O número de números primos é infinito. Admitamos que a noção de infinito esteja clara o suficiente, por exemplo, no sentido intuitivo de não-finito. Considere as definições, axiomas e postulados dos Elementos referentes aos números (ou aritmética), elabore uma argumento dedutivo (ou demonstração) para a proposição precedente. Exercı́cio 14 Prove o Teorema fundamental da aritmética: Todo inteiro maior que um pode ser fatorado como produto de primos.
Download
