Universidade Federal do ABC
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Evolução dos Conceitos Matemáticos
Daniel Miranda
Questionário I
Matemática empı́rica e matemática grega
Exercı́cio 1 Usando a figura seguinte obtenha uma aproximação para π e para a área do cı́rculo
de raio 1.
Compare as suas estimativas, por exemplo, com as estimativas dos egı́pcios. Qual tipo de
método de obtenção de conhecimento este exemplo ilustra? E, em especial, qual o significado
deste conhecimento, e.g., tem caráter empı́rico, justifica-se indutivamente, tem a propriedade da
infalibilidade?
Exercı́cio 2 Explique como podemos empiricamente “mostrar“ que a soma dos ângulos de um
triângulo é igual a dois ângulos retos.
Exercı́cio 3 O Teorema de Pitágoras, um célebre dos teoremas da matemática, estabelece uma
relação, ora designada Pgora, entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
1
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Em outras palavras, se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos
catetos, o Teorema afirma que: c2 = a2 + b2 .
Os babilônios conheciam um resultado análogo, diremos o fato que expressa o cálculo para
valores de associados à medidas de comprimentos em diversas aplicações. E, aplicavam-no reiteradamente a muitas situações práticas de cálculo. Conforme as informações arqueológicas e
históricas disponı́veis e a análise das informações, interrogamos se poderı́amos asseverar acima
de qualquer dúvida que os babilônicos tinham uma compreensão que a regra (ou procedimento)
de cálculo da relação entre medidas (e.g., comprimentos relativo a terrenos) seria um teorema,
no sentido da expressão Teorema de Pitágoras?
Examine a natureza da relação Pgora, em especial, quanto ao significado de ser uma relação
matemática ou um fato matemático.
Parece provável que a primeira demonstração desta relação seja devida a Pitágoras (ou aos
trabalhos da Escola Pitagórica). Conquanto não saibamos de qual modo Pitágoras demonstrou
esse resultado, é provável que tenha utilizado um método de dissecção como a demonstração
sugerida na figura abaixo. Descreva essa prova e, em particular, quais termos e quais relações
matemáticas (ou fatos) devem estar previamente definidos ou provados. Um passo importante é
mostrar que o quadrado central na segunda figura é realmente um quadrado.
Figura 1:
Exercı́cio 4 Há uma inovação metodológica na matemática grega, por exemplo, que transforma o modo conceber os objetos matemáticos, os métodos de investigação e o modo de aceitar
proposições relativas aos temas (ou sistemas conceituais) da matemática (e.g., geometria, aritmética). Interroga-se:
a) Na medida em que pode ser historicamente identificada, descreva a concepção de método
axiomático subjacente aos Elementos de Euclides. Explicite a distinção entre as categorias
de axioma e postulado. Ofereça dois exemplos de cada categoria relativos aos temas geometria
e aritmética (ou sistema conceitual das proporções).
b) Qual a interpretação a respeito da declaração que afirma serem os postulados e os axiomas
não demonstráveis?
c) Qual a noção de teorema de um sistema conceitual (ou teoria)? Recordamos que a noção
de correção do um argumento não se confunde com a noção de verdade. Considerado tãosomente quanto à estrutura lógica do argumento dedutivo (ou demonstração), ou seja, de um
ponto de vista estritamente abstrato e formal, exite a possibilidade de um teorema ser falso?
Qualquer que seja a resposta, justifique.
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d) Levando em atenção a noção de teorema e o contexto conceitual dos Elementos, seria possı́vel
existir um teorema falso (i.e., não verdadeiro), relativo a axiomática para a geometria em os
Elementos?
Exercı́cio 5 Mostre que não existe mais do que cinco poliedros regulares, também chamados
poliedros de Platão.
Figura 2:
Exercı́cio 6 Explique como a afirmação a seguir, acerca da justificação para aceitar um postulado, reflete a concepção de axiomática material e, em especial, aquela de postulado (e axioma).
Recordamos que uma proposição utilizada como postulado significa uma escolha intencional. Na
concepção da axiomática material, qual o papel das chamadas definições e explicações primeiras,
i.e., prévias aos postulados?
“Um postulado consiste em uma proposição cuja verdade é auto-evidente a respeito de um domı́nio.”
Em qual sentido, uma verdade auto-evidente é conhecimento matemático? Por exemplo, se
aceitamos que os postulados e axiomas subjacentes à geometria dos Elementos de Euclides são
auto-evidentes, então em qual sentido a existência de triângulo eqüilátero é verdadeira? Se for
porque há auto-evidência, então qual a necessidade de demonstrar a existência e as propriedades
que caracterizam triângulo eqüilátero?
Exercı́cio 7 Enunciamos a seguir a Proposição 1, Livro I, dos Elementos de Euclides:
Para todo segmento de linha reta, existe um triângulo eqüilátero tendo o segmento de linha reta como um lado.
Vejamos o argumento dedutivo (ou a demonstração) nas palavras aproximadas dos Elementos 1 :
Seja AB uma dada linha reta finita. A prova requer a construção de um triângulo
eqüilátero sobre a linha AB. Seja o cı́rculo BCD desenhado [ou traçado] com o
centro A e distância AB. Seja o cı́rculo ACE desenhado com o centro B e distância
AB. Então, a partir do ponto C, na qual os cı́rculos interceptam-se e dos pontos A
e B, sejam as linhas retas CA e CB unidas. O ponto A é o centro do cı́rculo CDB,
então AC é igual a AB; o ponto B é o centro do cı́rculo CAE, logo BC é igual a
AB. Portanto, cada linha reta AC e CB é igual a AB. Logo, CA é igual a CB.
Portanto, as três linhas retas CA, AB e CB são iguais entre si. Por conseguinte, o
triângulo ABC é eqüilátero; e é construı́do a partir de uma dada linha reta AB.
Quanto ao argumento dedutivo para a Proposição 1, levando em atenção sistema de definições,
postulados e axiomas dos Elementos, Livro I, designado SEG.
1
Edição de T. Heath.
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a) Identifique os termos conceituais primitivos utilizados e, se for o caso, aqueles termos conceituais que parecem e não estão expressados em SEG, embora tenham ocorrência no argumento
dedutivo.
b) Identifique os postulados e os axiomas pertencentes a SEG.
c) Descreva o argumentos em termos das propriedades que uma prova (ou justificativa) para
uma proposição matemática deve exibir.
d) Elabore uma figura pictórica (i.e., um desenho geométrico) adequado para o argumento dedutivo relativo à Proposição 1.
e) A leitura do argumento dedutivo parece sugerir a necessidade de alguma figura pictórica e,
com efeito, há referências a alguma figura pictórica. Então, se for o caso, qual o papel da
figura pictórica relativamente ao argumento dedutivo? Se a figura pictórica é essencial para o
argumento que justifica a aceitação e verdade da Proposição 1, então por que inexiste menção
explı́cita a figuras pitóricas em SEG?
f) Uma figura pictórica tem status epistemológico e lógico análogo àquele de uma demonstração
(ou argumento dedutivo) relativamente a justificação para aceitar alguma proposição de um
sistema conceitual matemático, e.g., a geometria nos Elementos de Euclides? Em outras
palavras, pode afirma-se que a geometria é a arte do desenho rigoroso e uma proposição
geométrica tão-somente descreve desenhos geométricos ou modos de utilizar figuras geométricas?
g) Questionamos, haveria a necessidade de alguma noção de contunidade geométrica subjacente
ao conteúdo da Proposição 1 e ao correspondente argumento dedutivo? Justifique a resposta.
h) Destaca-se no argumento dedutivo (ou prova) formulado por Euclides a utilização de um
ponto denominado C, no qual o cı́rculo contendo o ponto A e o cı́rculo contendo o ponto B
interceptam-se; ou seja, o ponto C pertence aos dois cı́rculos. O ponto C é o terceiro vértice
de um triângulo eqüilátero. Indagamos, há algum postulado em SEG que assegura que o
cı́rculo contendo o ponto A e o cı́rculo contendo o ponto B tem algum ponto em comum, i.e.,
interceptam-se?
1. Se a resposta for afirmativa, seja porque há algum postulado ou seja porque exista
alguma proposição anterior a Proposição 1 cuja demonstração assegure a interseção dos
cı́rculos, explicite e qual a conseqüência em termos da prova lógica para a aceitação da
Proposição 1?
2. Se a resposta for negativa, qual a conseqüência em termos da prova lógica para a
aceitação da Proposição 1?
i) Com a finalidade de assegurar a existência de pontos de interseção, e.g., entre linhas e linhas,
linhas e cı́rculos, o matemático R. Dedekind (1831-1916) introduz no sistema conceitual da
geometria euclidiana – ou seja, não necessariamente na axiomática SEG – um postulado a
respeito da continuidade geométrica, enunciamos os postulados de modo próximo aquele dos
Elementos 2 :
2
Obviamente, há abusos de ordens histórica, metodológica e conceitual. Note-se que o enunciados
menciona a relação estar a esquerda de entre pontos de uma linha e a possibilidade de uma ponto e
da relação estar a esquerda de determinarem segmentos de linha. Não obstante, o caráter da questão e
a breve advertência permitem tolerar minimamente a ausência de rigor. Citamos a versão de Richard
Dedekind para o axioma da geometria euclidiana: “Se todos os pontos de um linha reta estão em duas
classes, tal que todo o ponto pertencente a primeira classe encontra-se a esquerda de todos os pontos
pertencentes a segunda classe, então existe um, e somente um, ponto que produz a divisão de todos os
pontos em duas classes, i.e., um ponto que divida a linha reta em duas partes”.
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Se todos os pontos de um linha estão em dois segmentos sobre a linha, tal que
todo ponto do primeiro segmento encontra-se a esquerda de todos os pontos do
segundo segmento, então existe um ponto que produz a divisão de todos os pontos
em dois segmentos de linha, i.e., um ponto que divida a linha em duas partes.
Admitamos o enunciado precedente como se fosse uma proposição justificada de modo análogo
àquelas que compõem os Elementos de Euclides. Perguntamos, se for o caso, em qual momento do argumento dedutivo correspondente à Proposição 1 utilizar-se-ia o postulado de
continudade?
Exercı́cio 8 As realizações em epistemologia, lógica e matemática associadas à Grécia Clássica
e Helênica são destacadas. Aparentemente, origina-se das investigações filosóficas uma forma
de argumento dedutivo peculiar, o argumento por redução ao absurdo (ou, também chamado,
prova indireta). Utilizamos o artifı́cio de representar por α, β e ϕ proposições da linguagem
de um sistema conceitual, e.g., os Elementos de Euclides3 ; e, também, por Γ e ∆ coleções de
proposições. Denominamos:
1. Uma contradição (lógica e conceitual) pode ser representada por meio do esquema α e
não-α, em que e e não-α designm respectivamente a conjunção de proposições e a negação
da proposição. Dito informalmente, representa a conjunção de uma proposição e de sua
correspondente negação.
2. Uma coleção ∆ de proposições diz-se inconsistente se, e só se, a partir de ∆ deriva por
meio de um argumento dedutivo correto uma contradição.
Seja Γ a coleção de proposições supostas como premissas para uma conclusão α. Considere
o esquema de argumento dedutivo, ou de demonstração, que utiliza o método por redução ao
absurdo:
se Γ e não-α logos β, e Γ e não-α logos não-β, então Γ logos α
A expressão logos significa “existe um argumento dedutivo correto”. Por exemplo, ∆ logos ϕ
significa que a partir das premissas ∆, existe um argumento dedutivo correto para a conclusão ϕ.
Escreva em linguagem natural (e.g., em lı́ngua portuguesa) e de modo dissertativo o esquema.
Identifique algumas das principais pressuposições lógicas subjacentes a aplicação do método
de por redução ao absurdo, e.g., uma contradição pode ser verdadeira, a coleção Γ pode ser
inconsistente.
√
Exercı́cio 9 Aparentemente, a matemática babilônica encontrou-se com o valor de 2 e realizou cálculos aproximados para o valor numérico. A matemática babilônica pode ser entendida
como empı́rica, no sentido que seu corpo seria composto por regras e procedimentos de cálculos
relativos a aplicações ou coleções de aplicações práticas. Os métodos, de um lado, utilizavam
analogia, experimentos, tentativas e erros; e, de outro, os valores numéricos reportavam-se a
medições. Em alguma medida, os resultados matemáticos encontravam-se dispersos e isolados.
Inexistem relações entre os objetos matemáticos, sobretudo há similaridades entre problemas
de natureza prática e, então, modos
√ semelhantes de solucioná-los segundo certos critérios e os
êxitos anteriores. Neste contexto, 2 não provocou qualquer reação, podemos cogitar que seria
apenas um valor numérico associado a solução de alguma coleção de problemas; ou seja um fato
3
Inicialmente, esclarecemos que a formulação ora exposta não pretende ser uma reconstrução histórica.
Salientamos que α, β e ϕ não são proposições da linguagem do sistema, mas recursos metamatemáticos
para referência. No entanto, incorremos em abusos de linguagem e alguma ausência de rigor.
Questionário I
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matemático
individual e isolado. Todavia, a matemática grega teve uma reação distinta acerca
√
de 2 e seu significado. Do ponto de vista geométrico aparente um caso particular, entretanto
quanto à concepção dos números na aritmética provocou um desconcertante surpresa.
√
a) Mostre que 2 é irracional.
b) Explique porque este fato origina uma crise no sistema de crenças pitagórico. Em particular,
qual o caráter deste fato, ou seja, seria mı́stico, matemático, empı́rico?
Exercı́cio 10 Levando em conta, de um lado, a prova da existência de números irracionais e,
de outro, o caráter de verdade auto-evidante para os postulados. A existência de números irracionais ou aceita-se números irracionais por postulado, ou justifica-se por meio de um argumento
dedutivo correto (i.e., uma demonstração correta). Acredita-se, e procedemos deste modo, que
as operações lógicas que compõem um argumento dedutivo (ou uma demonstração) são neutras
quanto à introdução de entidades e quanto ao conhecimento. Então, indaga-se: a existência de
números irracionais não seria auto-evidente, ou um resultado matemático decorrente justificado
por intermédio de uma demonstração e, logo, necessário e aceito como outras fatos provados?
Exercı́cio 11 Considere os Elementos de Euclides, Livro I, cujo tema é a geometria. Examine
os postulados, os axiomas e as definições4 no sentido de verificar se as distinções para as noções
de postulados, axiomas e definições evocadas por Proclus e Aristóteles verificam-se.
Identifique os termos primitivos que ocorrem nos postulados e axiomas de modo a verificar
se todos os termos primitivos são exatamente aqueles que ocorrem na definições e se há alguma
distinção entre os termos que ocorrem nos postulados e nos axiomas.
Exercı́cio 12 O denominado Algoritmo de Euclides revela-se um dos mais antigos algoritmos
conhecidos, apareceu nos Elementos de Euclides proximadamente em 300 a.C. e fora formulado
inicialmente como um problema geométrico. O problema de encontrar a “medida” comum para
dois segmentos de retas (uma linha que poderia ser usada para medir as linhas sem deixar restos);
e, com efeito, o algoritmo baseia-se na subtração repetida do segmento mais curto do segmento
mais longo. No entanto, o algoritmo provavelmente não foi descoberto por Euclides, pode ter
sido conhecido há 200 anos antes. Era provavelmente conhecido por Eudoxus de Cnido (cerca
de 375 a.C.) e Aristóteles (cerca de 330 a.C).
Descrição do algoritmo:
Dado dois números naturais a e b, não ambos iguais a zero: se b for zero, então
a é o mdc. Se não, repita o processo, utilizando respectivamente b; e o resto de a
por um b. O processo termina quando a divisão for exata.
a) Calcule o máximo divisor comum de 5913 e 7592.
b) Prove que o algoritmo de Euclides realmente calcula o mdc
c) Prove que a e b são primos se, e somente se, existem inteiros p e q não necessariamente
positivos tais que pa + qb = 1.
Exercı́cio 13 No corpo dos Elementos de Euclides, a Proposição 20, Livro IX enuncia:
4
Conforme expostos em H. Eves, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics ou T.
Heath, Elements.
Questionário I
Evolução dos Conceitos Matemáticos
7
O número de números primos é infinito.
Admitamos que a noção de infinito esteja clara o suficiente, por exemplo, no sentido intuitivo de não-finito. Considere as definições, axiomas e postulados dos Elementos referentes aos
números (ou aritmética), elabore uma argumento dedutivo (ou demonstração) para a proposição
precedente.
Exercı́cio 14 Prove o Teorema fundamental da aritmética: Todo inteiro maior que um pode
ser fatorado como produto de primos.