Universidade Federal do ABC
Engenharia de Instrumentação, Automação e Robótica
Fundamentos de Máquinas Elétricas
Prof. Dr. José Luis Azcue Puma


Transformadores: ideal e real
Referenciando impedâncias, tensões e
correntes
1
Transformador
• Circuito magnético com
várias bobinas (ao menos
duas), feito para operar em
tensão alternada.
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Propriedades típicas de transformadores
 Possui ao menos duas bobinas (enrolamentos):
N1 espiras no primário
N2 espiras no secundário
 Possui circuito magnético fechado
Entreferro é desprezível, quando existe;
Permeabilidade do ferro é em geral muito alta. Não é
raro o uso de aços especiais (GO – grão orientado).
 Princípios construtivos típicos
Núcleo envolvido (pelas bobinas)
Núcleo envolvente.
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Núcleo envolvente – núcleo envolvido
Comprimento
médio: “Lfe”
Primário
N1 espiras
A’
Secundário
N2 espiras
Introduçã
o
A
Corte A-A’
Seção de
área:
“Sfe”
N2
N1
Núcleo envolvente
Núcleo envolvido
Observação construtiva: o projeto do transformador, modifica
os fluxos dispersos. Pergunta: como reduzir o fluxo disperso?
R: aproximando os enrolamentos primário e secundário;
colocando-os na mesma “perna” do transformador; dividindo
os enrolamentos 1ários e 2ários e enrolando-os um sobre o
outro, etc.
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A convenção do “ponto”
Os enrolamentos são usualmente marcados por um “ponto”
para determinar a polaridade das tensões e correntes.
 Se a tensão é positiva na extremidade pontilhada do
enrolamento primário, nesse mesmo instante, a tensão
na extremidade pontilhada do secundário será positiva.
 Se a corrente “i1” entre na extremidade pontilhada do
primário, a corrente do secundário “i2” sairá da
extremidade pontilhada.
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A convenção do “ponto”
A mesma fase é obtida
Para ambas as tensões
Instantâneas v1(t) and v2(t)
Defasagem de 180° entre
as tensões instantâneas
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O transformador ideal
Segundo a lei de Faraday (indução), uma força eletromotriz é induzida
nos enrolamentos do primário e do secundário do transformador
d
d
e
 N
dt
dt
d
e1  N 1 ;
dt
d
e2  N 2
dt
e = tensão instantânea induzida pelo campo magnético (f.e.m.)
 = fluxo concatenado
 = fluxo efetivo
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O transformador ideal
Segundo a Lei de Lenz a direção de e1 é tal que produz uma
corrente que se opõe a variação do fluxo.
Se a resistência dos enrolamentos é desprezada, então a tensão
nos enrolamentos primário e secundário será:
v1  e1  N
d
1( );
dt
d
v 2  e 2  N 2( )
dt
Calculando a relação entra as duas tensões, tem-se:
N 1 e1

N 2 e2
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O transformador ideal
Desprezando as perdas (no cobre, correntes parasitas, histerese)
significa que a potência instantânea tanto no primário como
secundário são iguais, isto é:
e1i1  e2i 2
Substituindo as tensões em função do número de espiras, tem-se:
N 1 v1 i 2
a
 
N 2 v 2 i1
a > 1  transformador abaixador
a < 1  transformador elevador
a = 1  transformador isolador
9
O transformador ideal
Se o fluxo varia senoidalmente
 = max sin t
m
ax
E considerando que
v1  e1  N 1( ddt );
eN
tem-se:
d
d
 N ( max sin 2ft )
dt
dt
Cujo valor pico é 𝑒𝑝𝑘 = 𝑁𝜙𝑚𝑎𝑥 𝜔, com 𝜔 = 2𝜋𝑓. Então o valor
eficaz da tensão induzida é
N max
E
 4.44 fN max
2
10
Exemplo
Quantas espiras terá o enrolamento primário e secundário de um
transformador ideal abaixador de tensão 220V110V, f=60Hz, se
o fluxo do núcleo não deve exceder os 5mWb?
Solução
Para o transformador ideal
E1  V1  220V
E 2  V2  110V
E1
N1 
4.44 * f * max
220

 166 espiras.
3
(4.44)(60)(5 X 10 )
110
N2 
 83 espiras.
3
(4.44)(60)(5 X 10 )
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O transformador ideal
Um transformador ideal é uma máquina elétrica sem perdas com
um enrolamento na entrada e um enrolamento na saída.
v p (t )
v s (t )

Np
Ns
a
Ip
1

Is a
onde a  relação de transformação
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O transformador ideal
Circuito equivalente do transformador ideal
Ip
Vp
a
Ep
Is
Es = Vs
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Relação de potências - transformador ideal
A potência fornecida para o primário do transformador é
Pin  V p I p cosq p
Onde, qp é o ângulo entre a tensão e a corrente do primário.
A potência fornecida pelo secundário do transformador para
a carga é
Pout  Vs I s cosq s
Onde, qs é o ângulo entre a tensão e a corrente do
secundário.
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Relação de potências - transformador ideal
A potência de saída do transformador
Pout  Vs I s cosq
Considerando que Vs= Vp/a e Is= aIp , tem-se:
Pout 
Pout
Vp
(aI p ) cosq
a
 V p I p cosq  Pin
A potência de saída de um transformador ideal é igual à
potência de entrada.
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Relação de potências - transformador ideal
Da mesma forma pode-se verificar que
Potência reativa
Potência aparente
Qin  V p I p sin q
Sin  V p I p
Qout  Vs I s sin q
S out  Vs I s
Qin  Qout
Sin  S out
*
*
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Exemplo
Seja um transformador monofásico, 2400V:240V. O
enrolamento primário é conectado a uma fonte de tensão
de 2200V e o secundário é conectado a uma impedância de
2Ω ∠ 36.9o , calcular:
(a) A tensão e a corrente no secundário do transformador.
(b) A corrente no primário do transformador.
(c) A impedância da carga visto desde o primário.
(d) A potência aparente de entrada e saída.
(e) O fator de potência.
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Exemplo
(a) A tensão e a corrente no secundário do transformador.
(b) A corrente no primário do transformador.
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Exemplo
(c) A impedância da carga visto desde o primário.
(d) A potência aparente de entrada e saída.
(e) O fator de potência.
atrasado
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Circuito equivalente do transformador real
Fluxo disperso no transformador
Devido a que o caminho
para a maior parte do fluxo
disperso é o ar, este fluxo e a
tensão induzida por ele
variam linearmente com a
corrente do primário I1.
Portanto, pode ser
representado por uma
indutância de dispersão do
primário 𝐿𝑙1 .
Então, a reatância de
dispersão do primário é
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Circuito equivalente do transformador real
A tensão aplicada no primário consiste em três
componentes:
 A queda 𝐼1 𝑅1 na resistência do primário
 A queda 𝐼1 𝑋𝑙1 na reatância de dispersão do primário
 A FEM 𝐸1 induzida no primário pelo fluxo mútuo
resultante
Circuito equivalente
do primário
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Circuito equivalente do transformador real
A corrente do primário:
 Magnetiza o núcleo (corrente de excitação 𝐼𝜑 )
 Fornece corrente para a carga conectada ao
secundário (𝐼2′ )
Como a componente de excitação é a que produz o fluxo do
núcleo, a FMM liquida deve ser igual a 𝑁1 𝐼𝜑 ,
A partir do anterior, temos que
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Circuito equivalente do transformador real
A corrente de excitação pode ser decomposta em:
 Corrente de perdas no núcleo 𝐼𝑐 (em fase com 𝐸1 )
 Corrente de magnetização 𝐼𝑚 (atrasada de 90⁰ em
relação a 𝐸1 )
A reatância de magnetização é
23
Circuito equivalente do transformador real
O fluxo mutuo resultante 𝚽 induz uma FEM 𝐸2 no
secundário. Como esse fluxo concatena ambos os
enrolamentos, a razão entre as FEMs induzidas deve ser
igual à relação de espiras dos enrolamentos (trafo ideal).
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Circuito equivalente do transformador real
A tensão no terminal do secundário 𝑉2 esta composto por:
 A queda 𝐼2 𝑅2 na resistência do primário
 A queda 𝐼2 𝑋𝑙2 na reatância de dispersão do secundario
 A FEM 𝐸2 induzida no secundário pelo fluxo mútuo
resultante
Um transformador real ≡ Um transformador ideal +
impedâncias externas
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Referenciando as grandezas
 Considere, novamente, uma condição de transformador
ideal. Imagine que ele alimente uma carga resistiva no
secundário. Qual deve ser a potência injetada no
primário? Qual a relação entre tensões e correntes?
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Referenciando as grandezas

E1 N1
 
(correntes e tensões são fasores!)
E2 N 2

I1 N 2
 
I 2 N1
  
 E1 I1  E2 I 2 (lógico, senão a energia não se conserva)
suponha que o secundário alimenta uma impedância

 
E2  I 2 .Z 2
• Qual o efeito de Z2 na corrente primária? É possível
modelar de forma a que esta impedância possa ser
calculada a partir da tensão primária?
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Referenciando as grandezas


E2
  Z2
I2

,
E1
  Z 2 (definição : impedância referenciada ao primário)
I1

N

1
2 
2
E2 
,
E1
N1  E2  N1  
N2
   
 Z 2
Z2   
 

N2
I1
 N2  I2
 N2 
I2
N1
2
,
 N1  
 Z 2
 Z 2  
 N2 
Vale para qualquer Z2 (ou combinação
série ou paralelo de qualquer
impedância).
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Transformador circuito equivalente
Refletindo os parâmetros para o primário:
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Transformador circuito equivalente simplificado
Como a queda de tensão na resistência e na reatância do
primário provocada pela componente de excitação do
primário é pequena, o ramo de excitação (ramo em
derivação) pode ser deslocado para a esquerda levando ao
circuito aproximado da figura abaixo.
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Transformador circuito equivalente simplificado
O ramo de excitação também pode ser deslocado para a
direita.
O erro introduzido devido a ausência da queda de tensão
causada pela corrente de excitação é desprezível para
transformadores de alta potência visto que a corrente de
excitação é menor que 5% da corrente nominal (plena
carga).
31
Transformador circuito equivalente simplificado
Uma simplificação ainda maior é obtida desprezando-se a
corrente de excitação
Para transformadores de várias centenas de kVA ou mais,
temos:
Req << Xeq
Assim, o circuito equivalente é dado por:
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Próxima Aula
1. Regulação de tensão e rendimento nos
transformadores
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Referências Bibliográficas
A.
B.
E. FITZGERALD, C. KINGSLEY, S. D. UMANS, Máquinas
Elétricas, 6a edição, Bookman.
Material de fundamentos de máquinas elétricas do prof. Julio C.
Teixeira
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