I. FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Sumário
1. Definição.................................................................................................................................................................I-1
2. Objeto de Estudo.....................................................................................................................................................I-1
3. Conceitos Úteis .......................................................................................................................................................I-1
3.1. Campos.............................................................................................................................................................I-1
3.2. Fluxo e Densidade de Fluxo.............................................................................................................................I-1
3.3. Intensidade de Campo ......................................................................................................................................I-2
3.4. Equações das Variações - Forma Unidimensional ...........................................................................................I-2
3.4.1. Equação de Newton da Viscosidade .........................................................................................................I-2
3.4.2. Equação de Fourier da Condução de Calor...............................................................................................I-3
3.5. Alguma Definições Importantes ......................................................................................................................I-4
4. Unidades de Medida................................................................................................................................................I-5
4.1. Sistemas de Unidades.......................................................................................................................................I-5
4.2. Escalas de Temperatura....................................................................................................................................I-5
4.3. Unidades de Energia ........................................................................................................................................I-5
4.4. Consistência entre as Unidades ........................................................................................................................I-5
5. Resumo das Leis da Termodinâmica ......................................................................................................................I-6
5.1. Lei Zero da Termodinâmica.............................................................................................................................I-6
5.2. Primeira Lei da Termodinâmica.......................................................................................................................I-6
5.3. Segunda Lei da Termodinâmica - Entropia......................................................................................................I-6
6. Equação de Balanço - Leis de Conservação...........................................................................................................I-6
6.1. Finalidade.........................................................................................................................................................I-6
6.2. Quantidades de um Sistema .............................................................................................................................I-6
6.3. Formulação.......................................................................................................................................................I-7
6.4. Postulados Fundamentais .................................................................................................................................I-7
7. Taxas de Transporte ................................................................................................................................................I-8
7.1. Transporte de massa.........................................................................................................................................I-8
7.2. Propriedades específicas ..................................................................................................................................I-8
7.3. Transporte de Energia, Entropia e Momentum ................................................................................................I-8
8. Balanço de Massa....................................................................................................................................................I-8
9. Balanço de Energia .................................................................................................................................................I-9
9.1. Trabalho e Calor...............................................................................................................................................I-9
9.2. Formas de Energia..........................................................................................................................................I-10
10. Balanço de Entropia ............................................................................................................................................I-10
11. Balanço de Momentum .......................................................................................................................................I-11
12. Considerações Finais...........................................................................................................................................I-12
12.1. Sistema Fechado...........................................................................................................................................I-12
12.2. Equações Temporais Vs. de Variação..........................................................................................................I-12
13. Referências..........................................................................................................................................................I-12
10/03/03 10:37
Profs. Dalton Vinicius Kozak (PUCPR) e Sérgio Bordalo (UNICAMP)
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
1. Definição
Fenômenos de transporte envolvem o transporte ou
transferência de massa, calor e momentum (quantidade
de movimento) através de um meio1. Qualquer processo
de transferência é caracterizado pela tendência ao
equilíbrio, que é uma condição em que não ocorre
nenhuma variação. Uma "força motriz", o movimento no
sentido do equilíbrio, e o transporte de alguma
quantidade são fatos comuns a todos os processos de
transferência. A massa do material através do qual as
variações ocorrem afeta a velocidade do transporte, e a
geometria do material afeta a direção do processo.
equilíbrio
desequilíbrio maior
T
T3
T1
T2
q 2”
3. Conceitos Úteis
3.1. Campos
Um campo é uma região onde "acontecem coisas"coisas observáveis. Por exemplo, existe o campo térmico,
descrito pela temperatura nos diversos pontos em
determinada região dos espaço; o campo gravitacional,
descrito pelo valor da força de atração (peso) conforme a
posição de um corpo ou partícula; o campo fluido ou de
escoamento, descrito pelas velocidades em diferentes
locais do fluido.
Os assuntos geralmente abordados em fenômenos de
transporte incluem:
2
• tópicos da termodinâmica , visto que suas leis
fundamentais continuam válidas e são úteis na
análise dos processos de transferência;
3
• mecânica dos fluidos , pois ao escoamento de
fluidos estão associados o transporte das várias
quantidades: massa, calor e momentum;
• transferência de calor pelos mecanismos de
condução, convecção e radiação (abaixo).
T1 > T2
Condução através de um
sólido ou de um fluído
estacionário4
Fluido em movimento, T∞
q”
Campo térmico: cada cor
está associada a uma
temperatura na placa.
T4
2. Objeto de Estudo
T S > T∞
TS
T1
T2
q”
Convecção de uma
superfície para um fluido
em movimento
Uma execeção é a transferência de calor por radiação, que não
necessita de um meio: pode ocorrer até no vácuo.
2
Termodinâmica é definida no item Erro! A origem da referência
não foi encontrada. Erro! A origem da referência não foi
encontrada..
3
Será visto, além da dinâmica, também a estática de fluidos.
4
q" é o fluxo de calor por unidade de área perpendicular à direção da
transferência - veja densidade de fluxo, a seguir.
10/03/03 10:37
Superfície,
T2
q 1”
T1 < T2
O estudo dos fenômenos de transporte centraliza-se
na análise desses diversos processos de transferência e
como eles ocorrem.
1
Troca de calor líquida
pela radiação entre
duas superfícies
T
T-Temperatura
T3 < T1
T4 > T2
Superfície,
T1
Pois bem. A análise do comportamento de cada tipo
de campo fornece os subsídios para o estudo dos
fenômenos de transferência das quantidades associadas
àquele campo.
Representação do campo de
velocidade: escoamento
atrás de navio transportando
containers.
3.2. Fluxo e Densidade de Fluxo
O fluxo f é a taxa de transferência, no tempo, de
alguma quantidade. No caso de fluidos, como a água,
pode ser l/s ou m3/s (mais conhecido como vazão nesse
caso particular). No caso da transferência de calor, pode
ser J/s (Watt). Quando essa quantidade é expressa por
unidade de área de superfície através da qual o fluxo
passa perpendicularmente, define-se a densidade de fluxo
Df como
∆f
D f = lim
n
∆S → 0 ∆S
onde n é um vetor unitário da normal à superfície S.
Das definições acima, percebe-se que o fluxo é uma
quantidade escalar, ao passo que a densidade de fluxo é
vetorial.
I-1
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Assim sendo, conforme o campo em consideração térmico, fluido, etc. - estaremos tratando em nosso
estudo de determinados tipos de fluxo, ou densidade de
fluxo, pertinente ao problema em questão. Por exemplo,
em um campo térmico, a determinação do fluxo de calor
e sua densidade é pertinente.
3.3. Intensidade de Campo
A intensidade de um campo de determinada
propriedade P, expressa por ∇P (gradiente de P),
permite determinar a densidade de fluxo da grandeza
associada a essa propriedade. Por exemplo, a quantidade
de calor transferida através de uma superfície é
diretamente proporcional ao gradiente de temperatura.
Num campo fluido em escoamento, a tensão de
cisalhamento5 é diretamente proporcional ao gradiente de
velocidades.
De forma genérica, um fluxo estará relacionado à uma
determinada propriedade P do campo pela relação
D f = −C ∇P
(1)
onde ∇ - operador gradiente - é definido por
∇≡i
∂
∂
∂
+j
+k
∂x
∂y
∂z
∂P
∂x
pode representar a densidade de fluxo de
onde D f x
(3)
quantidade de movimento, de massa ou de calor,
dependendo do campo sendo considerado. A derivada
5
A tensão de cisalhamento é decorrência da força atuando
tangencialmente a uma superfície. Ocorre em escoamentos, quando
duas "lâminas adjacentes" de fluido tem velocidades diferentes, o que
ocasiona atrito.
6
Um "meio isotrópico" é aquele onde as propriedades não mudam
conforme a direção; "meio homogêneo" é aquele que apresenta as
mesmas propriedades físicas em toda a sua extensão.
10/03/03 10:37
τ yx = µ
∂u
∂y
(4)
estando a tensão atuando no plano perpendicular ao eixo
y e paralelo a x, onde u é a velocidade do fluido na
direção x e µ é a viscosidade absoluta.
τyx
A tensão de
u+du
cisalhamento
y
partícula
dy
está associada
de fluido
ao fluxo de
u
τ yx
momentum7.
x
(2)
num sistema de coordenadas retangulares, e C é uma
constante de proporcionalidade; i, j e k são vetores
unitários em direções ortogonais entre si. Quando C for
positivo, o sinal negativo indica que o fluxo está na
direção da intensidade decrescente do campo. Por
exemplo, um campo de velocidades num fluido é
determinado pelo gradiente de pressão, sendo que o
fluido caminha na direção em que a pressão decresce.
O gradiente de P é algumas vezes denominado de
gradiente de potencial, e representa uma força motriz. A
constante de proporcionalidade C depende do campo
considerado, assim como a intensidade de campo e a
densidade de fluxo. Seu valor pode depender da
temperatura, da pressão e, se o meio não for homogêneo
e isotrópico6, também da posição.
3.4. Equações das Variações - Forma Unidimensional
A eq. (1) é uma equação geral que descreve de forma
adequada o comportamento de um campo fluido, um
campo térmico, um campo de difusão mássica ou mesmo
um campo elétrico ou magnético. Na forma
unidimensional, essa equação se reduz à
D f x = −C
∂P/∂x é o gradiente de potencial, a intensidade da
respectiva força motriz.
Na seqüência algumas equações são apresentadas
mostrando a analogia entre alguns tipos de
transferências.
3.4.1. Equação de Newton da Viscosidade
A tensão de cisalhamento τ, decorrente do atrito entre
duas camadas fluidas adjacentes que deslizam em
velocidades diferentes, em condições estacionárias, pode
ser calculada pela expressão
Exemplo 1
Dois discos coaxiais horizontais com diâmetro de 2 ft (pés)
estão separados por uma distância de 0.050 in (polegadas). O
disco inferior está fixo e o superior gira a 5 revoluções por
segundo, necessitando de um torque de 8.62 ft·lbf.
Desprezando-se os efeitos laterais, calcule a viscosidade do
óleo que preenche o espaço entre os discos8.
Solução
O esquema desse problema pode ser visto na figura abaixo
dθ
ω = 10π rad/s
T = 8.62 ft.lbf
dr
A
A
dF
r
0.050 in
2 ft
Vista AA
Supondo uma distribuição linear
de velocidade (∂u/∂y=cte.), tem-se
dF
dA
=µ
du
dy
=µ
u = rω
u
h
h
onde u é a velocidade local, isto é, a
u=0
velocidade de um ponto (ou elemento
de área) situado num raio r.
A força elementar dF varia com o raio do disco, uma vez
que a área de cisalhamento cresce com o raio. Portanto
dF
rω
=µ
dA
h
onde a velocidade local é u = rω. Porém, dA = r dr dθ; e a
integração em relação a θ fornece
2πµω 2
ω
dF = µ r 2 dr ∫02π dθ =
r dr
h
h
e o torque dT = rdF é
7
8
Quantidade de movimento.
Este é um exemplo de transporte de momentum.
I-2
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
2πµω R 3
π µω 4
R
∫0 r dr =
h
2 h
2(0.050 in )(8.62 ft.lb f )(1 ft )
2hT
µ=
=
πωR 4
π (10π / s )(1 ft 4 )(12 in )
-4
µ = 7.27·10 lbf ·s/ft2
T=
3.4.2. Equação de Fourier da Condução de Calor
A quantidade de calor transferida através de uma área
na direção x, ou fluxo de calor, é proporcional ao
gradiente da temperatura. No estado estacionário, a
relação é
∂T
q
,,
  = q x = −k
∂x
 Ax
(5)
onde a constante de proporcionalidade k (não negativa) é
a condutividade térmica que, para algumas substâncias,
varia linearmente com a temperatura. O símbolo q"
significa fluxo de calor por unidade de área
perpendicular à direção de transferência.
O sinal negativo na relação (5) indica que o calor é
transferido no sentido do decréscimo da temperatura, em
obediência à 2a lei da Termodinâmica (veja item 5.3).
Exemplo 2
Uma face de uma placa de cobre de 3 cm de espessura é
mantida a 400oC, e a outra face é mantida a 100oC. Qual a
densidade de fluxo de calor transferido através da placa?
Usar a condutividade térmica do cobre à 250oC: 370 W/(m·oC)
Solução
Da equação de Fourier
q
∆T − (370)(100 − 400)
= −k
=
= 3.7 MW/m2
A
∆x
3 ⋅ 10 −2
Exercício 2
Um aro se encontra colocado no interior do tubo mostrado,
podendo girar sobre um eixo de rotação.
θ
Aro
fluxo = 20 Kg/s
5 cm
eixo de rotação do aro
Tubo com água escoando
Calcule a densidade de fluxo de água através do aro (que tem o
mesmo diâmetro do tubo) quando o ângulo de rotação for de
0o, 45o e 90o.
Solução
Exercício 1
A parede de um forno industrial é construída em tijolo
refratário com espessura de 0.15 m e condutividade térmica de
1.7 W/(m·K). Medições efetuadas durante a operação em
regime estacionário revelaram temperaturas de 1400 K e
1500 K nas superfícies interna e externa da parede do forno,
respectivamente. Qual a taxa de calor perdida através de uma
parede com dimensões 0.5 m por 0.3 m?
Solução
10/03/03 10:37
I-3
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
isolado (sem troca de energia10 e massa com o
exterior), fechado (com troca de energia, mas não de
massa, com o exterior) ou aberto (com troca de
energia e massa com o exterior).
• Fronteira. Superfície que delimita o sistema; define o
interior e exterior; pode ser fixa ou móvel, rígida ou
deformável, fechada ou aberta (conforme definições
do parágrafo acima), isolante ou diatérmica11.
• Vizinhança. Tudo o que pertence ao exterior e
interage com o sistema.
superfície de
controle
exterior
fronteira
M
Volume de
Controle
3.5. Alguma Definições Importantes
As definições a seguir são importantes para auxiliar
no entendimento dos conceitos a serem apresentados
neste capítulo, e mesmo para recordação de conceitos
vistos em disciplinas anteriores, como a Termodinâmica.
Algumas dessas definições poderão ser apresentadas
novamente mais a frente, e com mais detalhes, se o
contexto do assunto assim o exigir, e em prol de uma
maior clareza.
• Termodinâmica. "Termodinâmica é a ciência que
trata da energia e da entropia" ou "Termodinâmica é
a ciência que trata do calor, do trabalho e daquelas
propriedades das substâncias relacionadas ao calor e
trabalho".
• Energia. Embora seja um termo corriqueiro, a sua
definição não é tão óbvia, e não existe exatamente um
consenso sobre ela. Para nossos fins, utilizaremos a
definição mais comumente utilizada na física:
"Energia é tudo aquilo que, de alguma forma,
consegue produzir trabalho".
No item 9.2 são apresentadas as principais formas
energia que serão consideradas neste texto
• Trabalho. Classicamente define-se trabalho como
produto da força pelo deslocamento (na mesma
direção da força). Em termos termodinâmicos, um
sistema (ver definição abaixo) realiza trabalho se o
único efeito sobre o meio (tudo externo ao sistema)
puder ser o levantamento de um peso.
• Entropia. É uma propriedade dos sistemas que indica
se determinada transformação é possível ou não: ela
só pode ocorrer se a variação de entropia do sistema
isolado (ver definição abaixo) não for negativa.
• Calor. Em termos termodinâmicos, calor é energia em
trânsito devido a diferença de temperaturas, e não
associado a transferência de massa. Nesse ponto de
vista, calor só é percebido se houver alguma diferença
de temperatura.
9
• Sistema . Objeto da análise; ocupa volume e possui
massa; pode ser fixo ou móvel, rígido ou deformável,
9
Alguns conceituados autores (Irving Shames, Van Wylen et all.), em
suas obras, definem sistema como sendo uma quantidade identificada,
ou fixa, de matéria. Segundo este ponto de vista, um sistema sempre
10/03/03 10:37
Q
Q
Sistema
Fechado
W
W
vizinhança
•
Volume de Controle. Região do espaço escolhida para
a realização da análise termodinâmica, conveniente
para analisar dispositivos ou equipamentos onde há
fluxo de massa.
• Superfície de Controle. Análoga à fronteira do
sistema, porém com a possibilidade de existir fluxo
mássico através dela.
tubo
pistão
sistema
fechado
volume de controle
A escolha do uso de conceitos como de sistema
aberto, fechado ou de volume de controle depende do
problema a ser analisado, mas qualquer que seja a
escolha, as leis de conservação (e da Termodinâmica)
sempre serão aplicáveis.
Sistema
fechado
W
Volume de
controle
m&
Gás
W
Q
Q
comp ressor
m&
será fechado, e o que aqui chamamos de sistema aberto é equivalente
ao volume de controle (massa cruzando a fronteira). Isso não constitui
problema desde que as leis de conservação e da termodinâmica sejam
aplicadas corretamente.
10
Na forma de calor e trabalho.
11
Fronteira isolante não permite a troca de calor, e a diatérmica
permite
I-4
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
4. Unidades de Medida
4.1. Sistemas de Unidades
Embora o Sistema Internacional - S.I. - venha se
firmando ao longo dos anos como tendência na
padronização do sistema de unidades, em muitos países,
e em diversas das referências utilizadas na área de
fenômenos de transporte e da engenharia em geral,
outros sistemas ainda são bastante utilizados, como visto
no Exemplo 1, onde foram utilizadas as unidades do
sistema inglês. Portanto, é importante saber como
realizar a conversão das unidades (medidas) de uma
determinada dimensão (grandeza) entre esses diversos
sistemas.
Na mecânica costuma-se definir as chamadas
unidades fundamentais - massa, comprimento e tempo
(das quais derivam todas as outras) - com base na lei de
Newton
F=
Ma
gc
(6)
onde F é a força, M a massa, a a aceleração e gc a
constante gravitacional. A tabela a seguir resume a
relação entre as unidade fundamentais de cada sistema.
Sistema
F=(Ma)/gc
1N =
S.I.12
Inglês (1)
1 lb =
f
m
N
Kg
Kgf
m
s
-
s2
(1 slug)(1 ft)
1 Kg·m/(N·s2)
32.174 lbm·ft/( lbf ·s2)
2
1 slug·ft/( lbf ·s2)
2
9.8067 Kg·m/(Kgf ·s2)
s
(9.8067 Kg)(1 m)
1 din =
C.G.S.
2
s
(32.174 lb )(1 ft)
1 lb =
Métrico13 1 kg f =
onde:
(1 Kg)(1 m)
f
Inglês (2)
gc
s
(1 g)(1 cm)
s2
Newton
Kilograma-massa
Kilograma-força
metro
segundo
1 g·cm/( din·s2)
lbm
lbf
slug
din
-
libra-massa
libra-força
32.174 lbm
dina
Às unidades fundamentais da mecânica deve-se
adicionar mais uma: a temperatura. Com essas quatro
unidades fundamentais, e sua combinação, todas as
grandezas envolvidas em nosso estudo podem ter uma
medida.
4.2. Escalas de Temperatura
As escalas mais conhecidas são mostradas abaixo.
Temperatura
de referência
12
Escala de temperatura Linear
Celsius
Kelvin
Farenheit Rankine
O S.I. é uma versão do antigo sistema MKS - Metro-Kilo-Segundo.
No sistema métrico-gravitacional a força é uma unidade
fundamental, ao invés da massa, denominada UTM - unidade técnica
de massa - equivalendo a 9.8067 Kg.
congelamento
da água
Ebulição da
água
0oC
273.16 K
32oF
491.69oR
100oC
373.16 K
212oF
671.69oR
Por serem escalas lineares, relações entre as
temperaturas de uma escala para outra podem ser obtidas
diretamente através de uma simples "regra de três".
Abaixo, algumas dessa relações.
9
o
(a)
F = oC + 32
5
R = oF + 459.69
(b)
K = oC + 273.16
(c)
(7)
R=
9
K
5
(d)
4.3. Unidades de Energia
Como neste curso a energia (trabalho e calor) será
muito abordada, convém conhecer alguns fatores de
conversão de um sistema para outro (tabela abaixo).
Sistema Unidade de Energia
S.I.
Fatores de Conversão
N·m = 1 Joule (J)
1 Btu = 778.16 lbf ·ft
Inglês(1)
lbf ·ft
1 Btu = 1055 J
Inglês(2)
lbf ·ft
1 cal = 4.184 J
Métrico
Kgf ·s = 9.8067 J
1 lbf ·ft = 1.356 J
din·cm = erg
1 Btu = 252 cal
cgs
Note que nessa tabela existem também a caloria (cal)
e o Btu (British Thermal Units), ainda bastante utilizados
como unidades de energia14.
4.4. Consistência entre as Unidades
Atenção sempre deve ser dada no uso de unidades
consistentes, ou seja, pertencentes a um mesmo sistema
de unidades. Algumas vezes os dados de determinado
problema podem ser fornecidos ou estar disponíveis em
tabelas com unidades de sistemas diferentes. Para aplicar
as diversas fórmulas e obter resultados coerentes, todas
as grandezas envolvidas devem estar descritas em
unidades do mesmo sistema.
Exemplo 3
O peso de uma peça de metal é 100.0 N em um local onde
a aceleração da gravidade g é 10.60 m/s2. Qual é a massa dessa
peça, em Kg, e qual o seu peso na superfície da Lua, onde
g = 1.67 m/s2.
Solução
Como gc é 1 Kg·m/(N·s2) no S.I., a segunda lei de Newton
pode ser escrita na forma F = mg. Assim
100.0 (N)
F
N
m= =
= 9.434
= 9.434 Kg
g 10.60 (m/s 2 )
m/s 2
A massa é uma constante, mas o peso dependerá da
aceleração local da gravidade. Dessa forma , na Lua
13
10/03/03 10:37
14
É comum se especificar a capacidade de ar-condicionado em Btus.
I-5
Fenômenos de Transporte
peso = FLua = mg = 9.434 (kg ) ⋅1.67 (m/s 2 ) = 15.8 N
Exercício 3
O peso de uma peça de metal é 250 lbf em um local onde a
aceleração da gravidade g é 30.50 ft/s2. Qual é a massa dessa
peça, em lbm, e qual o seu peso na superfície da Lua, onde
g = 5.48 ft/s2.
Solução
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
5. Resumo das Leis da Termodinâmica
5.1. Lei Zero da Termodinâmica
Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico15
com um terceiro corpo C, ou seja, TA = TC e TB = TC ,
então esse dois corpos estão também em equilíbrio
térmico: TA = TB.
5.2. Primeira Lei da Termodinâmica
Essa lei trata da conservação de energia de um
sistema de massa fixa que interage com sua vizinhança
através de sua fronteira (veja item 3.5 para essas
definições). A energia total do sistema no estado 1 é
denotada por E1, e no estado 2 é denotada por E2.
A 1a lei pode ser expressa pela seguinte relação
∆E = E2 - E1 = W12 + Q12
(8)
onde W12 e Q12 representam o trabalho e calor que
cruzaram a fronteira do sistema entre os estados 1 e 2 (no
item 9.1 se voltará a falar sobre trabalho e calor, e sobre
as convenções de sinal).
5.3. Segunda Lei da Termodinâmica - Entropia
Como massa e energia, todo sistema possui entropia,
que é uma espécie de medida do grau de desordem
microscópica (incerteza sobre o estado microscópico) do
sistema. É uma propriedade extensiva: a entropia de um
sistema é igual ao total da soma das entropias de suas
partes. Ao contrário da massa e energia, a entropia pode
ser produzida, mas nunca destruída.
A 2a lei estabelece que a entropia de um sistema e
suas vizinhanças (sistema isolado - veja item 3.5) nunca
pode diminuir, ou seja
∆Ssist.isolado ≥ 0
Exercício 4
Um ar condicionado hipotético consegue retirar de um
ambiente fechado cerca de 3412 Btu/hora. Quanto isto
significa em Watts?
Solução
(9)
A entropia tem utilidade no estudo de processos
termodinâmicos16, porém não pode ser diretamente
medida. Pode-se dizer, entretanto, que no zero absoluto
(0K ou -273.16oC) todas as substâncias tem valor zero
para essa propriedade.
6. Equação de Balanço - Leis de Conservação
6.1. Finalidade
Análise de sistemas com fluxos de massa,
momentum, energia e entropia. Exemplo: motores,
tubulações, ventiladores, refrigeradores, etc. Essas
equações são, portanto, fundamentais no estudo dos
fenômenos de transferência.
6.2. Quantidades de um Sistema
Para os estudos a serem realizados, as grandezas
mostradas na tabela abaixo serão relevantes17.
15
Com mesma temperatura.
Especialmente aqueles envolvendo os gases perfeitos.
17
No Capítulo III - Propriedade das Substâncias Puras algumas
dessas propriedades são abordadas com mais detalhes.
16
10/03/03 10:37
I-6
Fenômenos de Transporte
Grandeza
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Símb.
Unidade SI
Ρ& m = 0
Ρ& E = 0
r&
PL = 0
massa
m
kg
volume
V
m3
energia
E
J (Nm) (Ws) (kg m2/s2)
entropia
S
J/K
r
L
momentum
Ρ& S ≥ 0
kg m/s (Ns) (vetorial)
6.3. Formulação
r
Seja N uma das grandezas do sistema - m, E, S ou L cuja variação deseja-se estudar.
Considere-se num intervalo de tempo dt o seguinte18
dN
dN ext
δN trans
δN prod
a variação de N;
a variação induzida por agentes externos;
a quantidade de N transportada para/do
sistema (entra/sai);
a quantidade de N produzida/consumida no
interior do sistema.
(a)
(b)
(12)
(c)
(d)
Em outras palavras, massa, energia e momentum não
aparecem do nada (só podem ser transportados, ou
transformados de um tipo para outro), e a entropia pode
ser gerada, mas nunca "consumida" (2a lei da
termodinâmica).
Exercício 5
Assuma que, na equação (11), N represente a carga
elétrica Q. Aplique essa equação ao volume de controle (VC)
abaixo e comente o resultado. Considere que a carga elétrica
não pode ser acumulada no interior do VC, e que não existe
agente externo que induza variação de carga no interior do VC.
fluxo de carga
V.C.
N
dNext
dN
N
δNe
δN prod
dt
t
Tem-se que
dN = dN ext + δN trans + δN prod
δNs
Solução
(10)
de onde se obtém
dN  dN 
=
 + N& trans + Ρ& N
dt  dt  ext
(11)
Conceitualmente, pode-se escrever esta equação de
balanço da seguinte forma
 taxa de variação   taxa de   taxa de 
 
 

 taxa de  

  de N induzida   transporte   produção 
 variação  = 
+
+


  no sistema por   de N para   de N no 
 de N  
 
 

 agente externo   o sistema   sistema 
6.4. Postulados Fundamentais
Os postulados conhecidos, respectivamente, por lei de
conservação de massa, lei de conservação de energia, lei
de conservação de momentum e lei de geração de
entropia dizem respeito aos termos de produção de
massa, energia, momentum e entropia que aparecem nas
equações de balanço; são eles
18
A notação dN refere-se à taxa de variação de uma grandeza, e a
notação δN está associada ao transporte ou produção de certa
quantidade da grandeza N dentro do sistema ou volume de controle de
questão, que geralmente depende do processo (ou "caminho").
Matematicamente, dN é uma diferencial exata, e δN é uma diferencial
inexata.
10/03/03 10:37
I-7
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A densidade de uma substância representa a
quantidade de massa contida em um volume unitário
(Kg/m3); portanto, obtém-se:
δm 1
(19)
ρ=
=
δV v
7.3. Transporte de Energia, Entropia e Momentum
A taxa de transporte de uma grandeza extensiva N&
pode ser descrita em termos do fluxo de massa:
(20)
N& = m& n
7. Taxas de Transporte
7.1. Transporte de massa
Define-se fluxo de massa, ou vazão mássica, como
δmtrans
(13)
m& =
dt
que representa a taxa de transporte de massa, isto é, a
quantidade de massa transportada por unidade de
tempo (kg/s).
7.2. Propriedades específicas
r
As grandezas V, E, S e L são ditas extensivas porque
as suas quantidades em um corpo dependem da massa do
corpo. Definem-se, então, propriedades específicas da
matéria associadas às grandezas extensivas, que são
independentes da quantidade de massa da substância.
Assim, sendo N uma grandeza extensiva, tem-se a
propriedade específica
δN
(14)
δm
que representa a quantidade de N contida numa unidade
de massa.
Volume específico - volume ocupado por unidade de
massa (m3/kg):
n=
δV
δm
Energia específica - energia por unidade de massa
(J/Kg):
v=
(15)
δE
(16)
δm
Entropia específica - entropia por unidade de massa
((J/K)/Kg):
Energia (J/s = W):
E& = m& e
(21)
Entropia ((J/K)/s):
S& = m& s
(22)
Momentum ( kg m/s2 = N):
r&
r
L = m& l
(23)
8. Balanço de Massa
Seguindo a formulação dada em (11), escreve-se
dm  dm 
=
 + m& + Ρ& m
dt  dt  ext
(24)
Baseando-se no postulado fundamental da massa
(12a), e no desconhecimento de um mecanismo de
alteração da massa provocada por um agente externo, e
admitindo-se a possibilidade de múltiplos fluxos de
massa tem-se
dm
(25)
= Σm&
dt
No somatório, considera-se positivo ou negativo,
respectivamente, o fluxo de massa que entra ou sai do
sistema. Utilizando-se a notação m& e e m& s ,
respectivamente, para o fluxo entrando e fluxo saindo,
em valores absolutos, pode-se rescrever o balanço de
massa na forma
dm
(26)
= Σm& e − Σm& s
dt
&
m
e1
&
m
s1
&
m
e2
&
m
s2
e=
δS
(17)
δm
Momentum específico - momentum por unidade de massa
(velocidade - m/s):
r
r δL
(18)
l=
δm
s=
10/03/03 10:37
Exercício 6
Qual é o valor e direção do fluxo de massa indicado na
figura abaixo? O tanque está cheio, e a água é um fluido
incompressível.
I-8
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
21
10 Kg/s
5 Kg/s
1 Kg/s
2 Kg/s
Tanque com água
m& = ?
10 Kg/s
10 Kg/s
positivo quando realizado sobre o sistema (energia
adicionada ao sistema) e negativo quando realizado pelo
o sistema (energia que deixa o sistema). O símbolo
utilizado é W (Work) e a Unidade S.I. é o Joule J (N·m). A taxa de realização de trabalho
(J/s = W: Watt) expressa-se por22
(30)
W& = δW dt
O Calor está associado à transferência de energia
térmica por efeito de uma diferença de temperatura
(condução de calor), ou por ondas eletromagnéticas
(radiação), não estando associado à transferência de
massa. A troca de calor é positiva se o calor é adicionado
ao sistema ou volume de controle, e negativo quando
removido. O símbolo tradicionalmente usado é Q, e a
unidade S.I. é o Joule (outra unidade comum é a caloria:
1 cal = 4.184 J). A taxa de transferência de calor (Watt)
expressa-se por 23
(31)
Q& = δQ dt
Solução
Trabalho e calor serão vistos novamente mais adiante.
Por hora, o balanço de energia fica
dE
(32)
= ΣQ& + ΣW& + Σm& e
dt
9. Balanço de Energia
Ainda de acordo com a formulação (11), tem-se
dE  dE 
=
 + E& + Ρ& E
dt  dt  ext
(27)
Utilizando o postulado fundamental da energia (12b),
e inserindo o conceito de energia específica dada em (21)
na expressão para a taxa de transporte de energia
associada a vários fluxos de massa, obtém-se
dE  dE 
=
 + Σm& e
dt  dt  ext
(28)
9.1. Trabalho e Calor.
Os estudos de mecânica e termodinâmica demonstram
a possibilidade de agentes externos alterarem a energia
de um sistema fechado através de trabalho e calor; isso é
expresso por (veja item 5.2)
∆E ext = Q + W
(29)
O Trabalho está associado a deslocamentos
(movimento) induzidos e mantidos pela ação de uma
força. Mais precisamente, um sistema realiza trabalho
(termodinâmico) quando o único efeito19 externo ao
sistema (sobre as suas vizinhanças) puder ser traduzido
por uma elevação de peso20. Também é definido como a
forma de energia em trânsito não associada com
transferência de massa, e devido a uma diferença de um
potencial que não seja temperatura. O trabalho é
19
Único efeito: só trabalho, sem geração de calor.
Energia elétrica pode atravessar a fronteira do sistema e acionar um
motor externo que levantará um peso. Portanto, a energia elétrica
realiza trabalho.
20
10/03/03 10:37
Exemplo 4
A energia total de um sistema fechado aumenta em 55.0 KJ
durante um processo enquanto trabalho é realizado sobre o
sistema numa quantidade de 100.0 KJ. Quanto calor é
transferido durante esse processo, e ele é removido ou
adicionado ao sistema?
Solução
Nesse problema deve-se considerar o princípio de
conservação de energia, que para sistemas fechados é expresso
pela segunda lei da termodinâmica na forma da eq. (29)
∆E ext = Q + W
Substituindo os valores, tem-se
55.0 = Q + 100.0 → q = -45.0 KJ
O sinal negativo indica que o calor é removido do sistema.
Exercício 7
Cite um exemplo corriqueiro de um processo onde ocorre
realização de trabalho sobre o sistema com liberação de calor.
Solução
21
Existe um convenção de sinal que, por razões históricas, assume
que o trabalho realizado pelo sistema é positivo. Nesse caso, a
expressão (29) deve ser mudada para ∆Eext = Q - W.
22
A variação de trabalho é uma diferencial inexata, pois depende do
"caminho" em que o trabalho é realizado; por isso δW e não dW.
23
A variação de calor também é uma diferencial inexata; por isso δQ
e não dQ.
I-9
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
necessária para efetuar essa modificação, por unidade de massa
do sólido, é o calor latente de fusão hsf . Portanto, o aumento
de energia é dado por
∆E = M hsf
9.2. Formas de Energia
As diferentes "formas" de energia serão abordadas ao
longo desse trabalho. Por enquanto, vale ressaltar as
formas mais conhecidas.
Energia
Conceito: energia
associada à...
velocidade da massa
posição da massa no
campo gravitacional
atividade térmica das
partículas da massa
Simb.
cinética
gravitacional
Ec
Eg
térmica
U
Energia
específica
ec
eg
(33)
e = ec + eg + u
(34)
Notar que as variações tanto de Ec como de Eg estão
associadas à realização de trabalho.
Exemplo 5
Um pedaço de gelo de massa M na temperatura de fusão
(Tf = 0oC) está dentro de uma cavidade cúbica de aresta L. A
espessura das paredes dessa cavidade é e, e a condutividade
térmica, k. No instante t = 0, a superfície externa da parede fica
na temperatura T1 > Tf . Obter uma expressão para o intervalo
de tempo necessário para fundir completamente o gelo.
Solução
Hipóteses:
1. a superfície interna da parede da cavidade é Tf durante todo
o processo;
2. as propriedades são constantes;
3. a condução de calor é unidimensional através de cada
parede;
4. a área de condução de cada parede é aproximadamente L2
(e << L).
Seção A-A
k
A
A
dE
dt
L
Mistura
gelo-água (Tf)
T1
TF
e
Como o sistema é fechado e não há trabalho sendo
realizado, e sim apenas adição de calor, o balanço de energia
fornece
dE
= ΣQ&
dt
Uma vez que as temperaturas T1 e Tf mantém-se constante
durante o processo, o fluxo de calor por unidade de área q"
também é constante no tempo. Assim sendo (veja equação (5))
T1 − T f
∆E Energia p / fusão
2
ΣQ& = q"⋅ A = k
⋅ 6 L = cte =
=
e
∆t
Tempo p / fusão
O aumento de energia no interior do sistema se deve
exclusivamente à variação da energia latente associada à
conversão do sólido em líquido. A quantidade de energia
10/03/03 10:37
10. Balanço de Entropia
Mais uma vez, partindo-se da formulação (11), tem-se
dS  dS 
=   + S& + Ρ& S
dt  dt  ext
u
No balanço de energia tem-se
E = Ec + Eg + U
q”
A incógnita do problema é ∆t. Das duas últimas expressões
obtém-se a relação procurada
eMhsf
∆t =
6kL2 (T1 − T f )
(35)
O postulado fundamental da entropia estabelece que a
produção de entropia é sempre positiva ou nula
(veja (12.d)). Os estudos de termodinâmica demonstram
que
Ρ& = 0 processos reversíveis
S
Ρ& S > 0 processos irreversíveis24
Ou seja, os processos só acontecem na direção onde a
entropia total (dos sistemas envolvidos, caracterizando o
sistema isolado) é mantida ou cresce, mas nunca no
sentido de sua diminuição (veja item 5.3).
Além disso, verifica-se que um agente externo pode
alterar a entropia de um sistema, e que esta alteração está
relacionada com transferência de calor, de acordo com
Q
∆S ext =
(36)
Q
Ts
onde Ts é a temperatura do ponto onde o
fluxo de calor entra/sai do sistema.
Entropia será vista novamente mais adiante; no
momento, é o bastante expressar o balanço de entropia
como
Q&
dS
= Σ + Σm& s + Ρ& S
(37)
dt
Ts
Ts
Alguns autores escrevem este balanço na seguinte
forma equivalente
Q&
dS
(38)
≥ Σ + Σm& s
dt
Ts
Exemplo 6
Mostre que qualquer transferência de calor entre dois
reservatórios de calor às temperaturas TH e TC , TH > TC , deve
acontecer do reservatório mais quente para o mais frio.
Solução
Um reservatório de calor é, por definição, um corpo com
capacidade calorífica infinita, ou seja, capaz de absorver ou
24
Há algumas formas de trabalho que são inerentemente irreversíveis
como, por exemplo, o trabalho devido às forças de atrito, onde há
geração de calor, típico fenômeno da irreversibilidade. Exemplo:
agitando-se uma colher dentro de um copo d'água (trabalho), o líquido
aquece; ao contrário, será que se a água for aquecida na mesma
proporção a colher será agitada?
I-10
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
libertar quantidades ilimitadas de calor sem qualquer variação
de temperatura, e sem irreversibilidades ("efeitos
dissipativos"). A variação de entropia é dada por (36)
independente se o reservatório é fonte ou sumidouro de calor.
Dessa forma,
Q
∆S =
T
Seja Q a quantidade de calor que passa de um reservatório
para o outro. O valor absoluto de Q é o mesmo para ambos os
reservatórios, mas QH e QC têm sinais opostos, porque o calor
fornecido a um reservatório (considerado positivo) é calor
extraído do outro (considerado negativo). Portanto, QH = -QC.
Logo
−Q C
Q
Q
∆S H = H =
e ∆S C = C
TH
TH
TC
r
r
r
dL
= ΣFext + Σm& l
dt
(40)
Exemplo 7
O cientista russo Konstantin Tsiolkovsky é considerado pai
da "foguetaria teórica". Em 1903 publicou a sua famosa
equação do foguete, mais conhecida como Equação de
Tsiolkovsky. Essa equação é válida para o foguete de massa M
em vôo no espaço livre, onde a força gravitacional é
desprezada e a resistência ao avanço inexiste, sendo a variação
de velocidade do foguete devido apenas à velocidade de escape
dos gases, c, que deixam o foguete a uma taxa mássica m& .
Sabendo-se disso, deduza essa equação.
Solução
A situação física idealizada pode ser vista na figura abaixo.
Assim
V.C.
 T −T 
C 
∆S total = ∆S H + ∆S C =
+
= QC  H
 T T 
TH
TC
 H C 
A segunda lei da termodinâmica diz que a variação de
entropia de qualquer sistema e seu exterior, considerados
juntos, é sempre positiva, ou seja, ∆Ssist.isolado ≥ 0.
Como existe diferencial de temperatura, há fluxo de calor;
isso implica em se ter
− QC
QC
Q (TH − TC ) > 0
C
Como TH > TC , então QC só pode ser positivo; ou seja, o
calor passa do reservatório quente para o frio, conforme
observado na prática25. A figura abaixo ilustra isso utilizando
uma analogia com dois tanques comunicantes com níveis
diferentes de água: o maior nível corresponderia a maior
quantidade de calor.
& c
m,
u
Admitindo o volume de controle mostrado, e considerando
que o problema pode ser analisado unidimensionalmente, a
equação do balanço de momento (40) reduz-se a
du 
 dL
 dt = F = Ma = M dt  = [m& c ]
dM
du
dM
, então M
=−
c ou
Como m& = − M& = −
dt
dt
dt
dM
du = −c
M
Admitindo-se que, para t = 0, u = uo e M = Mo, então
 M0
 M

u − u = −c (ln M − ln M ) = c ln 
Sistema isolado
0
0
TH




ou
 M0
 M

u = c ln
TC
q
11. Balanço de Momentum
Finalmente, partindo-se da formulação (11), tem-se
r
r
r& r&
dL  dL 
=   + L + ΡL
(39)
dt  dt  ext
Os termos de produção e transporte são obtidos, como
anteriormente, de (12c) e (23). A taxa de variação de
momentum induzida pela ação de um agente externo é
simplesmente a força exercida por este agente externo,
segundo os conceitos da dinâmica newtoniana. Na
realidade, esta é a própria definição de força. Seu
símbolo é F, e a unidade S.I. é o Newton - N.
Portanto, o balanço de momentum escreve-se como
Esse exemplo serve para ilustrar o significado da 2a Lei da
Termodinâmica, que é uma "lei direcional": indica o sentido em que
um processo termodinâmico pode ocorrer.

+u
 0

que é a equação de Tsiolkovsky.
Nota. Com freqüência satélites, como os de telecomunicações,
precisam realizar ajustes e correções de órbitas. Isso é
realizado através de incrementos ou decrementos de
velocidade, e a equação de Tsiolkovsky é uma ferramenta para
determinar a quantidade de combustível (como hidrazina) que
deve ser consumida para obter a variação de velocidade
desejada.
Exercício 8
Um satélite de telecomunicações, para realizar um pequeno
ajuste de órbita, precisa ter um acréscimo de velocidade de
75 m/s. Sabendo-se que a massa do satélite é 220 Kg, e que a
velocidade de escape dos gases do motor de correção é cerca
de 2500 m/s, quanto propelente26 deve ser consumido para
realizar esse ajuste. Calcule essa massa com 2 casas decimais.
Solução
25
10/03/03 10:37
26
Combustível do motor-foguete.
I-11
Fenômenos de Transporte
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
12.2. Equações Temporais Vs. de Variação.
As equações anteriores para sistemas de massa fixa
estão escritas na forma de derivadas temporais; de forma
alternativa, podem ser escritas na forma de variações
finitas.
∆E = Q + W
(a)
∆S = Φ S + Ρ S
r r
∆L = Ι F
(b)
(c)
onde o calor total recebido é dado por
Q = Σ Q& dt = Σ dQ
(44)
o trabalho total recebido é dado por
W = Σ ∫ W& dt = Σ ∫ dW
(45)
∫
∫
o influxo total de entropia é dado por
Q&
dQ
Φ S = Σ ∫ dt = Σ ∫
Ts
Ts
a produção total de entropia é dada por
Ρ = Σ ∫ Ρ& dt = Σ ∫ dΡ
12. Considerações Finais
S
Resumindo, as equações de balanço são
dm
= Σm&
dt
(a)
dE
= ΣQ& + ΣW& + Σm& e
dt
(b)
Q&
dS
= Σ + Σm& s + Ρ& S
dt
Ts
r
r
r
dL
= ΣFext + Σm& l
dt
S
S
e o impulso total das forças aplicadas é dado por
r
r
Ι = Σ ∫ F dt
(46)
(47)
(48)
e as integrais referem-se ao período considerado, em que
o sistema evolui entre os estados inicial e final do
processo em questão.
(41)
(c)
(d)
12.1. Sistema Fechado
Para sistemas fechados, i.e., sem fluxo de massa,
obtém-se
dm
= 0 ou m = constante
dt
(a)
dE
= ΣQ& + ΣW&
dt
(b)
(42)
Q&
dS
(c)
= Σ + Ρ& S
dt
Ts
r
r
dL
(d)
= ΣFext
dt
Assim, para uma certa quantidade de massa constante,
as três últimas equações são expressões de conhecidas
leis da física (certamente já estudadas anteriormente pelo
estudante de fenômenos de transporte), a saber
• 1a lei da termodinâmica;
• 2a lei da termodinâmica;
• 2a lei da dinâmica newtoniana.
10/03/03 10:37
(43)
13. Referências
1. Notas de Aula do Professor Sérgio Bordalo, da
Unicamp.
2. Wark, K.: Thermodynamics. McGraw Hill
Kokakusha Ltd., 1977.
3. Van Wylen, G.J., Sonntag, R.E. e Borgnakke, C.:
Fundamentos da Termodinâmica Clássica. Editora
Edgard Blücher Ltda, 5a edição, 1998.
4. Sisson, L.E e Pitts, R.P.: Fenômenos de Transporte.
Editora Guanabara, 1979.
5. Incropera, F.P. e DeWitt, D.P.: Fundamentos da
Transferência de Calor e Massa. Livros Técnicos e
Científicos Editora Ltda, 4a edição, 1998.
6. Cornelisse, J.W, et all.: Rocket Propulsion and
Spaceflight Dynamics. Pitman Publishing Limited,
London (UK), 1979.
I-12