Matemática - 3C12/14/15/16/26
Lista 2
Poliedros Convexos
1) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.
2) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas.
3) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que
tem 6 vértices.
4) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que
tem 10 faces triangulares e 2 faces quadrangulares.
5) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o
número de vértices de 6 unidades.
6) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas?
7) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces
quadrangulares.
8) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de
faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o número de faces
quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares.
9) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de
faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares
é o dobro do nº de faces triangulares.
10) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Determine o número de
faces triangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 19 arestas e 11 vértices, e que o nº de faces
quadrangulares é o dobro do nº de faces pentagonais.
11) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine o
número de faces de cada gênero.
12) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de
cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?
13) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:
a) tetraedro
b) hexaedro
c) octaedro
d) dodecaedro
e) icosaedro
14) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se
a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
15) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3
do número de arestas?
16) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°.
Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.
17) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1
pentagonal e 2 hexagonais.
18) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm
esse poliedro?
19) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de
faces desse poliedro?
20) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse
poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces
quadrangulares é igual a 5.
21) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces
triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o
dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.
Gabarito
1) F = 14 – 6 = 8. Octaedro.
2) 10 vértices
3) 1440º.
4) 2520º.
5) F = 8.
6) 10 faces
7) 48 vértices
8) 6 faces
9) 1 face
10) 4 faces
11) 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares
12) 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.
13)
a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, 720º .
b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, 2160º .
c) octaedro possui 6 vértices. Logo, 1440º .
d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, 6480º
e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, 3600º.
14) 7 faces triangulares e 5 heptagonais.
15) F = 4.
16) 6 faces triangulares e 3 quadrangulares.
17) Logo há 10 vértices.
18) 6 faces.
19) F = 8
20) Logo há 5 + 4 = 9 faces.
21) F = 5(k) = 5(4) = 20.
Prisma
LISTA DE EXERCÍCIOS – PRIMEIRA PARTE
1) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base do prisma mede 4cm. Determine a sua
área lateral.
2) Determine a área lateral, a área da base e a área total de um prisma reto de altura 10m, sendo a base de um
triângulo cujos lados medem: 5m, 6m e 9m.
3) Num prisma quadrangular regular, a aresta da base mede a = 8m. Sabendo que a área lateral do prisma é
2
384m , calcule a medida h da altura do prisma.
2
2
4) A área lateral de um prisma cuja base é um triângulo eqüilátero mede 72m . Sendo sua área total 8 (9 + 3)m ,
calcule a medida da aresta da base.
5) Sendo a altura de um prisma reto igual a 24m e que tem por base um triangulo retângulo de catetos 6m e 8m,
calcule a área da base, a área lateral e a área total.
2
6) Sendo um prisma pentagonal regular de altura 20 cm e área lateral 400cm , calcule a aresta da base.
2
7) A área lateral de um prisma triangular regular mede 18cm . Sabendo que a medida da aresta lateral é o dobro
da medida da aresta da base, calcule a aresta da base.
8) (PUC) Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é h=3m e cujo raio do circulo
que circunscreve a base é R = 2m, calcule a área total deste prisma.
9) Calcule o volume de um prisma reto de 24m de altura e cuja base é um triângulo eqüilátero de 4m de lado.
3
10) Um prisma regular tem como base um triângulo eqüilátero. Seu volume é igual a 63cm e altura mede 6cm.
Calcular a área da base.
11) Em um prisma hexagonal regular a soma das arestas da base é igual a 36 cm e a altura mede 12cm. Qual o
volume desse prisma?
12) A área lateral de um prisma triangular é o dobro da área da base. Sabendo-se que as arestas da base medem
3m, 4m e 5m. Pede-se:
a)a área da base
b) a altura do prisma
c) o volume do prisma
13) Um prisma triangular regular tem 60 cm de perímetro da base. Calcule o volume do prisma, sabendo que a
medida da altura é 8 cm.
3
14) O volume de um prisma reto cuja base é um triângulo eqüilátero mede 5 3 cm . Sabendo-se que a área
lateral é 30cm², calcule a aresta da base.
15) Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas dimensões são 10 cm, 7
cm, 3cm.
16) Em um paralelepípedo reto retângulo suas dimensões são 12cm, 5cm e 3cm. Calcular sua diagonal.
17) A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo mede 52 cm. Sabendo-se que as medidas das três arestas
são números inteiros e consecutivos, calcule essas medidas.
18) Dado a diagonal 238 cm de um paralelepípedo reto-retângulo e sabendo-se que duas de suas arestas
medem 10 cm e 6cm, calcular a terceira dimensão.
19) As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são 10 cm, 6 cm, e 4cm. Calcule a área deste
paralelepípedo.
2
20) Sendo um paralelepípedo reto retângulo de área 222cm e dimensões 5 cm e 3cm, calcular a terceira
dimensão.
21) Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 16 cm, 20cm e 26cm.
22) Calcular a medida da terceira dimensão e a área total de um paralelepípedo sabendo que as outras duas
dimensões medem 4 cm e 7cm e sua diagonal mede 310 cm.
23) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são: 5m, 3m e 2m.
24) Num paralelepípedo reto retângulo as dimensões são: 8 cm, 10cm e 16cm. Calcular o volume do
paralelepípedo.
3
25) O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270dm . Uma de suas arestas mede 5dm e a razão entre as
outras duas é 2/3. Calcular o valor das outras duas arestas.
3
26) O volume de um paralelepípedo retângulo é 480cm . Suas dimensões são diretamente proporcionais aos
números 2, 5 e 6. Calcule suas dimensões.
27) Num cubo de aresta 5 cm calcule a medida de sua diagonal.
28) Sabendo que a aresta de um cubo é igual a 10 cm. Calcule a sua diagonal?
29) A diagonal de uma face do cubo mede 6 2 cm. Calcular a medida da diagonal do cubo.
30) A diagonal de um cubo é 153 cm. Calcule a medida da aresta desse cubo.
31) A aresta de um cubo mede 4 cm. Calcule sua área total e o seu volume.
32) Se a aresta de um cubo mede 7 cm, determine a área total e o volume desse cubo.
3
33) Calcule a medida da aresta e a área total de um cubo sabendo-se que o seu volume é igual a 216cm .
2
34) Sabendo-se que a área total de um cubo é 24m . Calcule a medida da aresta e o volume.
2
2
35) Num paralelepípedo reto retângulo de arestas com dimensões a, b e c, sendo a.b = 40cm a.c = 50cm e
2
área total igual a 340cm . Calcule a medida das arestas desse paralelepípedo e o seu volume?
a
36) Num paralelepípedo retângulo, a medida da 1 dimensão é o triplo da terceira e a segunda é o dobro da
2
terceira mais dois. Sabendo-se a área total é 416cm . Calcular as dimensões desconhecidas desse
paralelepípedo.
37) Uma abelha encontra-se num vértice de um “cubo vazio” na qual só as arestas estão construídas e cada uma
mede 8m. No vértice simétrico a este em relação ao centro encontra-se uma flor. A abelha quer chegar à flor
voando o mínimo possível. Qual é o valor deste mínimo?
38) (CESCEA) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então qual o valor do volume do cubo?
39) O volume de um cubo é igual ao volume de um ortoedro de dimensão 4 cm, 6cm e 9cm. Calcule a resta do
cubo.
40) (MAPOFEI) Qual é a altura de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado a para que o seu
volume seja igual ao volume de um cubo de aresta a.
2
2
41) (UNIRIO) A área total de um prisma reto de base quadrada é 190cm e a área de uma base é igual a 25cm .
Qual o volume desse prisma?
GABARITO
1)400cm
2
2
6)4cm
11)6483cm
3
16) 178cm
21) 2512cm
2)Ab= 102m
2
Al= 200m
2
At= 20(10+2)m
3)12m
7) 3cm
8) 243m
2
12)6m ; 1m; 6m
17)3, 4 e 5
2
22)5cm; 166cm
26)4cm, 10cm,
12cm
2
31)96cm
3
64cm
27)53cm
36)12cm, 10cm,
4cm
41)175cm
3
2
13)8003cm
18) 4cm
2
23) 30m
2
4)4m
9)963cm
3
3
10)3cm
2
15) 158cm
14)2cm
19)248cm
3
5) 24m
2
576m
2
624m
2
24)1280cm
20)12cm
3
25)6dm e 9dm
28)103cm
29)63cm
30)15cm
32)294cm
3
343cm
33)6cm
2
216cm
34)2m
3
8m
35)5cm,8cm,10cm;
3
400cm
37)83m
38)216cm
39)6cm
40)4a3
3
2
3
3
LISTA DE EXERCÍCIOS – SEGUNDA PARTE
1-(PUC-SP) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m , 5m e 8 m e a altura tem 3 m. O seu
volume será , em m³ :
a)12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 60
2- (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui de 10 % e a altura aumenta de 20 %, o seu volume :
a) aumenta 8% b) aumenta 15%
c)aumenta 108%
d) diminui 8% e) não se altera
3-(UF - PA) Um prisma triangular regular tem a resta da base a igual a altura. A relação entre o volume e a área
lateral é :
a) a 3 /12
b) a 3 /36
c)a² 3 /4
d)2 3 /a
e) 4 3 /a
4-(ITA) Considere ( P) um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e tem área total de 80 m².
O lado dessa base quadrada mede :
a) 1m
b) 8m
c) 4m
d) 6m
e) 16m
5- ( FUVEST ) Um reservatório tem a forma de um prisma reto retangular e mede 0,5 m de largura, 1,2 m de
comprimento e 0,7 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele
uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água
sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra é de :
a) 0,6 m³
b) 6 m³
c) 6 dm³
d) 60 dm³
e) 600 cm³
6-(PUC-SP-2001) Na figura ao lado tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DEEF.Se o
volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é
a) 144
b) 156
c) 160
d) 168
e) 172
7-(UF-PA) Um paralelepípedo retângulo de dimensões 2, 3 e 5 cm tem a diagonal igual a :
a)
38
b) 35
c)
32
d) 2 32
e) 3) 35
8-(MACK) Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se sua diagonal mede 3 10 , o valor de k é
:
a) 20
b) 10
c) 9
d) 7
e) 3
9- (UNICAMP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos quatro
cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x
cm de comprimento.
a) Calcule a área do retângulo inicial.
b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após corte dos quatro cantos, seja igual a 1725 cm².
10- (FUVEST) Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura,
pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O
volume dessa caixa , em cm³, será :
a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) 12000
11-( VUNESP) As faces de um paralelepípedo retangular tem por área 6 cm², 9cm² e 24 cm². O volume desse
paralelepípedo , em cm³, é :
a) 1296
b) 48
c) 39
d) 3 6
e) 32
12-( CESGRANRIO ) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80 m de altura, as portas e as
janelas ocupam uma área de 4 m². Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10 % a
mais da metragem a ladrilhar. A metragem de ladrilhos a comprar , em m² , é :
a) 24,40
b) 24,80
c) 25,50
d) 26,40
e) 26,80
13-(U.F.PELOTAS) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais aos números
12, 6 e 4 , Se sua área total é 88 cm², o seu volume, em cm³, é :
a) 288
b) 144
c) 128
d)64
e)48
14-(FUVEST) Uma caixa de embalagem de certo produto tem a forma de um paralelepípedo reto retangular com
50 cm de comprimento, 40 cm de largura, 30 cm de altura, e seu volume total é de 7 % maior do que o volume útil.
Indique o valor mais próximo do volume útil, em m³.
a) 0,055
b) 0,052
c)0,056 d)0,054 e) 0,057
15-(G.V.) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1m de profundidade:
Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m × 25m
Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m × 40m
Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$10,00 por m²:
a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto?
b)Se a área do retângulo for de 400m², e x for uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função
de x.
16-(G.V.) Deseja-se construir uma piscina de formato quadrado sendo 100 m² a área do quadrado e 1,5 m a
profundidade. Se as paredes laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de dimensões 15cm X 15 cm:
a) Qual o número ( aproximado) de azulejos necessários ?
b) Se a piscina fosse circular sendo 100 m² a área do círculo e 1,5 m a profundidade, qual seria o número (
aproximado ) necessários de azulejos para revesti-la ?
3
17-(FUVEST) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 240 cm . As áreas de duas de suas faces são 30
cm² e 48cm². A área total do paralelepípedo , em cm², é
a)96
b)118
c)236
d)240
e)472
18-(FUVEST) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26 cm, 17cm e 8 cm, que
deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas iguais a essa que
cabem juntas na caixa é
a)1
b)2
c)4
d)6
e)8
19-(PUC-SP-2000) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5cm de espessura. Depois de
pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa,
figura abaixo.
O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é
a) 0,015
b) 0,0156
c) 0,15
d) 0,156
e) 1,5
20-(VUNESP-2001 ) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e
largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do
reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de
a) 2m
b) 3m
c) 7m
d) 8m
e) 9m.
21-(FUVEST-2002) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8 , as medidas
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é
2, a medida da aresta menor é:
a) 7/8
b)8/8
c)9/8
d)10/8
e)11/8
22-(MACK-2002) Uma piscina com 5m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade tem a forma de um
paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume de água existente
na piscina é igual a:
a) 27000cm³ b) 27000m³
c) 27000 litros
d) 3000 litros e) 30m³
23-(UNICAMP 2001- 2 FASE ) A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros
considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?
24-( GV ) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que o seu volume
se torne igual a 216 m³ ?
a) 1m
b) 0,5 m
c) 9m
d) 2m
e) 3m
25-(UF - PR) Um cubo tem área total igual a 150 m². O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como
vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a este vértice é , em m³ :
a) 125/3
b) 125/6
c) 125
d) 150
e )25 3
26-(UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é
a) 0,8 3
b) 6
c) 60
d) 60 3
e) 900 3
27-(FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo , com aresta medindo 10cm e 6 cm são levados juntos
a fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor
de x é :
a)16
b)17
c)18
d)19
e)20
28-(UNICAMP 2002 - 2FASE ) O sólido da figura abaixo é um cubo cuja aresta mede 2cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1 .
GABARITO
1)C
2)A
3)A
4)C
5)C
6)D
7)A
8)D
9) a) 2625 cm²
b) 15 cm
10)D
11)D
12)D
13)E
14)E
15)
a)Projeto1R$ 4.820.00
Projeto2R$5.000,00
b)Custo = R$ 20.[( x² + 200x + 400 )/x ]
16) a)7112
b) 6845
17)C
18)D
19)A
20)C
21)C
22)C
23) a) 50 cm
b) R$ 8,40
24)D
25)A
26)D
27)D
28) a) 4/3cm³
b) 2cm