UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
LABORATÓRIO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS
MANIPULAÇÃO DIRETA DE CURVAS
Emildo Mothé Ribeiro Filho
Campos dos Goytacazes
14 de Setembro de 2006
AUTOR
Emildo Mothé Ribeiro Filho
ORIENTADOR
Luis Antonio Rivera Escriba
CO-ORIENTADOR
Luiz Humberto Guillermo Felipe
PARCERIA
Leandro Moraes Valle Cruz
2
ÍNDICE
1
Introdução.................................................................................................. 4
2
Curvas paramétricas................................................................................. 5
3
4
2.1
Curvas de Bezier................................................................................... 6
2.2
Curvas B-Splines .................................................................................. 9
Livre manipulação direta de curvas ...................................................... 11
3.1
Manipulação de Curvas de Bezier ...................................................... 12
3.2
Manipulando Curvas B-Spline............................................................. 15
Manipulação direta com restrições ....................................................... 17
4.1
Uma restrição...................................................................................... 20
4.2
Dupla restrição .................................................................................... 21
4.3
Tripla restrição .................................................................................... 22
5
Resultados experimentais ...................................................................... 23
6
Conclusões .............................................................................................. 25
1
3
1 Introdução
A modelagem de curvas e superfícies é bastante usada nos designes
assistidos por computador (CAD – Computer Aided Design) para propósitos
industriais, arquiteturas, manufaturas, educacionais e entretenimentos. Muitas
vezes se devem construir contornos de objetos a partir de pontos distribuídos
no plano, dando uma aproximação a um objeto desejado. As curvas B-Splines
permitem uma reconstrução de contornos dos objetos com características
suaves, e são bem comportados na manipulação de segmentos após sua
definição inicial.
Os sistemas de modelagem geométrica possuem mecanismos de interação
direta que permita gerar objetos de forma desejada. Uma forma de interação
direta é a manipulação direta, que consiste em capturar com o mouse um ponto
da curva e arrastar até uma outra posição, de forma a gerar uma deformação
do segmento do objeto. Os efeitos das deformações podem ser controlados
impondo restrições nas propriedades variacionais, como tangencial, curvatura,
em particular em curvas paramétricas.
Com a técnica de manipulação direta em curvas B-Splines, os vértices de
controle são deslocados automaticamente de forma a gerar uma deformação
desejada, dependendo das restrições impostas ao ponto arrastado com o
mouse. Neste trabalho, abordamos modelagem de curvas B-Splines cúbicas
com manipulação direta com restrições variacionais.
Este trabalho está organizado de forma que primeiro, vamos introduzir
alguns conceitos de Curvas paramétricas na Seção 2 e nossa ênfase nas
curvas de Bézier e B-Splines. Na Seção 3 trataremos da Manipulação Direta de
curvas; na seguinte seção tratamos das restrições na manipulação e por fim na
Seção 5 vamos mostrar os resultados experimentais. Concluímos brevemente
na Seção 6.
4
2 Curvas paramétricas
Existe uma variada gama de aplicações onde há necessidade de se
trabalhar com curvas paramétricas. Como no desenvolvimento de objetos de
pequeno e grande porte, por exemplo:
•
Para o desenvolvimento de automóveis, aviões e navios;
•
Objetos que por conforto ou por questões estéticas tem formas
suaves;
•
Em válvulas hidráulicas onde cantos ou quinas podem reter o fluxo
dos fluidos.
Os objetos que possuem estas características citadas acima cuja forma é
variada e de difícil descrição, são chamadas de objetos de forma livre [1]. Esta
representação reduz substancialmente dificuldades como as curvas com laços,
passar uma curva suave por determinados pontos entre outros exemplos
tornando a representação paramétrica mais adequada.
Na representação paramétrica, as curvas são representadas como
funções de algum parâmetro, como mostrada na Figura 1. A primeira classe de
curvas paramétricas é aquela em que, o comportamento da curva, ao longo do
tempo, em relação a cada um dos eixos, é definida por uma equação
independente. A forma geral destas curvas pode ser expressa por:
x = X (t )
y = Y (t )
um ponto em tal curva é representado pelo vetor:
P(t ) = [ X (t ), Y (t )] .
O ponto é o elemento básico em modelagem. Sendo definido como um
conjunto ordenado de números reais, em geral sua posição no plano. Um vetor
5
pode ser representado da mesma maneira.
Para determinarmos o vetor tangente de uma curva paramétrica é
bastante simples, deriva-se as equações X (t ) e Y (t ) :
P' (t ) = [ X ' (t ), Y ' (t )]
Há uma gama de técnicas em que podemos determinar a curva com
seus pontos e suas respectivas derivadas, denominada interpolação. Das
técnicas envolvendo estas características nos interessa as Curvas de Bezier e
as Curvas B-Spline.
Figura 1: Parametrização de curva.
2.1 Curvas de Bezier
São curvas paramétricas polinomiais de grau n definidas por n + 1 pontos
de controle, sendo n > 1 e n ∈ N . Em uma curva de Bezier a determinação de
vetores tangentes nos pontos iniciais e finais da curva é bastante simples: o
vetor tangente ao ponto inicial é obtido multiplicando-se o vetor definido pelos
dois primeiros pontos por n . O vetor do ponto final é obtido de maneira análoga
utilizando os dois últimos pontos.
6
Analisando a equação paramétrica da reta entre os pontos P0 e P1 chega-se
a conclusão de que se trata de uma média ponderada entre P0 e P1 onde o peso
de cada ponto é definido de forma que quando um deles pesa no resultado,
menos o outro influencia no mesmo. Para obter esta ponderação os pesos
podem ser expressos pelas funções, portanto:
P0 = 1 − t ;
P1 = t ;
Com isso a equação paramétrica da reta fica:
P(t ) = (1 − t ) P0 + tP1 .
Caso seja preciso ponderar três pontos, denominados P0 , P1 e
P2 . gerando uma curva. Consideremos duas retas R1 de P0 a P1 e R2 de P1 a
P2 é possível obter uma curva fazendo a ponderação entre R1 e R2 . Sendo R1 e
R2 :
R1 = (1 − t ) P0 + tP1
R2 = (1 − t ) P1 + tP2
Reaplicando-se a idéia de ponderação tem-se a curva C1 definida pela
equação:
C1 = (1 − t ) R1 + tR2
C1 = (1 − t )[(1 − t ) P0 + tP1 ] + t[(1 − t ) P1 + tP2 ]
C1 = (1 − t ) 2 P0 + 2t (1 − t ) P1 + t 2 P2
A Figura 2 mostra como deve ser a curva de Bezier de 3 pontos, onde
pode-se observar que a curva definida por esses três pontos de controle passa
7
pelos pontos extremos.
Figura 2: Curva de Bezier com 3 pontos de controle.
A obtenção de curvas de Bezier de 4 pontos segue o mesmo raciocínio,
ponderando-se duas curvas C1 e C 2 , definidas parametricamente. Então a
curva C 3 pode ser expressa por:
C 3 = (1 − t )C1 + tC 2
C 3 = (1 − t ) 3 P0 + 3t (1 − t ) 2 P1 + 3t 2 (1 − t ) P2 + t 3 P3
A Figura 4 mostra varias curvas de Bezier de quatro pontos de controle:
Figura 3: curvas de Bezier de 4 pontos de controle.
8
As vantagens de se utilizar este tipo de cura é a simplicidade na
construção, não exige que se tenha conhecimento dos vetores tangente de
partida e chegada durante a definição dos segmentos da curva e a curva
interpola o primeiro e o ultimo ponto de cada segmento sendo influenciada
pelos outros dois. Em contrapartida as curvas de Bezier não garantem entre
dois segmentos consecutivos da curva a menos que os dois últimos pontos do
primeiro segmento e os dois primeiros do segundo sejam colineares e não
possui a propriedade de controle local.
2.2 Curvas B-Splines
O termo Spline refere-se à longa e flexível barra de metal utilizada pelos
desenhistas para delinear as superfícies de aviões e navios. A equivalência
matemática a estas barras, a spline cúbica natural, é continuidade cúbica
polinomial de posição, inclinação e curvatura, que interpolam os pontos de
controle. Assim, as splines são mais suaves do que outras formas de
modelagem de curvas paramétricas cúbicas [2].
A representação cúbica B-Spline, em geral, não passa por "algum" ponto
de controle, mas é contínua e também possui continuidade do vetor tangente
(inclinação) e de curvatura (isto é, sua primeira e segunda derivada são
contínuas nos pontos extremos).
Da mesma maneira que as curvas Bezier, as curvas B-Spline são curvas
paramétricas polinomiais de grau três (ou maior) definidas por 4 pontos de
controle (quanto maior o número de pontos de controle, maior o grau do
polinômio). Em geral, constroem-se representações compostas utilizando-se BSplines cúbicas.
É importante ressaltar que para aproximar os pontos de controle P1 , P2 , ...,
Pn por uma série de B-Splines, utiliza-se uma matriz geometrica entre cada
9
"par" de pontos adjacentes. A aproximação do próximo Pi para o próximo Pi +1
utiliza:
 Pi −1 
P 
i 
i
G =
, 2≤i≤ n−2
 Pi +1 


 Pi + 2 
A figura a seguir apresenta um exemplo de uma curva B-Spline.
Figura 4: Curva B-Spline
As vantagens de se utilizar este tipo de curva são:
•
Simplicidade de construção;
•
Continuidade paramétrica C² garantida entre os segmentos de curva;
•
Possui a propriedade de controle local.
As desvantagens são:
•
Não interpola nenhum dos 4 pontos de controle.
•
As extremidades não pertencem aos pontos de controle inicial e final
10
3 Livre manipulação direta de curvas
Uma curva paramétrica anteriormente definida como P(t ) para t ∈ U ⊂ R ,
podemos deforma-la arrastando um ponto da curva, denominado P(t a ) , até
uma posição desejada. A curva que antes era P(t ) se ajusta a deformação de
P(t a ) construindo uma nova curva denominada P ′(t ) , para o mesmo domínio
U.
Esta técnica de construção, descrita acima, de modelagem de curvas,
chama-se livre manipulação direta, porque descarta restrições de outras
propriedades da curva. A Figura 5 mostra como se obtêm uma geometria
desejada através da uma seqüência de manipulação direta a partir de uma
geometria inicial.
Figura 5: Seqüência de variações de curva usando manipulação direta.
Para conseguirmos deformar uma curva paramétrica utilizamos vértices de
controle, que a partir deles é desenhada a curva. Sendo ideal o
reposicionamento automático e adequado dos vértices de controle de acordo
com o ponto da curva deslocado.
11
3.1 Manipulação de Curvas de Bezier
Dada uma equação de Bezier C (t ) = ( x(t ), y (t )) , para 0 ≤ t ≤ 1 . Sejam n
vértices de controle V0 ,..., Vn −1 . Então a curva é dada pela equação:
d 
Bi , n =  (1 − t ) d −i u i
i 
onde a i-esima função da base de Bezier de grau d , que abreviamos por Bi
quando d está claro no contexto.
A manipulação direta consiste em selecionar um ponto p = ( x, y ) sobre a
curva e desloca-la para uma outra posição p ′ = ( x' , y ' ) , de forma que a curva
se altere e passe por p ' (t ) a transformando em uma nova curva, para o mesmo
parâmetro t . Insto é C ' (t ) = ( x' , y ' ) , de forma que C ' (t ) = C (t ) + ∆C (t ) , e ∆C (t )
como a deformação. Então a curva de Bezier cúbica pode ser escrita como:
p + ∆p = (V0 + ∆V0 ) B0,3 + (V1 + ∆V1 ) B1,3 + (V2 + ∆V2 ) B2,3 + (V3 + ∆V3 ) B3,3 .
Da equação bidimensional acima temos a variação ∆xi e ∆y i que se
∆xi = ∆x e ∆y i = ∆y o efeito seria translação da curva, enquanto se cada ∆xi e
∆y i variar proporcionalmente a ∆x e ∆y teremos a deformação da curva, como
mostrado abaixo na Figura 6.
Figura 6`: Traslação e deformação da curva.
12
3.1.1 Deformação de Curvas de Bezier
Se p é um ponto da curva C (t ) , então existe um segundo C i (t ) que
contem o ponto p tal que P(t ) = p , para 0 ≤ t ≤ 1 . A Figura 7 mostra a variação
de um segmento da curva e o deslocamento de um ponto.
Figura 7: Variação de um segmento de curva
Se
p se desloca em ∆p , então os quatro vértices de controle
V = [V0 V1 V2 V3 ] vão se reposicionar para permitir a deformação de C (t )
passando por p + ∆p , satisfazendo a condição:
V0 + ∆V0 
∆V0 
V + ∆V 
∆V 
1
1 
1

p' = p + ∆p = [ B0 B1 B2 B3 ]
, que implica ∆p = [ B0 B1 B2 B3 ]
.
V2 + ∆V2 
∆V2 




V3 + ∆V3 
∆V3 
dessa expressão computar-se cada variação dos vértices de controle ∆Vi
porque são conhecidos B j e ∆p .
13
Para resolver esta equação é usada a transformada de House-holder [3]
que relaciona os elementos da ultima equação com a expressão matricial da
forma:
H=I−
1 T
ω ω
π
Onde
ω = [( B0 + σ ) B1 B2 B3 ]
B0 = σ ( B0 + σ )
2
σ = SIG ( B0 ) B01 + B12 + B22 + B 3
A matriz H é ortogonal com a propriedade [ B0 B1 B2 B3 ]H = [−σ 000] .
Isso permite expressar a inversa da matriz H como a sua transposta H T
por tanto, HH T = I . Com essa expressão, temos:
∆V0 
∆V 
1
∆p = [ B0 B1 B2 B3 ]HH T 
∆V2 


∆V3 
considerando
[∆ V 0
∆ V 1 ∆ V 2 ∆ V 3 ] = H [e 0 e 1 e 2 e 3 ] , e substituindo nas
T
equações acima:
∆p = [− σ 0 0 0]
 e0 
e 
 1
e 2 
 
 e3 
Resolvendo essa equação obtemos e0 = − ∆p / σ . Os valores de e1 , e2 e e3 não
necessariamente são zeros. Mas considerando que ei é proporcional em
14
comprimento a ∆Vi , e se desejar que ∆Vi seja mínima, então se conclui que
e1 = e2 = e3 = 0 . Por tanto, a expressão [e0 e1 e2 e3 ] = H T [∆V0 ∆V1 ∆V2 ∆V3 ]
T
T
pode ser re-escrita como
 − ∆p / σ 
∆V0  
 B0 + σ 

 ∆V  
 B 


 1  = I − 1  1 [( B0 + σ ) B1 B2 B3 ]  0 
σ ( B0 +σ )
 0 
∆V2  
 B2 



 




V
B
∆
 3 
 3 
 0 
∆V0 
 ∆V 
∆p
 1 =
2
2
∆V2  B0 + B1 + B22 + B32


 ∆V3 
 B0 
B 
 1
 B2 
 
 B3 
que é equivalente a
[
∆V = ∆p B T (u )(B(u ) B T (u ) )
−1
]
para ∆V = [∆V0 ∆V1∆V2 ∆V3 ] e B = [B0 B1 B2 B3 ] .
T
T
Observa-se que o reposicionamento adequado dos quatro vértices de controle
geradores do segmento da curva que contem o ponto deslocado permite
deformar adequadamente a curva. De fato, o deslocamento de pontos dos
segmentos extremos permitira o reposicionamento de unicamente três vértices
geradores do segmento, porque só esses vértices geram o último segmento da
curva.
3.2 Manipulando Curvas B-Spline
Dado um segmento de curva B-Spline cúbica S i (t ) , definida por
15
 ∆ Vi −1 
 ∆V 
S i (t ) = [ N i −1, 4 N i , 4 N i +1, 4 N i + 2 , 4 ] i  , t ≤ t ≤ t ,
i +1
 ∆ Vi +1  i


 ∆ Vi + 2 
para bases N j , 4 (t ) ≠ 0 definidos sobre os nós t j − 2 ≤ t ≤ t j + 2 , segundo ilustrado
na Figura 8.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Figura 8: Bases de curvas B-Splines cúbicas
Equivalente
em
notação
matricial
é
S i (t ) = Bi ( (t )ViT ,
onde
Bi (t ) = [ N i −1, 4 N i , 4 N i +1, 4 N i + 2 , 4 ] .
Com isto, se o ponto P(t ) varia em ∆P(t ) , os quatro vértices de controle
do segmento S (t ) vão reposicionar-se experimentando comprimentos de
variações mínimas, similar a variação de Bezier, como
∆V0 
 ∆V 
∆P(t )
 1 =
2
∆V2  B0 + B12 + B22 + B32


 ∆V3 
 B0 
B 
 1
 B2 
 
 B3 
onde Bi são as bases B-spline N i , 4 .
A Figura 9 é uma curva B-spline cúbica composta de nove segmentos e
doze vértices de controle, deslocando um ponto extremo da curva e suas
respectivas deformações dos vértices de controle e a deformação esperada da
16
curva.
Figura 9: Curva B-spline
Se um segmento de curva cúbico Si é gerado por quatro vértices de
controle [Vi −1ViVi +1Vi + 2 ] , o reposicionamento dos quatro vértices de controle. A
raiz de deslocamento de um ponto P(t ) em ∆P , também gera a variação dos
seis segmentos adjacentes. Sendo, um total de sete segmentos deformados.
Em geral, o deslocamento de um ponto de um segmento de uma curva de
ordem k , afeta a variação de 2k − 1 segmentos adjacentes.
4 Manipulação direta com restrições
Pode-se manipular segmentos de curva em função de suas características.
Sendo da escolha as opções de variação da curvatura, tangente e posição;
também podendo variar em conjunto.
Esses três elementos associados a um ponto de uma curva cúbica, podem
ser generalizados para curvas de grau
m , em geral, como as derivadas de
ordem r , para 0 ≤ r ≤ m . Então as restrições impostas sobre um ponto da curva
são associadas às derivadas. Assim, para m = 3 , as derivadas da curva S (t )
17
podem ser expressas como S ( r ) (t ) , para r = 0,1,2 . Sendo as restrições
associadas a:
•
Posição: S ( 0 ) (t ) ;
•
Tangente: S (1) (t ) ;
•
Curvatura: S ( 2 ) (t ) ;
ou, outras propriedades associadas a derivadas superiores, caso a curva for
derivável de ordem r > 2 . A Figura 10 ilustra manipulação de uma das
propriedades mencionadas.
Figura 10: Deformação da curva por manipulação direta: (a) posição; (b) tangente; (c)
curvatura; (d) posição, tangente e curvatura.
Em geral um segmento de curva paramétrica de grau m é definida por
18
V0 
S (t ) = [B0 (t ) Λ Bm (t )]  Μ
Vm 
cuja derivada k , para k = 0,..., m − 1 , é dada por
S
(k )
[
(t ) = B
(k )
0
(t ) Λ B
(k )
m
V0 
(t )  Μ .
Vm 
]
Considere a expressão anterior, em notação vetorial como
S ( k ) (t ) = B ( k ) (t ) ∆V
aplicando as variações de suas características no ponto P(t ) , tem-se
P ( k ) (t ) + ∆P ( k ) (t ) = B ( k ) (t )(V + ∆V )
O que significa que a variação da propriedade k da curva no ponto P(t )
depende unicamente da variação da posição dos vértices de controle
respectivos.
A solução da variação implica no adequamento e reposicionamento dos
vértices de controle. Relacionando a variação de uma propriedade com a livre
manipulação direta. Portanto:
(
( ) ) (B )
∆V = ∆p ( k ) (t ) B ( k ) B ( k )
T −1
(k ) T
Esta expressão resolve a variação de uma única propriedade, por vez, da curva
no ponto P(t ) .
19
4.1 Uma restrição
A curva manipulada com uma restrição, tal o caso de livre manipulação
direta, demanda unicamente uma equação linear, pois as outras propriedades
não são restringidas a variar. Portanto, a solução da variação é simplificada
para
(
∆V = b0−,10 ∆S ( k ) (t ) B ( k ) (t )
)
T
A restrição posicional é quando k = 0 , varia a posição em ∆S ( 0 ) (t ) ,
deixando livre as outras propriedades. A expressão para esta variação é dada
por
(
∆V = b0−,10 ∆S ( 0 ) (t ) B ( 0) (t )
)
A Figura 11(a) ilustra esta operação.
A restrição tangencial é quando k = 1 , a tangente varia no ponto em que
∆S (1) (t ) , deixando livre as outras propriedades. Sua expressão é dada por
(
∆V = b0−,10 ∆S (1) (t ) B (1) (t )
)
A Figura 11(b) ilustra esta operação.
A restrição de curvatura é logicamente quando k = 2 , como nos casos
anteriores, a curvatura varia em ∆S ( 2) (t ) , deixando livre as outras propriedades.
A expressão para esta variação é dada por
(
∆V = b0−,10 ∆S ( 2 ) (t ) B ( 2) (t )
)
A Figura 11(c) ilustra esta operação.
20
Figura 11: Deformação por uma restrição
4.2 Dupla restrição
A manipulação de um ponto da curva S (t ) com duas propriedades
restritas, pode ser modelada mantendo fixa uma das propriedades. A expressão
impondo as restrições nas propriedades k0 e k1 é dada por
 B ( k0 )  T  0 
 ( k1 )  ∆V =  ( k1 ) 
∆S 
B 
Mantendo fixa a variação posicional e manipulando uma das derivadas ∆S ( k1 )
para k1 = 1,2 é formulada a expressão
 B (0)  T  0 
 ( k1 )  ∆V =  ( k1 ) 
∆S 
B 
A Figura 12 ilustra o resultado gráfico da operação desta expressão
21
Figura 12: Dupla restrição, com a posição fixa e variando a tangencial e curvatura
Outro exemplo nesta categoria é variar a posição em ∆S ( 0) mantendo fixa
uma das derivadas ∆S ( k0 ) = 0 para k0 = 1,2 . A expressão correspondente
poderia ser da forma
 B ( k0 )  T  0 
 ( 0 )  ∆V =  ( k1 ) 
∆S 
B 
A Figura 13 ilustra o resultado gráfico desta operação.
Figura 13: Dupla restrição, com a tangente invariante
4.3 Tripla restrição
A manipulação de um ponto da curva S (t ) impondo restrições em três
propriedades, pode ser modelada mantendo invariante duas propriedades e
variando a outra. A expressão com propriedades k0 , k1 e k 2 é dada por
22
 B ( k0 ) 
 0 
 ( k1 )  T 

 B  ∆V =  0 
 B ( k2 ) 
∆S ( k 2 ) 


A solução específica, a partir da solução geral, considerando as características
do vetor ∆S e as facilidades, os elementos de cálculo da matriz B e sua inversa
por determinantes , é dada por
∆V T = d −1 B[α 0, 2α1, 2α 2, 2 ] ∆S ( k 2 )
T
onde
α 0, 2 = b0,1b1, 2 − b1,1b0, 2
α1, 2 = b0,1b0, 2 − b0, 0b1, 2
α 2, 2 = b0, 0b1,1 − b02,1
d = b0 , 2α 0 , 2 + b1, 2α1, 2 + b2 , 2α 2, 2
Figura 14: Exemplos de tripla restrição
5 Resultados experimentais
A partir destas técnicas, o desenvolvimento de modelos que executem
estas características no computador estão sendo feitas em Linguagem C++
como auxilio das bibliotecas Open GL e FLTK. A implementação de um modelo
23
para curvas está na fase de implementação da interfase e sendo inserido os
dois tipos de curvas discutidas acima. Como também na inclusão de restrições
tipo, tangencial, curvatura e posicional.
A Figura 15 mostra um exemplo da construção do programa, que
apresenta duas curvas um em verde e outra azul. A curva verde é a curva
original que ao variarmos a tangente modificou-se na curva azul. Em especial,
nesta curva a parte me azul é somente a região alterada da curva. Os pontos
azuis são os vértices de controle que ao alterarmos a curva se reposicionaram
para as posições em marrom modificando automaticamente a curva.
Figura 15: Exemplo na execução do programa
Nosso objetivo é estender este projeto para curvas no espaço e na
implementação de superfícies de Bézier e B-Splines
24
6 Conclusões
A manipulação direta, seja ela livre ou restrita, por propriedades
geométricas de curvas é uma técnica que permite ao designer em CAD criar
objetos baseados em curvas paramétricas realistas, de uma forma intuitiva.
Existem ferramentas computacionais comerciais que usam esses princípios de
modelagem, mas as pesquisas continuam de forma a estabelecer, cada vez,
uma técnica eficiente de modelagem.
Referencia bibliográfica
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Figueiredo,
L.H.
e
Carvalho,
P.C.
Introdução
à
Geometria
Computacional, Impa, 18º colóquio brasileiro de matemática, 1991, págs.
111.
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Addison Wesley, 1990.
[3]
Tammeraid, Ivan; Majak, Jüri. http://math.ut.ee/~toomas_l/linalg/
[4]
Rivera, L. Manipulação direta em modelagem de curvas e superfícies,
UENF, 2006.
[5]
Fowler, B. Geometric Maniplation of Tensor Product of Surfaces. ACM
Proceedings of SIGRAPH´91, 1991, pp. 101-108.
25