Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
(EPGE/FGV)
Análise II
Professor: Rubens Penha Cysne
Monitor: David Turchick
10 de Abril de 2007
Data de Entrega (Questões asteriscada apenas1 ): 17 de Abril de 2007, no
início da aula
Lista de Exercícios 1 - Cálculo de Variações
Continuação
*3- No exercício (1) desta lista, admita que k > 25=20. Neste caso a sua
solução deve satisfazer a equação de Euler:
2kx00 (t) = 2
(1)
a) Seria correto a…rmar então que a equação de Euler neste problema
especí…co faz coincidir a taxa de variação do custo marginal da produção
((d=dt)2kx0 (t)) com o custo marginal de se manter estoques?
b) A solução x(t) = 2t proposta pelo gerente atende a este princípio? Qual
o custo marginal da produção neste caso (lembre que no problema original
a produção é igual a x’(t) e o custo total da produção kx’(t)x’(t)). Qual a
taxa de variação no tempo deste custo marginal? Mostre que ela não iguala
o custo marginal de se manterem estoques.
c) Intuitivamente, fazendo os valores de k tender a números muito altos e
muito baixos (inclusive menores do que 25/20), como você tentaria convencer
o gerente de que ele não deveria implementar uma produção linear no tempo?
(Sugestão: para ajudar na sua resposta, peça a um colega que não cohece este
problema e que não gosta de argumentos matemáticos para tentar defender
o ponto de vista do gerente; e veja se v consegue convencê-lo a não usar a
produção linear no tempo).
d) Se v. não conseguiu convencer o seu colega, volte para seus apontamentos e observe o seguinte. Integrando os dois lados da equação (1) acima
entre os instantes t e t + t obtém-se:
kx0 (t) +
1
t = kx0 (t +
t)
Outras questões poderão vir a ser asteriscadas posteriormente.
1
(2)
Esta equação sugere que, na solução ótima, o custo de produzir uma
unidade no período t e mantê-la até o período t+ t deve igualar o custo
de produzir tal unidade no período t+ t: A trajetória sugerida pelo gerente
satisfaz a esta equação? Qual o valor de cada membro acima? Esta equação
pode ajudar v no convencimento do gerente? De que forma? (Sugestão: se v
não conseguiu convencer seu colega no item (c), tente agora). Esta equação
exige que se tenha t ! 0 ou vale para qualquer valor de t?
e) Se v. já conseguiu convencer seu colega com o argumento anterior, vale
a pena tentar de novo com a nova argumentação? Justi…que sua resposta construindo um problema dinâmico com horizonte …nito, onde se deve assumir
que há um custo (C(x’(t)) associado à produção de sua nova argumentação
(x’(t)).
4) Observe que a equação (2) iguala custos realizados em momento distinto do tempo, o que é válido quando se tem uma taxa intertemporal de
desconto igual a zero.
a) Reformule e resolva o problema original (da primeira parte da lista)
assumindo uma taxa intertemporal de desconto (em tempo contínuo) igual a
RT
r. Ou seja, max 0 e rt (kx02 + 2x)dt: Seria correto a…rmar que neste caso a
equação (2) assume a forma
kx0 (t) +
t=e
r( t)
kx0 (t +
t) ?
(3)
b) Qual a interpretação desta nova equação? Tal interpretação vale para
qualquer valor de t; ou apenas para o caso em que t tende a zero? Porque?
5)- No exercício (1) desta lista assuma que o custo C1 ; ao invés de dado
pela função convexa da produção x0 (t)2 ; é dado por uma função duas vezes
diferenciável qualquer g(x0 (t)); com g 00 (x) > 0 para todo x(t). Pode-se dizer
que a produção ótima tende a ser convexa no tempo? Porque?
Sugestão: Neste caso tem-se F (x0 ; x; t) = g(x0 ) + 2x; com equação de
Euler g 00 (x)x00 = 2;
Como g 00 (x) > 0; tem-se x00 > 0; ou seja, a a…rmativa é ...
6- (Aula) Demonstre a necessidade da equação de Euler para o problema
com as condições usuais F2 C 2 ; x(t) 2 C 1 ; com horizonte …nito e limites
…xados para a variável de estado (x(t)).
2
7 - (Aula) Demonstre a su…ciência da equação de Euler para o problema
acima quando o integrando é côncavo (maximização) ou convexo (minimização) em x e x0 :
8 - (Extremo variável): Demonstramos a necessidade da equação de Euler
em sala de aula para o problema no qual x(t0 ) = x0 e x(T ) = xT : Demonstre
que quando se tem x(T) variável deve-se adicionar ao elenco de condições
necessárias a condição de transversalidade Fx0 (x(T ); x0 (T ); T ) = 0: Conclua
daí que, quando o integrando é côncavo (convexo) em x e x0 ; a condição
de Euler, mais a condição de transversalidade são su…cientes para máximo
(mínimo).
Sugestão: Basta repetir o procedimento de obtenção da equação de Euler
observando, na integração por partes de Fx0 h0 que agora não se tem mais
h(T)=0. Logo, o termo h(T )Fx0 (x(T ); x0 (T ); T ) …cará restando no …nal.
9) (Horizonte In…nito): Considere o problema
Z 1
max
e rt F (x(t); x0 (t))dt
0
sujeito a x(0) = 0. De…ne-se neste caso o "estado estacionário" xe (steady
state, em inglês) como aquele no qual x0 = x00 = 0:
a) Mostre como usar a equação de Euler para obter a equação que determina o estado estacionário.
Sugestão: Faça x0 = x00 na equação Fx = (d=dt)Fx0 .
b) Resolva o problema especí…co:
Z 1
e rt (x2 + ax + x02 )dt
(4)
min
0
com
x(0) = 0
(5)
usando a condição de transversalidade limT !1 Fx0 (x(T ); x0 (T ); T ) = 0 (extensão da condição de transversalidade do problema 8 desta lista para o caso
de horizonte in…nito) e o fato de que x(0)=x0 para achar as duas constantes
que de…nem a trajetória ótima de x(t), onde
F (x(t); x0 (t); t) = e
rt
(x2 + ax + x02 )
(6)
c) Ao invés de usar a condição de transversalidade utilize agora a condição
de estado estacionário limt!1 x(t) = xe como segunda (além de x(0)=x0 )
condição de fronteira para delimitar a trajetória ótima de x(t);
3
d) Você chegou ao mesmo resultado? Porque?
Sugestão: A equação de Euler gera uma equação diferencial linear não
homogênea com coe…cientes constantes, que admite como solução
x(t) = Aek1 t + Bek2 t + xe
(7)
k2 > r > 0
(8)
onde k1 < 0 e
: A utilização da condição de transversalidade exige que limT !1 e rT x0 (T ) =
0 o que, devido a (8), implica B = 0: Por outro lado, a condição de se chegar
a um estado estacionário implica diretamente, a partir de (7), e do fato de
k2 > 0, em se ter B = 0.
10 - Em alguns casos, as funções de problemas de programação dinâmica
não são especi…cadas, mas apenas algumas de suas propriedades. Alternativamente, em alguns problemas as equações diferenciais são de difícil
solução. Nestes casos, costumam-se usar diagramas de fase para caracterizar
as soluções. Quando o problema tem horizonte in…nito, costuma-se também
utilizarem-se linearizações da solução em torno do estado estacionário.
Um exemplo deste último caso é dado pelo modelo neoclássico no qual se
tem:
População constante igual a L, consumo per capita igual a c(t) e um
planejador central que maximiza o valor descontado da utilidade do consumo:
Z 1
e rt LU (c(t))dt
max
0
Trabalha-se usualmente com uma produção função de produção homogênea
de primeiro grau nos fatores K (capital) e L (trabalho). A produção se aloca
entre consumo (c) e investimento (K’):
F (K; L) = LF (K=L; 1) = Lf (k) = Lc + K 0
(9)
Observe que dividindo-se (9) por L, o problema pode ser reescrito em
termos de:
Z 1
max
e rt U (f (k) k 0 )dt
0
sujeito a k(0) = k0 ; k 0 e c = f (k) k 0 0:
a) Obenha a equação de Euler deste problema;
b) Construa o diagrama de fases no plano c,k;
4
c) Aproxime a solução para c e k com linearização em torno do estado
estacionário;
d) Analise a solução do ponto de vista econômico.
11) (Mais de uma variável de estado): Estenda a técnica de cálculo de
variações para o caso de mais de uma variável. Para isto, considere o problema
Z T
max
F (x; x0 ; y; y 0 ; t)dt
0
com x(0) = x0 ; y(0) = y0 ; x(T ) = xT e y(T ) = yT :
Mostre a necessidade da equação de Euler. Dê alguma condição de su…ciência em termos da função F e justi…que.
Sugestão: Tome as variações x + ah e y + ak, com h e k funções independentes de classe C1 :
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