1º Exame de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas 2010/2011
1.
Considere o actuador representado na figura, o qual tem uma
forma cilíndrica e é feito de material de elevada permeabilidade
magnética. A bobina tem N espiras e
. Quando não há
corrente na bobina e a mola não exerce nenhuma força sobre a
válvula, o entreferro tem um comprimento g. Deseja-se fechar
completamente a válvula ao aplicar uma corrente eléctrica
constante igual a i a circular na bobina. Como nesta fase do
projecto não se conhece a constante elástica K da mola a escolher
para inserir na válvula, determine:
a. - a expressão que relaciona K em função da corrente i
aplicada; (2 valores)
g
2r

L
b. - a energia magnética armazenada no actuador; (2 valores)
c. - o valor do campo de indução magnética no entreferro  e
no interior do actuador. (2 valores)
2R
2.
Considere a máquina assíncrona que apresenta a placa de identificação da Fig. 2 (1 HP = 450 W). Caso a
máquina opere como motor em regime permanente
e esteja ligada a uma rede eléctrica de 50Hz - 400V,
determine:
1.
A sua velocidade quando o motor estiver
com uma carga cujo valor é metade da sua carga
nominal; (3 valores)
2.
Admita que, na condição da alínea anterior,
a frequência da rede eléctrica tenha sofrido uma
perturbação e tenha oscilado entre 49 Hz e 51 Hz.
Qual a variação da velocidade ocorrida no motor? (2
valores)
3.
Admitindo um factor de potência de 0.45 para o motor na sua condição nominal, determine o valor do
seu rendimento no regime nominal? (2 valores)
Excitação
Induzido
Máquina Assíncrona
Máquina CC
3. A figura mostra o esquema eléctrico
Alta velocidade
utilizado no estudo do funcionamento
motor/gerador de uma máquina eléctrica em
Comum
regime de velocidade variável. A máquina
Baixa velocidade
Esquerda
Direita
assíncrona funciona como máquina motriz
(modo motor) da máquina CC, a qual funciona
em modo gerador a alimentar uma carga
Fonte de
V
A
corrente
resistiva. Responda às seguintes questões:
33
Auto1. Foi verificado por si que a tensão aos
transformador
100
terminais do induzido do gerador podia ser
A
220
alterada através da variação de velocidade
do motor; ou da variação da corrente de
Resistências de carga
excitação da máquina CC fornecida pela
fonte de corrente acoplada ao circuito de excitação, como mostra a figura. Explique a relação entre a tensão
fornecida pelo gerador, a velocidade da máquina assíncrona, e a corrente de excitação. (1 valor)
2. Descreva o trânsito de potência através do sistema motor → gerador → carga resistiva. (1 valor)
4. A Figura mostra um dispositivo electromagnético formado por uma peça cilíndrica de material
ferromagnético, um circuito magnético em forma de E, e uma bobina situada na perna central onde pode
circular uma corrente.
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a. Numa primeira configuração, alimente a bobina com uma fonte de alimentação de corrente contínua
de 2,5 A. Insira um anel fechado de alumínio na perna central cilíndrica. Descreva e justifique o que
irá acontecer. (1 valor)
b. Numa segunda configuração, alimente a bobina através de um auto-transformador até uma corrente
de valor eficaz igual a 2,5 A. Descreva e justifique o que acontece ao inserir um anel de alumínio que
tem um pedaço do alumínio cortado. (1 valor)
c. Na condição do item anterior, substitua o anel aberto pelo anel de alumínio fechado. O que acontece
com o anel? Explique com detalhe os fenómenos envolvidos. (1 valor)
d. No item anterior, insira um segundo anel de alumínio fechado e aproxime-o do outro anel. O que se
verifica é que o anel de alumínio que estava a levitar é atraído para perto do segundo anel. Porquê? (1
valor)
e. Continuando na condição anterior, substitua o anel de alumínio por um anel de plástico fechado. O
que espera que aconteça? Justifique. (1 valor)
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1. Considere o actuador representado na figura, o qual tem
uma forma cilíndrica e é feito de material de elevada
permeabilidade magnética. A bobina tem N espiras.
Quando não há corrente na bobina e a mola não exerce
nenhuma força sobre a válvula, o entreferro tem um
comprimento g. Deseja-se fechar completamente a
válvula ao aplicar uma corrente eléctrica constante igual a
i a circular na bobina. Como nesta fase do projecto não
se conhece a constante elástica K da mola a escolher para
inserir na válvula, determine:
- a expressão que relaciona K em função da corrente i aplicada;
(2 valores)
g
2r

L
- a energia magnética armazenada no actuador; (1 valores)
- o valor do campo de indução magnética no entreferro  e no
interior do actuador. (2 valores)
2R
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
a)
O sistema electromecânico apresenta uma simetria cilíndrica e é feito de material de elevada permeabilidade
magnética. Assume-se como hipóteses de análise que não há dispersão magnética, o material ferromagnético tem
permeabilidade magnética infinita, e o campo de indução magnética encontra-se distribuído de forma uniforme.
O sistema apresenta ainda uma mola de constante elástica K, a qual tem por função manter a válvula aberta
quando esta não se encontra accionada.
Tem-se como objectivo fechar completamente a válvula quando for aplicada uma corrente eléctrica igual a i.
Nesta condição, a força exercida na válvula quando
deverá pelo menos equilibrar a força em sentido
contrário aplicada pela mola.
A força electromagnética
entre as duas peças da válvula pode ser determinada através da variação da
coenergia magnética em relação ao entreferro entre as duas peças. Ou seja,
A coenergia magnética é estabelecida pela relação
onde
é o fluxo ligado com a bobina da válvula.
Devido à simetria cilíndrica da peça, esta apresenta duas relutâncias magnéticas em série: a relutância associada
ao entreferro de ar de comprimento ,
,
e a segunda relutância magnética associada ao entreferro anelar de comprimento
:
A relutância magnética total fica estabelecida pela seguinte equação:
O fluxo
por espira fica estabelecido pela relação
Substituindo a expressão acima na equação do fluxo ligado tem-se:
e o fluxo ligado por
.
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Substituindo a expressão do fluxo ligado na equação que estabelece a coenergia magnética tem-se a seguinte
relação:
Calcula-se agora a expressão da força electromagnética que actua sob a válvula. Para isto, substitui-se a expressão
da coenergia magnética na relação da força:
Veja que a força terá sempre um sinal negativo, o que indica que a válvula terá sempre tendência a fechar-se.
Como se deseja fechar completamente a válvula, ou seja, quer-se
válvula será igual a:
, a força necessária a manter fechada a
No entanto, a mola de constante elástica K irá exercer uma força de sentido contrário e para que a válvula
permaneça fechada a força electromagnética deverá ser igual à força exercida pela mola mas de sentido
contrário, ou seja,
Desta forma obtém-se a relação pretendida entre a constante K e a corrente eléctrica i:
b)
Como o sistema é linear, a energia magnética será igual à co-energia magnética. Logo:
c)
O valor do campo de indução magnética B no interior do entreferro
pela expressão
está relacionado com o fluxo magnético
Usando a expressão já calculada para o fluxo magnético na equação acima, obtém-se o valor de B:
Pela conservação do fluxo magnético, o valor do B é o mesmo no interior do actuador.
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2. Considere a máquina assíncrona que apresenta a placa de identificação da Fig. 2 (1 HP = 450 W). Caso a
máquina opere como motor em regime
permanente e esteja ligada a uma rede eléctrica
de 50Hz - 400V, determine:
a) A sua velocidade quando o motor estiver
com uma carga cujo valor é metade da sua
carga nominal; (2 valores)
b) Admita que, na condição da alínea anterior,
a frequência da rede eléctrica tenha sofrido
uma perturbação e tenha oscilado entre 49
Hz e 51 Hz. Qual a variação da velocidade
ocorrida no motor? (2 valores)
c) Admitindo um factor de potência de 0.45 para o motor na sua condição nominal, determine o valor do
seu rendimento no regime nominal? (2 valores)
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
a)
A equação da recta relativamente à região de normal funcionamento do motor é estabelecida entre dois pontos:
a coordenada
e a coordenada
. Estes valores podem ser determinados a partir dos dados de
placa. A velocidade nominal do motor é dada como sendo igual a
. O binário nominal vem da
relação
onde
e
. Assim, calcula-se o valor do binário
nominal do motor como sendo igual a
.
A última variável a ser determinada diz respeito à velocidade de sincronismo . Para o cálculo deste valor é
necessário se obter o número de pares de pólos da máquina. Pode-se então fazer um primeiro cálculo
aproximado usando a velocidade nominal de 975 rpm na relação
onde é a frequência eléctrica de
alimentação da máquina e o número de par de pólos da máquina. Assim, tem-se a relação:
A velocidade de sincronismo
pode então ser calculada como
1000 rpm
Com os valores já calculados, tem-se então os dois pontos que irão definir a recta de normal funcionamento do
motor de indução. A Figura 1(a) mostra então a recta do normal funcionamento do motor. Como se deseja
saber qual a velocidade do motor quando a carga for metade do valor nominal, pode-se usar directamente a
Figura 1(b) para se obter o valor da velocidade que, pela linearidade do gráfico, se irá localizar na metade do
caminho entre 975 rpm e 1000 rpm. Logo, o valor da velocidade será igual a 987,5 rpm.
T ( N)
T ( N)
44,1
44,1
Tn
2
975
(a)
1000
N (rpm)
Figura 1
975
1000
(b)
N (rpm)
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b)
Tendo a tensão de alimentação constante mas variando-se a frequência, a recta de funcionamento normal do
motor desloca-se de forma paralela dependente da frequência aumentar ou diminuir, pois a velocidade de
sincronismo depende do valor da frequência de alimentação. No caso de a frequência ter aumentado para 51 Hz,
a nova velocidade de sincronismo será igual a
.
Para uma frequência de 49 Hz, a velocidade de sincronismo será igual a
.
A Figura 2 mostra os deslocamentos ocorridos pela recta de funcionamentos, 20 rpm para cada lado. Como os
deslocamentos são lineares, torna-se fácil determinar as oscilações de velocidade em torno da velocidade de
987,5 rpm que tinha em 50 Hz e com metade do binário nominal. A variação da velocidade será de:
c)
O rendimento é por definição a razão entre a potência útil do motor e a potência de entrada do motor. Os
dados de placa informam a potência útil do motor no valor de 4500 W.
A potência consumida pelo motor na condição nominal é calculada por
ou
ou
logo o rendimento será igual a
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Excitação
Induzido
Máquina Assíncrona
Máquina CC
3. A figura mostra o esquema eléctrico
Alta velocidade
utilizado no estudo do funcionamento
motor/gerador de uma máquina eléctrica em
Comum
regime de velocidade variável. A máquina
Baixa velocidade
Esquerda
Direita
assíncrona funciona como máquina motriz
(modo motor) da máquina CC, a qual funciona
em modo gerador a alimentar uma carga
Fonte de
V
A
corrente
resistiva. Responda às seguintes questões:
33
Auto1. Foi verificado por si que a tensão aos
transformador
100
terminais do induzido do gerador podia ser
A
220
alterada através da variação de velocidade
do motor; ou da variação da corrente de
Resistências de carga
excitação da máquina CC fornecida pela
fonte de corrente acoplada ao circuito de excitação, como mostra a figura. Explique a relação entre a tensão
fornecida pelo gerador, a velocidade da máquina assíncrona, e a corrente de excitação. (1 valor)
2. Descreva o trânsito de potência através do sistema motor → gerador → carga resistiva. (1 valor)
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
1)
A tensão fornecida pelo gerador é uma função de duas variáveis: a velocidade da máquina motriz e também da
corrente de excitação. Mantendo-se a corrente de excitação constante, a tensão do gerador será directamente
proporcional à velocidade da máquina motriz. Por outro lado, sendo constante a velocidade da máquina motriz,
um aumento ou diminuição da corrente de excitação dentro da região linear da curva de magnetização fará com
que o gerador siga de forma proporcional o comportamento da corrente de excitação. Caso se opere na região
de saturação da característica de magnetização, a relação não será mais linear e um aumento da corrente de
excitação leva a a que a tensão do gerador seja aproximadamente constante.
2)
O motor fornece potência mecânica ao gerador através do veio de ligação entre eles. Em seguida, o gerador
transforma esta potência mecânica recebida em potência eléctrica a qual será transformada em potência térmica.
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4. A Figura mostra um dispositivo electromagnético formado por uma peça cilíndrica de material
ferromagnético, um circuito magnético em forma de E, e uma bobina situada na perna central onde pode
circular uma corrente.
a. Numa primeira configuração, alimente a bobina com uma fonte de alimentação de corrente contínua
de 2,5 A. Insira um anel fechado de alumínio na perna central cilíndrica. Descreva e justifique o que
irá acontecer. (1 valor)
O anel alumínio não irá levitar e ficará apoiado na base do circuito magnético. Como o fluxo magnético
a atravessar o anel fechado é um fluxo constante, não irá aparecer nenhuma força electromotriz ao lonfo
do anel e logo nenhuma corrente eléctrica aparecerá a circular sobre o anel. Assim, nenhuma força de
origem electromagnética resultante da interacção da densidade de corrente e o campo magnético
aparecerá ao longo do anel fechado.
b. Numa segunda configuração, alimente a bobina através de um auto-transformador até uma corrente
de valor eficaz igual a 2,5 A. Descreva e justifique o que acontece ao inserir um anel de alumínio que
tem um pedaço do alumínio cortado. (1 valor)
Apesar de agora se ter um fluxo magnético variável no tempo a atravessar o anel e serem induzidas
forças electromotrizes ao longo do anel, este por estar aberto não permite o estabelecimento de uma
densidade de corrente a circular. Logo, não aparecerá novamente nenhuma força electromagnética sobre
o anel de alumínio e este permanecerá apoiado na base do circuito magnético.
c. Na condição do item anterior, substitua o anel aberto pelo anel de alumínio fechado. O que acontece
com o anel? Explique com detalhe os fenómenos envolvidos. (1 valor)
Nesta situação, aparece uma densidade de corrente eléctrica a circular no anel e logo irá aparecer
induzida ao longo do anel uma força electromagnética,
. De notar que as três grandezas
vectoriais devem ser perpendiculares entre si. O anel começa então a levitar parado numa determinada
altura. Nesta posição de equilíbrio, a força electromagnética equilibra o peso do anel. Se este se encontra
em equilíbrio, então a força electromagnética tem uma direcção vertical e aponta para cima. Pela
distribuição do campo magnético na região aonde se localiza o anel, o campo B deverá ser igual à
componente horizontal e com direcção para fora do cilindro central. Assim, tendo as direcções de F e de
B, pode-se estabelecer a direcção de J.
d. No item anterior, insira um segundo anel de alumínio fechado e aproxime-o do outro anel. O que se
verifica é que o anel de alumínio que estava a levitar é atraído para perto do segundo anel. Porquê? (1
valor)
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Como ambos os anéis têm a corrente a circular no mesmo sentido, o campo magnético de uma corrente
sobre a outra e o inverso faz com que apareçam forças entre os anéis no sentido de atraí-los.
e. Continuando na condição anterior, substitua o anel de alumínio por um anel de plástico fechado. O
que espera que aconteça? Justifique. (1 valor)
Não acontecerá nada. O anel de alumínio que estava a levitar numa determinada altura continuará a
levitar na mesma altura. O anel sendo de plástico não irá apresentar nenhuma corrente a circular nele
pois é feito de material não condutor.