Exemplo Regressão Linear Múltipla
Gilberto A. Paula
Departamento de Estatística
IME-USP, Brasil
[email protected]
1o Semestre 2013
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
1 / 27
Abastecimento de Refrigerantes
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
2 / 27
Abastecimento de Refrigerantes
Abastecimento de Refrigerantes
Descrição dos Dados
Uma engarrafadora de refrigerantes está analisando o serviço de
abastecimento das máquinas de refrigerantes atendidas pela
empresa. O serviço de abastecimento inclui o estoque das garrafas
nas máquinas e pequenas manutenções feitas pelo próprio motorista
do veículo com os carregamentos. O engenheiro industrial
responsável pela logística da distribuição dos refrigerantes acredita
que as variáveis explicativas distância, distância percorrida pelo
motorista do veículo até as máquinas (em pésa ) e ncaixas, número de
caixas de produtos estocados, estejam influenciando a variável
resposta tempo, tempo gasto pelo motorista para o abastecimento das
máquinas (em minutos). Uma amostra aleatória de 25 abastecimentos
feitos num outlet foi considerada para análise (Montgomery, Peck e
Vining, 2001, Cap. 3).
a
1 pé = 0,3048 metros
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
3 / 27
Análise de Dados Preliminar
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
4 / 27
Análise de Dados Preliminar
Medidas Resumo
Descrição
Medida
n
Média
D.Padrão
CV
Tempo
25
22,38
15,52
69%
Ncaixas
25
8,76
6,88
78%
Distância
25
409,30
325,19
79%
Mínimo
1o Quartil
Mediana
3o Quartil
Máximo
8,00
13,75
18,11
21,50
79,24
2,00
4,00
7,00
10,00
30,00
36,00
150,00
330,00
605,00
1460,00
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
5 / 27
Análise de Dados Preliminar
50
40
10
20
30
Tempo Gasto
60
70
80
Boxplot Tempo Gasto
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
6 / 27
Análise de Dados Preliminar
15
5
10
Número de Caixas
20
25
30
Boxplot Número de Caixas de Produtos
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
7 / 27
Análise de Dados Preliminar
800
600
0
200
400
Distância Percorrida
1000
1200
1400
Boxplot Distância Percorrida
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
8 / 27
Análise de Dados Preliminar
50
40
10
20
30
Tempo Gasto
60
70
80
Dispersão Tempo Gasto versus Número de Caixas
5
10
15
20
25
30
Número de Caixas
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
9 / 27
Análise de Dados Preliminar
50
40
10
20
30
Tempo Gasto
60
70
80
Dispersão Tempo Gasto versus Distância Percorrida
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Distância Percorrida
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
10 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
11 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do tempo gasto pelo motorista com o
aumento da distância percorrida e aumento do número de caixas de
produtos, sugerindo inicialmente um modelo linear:
yi = β1 + β2 × ncaixasi + β3 × distanciai + ǫi ,
para i = 1, . . . , 25, em que yi denota o tempo gasto pelo i-ésimo
iid
motorista com ǫi ∼ N(0, σ 2 ).
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
12 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Estimativas
Descrição
As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo.
Efeito
Constante
Ncaixas
Distância
R2
R2 -ajustado
s
F
Estimativa
2,341
1,616
0,014
0,96
0,96
3,26
261,2
Erro padrão
1,0967
0,1707
0,0036
(2 e 22 g.l.)
valor-t
2,134
9,467
3,889
valor-P
0,044
0,001
0,000
0,000
Todas os parâmetros são marginalmente significativos ao nível de 5%.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
13 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
14 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Distância de Cook
22
0.0
5
10
15
20
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.6
0.4
9
0.2
Medida h
0.8
1.0
Diagnóstico Modelo Ajustado
9
25
5
10
Indice
15
20
25
Índice
4
2
9
−2
0
Resíduo Padronizado
2
0
−2
Resíduo Padronizado
4
9
5
10
15
20
25
10
20
Índice
G. A. Paula (IME-USP)
30
40
50
60
70
Valor Ajustado
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
15 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
0
−2
Residuo Studentizado
2
4
Resíduos Modelo Ajustado
−2
−1
0
1
2
Percentil da N(0,1)
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
16 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Apenas duas observações #9 e #22 aparecem como remotas. A
observação #9 também aparece como influente e aberrante. A
eliminação da observação #9 causa variações desproporcionais nas
três estimativas e aumenta a significância da constante.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
17 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Apenas duas observações #9 e #22 aparecem como remotas. A
observação #9 também aparece como influente e aberrante. A
eliminação da observação #9 causa variações desproporcionais nas
três estimativas e aumenta a significância da constante.
Identificação Observação
A observação #9 refere-se ao motorista com a maior distância
percorrida, maior tempo gasto e maior número de caixas estocadas.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
17 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Estimativas
Descrição
As estimativas dos parâmetros eliminando-se a observação #9.
Efeito
Constante
Ncaixas
Distância
R2
R2 -ajustado
s
F
Estimativa
4,447
1,498
0,010
0,95
0,94
2,43
194,2
Erro padrão
0,9525
0,1302
0,0028
(2 e 21 g.l.)
valor-t
4,669
11,505
3,571
valor-P
0,000
0,001
0,000
0,000
Todas os parâmetros são marginalmente significativos ao nível de 1%.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
18 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
0
−1
−3
−2
Residuo Studentizado
1
2
Resíduos Modelo Ajustado
−2
−1
0
1
2
Percentil da N(0,1)
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
19 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
20 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Interpretação Estimativas
Interpretação Estimativas
Para cada aumento de 1 caixa para estocar, espera-se aumento
de 1,616 minutos no tempo gasto pelo motorista (mantendo-se
fixa a distância percorrida).
Para cada aumento de um pé na distância percorrida pelo
motorista, espera-se aumento de 0,014 minutos no tempo gasto
pelo motorista (mantendo-se fixo o número de caixas).
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
21 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Predição
Predição nova Observação
Qual o tempo gasto por um motorista com 25 caixas para estocar e
distância percorrida de 1000 metros?
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
22 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Predição
Predição nova Observação
Qual o tempo gasto por um motorista com 25 caixas para estocar e
distância percorrida de 1000 metros?
Valor de h(z)
Temos que z = (1, 25, 1000)T e h(z) = zT (XT X)−1 z = 0, 274. Como
hmax = 0, 498 então podemos fazer predição para essa nova
observação uma vez que h(z) < hmax .
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
22 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Predição
Estimativa Pontual
O tempo gasto predito pelo motorista fica dado por
µ(z) = 2, 341 + 1, 616 × 25 + 0, 014 × 1000 = 56, 741 minutos.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
23 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Predição
Estimativa Pontual
O tempo gasto predito pelo motorista fica dado por
µ(z) = 2, 341 + 1, 616 × 25 + 0, 014 × 1000 = 56, 741 minutos.
Estimativa Intervalar
A estimativa intervalar de 95% para optempo gasto pelo motorista fica
dada por [µ̂(z) ± t(1−α/2),(n−p) × s × 1 + zT (XT X)−1 z]
= [56, 741 ± 2, 0739 × 3, 26 ×
p
1 + 0, 274]
= [56, 741 ± 7, 631]
= [49, 11; 64, 37].
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
23 / 27
Conclusões
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
24 / 27
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Este é um exemplo de regressão linear múltipla com presença de uma
observação discrepante que é ao mesmo tempo ponto de alavanca,
ponto influente e ponto aberrante. A eliminação dessa observação
causa mudanças numéricas importantes nas estimativas mas não
muda a inferência com relação à inclusão das variáveis explicativas.
Não há evidências de afastamentos com relação à suposição de
normalidade mas há alguma evidência com relação à suposição de
homocedasticidade.
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
25 / 27
Referências
Sumário
1
Abastecimento de Refrigerantes
2
Análise de Dados Preliminar
3
Ajuste Modelo Linear Normal
4
Diagnóstico Modelo Ajustado
5
Resultados Modelo Ajustado
6
Conclusões
7
Referências
G. A. Paula (IME-USP)
Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
26 / 27
Referências
Referências
Referência
Montgomery, D. C.; Peck, E. A. e Vining, G. G. (2001).
Introduction to Linear Regression Analysis, Third Edition.
Hoboken: Wiley.
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Abastecimento de Refrigerantes
1o Semestre 2013
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