9ª Série de Problemas - Extra
Mecânica e Ondas
MEEC
1. Um fio está enrolado num eixo cilíndrico de raio r = 3 cm e massa M = 0,05
kg, que possui nas suas extremidades duas rodas de raio R = 5 cm e massa
m = 0,01 kg, cada uma (tipo carrinho de linhas – ver figuras). O fio é puxado
para a esquerda com uma força constante F = 0,1 N e as rodas rodam sem
deslizar (rolamento). O momento de inércia de um disco é I = mD rD2/2.
1.a)
Qual é o sentido do movimento do centro de massa? Justifique.
[R: esquerda]
1.b) Qual é a aceleração do centro de massa?
[R: 0,45 m/s2]
1.c) Qual é o coeficiente de atrito (Fat/RN) mínimo necessário para garantir
que as rodas não deslizam?
[R: 0,0875]
1.d) Qual o ângulo que a força deve fazer com a horizontal para que não
haja movimento do carrinho (justifique)?
[R: (notando que 0.1 N < peso do carrinho=0,686 N) 53,13º]
2. Dois blocos cilíndricos estão num plano inclinado a 30 graus, conforme
figura. O bloco A é um cilindro oco, homogéneo e de espessura desprezável,
com massa m = 0,1 kg e raio r = 5 cm. O bloco B é um cilindro maciço
homogéneo com massa m = 0,1 kg e raio r = 5 cm. Se precisar saiba que os
momentos de inércia de um anel e de um disco homogéneos de massa m e
raio r , em torno de um eixo que passe pelos seus centros e perpendiculares
aos planos do anel e do disco, têm respectivamente os
valores I ANEL= mr2 e I DISCO= mr2/2.
2.a) Se não houver qualquer tipo de atrito com o plano,
2.a.i) determine a aceleração dos dois blocos;
[R: ambas 4,9 ms-2]
2.a.ii) o bloco B atinge o bloco A ? Se sim, qual a distância percorrida
pelos blocos até ao embate? Se houver embate, qual a distância
percorrida até ao embate seguinte?
[R: o bloco B nunca atinge o bloco A]
2.b) Considere atrito suficiente para impor sempre rolamento (rolar sem
deslizar), em ambos os casos. Neste caso,
2.b.i) determine
a
aceleração
dos
dois
blocos;
[R: aA= 2,45 ms-2; aB= 3,27 ms-2]
2.b.ii) o bloco B atinge o bloco A ? Se sim, qual a distância percorrida
pelos blocos até ao embate?
[R: Sim; dA=6m, dB=8m]
2.b.iii) Se houver embate nas condições da alínea anterior,
2.b.iii.1.
Quais as velocidades dos centros de massa imediatamente
após o choque (considere o choque elástico e que as velocidades de
rotação não são alteradas)?
[R: vA = 7,23 m/s; vB = 5,42 m/s]
2.b.iii.2.
Admitindo que a condição de rolamento se impõe quase
instantaneamente a seguir ao choque, devido ao atrito com o solo,
calcule as novas velocidades dos centros de massa e as novas
velocidades de rotação dos blocos logo após atingirem a condição de
rolamento (despreze a ação da gravidade no intervalo de tempo muito
curto entre o instante do choque e o instante em que se estabeleceu a
condição de rolamento);
[R: vAf = 6,328 m/s; wAf =126,6 rad/s; vBf = 6,026 m/s; wBf =120,5 rad/s]
2.b.iii.3.
quais as distâncias percorridas pelos blocos até ao embate
seguinte (despreze a distância percorrida após o choque enquanto não
se estabelece a condição de rolamento)?
[R: 5,333 m]
(Sug.: note que após o choque elástico, as velocidades de translação dos
centros de massa não correspondem às velocidades de rotação na
condição de rolamento; mas a acção da força de atrito irá em cada caso
reajustar essas velocidades até à condição de rolamento, v=wR; ora, a
força de atrito que durante um intervalo de tempo dt provoca alteração de
velocidade do centro de massa, é a mesma que, no mesmo intervalo de
tempo, provoca um momento de força em torno do centro de massa que
altera a velocidade angular)]