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Resolução de “Curso Básico
de Física” de H. Moysés
Nussenzveig
Capítulo 07 - Vol. 2
Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos
20/10/2009
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Capítulo - 7
1 – Uma esfera oca de alumínio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15°C. O
coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,3 x 10-5/°C. De quantos cm³ varia o volume da
cavidade interna quando a temperatura sobe para 40°C? O volume da cavidade aumenta ou
diminui?
∆V = V0.3α.∆T = [(4/3).π.r³].3.(2,3 .10-5).(40 – 15) = 2,3.π.r³ , com r = 10 cm
∆V = 7,225 = 7,3 cm³
2 – Uma barra retilínea é formada por uma parte de latão soldada em outra de aço. A 20°C, o
comprimento total da barra é de 30 cm, dos quais 20 cm de latão e 10 cm de aço. Os coeficientes de
dilatação linear são 1,9 x 10-5/°C para o latão e 1,1 x 10-5/°C para o aço. qual o coeficiente de
dilatação linear da barra?
Para uma dada temperatura T: ∆T = T – T0
∆L L = L 0 L .α L .∆T = 20.1,9.10 −5.∆T 

∆L A = L 0 A .α A .∆T = 10.1,1.10 −5.∆T 
(I)
∆L = ∆LL + ∆LA = L0.α.∆T
(II)
Somando (I) e substituindo em (II):
49.10-5.∆T = 30.α.∆T
⇒
α = 1,63 x 10-5/°C
3 - Uma tira bimetálica, usada para controlar termostatos, é
constituída de uma lâmina estreita de latão, de 2 mm de
espessura, presa lado a lado com uma lâmina de aço, de
mesma espessura d= 2 mm, por uma série de rebites. A 15°C,
as duas lâminas têm o mesmo comprimento, igual a 15 cm, e
a tira está reta. A extremidade A da tira é fixa; a extremidade
B pode mover-se, controlando o termostato. A uma
temperatura de 40°C, a tira se encurvou, adquirindo um raio
de curvatura R, e a extremidade B se deslocou de uma
distância vertical y. Calcule R e y, sabendo que o coeficiente
de dilatação linear do latão é 1,9 x 10-5/°C e o do aço é
1,1 x 10-5/°C.
∆ ∆ ⇒ ∆ , I) ∆ ∆ ⇒ ∆ , ⇒ ⇒ , ∴
⇒ , II)
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Capítulo - 7
Aplicando pitágoras no triângulo POB`, temos:
⇒ ⇒ ! "
∴ ! " ⇒ ≅ , $ ≅ %%%, %
4 – Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de
oscilação seja igual a 1 s. Verifica-se que, no inverno, quando a temperatura média é de 10°C, o
relógio adianta, em média 55 x por semana; no verão, quando a temperatura média é de 30°C, o
relógio atrasa, em média 1 minuto por semana.
a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo.
b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão?
(
(
⇒ ( , %
'
'
&
⇒ &
)
%, Barra) O período do pêndulo pode ser calculado através de:
* Como o pêndulo em questão é físico, seu centro de massa é em (.
Inverno) Por regra de três:
∆* + → . . .. .+
∆* → + ∴ ∆* %, %. / + ⇒ * , %%+
* &0
1(2
)
*
1( 2
' *
⇒ , %% &
⇒ 1(2 , %, *
∆* ∆ ⇒ , , %
Verão) Por regra de três:
∆3 .+ → . . .. .+
∆3 → + ∴ ∆3 %, %. / + ⇒ * , %%%%+
* &0
1(2
)
3
1( 2
' 3
⇒ , %%%% &
⇒ 1(2 , %, 3
∆3 ∆ ⇒ , %% , %
Resolvendo o sistema, temos:
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a) 9 1,9.10/? /A
b) => 19,6A
Capítulo - 7
0,00004538 90,24849
10 => 0,00004909 90,24849
30 => 5 – A figura ilustra um esquema possível de
construção de um pêndulo cujo comprimento l não
seja afetado pela dilatação térmica. As três barras
verticais claras na figura, de mesmo comprimento l1,
são de aço, cujo coeficiente de dilatação linear é
1,1 x 10-5/°C. As duas barras verticais escuras na
figura, de mesmo comprimento l2, são de alumínio,
cujo
coeficiente
de
dilatação
linear
é
2,3 x 10-5/°C. Determine l1 e l2 de forma a manter
l = 0,5 m.
Analisando a situação, temos:
1o) Antes da dilatação:
∴ , C
2o) Depois da dilatação:
D D D ∴ D D , CC
Analisando as dilatações:
ç∆ ∆ , . / . ∆
CCC
Fã∆ ∆ , . / . ∆
CH
Por I, II, III e IV:
D , . / . ∆ , . / . , ∆
ID
D , , ∆ , . / . ∆
Resolvendo o sistema:
, e , .
6a) Um líquido tem coeficiente de dilatação
volumétrica β. Calcule a razão ρ/ρ0 entre a
densidade do líquido à temperatura T e sua
densidade ρ0 à temperatura T0.
b) No método de Dulong e Petit para
determinar β, o líquido é colocado num tubo em U,
com um dos ramos imerso em gelo fundente
(temperatura T0) e o outro em óleo aquecido à
temperatura T. O nível atingido pelo líquido nos
dois ramos é, respectivamente, medido pelas alturas
h0 e h. Mostre que a experiência permite determinar
β (em lugar do coeficiente de dilatação aparente do
líquido), e que o resultado independe de o tubo em
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Capítulo - 7
U ter secção uniforme.
c) Numa experiência com acetona utilizando este método, T0 é 0°C, T é 20°C, h0 = 1 m e
h = 1,03 m. Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica da acetona.
a) Para um líquido de coeficiente de expansão volumétrica β temos:
∆V = V0 β ∆T
Onde
∆V = V - V0
∆T = T - T0
V = V0 [1+ β(T – T0)]
Quando uma porção de um líquido sofre expansão térmica sua densidade diminui, mas sua massa
não é alterada.
MT = MTo
Com esta condição podemos escrever:
U
W
JK J> K> ⇒ JVM N1 βPT–TM ST J> K> ⇒ U WXYPZ–Z S \
V
[
Se β(T-To) <<1, a expressão acima pode ser escrita através da expanssão de Taylor como:
J
] 1 β
T–TM J>
b) As diferenças de pressão são:
∆P1 = P1 – Patm = ρogho
∆P2 = P2 – Patm = ρgh
Como P1 = P2 = P (estão a mesma altura)
∆P1 = ∆P2
ρogho = ρgh
ρ 0 h0 = ρh
ρ h0
= Substituindo esta expressão em (I)
ρ0
h
h
1
= 0
1 + β (T − T0 ) h
h − h0
h0 (T − T0 )
Este resultado só depende das alturas do líquido nos ramos, ou seja, este resultado independe da
forma da seção transversal do tubo.
β=
c) Substituindo os valores dados na equação obtida no item b:
_ _>
1,03 1,00
^
⇒ ^ 1,5.10/a /A
_> ` `> 1,00
20 0
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Capítulo - 7
7 – Um tubo cilíndrico delgado de secção uniforme, feito de um material de coeficiente de dilatação
linear α, contém um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica β. À temperatura T0, a altura da
coluna líquida é h0.
a) Qual é a variação ∆h de altura da coluna quando a temperatura sobe de 1°C?
b) Se o tubo é de vidro (α = 9 x 10-6/°C) e o líquido é mercúrio (β = 1,8 x 10-4/°C), mostre
que este sistema não constitui um bom termômetro, do ponto de vista prático, calculando ∆h para
h0 = 10 cm.
Por ser um tubo cilíndrico delgado, temos que ∆H(H ∆.
a) ∆H H b ⇒ cd . ∆e cd . e b ⇒ ∆e e b b) ∆e e b . /. . %. /. ∴ ∆e , .. / A partir dos cálculos, vemos que não há variação expressiva de altura e, assim, não seria possível
uma marcação precisa.
8 – Para construir um termômetro de leitura fácil, do ponto de vista prático (Problema 7), acopla-se
um tubo capilar de vidro a um reservatório numa extremidade do tubo. Suponha que, à temperatura
T0, o mercúrio está todo contido no reservatório de volume V0 e o diâmetro capilar é d0.
a) Calcule a altura h do mercúrio no capilar a uma
temperatura T > T0.
b) Para um volume do reservatório V0 = 0,2 cm³,
calcule qual deve ser o diâmetro do capilar em mm para
que a coluna de mercúrio suba de 1 cm quando a
temperatura aumente de 1°C. Tome α = 9 x 10-6/°C para o
vidro e β = 1,8 x 10-4/°C para o mercúrio.
a) Hfgh H b ∆ & 1 2 . e ⇒ e b) H
&.e
b ∆
.,
&.
H
&.
b ∆
. /. . ∴ , .
9 – Um reservatório cilíndrico de aço contém mercúrio, sobre o qual flutua um bloco cilíndrico de
latão. À temperatura de 20°C, o nível do mercúrio no reservatório está a uma altura h0 = 0,5 m em
relação ao fundo e a altura a0 do cilindro de latão é de 0,3 m. A essa temperatura, a densidade do
latão é de 8,60 g/cm³ e a densidade do mercúrio é de 13,55 g/cm³.
a) Ache a que altura H0 está o topo do bloco de
latão em relação ao fundo do reservatório a 20°C.
b) O coeficiente de dilatação linear do aço é
1,1 x 10-5/°C; o do latão é 1,9 x 10-5/°C, e o
coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8
x 10-4/°C. Calcule a variação δH da altura H0 (em mm)
quando a temperatura sobe para 80°C.
i j ⇒ ) kl) )H* ⇒ k l e kl) ⇒ l e a) Analisando a situação em equilíbrio, temos:
Substituindo os valores:
b)
l , .
2
k
kl)