1a Lista de Problemas de Fis403
— Fı́sica Geral III —
IFQ/UNIFEI
2o Semestre de 2015
Questões
1) Você dispõe de um bastão de vidro, um lenço de seda e duas esferas de metal (condutoras), inicialmente
neutras, montadas em um suporte de plástico (isolante). Descubra um modo de carregar as esferas com
cargas iguais e opostas. Não é permitido tocar com o bastão nas esferas. é necessário que as esferas sejam
do mesmo tamanho?
2) Se você friccionar vigorosamente um bastão de ebonite (um plástico isolante) com uma flanela, o bastão
ficará eletrizado. Entretanto, se você friccionar uma moeda entre os dedos, ela não irá adquirir carga alguma.
Por que?
3) Depois de caminhar algum tempo sobre um carpete, você freqüentemente sente um “choque” ao tocar
na maçaneta de metal da porta. Qual a causa disso?
4) a) Defina linhas de força de um campo elétrico. b) Duas linhas de força nunca se cruzam. Explique
por que.
5) Uma carga pontual q é solta numa região de campo elétrico não uniforme. A trajetória que ela segue
necessariamente coincide com uma das linhas de força?
6) Duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais opostos encontram-se sobre uma reta separadas por
uma distância d. Determine a direção e sentido do campo elétrico: a) sobre a reta e entre as cargas; b)
sobre a reta, fora das cargas, próximo à carga positiva; c) idem, próximo à carga negativa; d) fora da reta,
no plano mediatriz das cargas (plano perpendicular à reta e que passa pelo ponto médio entre as cargas).
7) Uma carga positiva é liberada, em repouso, num campo elétrico. A carga se desloca para a região de
potencial elétrico mais alto ou mais baixo?
8) Se o potencial elétrico for constante numa região do espaço, o que se pode dizer sobre o campo elétrico
nessa região?
~ for conhecido num único ponto, é possı́vel determinar V nesse ponto?
9) Se E
10) Em que direção será possı́vel um deslocamento num campo elétrico de modo que não haja alteração
do potencial elétrico?
Problemas
1) Duas cargas de −10 µC e 20 µC encontram-se separadas por uma distância de 20 cm. Onde deve ser
colocada uma terceira carga de modo que, sob a ação dessas duas, fique em repouso? Resp: Ao longo da reta
suporte das duas cargas, a 48,5 cm da carga negativa e 68,5 cm da positiva
2) Dez cargas pontuais de 500 µC estão colocadas sobre uma circunferência de raio 2 m, todas igualmente
afastadas entre si. Calcule a força exercida por esse conjunto sobre uma carga pontual de −20 µC , situada
sobre o eixo, dois metros afastada do plano da circunferência.
3) Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos e se atraem mutuamente com uma
força de 0,108 N, quando separadas por uma distância de 50 cm. Elas são ligadas por um fio condutor,
que é removido logo a seguir, passando então a se repelir com uma força de 0,036 N. Quais eram os valores
iniciais das cargas das esferas? Resp: ±3,0 µC e ∓1,0 µC
4) Uma carga Q deve ser dividida em duas: q e Q − q. Qual deve ser o valor de q para que a repulsão
coulombiana entre as duas novas cargas seja máxima? Resp: q = Q/2
5) Duas cargas pontuais de valor q e −q são fixadas nos pontos P1 (0, a) e P2 (0, −a) respectivamente, de um
sistema de coordenadas cartesianas, formando o que se denomina um dipolo elétrico. Uma terceira carga
positiva e de mesmo valor, é colocada em algum ponto sobre o eixo dos x.
a) Qual a intensidade e orientação da força exercida sobre a terceira carga quando esta se encontra na
origem?
b) Qual é a força sobre ela quando sua abcissa é x?
c) Esboce o gráfico da força sobre a terceira carga em função de x, para valores de x entre −4a e 4a.
d) Mostre que quando a abcissa x da terceira carga for grande comparada à distância a, a força sobre ela é
inversamente proporcional ao cubo da sua distância ao centro do dipolo.
e) Situando agora a terceira carga sobre o eixo dos y, a uma ordenada y grande comparada com a distância
a, mostre que a força sobre ela também é inversamente proporcional ao cubo de sua distância à origem do
dipolo.
q2
a3
(= F0 )
b) 2
F0
2
2π0 a
(a + x2 )3/2
q2 a
q2 a
d) F ' −ŷ
e) F ' ŷ
2π0 x3
π0 y 3
Resp: a) −ŷ
6) Três cargas pontuais de mesma massa m = 200 g e carga elétrica q são penduradas por fios sem massa
e inextensı́veis, todos de comprimento L = 1,0 m, a partir de um ponto comum no teto. Na posição de
equilı́brio, a distância entre cada uma delas vem a ser de 20 cm. Determine o valor de cada carga. Resp:
0,765 µC
7) A cunha cilı́ndrica limitada pelas superfı́cies z = 0, z = 3(m), ϕ = 300 , ϕ = 600 e ρ = 5(m) tem densidade
volumétrica de cargas dada por ρv = ρ sen 2ϕ(nC/m3 ). Determinar a carga elétrica total encerrada pela
cunha. Resp: 62,5 nC
8) Seja uma distribuição (infinita) de cargas com densidade ρ, dada no sistema de coordenadas esféricas por
ρ=K
e−ar
,
r2
K = cte.
a) Considerando uma esfera de raio R centrada na origem do sistema, determine a carga de um hemisfério.
b) Qual o raio R0 da esfera que contem metade da carga total da distribuição (lembre-se que a distribuição
é infinita)?
Resp: a)
2kπ(1 − e−aR )
a
b) R0 =
1
ln2
a
P
9) Mostre que o campo elétrico produzido por uma linha carregada com densidade
de cargas uniforme λ e disposta ao longo do eixo z é dado por
E=
z
λ
[(cos α1 + cos α2 ) ρ̂ + (sen α2 − sen α1 ) ẑ] ,
4π0 ρ
onde α1 e α2 são os ângulos mostrados na figura.
10) Considere uma barra muito fina de comprimento L , uniformemente carregada, com uma densidade linear de cargas λ.
a) Determine o campo eletrostático E produzido pela barra num ponto situado
no seu eixo mediatriz. Calcule E para os seguintes casos: z >> L e z << L
(ou L → ∞, fio retilı́neo infinito uniformemente carregado).
λ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
α2
α1
b) Determine o campo num ponto sobre o eixo perpendicular à barra que passa
por uma de suas extremidades.
Resp:
E =
λ
ẑ .
2π0 z
λL
q
√
ẑ. Para z >> L, E =
ẑ, e, para z << L, (ou L → ∞), E =
4π0 z 2
2π0 z L2 + 4z 2
11) Uma barra muito fina de comprimento L = 1,0 m é carregada com uma densidade linear de cargas λ
que varia linearmente ao longo da barra, desde um valor −λ0 numa extremidade, até o valor λ0 no outro
extremo, sendo λ0 = 0,50 µC/m.
√ Determine o campo eletrostático produzido pela barra num ponto situado:
a) no seu eixo mediatriz, a 2 m da barra; b) no prolongamento da reta que contem a barra, a 2 m da
extremidade. Resp: a) E = −0,24 x̂ kV/m
b) E = 0,10 x̂ kV/m
12) Usando a lei de Coulomb (integração direta), determine o campo produzido por um fio de carga Q e
comprimento L, dobrado em forma de um arco de circunferência de 60◦ , no seu centro de curvatura; Resp:
E=
Q
, ao longo da bissetriz do arco da circunferência, se afastando dela.
120 L2
13) Um fio não condutor muito fino forma uma circunferência de raio a e está localizado no plano xy, com
seu centro na origem. O fio possui uma densidade linear de cargas dada por λ = λ0 sen ϕ, onde ϕ é o ângulo
medido a partir do eixo x positivo. Determine: a) a carga total do fio; b) E na origem. c) Você acha alguma
λ0
incoerência entre os resultados de a) e b)? Resp: a) Zero
b) E = (−ŷ)
40 a
14) Considere um disco de raio a, uniformemente carregado, com densidade superficial de carga σ;
a) Determine o campo eletrostático E num ponto qualquer do eixo de simetria deste disco; b) Uma partı́cula
de carga Q e massa m é solta do eixo z a partir do repouso, de uma distância z0 do disco. Determine a
velocidade que ela possuirá quando atingir uma distância (i) 4z0 ,
(ii) ∞ do disco. c) Calcule E para
os seguintes casos: z >> a e z << a ( ou a → ∞, isto é, o disco se torna um plano infinito uniformemente
carregado). d) Qual o máximo valor de z para que se possa usar a aproximação de plano infinito (isto é,
σ
z
~
considerar E ≈ σ/(20 )), cometendo um erro de no máximo 5%? Resp: a) E(z)
=
[1 − √
]ẑ, para z > 0 ,
2
2
20
z +a
σa2
Q
σ
~
~
E(z)
=
ẑ =
ẑ (carga puntiforme) e E(z)
=
ẑ, (plano infinito).
40 z 2
4π0 z 2
20
15) Determine o campo e o potencial eletrostáticos produzidos por um disco de raio a carregado com σ =
σ
σ p 2
z
σ0 sen2 ϕ num ponto qualquer de seu eixo de simetria. Resp: E = 0 1 − √ 2 2 ẑ, V = 0
z + a2 − z
40
z +a
40
16) Uma carga está distribuı́da sobre o eixo z com densidade
λ para
|z| > 4 m e λ = 0 para |z| < 4 m.
0
λ0
2
Determine o campo elétrico no ponto P (0, 2, 0) m. Resp:
ρ̂
1− √
4π0
5
17) Sobre um anel de raio a, localizado na origem e no plano xy, é distribuı́da uniformemente uma carga
Q.
a) Determine o campo eletrostático num ponto qualquer do eixo de simetria deste anel (eixo z ); b) A um
elétron, inicialmente situado na origem, é dado um deslocamento z0 << a, sobre o eixo z, após o que ele é
solto para mover-se livremente. Mostre que o elétron irá oscilar em torno da origem com freqüência angular
dada por
r
eQ
ω=
,
4π0 ma3
onde m é a massa do elétron.
c) Um arame muito fino de comprimento a, carregado com a mesma carga total que o anel é colocado
ao longo do eixo z entre os pontos z1 = a e z2 = 2a. Que força elétrica irá atuar sobre ele? Resp: a)
Qz
Q2
1
1
~
√ −√
E(z)
=
ẑ c) F =
ẑ .
2
2
2 3/2
4π0 (z + a )
2π0 a
2
5
18) Um quadrado, que possui lado 2 m , está centrado na origem e situa-se no plano z = 0, encontra-se
carregado com uma densidade superficial de cargas
σ = |x| nC/m2 .
Determine: a) a carga total da distribuição; b) o campo E no ponto P (0, 0, 1) m.
Resp: a) Q = 2,0 nC
b)
8,02 ẑ (V/m)
19) Um quadrado de lado 2 m jaz no plano xy delimitado por 0 ≤ x ≤ 2 m e 0 ≤ y ≤ 2 m, carregado com
carga superficial
σ = 2x(x2 + y 2 + 4)3/2 µC/m2 .
Determine o campo elétrico no ponto do eixo z situado a 2 m acima do plano.
Resp: E = −96 x̂ − 72 ŷ + 144 ẑ (kV/m)
20) Uma esfera não condutora de raio R está carregada com uma densidade de cargas não uniforme dada
por ρ = kr sen θ, onde r é a distância medida a partir do centro da esfera e θ é o ângulo a partir de um eixo
de referência. A esfera é cortada exatamente ao meio, num plano normal ao referido eixo, e uma das partes
jogada fora. Determine:
a) A carga total da semiesfera; b) O campo elétrico no centro de curvatura da semiesfera em função da
2Q
carga total desta. Resp: b) E = 2 2 ẑ
3π 0 R
21) Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma densidade superficial de cargas dada
por σ = Q cos θ/R2 . Determine:
a) Sua carga total;
b) Seu momento de dipolo total, definido como o vetor
Z
σ(r0 ) r0 dS 0
p=
S0
c) O campo que ela produz em seu centro (para quem gosta de desafios, tente calcular o campo num ponto
Q
qualquer do eixo z, tanto para z < R quanto para z > R). Resp: a) Q = 0, b) p = ẑ 4πRQ/3, c) E = ẑ
2
30 R
22) O centro de um anel de raio R carregado uniformemente com carga total Q encontra-se a uma distância
a, a > R, de um fio retilı́neo infinito que possui uma densidade de cargas λ uniforme por unidade de
comprimento. O fio e o anel estão num mesmo plano. Determine a força de interação eletrostática entre
λQ
√
ambos. Resp:
, perpendicular ao fio.
2
2
2π0 a − R
23) Um eneágono regular (polı́gono de N lados) tem sua superfı́cie preenchida por uma distribuição uniforme
de cargas com densidade σ. Sendo a a distância do centro do eneágono a um de seus lados, determine o
potencial elétrico em seu centro.
Mostre
que, no limite N → ∞, obtem-se o resultado esperado (disco de
N σa
σa
1 + sen π/N
raio a). Resp: VN (0) =
ln
, V∞ (0) =
.
2π0
cos π/N
20
24) Se o campo elétrico no ar atmosférico for da ordem de 3 × 106 N/C, o ar se ioniza e se torna condutor.
O valor do campo em que ocorre esta ionização é a rigidez dielétrica do ar. Imaginemos que uma carga de
18 µC seja colocada numa esfera condutora. Qual o raio mı́nimo da esfera que pode reter essa carga, no ar,
sem haver ionização?
25) Numa certa região do espaço o campo elétrico possui componentes
Ex = ax2 y
Ey = x3 + y
Ez = 0,
onde x, y e z são dados em metros e E em V/m.
a) Determine a constante a para que o campo acima seja eletrostático.
b) Determine a diferença de potencial entre a origem e o ponto x = 3, y = 0, z = 0.
c) Determine a diferença de potencial entre a origem e o ponto x = 0, y = 2, z = 1.
26) Determine o potencial e o campo eletrostáticos num ponto qualquer do eixo de simetria de:
a) um anel de raio a uniformemente carregado com densidade linear de carga λ;
b) um disco de raio a uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ;
Resp: a) V (z) =
λa
,
20 (z 2 + a2 )1/2
~
E(z)
=
λaz
ẑ
20 (z 2 + a2 )3/2
b) z > 0: V (z) =
σ p 2
[ z + a2 − |z|],
20
σ
z
~
[1 − √
]ẑ.
E(z)
=
20
z 2 + a2
27) Um disco de raio R tem uma densidade de carga +σ0 para r < a e uma densidade de carga igual e
oposta −σ0 para a < r < R. A carga total do disco é nula.
a) Determinar o potencial à distância x sobre o eixo do disco.
b) Dar a expressão aproximada
de V (x) quando x for muito maior do que R.
q
Resp: a) V (x) = (σ0 /20 )(2
x2 + R2 /2 − x −
p
x2 + R2 ), b) σ0 R4 /320 x3
28) Um bastão de vidro de comprimento L uniformemente carregado com densidade linear de carga λ jaz
sobre a parte positiva do eixo x de um sistema de coordenadas, sendo que uma das extremidades está na
origem. Determine num ponto P (x, 0, 0), x > L, o potencial eletrostático V (escolhido como sendo igual a
zero no infinito) e o campo eletrostático.
Resp: V (x) =
λ
x
λ
L
ln
, E(x) =
x̂, para z > L
4π0
x−L
4π0 x(x − L)
29) Em suas célebres experiências de 1906 que levaram à descoberta do núcleo atômico, Rutherford bombardeou uma fina folha de ouro (número atômico 79) com partı́culas α (núcleos de He, de carga 2e), produzidas
por uma fonte radioativa, e observou que algumas delas chegavam a ser defletidas para trás. A energia
cinética inicial das partı́culas α era de 7,69 MeV. Considere uma colisão frontal entre uma partı́cula α e
um núcleo de ouro, na qual ela é retroespalhada. Qual é a distância de mı́nima aproximação entre as duas
partı́culas carregadas? Rutherford estimou que o raio do núcleo deveria ser da ordem dessa distância.
Resp: 3 × 10−14 m