DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 1
REVISÕES
1- Determine o comprimento de todas as barras, as cotas e os ângulos representados nas figuras seguintes.
a) Figura 1
b) Figura 2
4.0 m
4.0 m
2.0
A
A
B
α
β
a
2.0 m
C
B
δ
2.5 m
δ
a
α
C
5.0 m
D
5.0 m
β
ϕ
E
b
ϕ
30º
F
c
D
m
3.0
G
2.0 m
2- Considere as forças F1, F2, F3 e F4 representadas na figura.
F2 = 10kN
F1 = 5 kN
70º
35º
40º
2
F3 = 15kN
1
F4 = 18kN
a) Determine as componentes segundo os eixos coordenados x e y, de cada uma das forças.
b) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fa = F1 + F2 + F3 + F4,
caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo x e sentido.
c) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fb = F1 - F2 + F3 - F4,
caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo y e sentido.
100 N
3- Considere a força de 100 N representada na figura.
Determine as componentes da força segundo os eixos
coordenados x e y.
30º
4- Considere a força de 200 N representada na figura.
200 N
B
a) Determine as componentes da força segundo os
eixos coordenados x e y.
b) Decomponha a força em duas componentes: uma na
direcção AB e outra na perpendicular à direcção AB.
versão 0
1/2
60º
A
20º
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 1
REVISÕES
5- Considere o corpo rectangular representado na figura onde actuam três forças.
a) Considere α=25o.
- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua
grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.
- Determine as componentes da resultante nas direcções
perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.
320 N
α
260 N
500 N
b) Considere α=50 .
o
α
- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua
grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.
35º
- Determine as componentes da resultante nas direcções
perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.
6- Para que não danifique a tábua de madeira onde está cravado, o prego
representado na figura deverá ser arrancado na vertical. As ferramentas
existentes permitem aplicar forças paralelas e perpendiculares à
superfície da madeira.
a) Se for aplicada uma força paralela à superfície da madeira de 100 N
(Fa), determine a grandeza da força perpendicular (Fb) que deverá ser
aplicada simultaneamente para que o prego seja arrancado na
vertical.
Fb
Fa = 100 N
40º
b) Determine a grandeza da força de arranque.
7- Considere a esfera representada na figura, sob a acção de duas forças: F1 e F2.
a) Considere α=25o.
- Determine a grandeza da força F2, que actuando conjuntamente com F1, faz a esfera deslocar-se na
trajectória AB.
- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.
b) Considere a força |F2| = 40 kN.
- Determine o ângulo α da direcção da força F2 que, actuando conjuntamente com F1, faz a esfera
deslocar-se na trajectória AC.
- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.
F2
α
B
30º
A
20º
C
versão 0
F1 = 20 kN
2/2
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 2
ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL
1- Considere o sistema de forças aplicado num ponto representado na figura 1 e os sistemas de eixos (x,y)
das figuras 2 e 3 ( x ┴ y ).
a) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a
direcção dos eixos (x,y) da figura 2.
b) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a
direcção dos eixos (x,y) da figura 3.
c) Determine a resultante do sistema de forças representado na figura 1.
d) Caracterize completamente a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na
figura 1, conduz ao equilíbrio do ponto.
e) Determine a força F que actuando conjuntamente com o sistema representado na figura 1, torna o
novo sistema (forças da figura 1 + F) equivalente a uma força horizontal (←) de 60 kN.
f) Considere um sistema constituído por uma força F actuando conjuntamente com as forças de 25 kN e
70 kN representadas na figura 1.
- Determine a menor força F que conduz a uma resultante com a direcção do eixo y da figura 2.
- Caracterize a resultante deste novo sistema de forças.
50kN
y
25kN
y
x
40º
20º
25º
10kN
35º
Figura 1
x
70kN
Figura 2
Figura 3
2- Considere o sistema de forças aplicado num ponto, constituído
por F1, F2, F3 e F4, cuja resultante é a força R.
a) Considerando R = 50 kN, F3 = 25 kN e F4 = 15 kN, determine a
grandeza e sentido de F1 e F2.
F2
F1
0.20
=
b) Considerando R = 30 kN, F1 = 10 kN e F2 = 15 kN, determine a
grandeza e sentido de F3 e F4.
=
R
F4
=
d) Considerando F1 = 40 kN, F2 = 50 kN, F3 = 20 kN e F4 = 10 kN,
caracterize a força F5 que deverá adicionar ao sistema para
que o ponto esteja em equilíbrio.
versão 0
1/1
=
0.20
F3
0.15
=
=
=
=
=
=
0.15
c) Considerando F1 = 30 kN e F4 = 65 kN, determine a grandeza e
sentido de F2 e F3 para que a resultante tenha uma grandeza
de 40 kN, a direcção indicada na figura e sentido contrário ao
indicado na figura.
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 3
ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO
1- Considere a manivela que roda em torno do ponto C e que
se encontra caracterizada na figura 1.
0.20
0.40 m
0.20
0.40 m
A
a) Figura 2
0.15 m
a1) Determine o momento da força em relação ao pto C;
B
D
C
a2) Determine o momento da força em relação ao pto D;
0.15 m
Figura 1
E
b) Figura 3
b1) Determine o momento da força em relação ao pto C;
A
25 kN
b2) Determine o momento da força em relação ao pto E;
B
D
C
Figura 2
c) Figura 4
c1) Determine o momento da força em relação ao pto D;
c2) Determine o momento da força em relação ao pto C;
E
40 kN
A
d) Figura 5
B
D
C
d1) Determine o momento da força em relação ao pto D;
Figura 3
E
d2) Determine o momento da força em relação ao pto C;
e) Figura 6
A
50 kN
e1) Determine o momento do binário em relação ao pto C;
B
D
C
e2) Determine o momento do binário em relação ao pto B;
Figura 4
e3) Determine o momento do binário em relação ao pto A;
E
f) Figura 7
f1) Determine o momento de todas as forças em relação ao
A
30 kN
35º
pto C;
B
D
C
Figura 5
f2) Determine o momento de todas as forças em relação ao
E
pto E;
f3) Substitua o sistema de forças por outro equivalente com
ponto de aplicação em D;
A
15 kN
B
f4) Determine a força vertical a actuar em A que, actuando
conjuntamente com as forças representadas na figura,
conduz a um momento nulo em C;
D
C
15 kN
Figura 6
E
f5) Determine a força horizontal a actuar em E que,
actuando conjuntamente com as forças representadas
na figura, conduz a um momento em A de 20 kNm
(sentido horário);
25 kN
A
25 kN
60º
B
g) Figura 8
60º
D
C
Figura 7
o sistema de forças a um sistema
força+momento equivalente com ponto de aplicação em 8 kNm
C;
50 kN
A
g2) Reduza o sistema de forças da figura a um sistema
70º
força+momento equivalente com ponto de aplicação a
B
meio da barra DE;
E
g1) Reduza
20 kN
g3) Reduza o sistema de forças a uma resultante com ponto
30 kN
25 kN
12 kNm
C
Figura 8
D
55º
55º
E
25 kN
de aplicação sobre o tramo BCD.
versão 0
1/2
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 3
ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO
2- Considere o corpo rígido representado na figura.
a) Determine a força e o momento a aplicar em B para que, conjuntamente com o carregamento da figura,
o corpo rígido esteja em equilíbrio.
b) Para que seja alcançado o equilíbrio do corpo, determine as seguintes três forças que deverão actuar
conjuntamente com o carregamento da figura:
- uma força horizontal a aplicar em D;
- uma força horizontal a aplicar em H;
- uma força vertical a aplicar em G;
c) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de
aplicação em A.
d) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de
aplicação em G.
e) Reduza o carregamento representado a uma resultante com ponto de aplicação sobre o alinhamento
ABC.
1.5 m
1.5 m
75 kNm
2.0 m
35 kN
D
1.5 m
C 30 kN
B
A
E
40º
40 kN
F
G
45 kN
H
50 kN
0.40
3- Considere o poste de electricidade que suporta
quatro linhas que exercem sobre ele as forças
representadas na figura.
0.50
0.50
0.40
0.50 m
15 kN
a) Determine a resultante na extremidade
inferior do poste.
90 kN
25 kN
b) Considere que os parafusos que fixam o
poste ao solo distam 20 cm do seu eixo
(a=20cm). Determine as forças verticais
transmitidas aos parafusos.
50 kN
2.50 m
c) Determine a cota a para que a força
transmitida aos parafusos não ultrapasse
220 kN.
a
versão 0
2/2
a
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 4
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES
1- Substitua os carregamentos da figura por forças resultantes equivalentes no cálculo do equilíbrio de corpos
rígidos.
2.0 m
3.0 m
12 kN/m
10 kN/m
p = 8 kN/m
7 kN/m
6 kN/m
2.4 m
3.3 m
8 kN/m
p = 10-2
x ( kN/m
5 kN/m
)
9 kN/m
6 kN/m
60º
40º
2.0 m
2.8 m
2.1 m
3.2 m
3 kN/m
4 kN/m
2 kN/m
p
k
=7
m
N/
2.0 m
2.0 m
1.5 m
3.0 m
3.0 m
2.0 m
0.5
0.5
2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
15 kN
20 kN
A
A
B
3.0 m
B
2.0 m
C
4.0 m
Figura 1
1.5 m
Figura 2
30 kN
25 kN
25 kN
40 kN
6 kN/m
50º
65º
B
A
0.8
C
3.0 m
B
A
D
1.5 m
C
3.5 m
1.1 m
Figura 3
7 kNm
18 kNm
B
A
1.2 m
7 kN/m
12 kNm
D
A
2.2 m
B
1m
Figura 5
versão 0
5 kN
15 kNm
C
2.0 m
1.4 m
Figura 4
4 kN/m
9 kNm
D
D
C
2.1 m
1.2 m
0.90
Figura 6
1/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 4
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES
3- Considere as estruturas do exercício anterior.
a) Figura 2
Determine o ponto de aplicação da força vertical de 25 kN (↓), que actuando conjuntamente com a força de
20 kN representada na figura, conduz a uma reacção nula no apoio A.
b) Figura 4
Determine a grandeza e sentido do momento a aplicar em C, que actuando conjuntamente com o restante
carregamento ilustrado na figura, reduz a reacção vertical em B para 30 kN (↑).
c) Figura 5
Determine a grandeza e sentido da carga vertical uniformemente distribuída a aplicar no tramo AB que
actuando conjuntamente com o restante carregamento ilustrado na figura, leva a que a reacção no apoio B
seja uma força vertical de 22 kN (↑).
4- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
7 kN
20 kN
30º
50º
A
10 kN/m
7 kN
2.2 m
4 kN/m
2.0 m
20 kNm
15 kN
55º
0.5
B
0.5
0.7
0.8
1.5 m
Figura 1
1.0
1.0
Figura 2
30 kN
kN
/m
60º
20 kN
30 kN
1.5 m
10
1.5 m
10 kN
23 kN
1.2 m 18 kN
2.5 m
5 kN
25 kN
15 kN
0.8 m
20 kNm
2.0 m
0.8
1.2 m
1.1
Figura 3
versão 0
1.4 m
1.5 m
Figura 4
2/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 5
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS
1- Considere os dois corpos rígidos rectangulares unidos por uma rótula em C, representados na figura.
Determine as reacções e as forças de ligação na rótula C.
50 kN
12 kN/m
45º
40 kN
0.6 m
C
0.6 m
B
20 kNm
30º
1.5 m
A
0.8
2.0 m
1.5 m
0.8
2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
B
C
35º
A
50 kNm
3.0 m
G
40 kN
60º
4.0 m
20
kN
/m
H
2.0 m
D
E
F
I
15 kN/m
27 kN/m
2.0 m
2.0 m
2.0 m
2.0 m
Figura 1
versão 0
1/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS
3.0 m
40 kN/m
2.0 m
FICHA 5
3.0 m
C
30 kN
2.0 m
80°
2.5 m
20 kN
/m
D
10 kN
90°
B
1.5 m
E
2.0 m
75 kNm
A
10 kN/m
2.5 m
2.5 m
Figura 2
25 kN/m
50 kN
D
I
4.0
m
E
50 kNm
3.0 m
G
F
H
C
100 kN
B
15 kN/m
1m
15°
3.0 m
30 kN/m
A
4.0 m
3.0 m
3.0 m
1.2
Figura 3
20 kN/m
F
B
35 kN/m
2.0 m
C
D
E
G
75°
80 kNm
1.3 m
A
30°
4.0 m
40 kN
2.0 m
2.0 m
1.7 m
Figura 4
versão 0
2/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
1-
FICHA 6
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - VIGAS GERBER
Determine as reacções nos apoios das vigas Gerber abaixo representadas.
20 kN/m
40 kN
55º
A
1.5 m
D
C
B
2.0 m
1.8 m
1.2 m
0.9
Figura 1
50 kN
5 kN/m
15 kNm
60º
B
A
0.8
2.5 m
8 kNm
1.0
1.1
E
D
C
0.6
0.9
F
1.1 m
Figura 2
8 kN/m
65º
B
A
2.0 m
45 kN
9 kNm
65º
D
C
0.7
60 kN
7 kN/m
E
0.8
1.2 m
1.3 m
G
F
1.1 m
0.7
1.1 m
Figura 3
15 kN/m
35 kN
45 kN
10 kN/m
40º
50º
A
1.3 m
1.2 m
D
C
B
1.1 m
0.8
1.3 m
E
1.4 m
F
1.5 m
G
0.9
Figura 4
10 kN/m
12 kNm
30 kN
8 kNm
1.2 m
A
C
B
1.5 m
1.7 m
6 kNm
1.8 m
D
E
2.0 m
Figura 5
versão 0
1/1
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 7
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS
1- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
25 kN/m
10 kN/m
K
H
I
J
40 kN
2.0 m
C
G
F
35°
20 kN
D
5 kN/m
E
30 kNm
1.0 m
B
A
2.0 m
1.0
1.0
1.6 m
2.4 m
Figura 1
A
40 kN/m
30 kN/m
1.5 m
H
G
B
I
30°
40 kN
50 kN
110°
3m
/m
C
80 kNm
E
F
D
3m
1
2m
3m
2m
Figura 2
1.5 m
8 kN/m
E
1.3 m
5 kN/m
3m
30 kN
1.7 m
C
D
70kNm
10 kN/m
4m
20 kN/m
B
A
3m
3m
4m
4m
Figura 3
versão 0
1/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 7
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS
12 kN/m
5 kN/m B
F
C
3m
E
D
3m
15 kNm
A
H
G
20 kN/m
3m
3m
1
Figura 4
100 kN
J
H
B
1m
D
G
3m
E
40
20 kN/m
kN
/m
35 kNm
F
C
75°
2m
80 kN
A
I
2m
1
3m
3m
Figura 5
3m
3m
2.5 m
2.5 m
20 kN/m
D
A
B
E
4m
50 kNm
C
G
F
20 kN/m
10 kN/m
Figura 6
versão 0
2/2
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 8
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
1- Determine os esforços em todas as barras pelo Método do Equilíbrio dos Nós.
Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.
D
10 kN
20 kN
1.5 m
30 kN
20 kN
B
B
C
2m
3.0 m
30 kN
D
A
C
1m
A
E
3.0 m
2.5 m
4.0 m
Figura 1
Figura 2
A
A
20 kN
1.5 m
50°
5 kN
C
B
3m
2m
30 kN 60°
B
D
C
50 kN
D
100 kN
4m
4m
45°
E
F
E
40 kN
10 kN
dir.
3.0 m
2.5 m
4.0 m
2.0 m
Figura 3
Figura 4
3.0 m
3.0 m
3.0 m
C
2.5 m
D
E
F
G
2.5
25 kN
A
B
H
60 kN
Figura 5
versão 0
1/4
40 kN
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 8
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
2- Considere as estruturas do exercício anterior e recorra ao Método de Ritter na resolução das alíneas
seguintes. Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.
a) Figura 1
Determine os esforços nas barras AB, BC,
BD e CD.
b) Figura 2
b1) Confirme que a barra AB está descarregada.
b2) Determine os esforços nas barras BC e CD.
c) Figura 3
Determine o esforço na barra CD.
d) Figura 4
Determine os esforços nas barras BE e EF.
e) Figura 5
Determine o esforço na barra BC.
3- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. As forças F3 e F4 têm a mesma direcção que
a barra FH.
Tenha em atenção o seguinte:
• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.
• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa
alínea para resolver outra.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras AD e AE.
b) Utilizando o Método de Ritter, calcule o esforço axial na barra EG.
c) Utilizando o Método de Ritter, determine que direcção e sentido a força F5 = 40 kN deveria ter para que
na barra HI actuasse um esforço de compressão de 25 kN
3m
2m
4m
A
F2 =30kN
B
3m
F1 =50kN
E
C
D
2m
F
G
F3 =25kN
2m
H
F4 =20kN
1m
I
1m
J
F5 =40kN
versão 0
2/4
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 8
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
2m
4m
3m
2m
A
B
4- Considere a estrutura articulada plana
representada na figura.
C
2m
D
F
E
a) Recorrendo
ao
Método
de
Equilíbrio dos Nós e considerando
α=30°°, determine o esforço axial
nas barras DI, DJ e IJ.
3m
15kN
b) Utilizando o Método de Ritter e
considerando α=30°°, determine o
esforço axial na barra GJ.
G
3m
c) Utilizando o Método de Ritter,
determine qual o ângulo α que
provoca um esforço de compressão
de 10 kN na barra IJ.
30kN
H
J
I
10 kN
25kN
2m
4m
5- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
Tenha em atenção o seguinte:
• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.
• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa
alínea para resolver outra.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BF e BG.
b) Utilizando o Método de Ritter, determine o esforço axial na barra AC.
c) Utilizando o Método de Ritter, determine a grandeza e sentido da força vertical a aplicar no nó D para
que o esforço axial a actuar na barra CD seja um esforço de compressão de 35 kN.
2.5 m
2.5 m
// A
25 kN
3.0 m
1.0
B
A
C
2.0 m
45°
C
3.0 m
10 kN
20 kN
E
D
G
F
1.5 m
40kN
I
H
30kN
dir.
versão 0
3/4
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 8
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
6- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
A força de 50 kN aplicada no nó F tem a direcção da barra DG.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BE e CE.
b) Calcule o esforço axial na barra DE pelo Método de Ritter.
G
2m
30 kN
50 kN
E
D
F
3m
B
C
20 kN
2m
A
5m
2m
7- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
a) Sem calcular previamente as reacções e recorrendo ao Método de Ritter, determine o esforço axial na
barra BE.
b) Utilizando o Método de Ritter determine o esforço axial na barra AD.
c) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós determine o esforço axial na barra DF.
F
A
H
C
10kN
1m
G
D
B
7kN
2m
5kN
E
8kN
3m
versão 0
4m
4/4
2m
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 9
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
1- Considere a viga com o carregamento indicado na figura.
(Reacções: VA = 20,652 kN ↑
HF = 68,051 kN →
VF = 13,006 kN ↓ )
a) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de x1.
b) Desenhe os diagramas de esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos,
mínimos e zeros dos diagramas).
c) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de x2.
d) Com as expressões determinadas na alínea anterior, confirme o traçado dos diagramas de esforços (N, V
e M) anteriormente desenhados.
e) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de um referencial local de cada tramo.
Nos tramos AB, BC e CD considere x da esquerda para a direita (→); nos tramos DE e EF considere x da
direita para a esquerda (←).
Confirme o traçado dos diagramas de esforços anteriormente desenhados.
60 kN
30 kN
50 kN
60º
8 kNm
A
B
45º
40º
D
C
F
E
x1
x2
0.8 m
0.9 m
0.8 m
0.95 m
0.55 m
2- Considere as estruturas abaixo representadas.
Determine as expressões analíticas dos esforços esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas.
a) Reacções:
HB = 11,0525 kN →
VB = 65,8589 kN ↑
VC = 74,3859 kN ↑
20 kN
50º
9 kNm
6 kNm
70º
A
D
B
C
3.5 m
1.4 m
18 kN/m
b) Reacções:
HA = 5,5 kN →
C
A
B
MA = 6,4575 kNm
60º
10 kN/m
2.4 m
versão 0
10 kN
65º
1.1 m
VA = 12,0737 kN ↑
30 kN
25 kN/m
1/2
1.1
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 9
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
7 kN
30º
D
c) Reacções:
HA = 12,262 kN →
VA = 3,50 kN ↑
2.2 m
4 kN/m
MA = 11,581 kNm
C
0.5
15 kN
20 kNm B
0.5
A
m
N/
5k
d) Reacções:
HB = 9,5 kN →
7 kN
E
10 kN
D
VB = 17,45625 kN ↑
15 kN/m
VD = 28,54375 kN ↑
3.0 m
6 kN/m
C
B
16 kN
A
0.8
2.0 m
B
1.2 m
5 kNm
C
8 kN/m
VA = 14,949 kN ↑
RD = 45,819 kN 1.2 m
12 kN
A
e) Reacções:
HA = 13,731 kN ←
2.0 m
D
2.2 m
RE = 22,116 kN E
7 kN
F
4 kNm
1.2 m
versão 0
1.2 m
2/2
1.9 m
1.5 m
1.0 m
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 10
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
1- Considere a estrutura abaixo representada.
Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas,
caracterizando todos os pontos notáveis.
VA = 9 kN ↑
MA = 23,94 kNm
Reacções: HA = 10,4 kN →
2 kN
E
0.8 m
B
C
8 kN/m
4 kN
2.4 m
2 kN/m
1.1 m
D
3 kN
A
0.9 m
N (kN)
versão 1
V (kN)
M (kNm)
1/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 10
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
2- Considere a estrutura representada.
Determine as expressões analíticas dos
esforços (N, V e M). Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando
todos os pontos notáveis.
Reacções:
HF = 19 kN ←
1.5 m
1.2 m
25 kN/m
5 kN
6 kN
8 kN
I
J
K
10 kN
1.5 m
15 kN/m
VF = 58 kN ↑
40 kNm
MF = 58,9 kNm
F
H
1.2 m
10 kN
2.0 m
A
18 kN
30 kN
0.8 m
B
20 kN
G
D
C
1.1 m
2.4 m
0.5
E
5 kN
0.8
N (kN
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
versão 1
2/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
V (kN)
M (kNm)
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
versão 1
3/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 10
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
3- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.
Reacções:
 HA = 8,9032 kN →
A
 VA = 21,1225 kN ↑
1.25 m
2.0 m
20 kNm
 HD = 11,9032 kN ←
D
 VD = 31,0892 kN ↑
VK = 17,7882 kN ↑
D
E
G
12 kN
0.5 m
F
25 kN/m
2.2 m
5 kN/m
20 kN
C
J
I
1.0 m
35 kN
H
18 kNm
B
10 kN
1.0 m
A
K
2.5 m
1.6 m
2.4 m
1.0 m
N (kN)
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
versão 1
4/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
V (kN)
M (kNm)
Esc: 1 cm
versão 1
5/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 10
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
4- Determine as expressões analíticas dos
esforços (N, V e M) da estrutura
representada. Desenhe os respectivos
diagramas, caracterizando todos os
pontos notáveis.
Reacções:
35 kN/m
 HA = 22,0245 kN ←
A
 VA = 13,1985 kN ↑
20kN
18kN
3kN
0.7 m
0.8 m
 HI = 18,9411 kN →
I 
 VI = 54,8015 kN ↑
12kNm
N/m
15 k
3.4 m
30kN
1.2 m
0.8
0.6
0.8
1.6 m
N (kN)
versão 1
6/9
Isabel Alvim Teles
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ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
V (kN)
M (kNm)
versão 1
7/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
5- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.
 HA = 9,7303 kN ←
Reacções: A 
 VA = 24,6727 kN ↑
 HG = 31,7303 kN →
G
 VG = 4,3273 kN ↑
15kN
10kN
0.6 m
1.5 m
14kN
28kN
8kNm
1.5 m
40 kN/m
0.8
0.6
0.9
4.0 m
N (kN)
versão 1
8/9
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
V (kN)
M (kNm)
versão 1
9/9
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ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 11
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
1- Para as secções transversais representadas, calcule as coordenadas do centro de gravidade referidas ao
respectivo sistema de eixos. Represente o centro de gravidade na figura.
Y
15
25 cm
10
Y
15 cm
15 cm
45 cm
,5
35 cm
R
=
12
12.5
30 cm
X
42.5
30 cm
X
Figura 1
Figura 2
2.7 cm
15 mm
R
30 mm
10 mm
=
3.4 cm
5c
m
23 mm
R
X
=2
0m
20 mm
m
Y 7 mm
9 mm
15 mm
15 mm
10
Z
Y
Figura 3
versão 0
5
Figura 4
1/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 11
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
4 cm
3 cm
2 cm
13 cm
Y
12 cm
2 cm
R= 2cm
R=
m
12c
Y
12 cm
2 cm
13 cm
12 cm
12 cm
13 cm
3 cm
Z
Figura 5
Z
Figura 6
2- Considere as secções transversais constituídas por perfis metálicos. Calcule as coordenadas do centro de
gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).
Represente o centro de gravidade na figura.
L200x200x20
HEB 200
100
Y
100
Z
Figura 1
Figura 2
Y
UPN 240
UPN 160
18 cm
X
UPN 160
Figura 3
versão 0
Figura 4
2/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 11
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
3- Considere as secções transversais representadas nas figuras. Calcule as coordenadas do centro de
gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).
Represente o centro de gravidade na figura.
PESOS VOLÚMICOS DOS MATERIAIS
AÇO
77 kN/m
BETÃO
3
25 kN/m
MADEIRA
3
6 kN/m
MÁRMORE
3
30 kN/m
3
CORTIÇA
3 kN/m3
betão
5
mármore
5
25 cm
6
0.18 m
8
18
4
Y
betão
0.18 m
perfil tubular
Ø 219,1 esp.8
madeira
0.15
0.20 m
0.10
Z
Figura 1
12 cm
9
Figura 2
9
12 cm
madeira
9 cm
7 cm
cortiça
betão
12 cm
9 cm
R m
9c
cortiça
9 cm
9 cm
9 cm
12 cm
perfil tubular
Ø 355,6 esp.10
betão
Figura 3
versão 0
Figura 4
3/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 12
1- Considere as secções transversais representadas.
a) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos representados.
b) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos
representados.
c) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pela
origem do sistema de eixos representado (momento de inércia polar IO).
d) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e com origem no
centro de gravidade (momento de inércia polar ICG).
e) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos representados.
f) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos
representados.
g) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos representados.
h) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados.
i) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com a mesma
origem do representado mas rodado de 30⁰ no sentido horário.
j) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com origem no
CG e rodado de 25⁰ no sentido anti-horário.
Y
15
25 cm
10
Y
15 cm
45 cm
15 cm
,5
35 cm
12
12.5
R
=
30 cm
X
42.5
30 cm
X
Figura 1
versão 0
Figura 2
1/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 12
2.7 cm
15 mm
30 mm
10 mm
R
=
3.4 cm
5c
m
23 mm
R
=
X
20
20 mm
m
m
Y 7 mm
9 mm
15 mm
5
15 mm
10
Z
Y
Figura 3
Figura 4
4 cm
3 cm
2 cm
13 cm
Y
2 cm
R= 2cm
12 cm
R=
m
12c
Y
2 cm
12 cm
13 cm
3 cm
12 cm
12 cm
13 cm
Z
Figura 5
Z
Figura 6
versão 0
2/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 12
L200x200x20
HEB 200
100
X
Y
100
Z
Y
Figura 7
Figura 8
Y
UPN 240
UPN 160
9 cm
8
Y
X
9 cm
UPN 160
Z
Figura 9
Figura 10
d
2- Considere a secção transversal representada, constituída
por duas cantoneiras L 200x100x10.
a) Determine a que distância d deverão ser colocadas as
duas cantoneiras para que o momento de inércia da
secção em relação ao eixo Z seja igual ao momento de
inércia em relação ao eixo Y ( IY = IZ).
G
Y
Z
150 mm
e
3- Determine a espessura e das chapas com que
deverá ser reforçado o perfil IPE 220 para que
apresente o mesmo momento de inércia que
o perfil HEB 220 em relação ao eixo
baricentro ΔG.
∆G
∆G
e
150 mm
versão 0
3/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 13
1- Considere as secções transversais representadas.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia
(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.
Y
15
25 cm
10
Y
15 cm
15 cm
45 cm
,5
35 cm
12
12.5
R
=
30 cm
X
42.5
30 cm
X
Figura 1
Figura 2
2.7 cm
15 mm
30 mm
10 mm
R
=
3.4 cm
5c
m
23 mm
R
X
=
20
20 mm
m
m
Y 7 mm
9 mm
15 mm
5
15 mm
10
Z
Y
Figura 3
versão 0
Figura 4
1/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
ESTÁTICA (2012/2013)
4 cm
FICHA 13
3 cm
2 cm
13 cm
2 cm
R= 2cm
Y
12 cm
R=
m
12c
Y
2 cm
12 cm
13 cm
3 cm
12 cm
12 cm
13 cm
Z
Z
Figura 5
Figura 6
2- Considere a secção transversal representada, constituída por dois perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é máximo. Determine o
valor desse Momento de Inércia máximo.
L200x200x20
HEB 200
100
Y
100
Z
versão 0
2/3
Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA DE MASSAS
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
ESTÁTICA (2012/2013)
FICHA 13
3- Considere as secções transversais representadas, constituídas por perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia
(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.
c) Determine o Momento de Inércia em relação ao eixo Δ representado na figura.
Y
UPN 240 ∆
UPN 160
9 cm
8
Y
X
9 cm
70°
UPN 160
∆
Z
Figura 1
Figura 2
4- Considere a secção transversal representada, constituída por perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é mínimo. Determine o
valor desse Momento de Inércia mínimo.
X
Y
versão 0
3/3
Isabel Alvim Teles