Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades discretas Rafael Beserra Gomes Universidade Federal do Rio Grande do Norte Material compilado em 21 de setembro de 2014. Licença desta apresentação: http://creativecommons.org/licenses/ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Distribuições de probabilidades Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Distribuições de probabilidades Variáveis aleatórias Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Variáveis aleatórias Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. I Variável aleatória discreta: número finito de resultados possíveis I Variável aleatória contínua: número infinito de resultados possíveis Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Exemplos (variável aleatória discreta ou contínua?): Número de dias de chuva na próxima semana Volume de chuva em mL dos últimos 10 dias Lançamento de um dado de seis lados Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Distribuições de probabilidade discreta Lista os valores possíveis e suas respectivas probabilidades de uma variável aleatória discreta, tal que: I I 0 ≤ P(x) ≤ 1 X P(x) = 1 Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Exemplo: Considere que a ocorrência de chuva em um dia independe da ocorrência de chuva em outro dia. A probabilidade de chover em cada um dos próximos 3 dias é de 40% A distribuição de probabilidade discreta pode ser visualizada no seguinte histograma de frequência relativa: Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Exercício 1 A seguinte distribuição é uma distribuição de probabilidade? x P(x) 5 0.28 6 0.21 7 0.43 8 0.15 Exercício 2 Seja x uma variável aleatória discreta que representa a soma de dois dados de seis lados. Crie um gráfico de distribuição de probabilidade. Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão Distribuições de probabilidades Média, variância e desvio padrão Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade discreta Média, variância e desvio padrão A média de uma variável aleatória é dada por: X µ= xP(x) I também chamado valor esperado, expectância ou esperança A variância de uma variável aleatória é dada por: X σ2 = [(x − µ)2 P(x)] O desvio padrão de uma variável aleatória é dada por: √ σ = σ2 Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Distribuições binomiais Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Experimentos binomiais Em um experimento binomial: I 1. O experimento é repetido por um número n de tentativas independentes I 2. Cada resultado é classificado como sucesso (S) ou fracasso (F) I 3. A probabilidade de sucesso P(S) é a mesma qualquer que seja a tentativa, assim como a de fracasso P(F ). Notação: p = P(S) e q = P(F ). I 4. A variável aleatória x (x = 0, 1, 2, ..., n) contabiliza o número de tentativas com sucesso Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Exercício 3 Seja o seguinte experimento: dada uma caixa contendo 10 bolas, das quais 4 são pretas e 6 são brancas. Após a retirada de 3 bolas da caixa, x é uma variável aleatória discreta representando o número de bolas brancas retiradas da caixa. Exercício 4 Seja o seguinte experimento: dada uma questão de marcar com 5 alternativas, o aluno tem 20% de chances de acertar uma questão pelo método de chute. A variável aleatória x representa o número de questões que o aluno acertou em um universo de 3 questões. Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Distribuições binomiais Cálculo das probabilidades binomiais Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Seja o problema do exercício 4, façamos a análise do diagrama de árvores para determinar a probabilidade de o aluno acertar exatamente duas questões: 1 SSS 15 51 15 = 125 114 4 SSF 5 5 5 = 125 4 141 SFS 5 5 5 = 125 144 16 SFF 5 5 5 = 125 4 FSS 45 51 15 = 125 414 16 FSF 5 5 5 = 125 16 FFS 45 54 15 = 125 444 64 FFF 5 5 5 = 125 Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Probabilidade binomial A probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas é: P(x) = Cxn px q n−x = n! px q n−x (n − x)!x! Relembrando I I I Arranjo com r elementos (com repetição): nr n! (n − r )! Combinação (a ordem não importa) sem repetir elementos: Cxn Arranjo de n elementos tomados r a r: Anr = Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Cálculo das probabilidades binomiais Média: µ = np Variância: σ 2 = npq Desvio padrão: σ= Rafael Beserra Gomes √ npq TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Distribuição geométrica Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Distribuição geométrica Distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória x que satisfaça as seguintes condições: I 1. Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra I 2. As tentativas repetidas são independentes uma das outras I 3. A probabilidade de sucesso p é constante para cada tentativa Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na tentativa número x é: P(x) = pq x−1 Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson I O experimento consiste em calcular o número de vezes, x, que um evento ocorre em um dado intervalo (tempo, área, volume) I A probabilidade de o evento ocorrer é a mesma para cada intervalo I O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Distribuições de probabilidades Distribuições binomiais Distribuição geométrica Distribuição de Poisson A probabilidade de exatas x ocorrências em um intervalo é: P(x) = µx e−µ x! , onde: µ é a média de ocorrências do evento no mesmo intervalo. Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada
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