Capítulo 22: Campos Elétricos
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Campos Elétricos
• Campo Elétrico: é um campo vetorial, constituído por uma distribuição de vetores, um para
cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado.
Suponha uma carga de prova q0 colocada no ponto P próximo ao objeto carregado. Medimos a
força eletrostática que age sobre q0 e definimos o campo elétrico ~E como:
~
~E = F .
q0
• O módulo de ~E no ponto P é E = F/q0 .
• Sua orientação é o da força ~
F que age sobre a carga de prova.
• Unidade de ~E no S.I.: N/C
Alguns dados de Campos Elétricos:
– Átomos de H a uma distância de 5.29 × 1011 m do núcleo = 5 × 1011 N/C
– Ruptura dielétrica do ar = 3 × 106 N/C
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Linhas de Campo Elétrico
Michael Faraday introduziu a ideia de campos elétricos no século XIX.
Usa-se a ideia de linhas de campo elétrico como uma maneira de visualizar esses campos.
Relação entre linhas de campo e vetores de campo elétrico:
• A orientação do vetor campo elétrico em um ponto é a orientação da linha de campo se esta for
retilínea, ou tangente ao ponto, se a linha for não retilínea.
• As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por unidade de área,
medido em um plano perpendicular às linhas, é proporcional ao módulo de ~E.
• Linhas de campo se afastam de cargas positivas e se aproximam de cargas negativas.
Exemplo: Esfera com distribução homogênea de cargas negativas.
1
Placa Infinita não-condutora:
A carga de prova é submetida a uma força perpendicular à placa. As demais forças se cancelam por simetria.
• Carga homogeneamente distribuída: todos os vetores de campo elétrico têm o mesmo módulo
(campo elétrico uniforme).
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Campo Elétrico Produzido por uma Carga Pontual
Vamos deterinar o campo elétrico produzido a uma distância r de uma carga pontual q. Para isso,
colocaremos uma carga de prova q0 nesse ponto.
A força eletrostática que age sobre q0 é:
~F =
1 qq0
r̂
4πεo r2
Então:
2
Campo elétrico gerado por uma carga pontual
~F
1 q
~
E=
=
r̂
q0 4πεo r2
(1)
O cálculo acima é válida para qualquer ponto no espaço.
Como calcular ~
E total produzido por duas ou mais cargas pontuais?
Sabemos que ao colocar uma carga de prova q0 nas proximidades ne n cargas pontuais q1 , q2 , ...,
~o total a que q0 é submetida é:
qn , a força F
~o = F~01 + F~02 + ... + F~0n
F
Assim,
~o F~01 F~02
F
F~0n
~
E=
=
+
+ ... +
q0
q0
q0
q0
~ i é o campo elétrico criado somente por qi .
E
Exemplo(22-1): Determine o campo elétrico total ~E produzido na origem pelas três partículas.
q1 = +2Q
q2 = −2Q
q3 = −4Q
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Campo Elétrico Produzido por Dipolo Elétrico
Vamos calcular o campo elétrico produzido pelo dipolo elétrico no ponto O, que está a uma distância
z do centro do dipolo.
3
E = E(+) − E(−)
1 q
1 q
E =
−
2
2
4πεo r(+) 4πεo r(−)
q
q
E =
−
1 2
4πεo (z − 2 d)
4πεo (z + 21 d)2
q
1
1
E =
−
4πεo (z − d/2)2 (z + d/2)2
1
1
q
−
E =
4πεo z2 (1 − d/2z)2 z2 (1 + d/2z)2
q
1
1
E =
−
4πεo z2 (1 − d/2z)2 (1 + d/2z)2
q
2d/z
E =
2
4πεo z [1 − (d/2z)2 ]2
q
d
E =
2πεo z3 [1 − (d/2z)2 ]2
(2)
Se estivermos interessados em efeitos do dipolo em distâncias muito grandes (z >> d):
Se z >> d
⇒
E=
d/2z << 1
1 qd
2πεo z3
O momento dipolar elétrico é definido como p = qd, então
E=
5
1 p
2πεo z3
Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Cargas
• Calcularemos o campo elétrico gerado por distribuições de cargas contínuas
• Expressaremos a carga de um objeto em termos de densidade de cargas:
– Em uma linha: densidade linear de carga (λ) em C/m.
Considere um anel não-condutor, delgado, de raiz R com uma densidade linear de cargas λ.
Qual é o campo elétrico no ponto P, sobre o eixo central, a uma distância z do plano do anel?
4
– Vamos dividir o anel em elementos de carga infinitesimal para que se comportem como cargas pontuais
– Em um comprimento ds o elemento de carga é:
dq = λds
– Este elemento de carga produzirá um campo dE no
ponto P
dE =
1 λds
1 dq
=
2
4πεo r
4πεo r2
ou
dE =
1
λds
2
4πεo (z + R2 )1/2
Vamos calcular apenas a componente de dE cos θ
cos θ =
z
z
= 2
r (z + R2 )1/2
Assim,
dE cos θ =
Para somar todas as componentes paralelas dE cos θ:
integrar ao longo da circunferência de s = 0 a s = 2πR
E=
Z
dE cos θ
zλ
E=
2
4πεo (z + R2 )3/2
E=
Lembrando que λ =
(3)
E=
zλ
ds
4πεo (z2 + R2 )1/2
Z 2πR
ds
0
zλ(2πR)
4πεo (z2 + R2 )3/2
q
carga
=
comprimento 2πR
qz
4πεo
anel carregado
(z2 + R2 )3/2
• Se a carga do anel for negativa, ~E será na direção do anel
• Supondo z >> R: fazemos z2 + R2 ≃ z2
E=
(4)
E=
qz
dz
=
4πεo (z2 )3/2 4πεo z3
anel carregado a grandes distâncias
1 q
4πεo z2
• A grandes distâncias(z >> R) o anel parecerá uma carga pontual
• No centro do anel, z = 0:
E=
q✁z
(z2 + R2 )3/2
4πεo ✁
5
⇒
E=0
Exemplo(22-3): Considere uma barra de plástico com uma carga −Q uniformemente distribuida,
conforme figura abaixo
Em termos de Q e r, qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto P?
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Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado
Sejaum disco circular de plástico, de raio R, com uma distribuição uniforme de cargas positivas σ na
superfície superior.
Qual o valor do campo
elétrico no ponto P, situado no eixo central a uma
distância z do disco?
• O disco será dividido em anéis concêntricos elementares de raio r e largura dr
σ=
dq
carga
=
area
dA
⇒
dA = 2πrdr
dq = σ(2πrdr)
6
dq = σdA
O problema do campo ~E produzido por um anel já foi resolvido:
qz
E=
2
4πεo (z + R2 )3/2
Substituindo q por dq e R por r
dE =
zσ2zπrdr
dqz
=
2
2
3/2
4πεo (z + r )
4πεo (z2 + r2 )3/2
reescrevendo:
σz
2rdr
2
4εo (z + r2 )3/2
Integrando sobre toda superfície de r = 0 a r = R
E=
σz
E=
4εo
Chamando x =
(z2 + r2 ),
E =
E =
E =
E =
E =
σz
4εo
Z
σz x−1/2 R
x
dx =
4εo −1/2 0
#R
"
σz (z2 + r2 )−1/2
4εo
−1/2
0
#
"
2
2
−1/2
σz (z + R )
(z2 )−1/2
−
4εo
−1/2
−1/2
2
σz
2
−√
=
+
4εo
z2 + R2 z
σz 1
1
−√
2εo z
z2 + R2
z
σz
1− √
disco carregado
2εo
z2 + R2
Fazendo R → ∞ e mantendo z finito
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0
(z2 + r2 )−3/2 (2r)dr
m = −3/2, dx = 2rdr
E =
(5)
Z R
E=
−3/2
σ
2εo
placa infinita
Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado
O que acontece com uma partícula carregada quando está na presença de um campo elétrico produzido por cargas estacionárias?
A partícula é submetida a uma força eletrostática: ~F = q~E,
q →carga da partćula
~E → campo produzido por outras cargas(campo externo)
a) Qual a orientação da força eletrostática
agindo sobre o elétron?
b) Se o elétron estava se movendo para a
direita, paralelamente ao eixo, antes do
campo ser aplicado, sua velocidade aumenta, diminui ou permanece constante?
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Exemplo(22-4: Uma partícula com carga negativa de valor absoluto Q = 1.5 × 10−13 C e massa
m = 1.3 × 10−10 kg adentra a região mostrada na figura
Vox = 18m/s
L = 1.6cm
E = 1.4 × 106 N/C
Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a
região entre as placas?
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