8.07 Outono de 2001 – Prova Escrita 1
Uma hora e meia. Sem consulta – Formulário permitido.
Problema 1. (30 pontos) Três exercícios:
(i) (10 pontos) Um anel centrado em torno do eixo-z e paralelo ao plano-xy possui uma
carga Q uniformemente distribuída. Qualquer ponto sobre o anel está a uma distância r0
da origem e qualquer linha ligando a origem com o anel faz um ângulo θ 0 com o eixo-z.
()
Expresse a densidade de carga ρ x usando as funções delta em coordenadas esféricas.
(ii) (10 pontos) Usando a notação indexial, obtenha a fórmula para ∇ × (ψF ) , onde ψ é
uma função escalar e F é uma função vetorial. Apresente a sua resposta sem a notação
indexial.
(iii) (10 pontos) Seja Tij um pseudotensor de posto 2 (com relação a rotações). Que tipo
de objeto representa δ ijTij . Prove a sua afirmação.
Problema 2. (20 pontos) Termo principal de um potencial.
Encontre o termo principal de um potencial V (r ,θ ) , distante da configuração de carga,
consistindo de quatro cargas (q,− q,− q,+ q ) sobre o eixo-z e localizadas em z = +3a ,
+ a,−a,−3a , respectivamente.
Problema 3. (25 pontos) Esfera supercondutora na presença de um campo magnético
constante.
(i) (5 pontos) Considere o momento de dipolo magnético de módulo m colocado na
origem e cuja direção está alinhada ao eixo-z positivo. Forneça a expressão para a
indução magnética B usando coordenadas esféricas. (esqueça a parte da função delta!!!)
(ii) (5 pontos) Expresse o campo magnético constante B0 = B0 zˆ , usando coordenadas
esféricas.
Uma esfera supercondutora de raio a está imersa em um campo magnético externo
uniforme com B0 = B0 zˆ . No interior do supercondutor a indução magnética deve ser
nula. Gostaríamos de encontrar o campo de indução magnética B na parte externa da
esfera. Na realidade, você mostrará que o campo magnético do lado externo da esfera
pode ser representado como a soma de um campo de um dipolo magnético centrado na
origem com um campo externo B0 .
(iii) (10 pontos) Considere as condições de contorno relevantes e determine o momento
magnético do requerido dipolo. Forneça a expressão do campo magnético externo B.
(iv) (5 pontos) Calcule a densidade superficial de corrente K sobre a superfície da esfera.
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Problema 4. (25 pontos) Imagens para um dipolo externo à uma esfera condutora.
Considere uma esfera condutora de raio a centrada na origem e aterrada. Do lado externo
à esfera, sobre o eixo y e com coordenada y, existe um dipolo elétrico pontual e ideal, de
momento de dipolo p, que aponta na direção positiva de y. Encontre o conjunto de
imagens que devem ser postas no interior da esfera, de forma a resolver em toda a parte o
problema do potencial. Forneça as posições, direções, etc. e escreva todos os valores em
termos de p, a e y.
Dica: Um dipolo pontual e ideal, de momento de dipolo p, pode ser modelado como um
par de cargas + q e − q separados por uma distância d, com p = qd no limite, quando a
separação d tende a zero e a carga q tende a infinito, mantendo o produto constante. Use
este modelo para o dipolo externo à esfera, calculando as imagens, tomando os limites
para a interpretação.
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