Fenômenos de Transporte
Equações Básicas na Forma
Integral - I
Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio
Objetivos
• Entender a utilidade do teorema de Transporte
de Reynolds.
• Aplicar a equação de conservação da massa
para balancear as vazões de entrada e saída de
um sistema fluido.
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Introdução
• Até o momento trabalhamos com SISTEMAS FECHADOS.
• Dinâmica dos fluidos trabalha com VOLUMES DE
CONTROLE na maior parte do tempo.
• O Teorema de Transporte de Reynolds oferece a ligação
entre a abordagem por SISTEMAS e a abordagem por
volume de controle.
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Teorema de Transporte de
Reynolds (TTR)
• Considere uma propriedade extensiva N relativa
a um sistema.
• E a propriedade intensiva correspondente n
definida como:
N
η=
m
Onde:
• N = Propriedade extensiva
• η = Propriedade intensiva
• M = massa
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Teorema de Transporte de
Reynolds (TTR)
• Seja um volume de controle
indeformável que constitui a região
II.
• A região I é definida de tal forma que
sua massa (carregando a
propriedade N) entra no V.C. no
intervalo de tempo ∆t.
• A região III constitui a massa que sai do V.C. (carregando a
propriedade N) no mesmo intervalo de tempo.
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Teorema de Transporte de
Reynolds (TTR)
• O Teorema de Transporte de Reynolds afirma
que:
– A taxa de variação com o tempo da quantidade total
de N é igual às variações instantâneas de N no
interior do volume de controle, somadas à integral
(em toda a superfície de controle) da taxa na qual N
está sendo transportada através da superfície de e
para a vizinhança.
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Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo
r r
dN 
∂
=
ηρ d∀ + ∫ ηρV ⋅dA

∫
dt  sistema ∂t VC
SC
(Eq. 1)
Onde:
• N = propriedade extensiva
• η = propriedade intensiva
• ∀ = volume
• ρ = massa específica
• V = velocidade
• A = área
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Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo
r r
dN 
∂
=
ηρ d∀ + ∫ ηρV ⋅dA

∫
dt  sistema ∂t VC
SC
(Eq. 1)
Taxa de variação da
propriedade extensiva N do
sistema
Taxa de variação da
propriedade extensiva N
dentro do volume de controle
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Taxa líquida de fluxo da
propriedade extensiva N
através da superfície de
controle
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Discussão I
O teorema de Transporte de Reynolds
pode nos ajudar a determinar a mudança
de massa dentro de um volume de
controle?
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Conservação da Massa
• Considerando:
– N = m (massa)
– η = 1 (massa dividida por massa)
– Conservação da massa em um sistema
dN 
=0

dt  sistema
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Conservação da Massa
• Aplicando o Teorema de Transporte de
Reynolds, teremos:
r r
∂
ρ d∀ = − ∫ ρV ⋅dA
∫
∂t VC
SC
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Conservação da Massa
• Aplicando o Teorema de Transporte de
Reynolds, teremos:
r r
∂
ρ d∀ = − ∫ ρV ⋅dA
∫
∂t VC
SC
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Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Fluido Incompressível
ρ = constante
r r
∂∀
= − ∫ V ⋅dA
∂t
SC
r r
∂
d∀ = − ∫ V ⋅dA
∫
∂t VC
SC
• Se o volume de controle for fixo e indeformável
r r
∫ V ⋅dA = 0
SC
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Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Fluido Incompressível
ρ = constante
r r
∂∀
= − ∫ V ⋅dA
∂t
SC
r r
∂
d∀ = − ∫ V ⋅dA
∫
∂t VC
SC
Vazão em Volume
• Se o volume de controle for fixo e indeformável
r r
∫ V ⋅dA = 0
SC
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Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Velocidade média
Q
V =
A
V =
r r
∫ V ⋅dA
SC
A
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Conservação da Massa
Fluido Compressível – Regime Permanente
• Nenhuma propriedade do fluido varia com o
r r
tempo.
ρ
⋅
V
⋅
d
A
=
0
∫
SC
• Caso o escoamento seja uniforme numa
r r
r r
seção...
∫ ρ ⋅V ⋅ dA = ρ ⋅V ⋅ A
SC
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Exemplo 1
Determinação da velocidade média
• Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de
velocidades a seguir.
• Supor que não haja variação da velocidade segundo a direção
normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).
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Exemplo 2
Escoamento em Regime Permanente Compressível
• Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da
figura.
• Na seção (1), tem-se A1 = 20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e V1 = 30 m/s.
• Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³.
• Qual é a velocidade na seção (2)?
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Exemplo 3
Escoamento em Regime Permanente Incompressível
• O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na
figura.
• Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área 5
cm², se na seção de entrada de área 20 cm², a veloc idade é 2 m/s.
• O fluido é incompressível.
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Exemplo 4
Fluxo de massa em uma junção de tubos
• Considere o escoamento permanente de água em uma junção de
tubos, conforme mostrado no diagrama.
• As áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 = 0,2 m² e A3 = 0,15 m².
• O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício em
(4), com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m³/s.
• As velocidades médias nas seções (1) e (3) são V1 = 5 m/s e V3 =
12 m/s, respectivamente.
• Determine a velocidade do escoamento na seção (2).
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Exemplo 4
Fluxo de massa em uma junção de tubos
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Referências
•
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
•
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e
Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
•
FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed.
Rio de Janeiro: Ed. Guanabara, 1988.
•
POTTER, M.C.;SCOTT, E. P. Ciências Térmicas: Termodinâmica,
mecânica dos fluidos e transmissão de calor. São Paulo:Thomson
Learning, 2007.
•
STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 1982.
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