2. A lei de Gauss
2.1 Introdução
A lei de Coulomb afirma que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme na
posição r1 é
q r − r1
E (r ) =
(2.1.1)
4πε 0 r − r1 3
Esta lei vale apenas para cargas estáticas. Uma vez que permitirmos que as cargas se
movam temos que fazer alterações nesta lei. Pode-se desmembrar a lei de Coulomb em
duas leis. Uma é a lei de Gauss e a outra afirma que o campo elétrico pode ser escrito
como gradiente de uma função escalar. Esta segunda lei sofrerá alterações quando as
cargas terão movimento. Mas, a lei de Gauss já constitui uma das verdades que ficarão
válidas até o fim deste curso e provavelmente até o fim do universo.
Além de ser uma lei fundamental a lei de Gauss tem um valor prático inestimável. Ela
ajuda tremendamente na solução de problemas práticos, especialmente quando estes
problemas possuem simetria. Na última aula tivemos a oportunidade de ver que o
cálculo do campo de uma dada distribuição de carga pode ser uma tarefa árdua. Muitas
vezes pode-se substituir uma integração desagradável por um lindo argumento de
simetria que junto com a lei de Gauss fornece o campo elétrico.
A formulação da lei de Gauss usa noções matemáticas do curso de cálculo vetorial. É de
grande ajuda entender estes conceitos intuitivamente. A melhor forma de visualizar
estas ferramentas matemáticas é com fluxos ou escoamentos de alguma substância. Por
esta razão gastaremos um tempo de discutir escoamentos. Esta discussão terá
futuramente também aplicações diretas quando tratarmos de correntes elétricas.
2.2 Densidade de Corrente, integrais de fluxo e o teorema de Gauss
A densidade de corrente é uma ferramenta para descrever o escoamento de massa, de
energia térmica, carga elétrica e outras grandezas extensivas. Utilizaremos o exemplo
do escoamento de massa para introduzir esta noção de forma intuitiva. Podemos, por
exemplo, imaginar água fluindo numa cachoeira. Queremos uma grandeza adequada
para descrever quanta água flui e para onde ela flui.
Imagine um instrumento de medida que tenha a forma de um anel preso na ponta de
uma vara de tal forma que o anel possa ser facilmente introduzido no fluxo da água. A
figura 2.1 mostra este medidor inserido no fluxo de uma suposta cachoeira. Vamos
imaginar que este anel esteja equipado na sua face interior
com sensores que permitam avaliar quanta massa de água
passa pelo anel por segundo. No momento não importa como
estes sensores poderiam funcionar. Chamaremos a grandeza
medida por este instrumento de corrente (ou também de fluxo)
e vamos escrevê-la com o símbolo I , o mesmo símbolo
frequentemente usado para corrente elétrica. Mais
precisamente, deveríamos falar de corrente de massa e
correspondentemente escrever I m . Os valores desta grandeza
podem ser escritos como múltiplos da unidade kg/s.
Analogamente podemos definir corrente de calor I Q (com
Fig. 2.1 Medidor de
corrente inserido numa
cachoeira.
1
unidade J/s=W) ou corrente de carga elétrica I El (com unidade C/s=A).
Há um detalhe importante que
precisa ser mencionado: os
sensores devem ser capazes de
sensores
distinguir em qual sentido a água
passa. Então o medidor é
assimétrico. A figura 2.2 indica
esta assimetria. Simbolicamente
vara
seta indicadora
desenhamos os sensores de forma
assimétrica. No lado de fora do
anel existe uma seta que indica
para o usuário do instrumento com
qual orientação ele inseriu o anel
contribuição negativa
na cachoeira. Água que passa na
direção da seta indicadora é
Fig. 2.2 Assimetria do medidor de corrente
contabilizada pelos sensores como
contribuição positiva, enquanto água que atravessa o anel no sentido contrário seria
contada como uma contribuição negativa. Correspondentemente podemos ter correntes
de massa positivas e negativas mesmo que a massa não possa ser negativa.
contribuição positiva
A noção de corrente é útil e importante, mas ela tem um defeito. Queremos descrever
como a água da cachoeira flui. Mas a corrente não depende somente da cachoeira, mas
também do medidor. Se usássemos um medidor com o dobro da área do anel
mediríamos valores de corrente duas vezes maiores. Então a grandeza corrente possui
uma natureza dupla: ela contém um aspecto objetivo que depende somente da cachoeira
e um aspecto subjetivo correspondente à nossa escolha de medidor. Gostaríamos de
definir uma grandeza puramente objetiva que descreve como a água escoa. Se usarmos a
noção de corrente como ponto de partida, devemos abstrair os aspectos subjetivos desta
noção.
Conhecemos este tipo de processo de abstração com a noção de densidade de massa.
Tudo mundo conhece a pegadinha que se costuma aplicar em crianças: “o que é mais
pesado: um kg de chumbo ou um kg de algodão?” O que leva a criança a uma resposta
errada é a falta de diferenciação entre densidade e massa. A densidade é uma noção
associada aos materiais enquanto a massa é associada aos corpos. Para poder passar da
noção de massa para a noção de
densidade temos que abstrair o
aspecto do tamanho do corpo.
Isto é feito dividindo a massa do
corpo pelo volume do mesmo.
Fig. 2.3 O mesmo medidor pode
indicar valores diferentes dependendo
da orientação do medidor.
Poderíamos tentar a mesma
coisa com a grandeza corrente.
Para livrar esta noção do
aspecto subjetivo do tamanho
a)
b)
do medidor poderíamos dividir
a corrente pela área do medidor e com isto definir uma nova grandeza: densidade de
corrente ou densidade de fluxo. Mas neste caso esta divisão não resolve todo o
2
problema. Como podemos ver na figura 2.3 o mesmo medidor (com a mesma área)
pode ser inserido no mesmo local da cachoeira de formas diferentes que resultarão em
medidas completamente diferentes. As duas maneiras de inserir o medidor mostradas na
figura 3 diferem na orientação do medidor. Na orientação a) a água passa em grandes
quantidades pelo anel medidor, enquanto na orientação b) a água passa pelos lados sem
atravessar o medidor. Então na orientação b) a leitura no medidor seria praticamente
zero.
Temos que caracterizar os aspectos geométricos do medidor de forma completa para
poder abstraí-los. O mero tamanho da área do medidor não é o suficiente. Uma forma
muito adequada de caracterizar o medidor, tanto no que diz respeito ao tamanho como
também da orientação, é com ajuda de um vetor superfície S . As três características,
módulo, direção e sentido, deste vetor são definidas da seguinte forma: o módulo de S
é a área do medidor. A direção de S é perpendicular ao anel e o sentido é o sentido da
seta indicadora no medidor. Como a grandeza que caracteriza os aspectos geométricos
do medidor é um vetor, não podemos aplicar o processo de divisão, pois a divisão de
um escalar por um vetor não existe.
Para ver como a abstração pode ser
feita neste caso, vamos voltar mais
uma vez para a noção de densidade de
S
massa e vamos analisar a divisão de
um ponto de vista um pouco diferente:
ao final, a divisão é nada mais do que
o
inverso
da
multiplicação.
Correspondentemente
podemos
vara
encarar a densidade de massa também
seta indicadora
de outra forma: um valor de densidade
de massa ρ é um mapeamento linear
que permite determinar o valor da
massa a partir de um valor de volume.
Fig. 2.4 Definição do vetor superfície que caracteriza o detector.
m = ρV
(2.2.1)
= ρ [V ]
Na segunda linha desta fórmula escrevemos a massa não como um produto ρV mas
como valor ρ [V ] de uma função ρ , para enfatizar que o valor de densidade ρ pode
ser considerado um mapeamento. Desta forma podemos abstrair os aspectos
geométricos do medidor da grandeza corrente:
O valor da densidade de corrente é o mapeamento linear que permite
calcular o valor da corrente para cada vetor de superfície S do
medidor.
Ou escrito como fórmula:
I = densidade de corrente  S 
(2.2.2)
3
No caso da densidade de massa a aplicação do mapeamento ρ [ i] pode ser escrito como
um produto. Para mapeamentos lineares de vetores isto também é possível. Nos espaços
vetoriais associados ao nosso espaço Euclidiano podemos escrever os mapeamentos
lineares que mapeiam vetores em escalares com ajuda do produto escalar. Desta forma
podemos escrever a equação (2.2.2) com ajuda de um vetor j :
I = j ⋅S
(2.2.3)
O ponto “ ⋅ ” entre j e S indica o produto escalar. O vetor j é o valor da nova
grandeza que queríamos definir, o valor da densidade de corrente. Na equação (2.2.3)
não escrevemos o índice “m” de massa, porque esta equação define agora a noção de
densidade de corrente de forma geral. Esta definição vale para qualquer tipo de corrente,
seja de massa, corrente elétrica, corrente térmica ou qualquer outra corrente.
Há uma diferença importante entre densidade de massa e densidade de corrente. Na
equação (2.2.1) basta conhecer a massa para um único valor não nulo de volume para
determinar a densidade de forma única1. Esta unicidade permite escrever a densidade de
massa como um quociente m / V . Na equação (2.2.3) não basta conhecer a corrente para
um único vetor superfície arbitrário e não nulo para determinar o vetor j de forma
única. Por isso j não pode ser escrito como quociente.
Agora veremos como o vetor j pode ser determinado experimentalmente. Isto tornará
este conceito novo um pouco menos misterioso. O produto escalar na equação (2.2.3)
pode ser escrito em termos dos módulos dos vetores e do ângulo ∢ j , S entre j e
S:
I = j ⋅ S = j S cos ∢ j , S
(2.2.4)
O módulo de S é a área A do medidor, e esta área conhecemos para um dado
medidor. Por exemplo, se o medidor tiver a forma de um anel circular de raio interno r
teríamos S = A = πr 2 . Podemos determinar o vetor j com a ajuda da equação (2.2.4)
( )
( ( ))
da seguinte forma: Inserimos o medidor no ponto espacial onde queremos determinar
j (para o nosso exemplo intuitivo, num determinado ponto da cachoeira) e medimos a
corrente I para diversas orientações do medidor. Para todas estas medidas o produto
j S terá sempre o mesmo valor, pois a única característica que estamos variando é a
orientação do medidor. Então somente o termo cos ∢ j , S sofrerá alterações pelas
( ( ))
mudanças de orientação. Podemos procurar aquela orientação que resulta no maior valor
de I. Esta orientação é aquela com cos ∢ j , S = 1 , pois este é o maior valor que o
( ( ))
co-seno pode atingir (compare com a figura 2.5). Para este valor máximo de corrente
vale I MAX = A j . Então temos a receita para determinar o módulo do vetor j :
I MAX
j =
A
1
(2.2.5)
Embora para diminuir erros experimentais na prática mediríamos várias massas para vários volumes.
4
cos(α)
Para o módulo da densidade de corrente o processo de abstração da geometria do
medidor resulta então realmente numa divisão. Mas para podermos dividir, tivemos que
procurar primeiramente uma orientação
especial do medidor. Esta orientação
1,0
especial, que maximiza a corrente, fornece
também
a
direção
e
o
sentido
do
vetor
j:
0,5
nesta orientação especial o vetor S aponta
0,0
na mesma direção do vetor j e os dois
-0,5
vetores têm o mesmo sentido.
-1,0
-π
-π/2
0
α
π/2
π
Fig. 2.5 A função co-seno
No caso do escoamento de água poderíamos ter pensado ainda numa outra grandeza
para descrever o escoamento: simplesmente a velocidade da água. Note no entanto que
velocidade não seria grandeza adequada para descrever o fluxo de energia térmica.
Mesmo com o transporte de massa podemos ter problemas com a grandeza velocidade
quando processos de difusão se sobrepõem ao movimento macroscópico. No caso do
exemplo da cachoeira a velocidade seria uma boa ferramenta para descrever o
escoamento. Vamos ver como se relacionam velocidade e densidade de fluxo neste
caso.
Vamos imaginar um fluido uniforme de densidade de massa ρ que se desloca com
uma velocidade v . Inserido neste fluido esteja um medidor de corrente de massa. A
figura 2.6 mostra esta situação. O desenho é feito com uma projeção ortogonal. O plano
da figura é escolhido perpendicular ao plano do anel do medidor de tal forma que o anel
aparece somente como uma linha. Calcularemos a massa do fluido que atravessará o
anel do medidor num
dado intervalo de
tempo [t1 , t2 ] . Este
cálculo é simples:
S
a
(t2 - t1)v
h
basta determinar em
que região ficam
anel do medidor
b
aquelas partículas de
água no instante t1
c
d
que
conseguem
atravessar o anel do
medidor durante o
v
intervalo de tempo
[t1 , t2 ] .
Fig.2.6
.
Determinação da região ocupada no instante t1 pelas partículas de fluido que conseguem atravessar o
medidor durante o intervalo [ t1 , t 2 ]
Esta região é obtida arrastando a superfície do detector para trás pelo negativo do vetor
deslocamento ( t2 − t1 ) v . Na figura esta região é marcada de cinza. Por exemplo, o
5
ponto a indicado na figura atravessa o detector no intervalo [t1 , t2 ] pois o vetor
deslocamento com base no ponto a intercepta a linha do medidor. A partícula de fluido
no ponto b iria apenas chegar no medidor no final do intervalo. A partícula que estava
no ponto c atravessará o medidor, mas não dentro do intervalo [t1 , t2 ] e a partícula no
ponto d nunca passará pelo medidor. A massa de fluido que atravessa o medidor
durante o intervalo [t1 , t2 ] é o produto da densidade de massa do fluido com o volume
da região marcada. Este volume é a área do medidor vezes a altura h indicada na
figura. Temos então
m = ρh S
(2.2.6)
Podemos escrever a altura h como o módulo do vetor deslocamento ( t2 − t1 ) v vezes o
co-seno do ângulo ente v e S :
h = ( t2 − t1 ) v cos ∢ v , S
(2.2.7)
( ( ))
Inserindo a (2.2.7) na (2.2.6), dividindo por t2 − t1 e utilizando a relação entre produto
escalar, módulos e ângulos de vetores obtemos finalmente a corrente de massa:
m
Im =
= ρ v S cos ( ∢ ( v , C ) ) = ρv ⋅ S
(2.2.8)
t2 − t1
Como este resultado vale para qualquer S podemos concluir, com a definição de
densidade de corrente (2.2.3), que a densidade de corrente de massa é dada por
j m = ρv
(2.2.9)
Podemos utilizar a mesma equação para a densidade de corrente elétrica. Basta
substituir a densidade de massa ρ por uma densidade de carga elétrica. Mas no caso
elétrico é freqüente termos várias espécies eletricamente carregadas na mesma região
espacial. Esta situação é típica em eletrólitos e plasmas. Por exemplo, no ácido
clorídrico (HCl em H2O) teríamos íons negativos Cl- e íons positivos OH3+. Quando é
aplicado um campo elétrico estes íons migram. Os íons positivos migram no sentido do
campo e os negativos no sentido contrário. Podemos ter também mais do que duas
espécies, por exemplo em soluções de vários sais minerais. Cada espécie e tem sua
densidade de carga elétrica ρe e sua velocidade de migração ve . Neste caso a
densidade de corrente elétrica seria uma soma sobre todas as espécies:
jEl = ∑ ρe ve
(2.2.10)
e
Definimos a densidade de corrente, vimos como ela pode ser determinada com medidas
de correntes e vimos expressões que relacionam densidades de correntes com
velocidades e densidades. Com isto temos quase um quadro completo deste tipo de
grandeza. Falta apenas uma pequena correção na nossa definição. A correção é pequena
mas essencial. Definimos o valor de uma densidade de corrente como mapeamento
linear que relaciona o vetor de superfície S com o valor da corrente. Falamos que a
duplicação da área do medidor duplicaria o valor da corrente. Mas será que esta
linearidade existe mesmo? Imagine que inserimos uma série de medidores na nossa
6
cachoeira, como indicado na figura 2.7, todos na mesma orientação e no mesmo ponto
de medida mas com diversos valores diferentes de área. Quando a área do medidor
atinge valores tão grandes que o diâmetro do medidor ultrapassa a largura da própria
cachoeira a proporcionalidade de área e corrente certamente deixa de valer, pois neste
caso o aumento do tamanho do medidor somente acrescentará área vazia sem fluxo de
água.
Fig. 2.7 Uma série de medidores
inseridos na cachoeira mostram
que a corrente não depende
linearmente do vetor superfície.
Para grandes áreas do detector
aparecem desvios da linearidade.
I
0
0
A
A definição de densidade de
corrente dada pela equação
(2.2.3)
tem que ser
interpretada como um caso
limite
para
pequenos
medidores:
detectores.
A densidade de corrente num ponto P é o vetor j tal que para qualquer vetor
Formalmente dever-se-ia escrever esta definição da seguinte maneira:
superfície S vale
I εS − j ⋅ εS
lim
=0
(2.2.11)
ε→ 0
ε
onde I εS é a corrente medida com um medidor no ponto P com vetor superfície εS .
( )
Repare que desta forma a densidade de corrente é um conceito local. Isto é, para cada
ponto no espaço o vetor j pode ser outro. Geralmente as grandezas físicas têm um
comportamento amigável e a função espacial j é suave de tal forma que dentro de
pequenas regiões o vetor j fica aproximadamente constante. Se limitarmos o tamanho
do medidor de corrente tal que o medidor cabe inteiramente numa destas regiões de
uniformidade podemos voltar para a nossa antiga definição (2.2.3).
O conhecimento da função espacial
j permite calcular a corrente através de
superfícies grandes. Imagine uma superfície. Com superfície queremos dizer um
conjunto bidimensional imaginado de pontos no nosso espaço físico tridimensional. Não
queremos falar de uma superfície física de um corpo, pois se botássemos um corpo
material dentro do fluxo íamos perturbar o próprio fluxo. A corrente que atravessa esta
superfície imaginada pode ser calculada a partir do campo j . Para tal fim dividimos a
superfície em um grande número de pequenas superfícies como é mostrado na figura
2.8.
7
Fig. 2.8
j(rk)
Divisão de uma superfície
em pequenas superfícies
para fins de cálculo da
corrente a partir da
densidade de corrente.
Sk
Se a divisão for
suficientemente fina
cada pedacinho de
superfície
é
tão
pequeno que dentro
o
dela a função j é
razoavelmente uniforme e a fórmula simples (2.2.3) pode ser aplicada para cada
pedaço. A corrente total através da superfície grande é obtida somando as correntes
através de todos os pedacinhos:
(2.2.12)
I total ≈ ∑ j ( rk ) ⋅ S k
rk
k
Nesta equação descrevemos o lugar do k-esimo pedacinho com ajuda de um vetor
posição rk que aponta para o centro do pedacinho. A função j deve ser avaliada nestes
pontos. Como os pedacinhos não são infinitamente pequenos, a fórmula (2.2.12) fornece
somente uma aproximação. Mas, podemos tomar o limite tomando pedacinhos de
tamanho cada vez menor e de maior número e no limite obtemos o valor exato da
corrente. Este limite é a integral de superfície da função j sobre a superfície:
(2.2.13)
I total = ∫∫ j ( r ) ⋅ dS =
lim
∑ j ( rk ) ⋅ Sk
def .
z θ
r δθ
δS
r (sen θ) δϕ
r
y
ϕ
x
max S k →0
k
Veremos um exemplo de como montar
uma integral de superfície. Vamos
considerar um pedaço de uma esfera de
raio r . Pode ser a esfera inteira, uma
semi-esfera ou qualquer fração de uma
esfera. Para a integração sobre uma
superfície esférica é conveniente usar
coordenadas esféricas. A figura 2.9
mostra a descrição de um ponto com
coordenadas esféricas. Junto ao ponto
desenhamos uma pequena superfície
gerada pela variação das coordenadas
angulares.
Fig. 2.9 Construção do vetor superfície de um
pedacinho de superfície esférica gerado pela
variação das coordenadas angulares.
8
Se as variações forem muito pequenas este pedacinho de superfície fica
aproximadamente com formato de retângulo. Para avaliar os comprimentos dos lados
deste retângulo convém lembrar das diversas formas de medir ângulos. Imagine duas
retas que se cruzam formando 4 ângulos como na figura 2.10a). Para medir um destes
ângulos pode-se fazer uma comparação com algum padrão de ângulo que seria uma
unidade da grandeza ângulo. O grau é uma unidade de ângulo muito usado.
Fig. 2.10 Medidas de ângulo.
α
α=6
A figura 2.10b) mostra esta
comparação com a unidade
grau. Existe uma outra
forma de medir ângulos:
a)
b)
podemos
usar
o
comprimento de arco do
segmento do circulo que
cabe entre as duas retas.
s
Mas este comprimento
r
sozinho não permite uma
α = s/r
medida satisfatória, pois o
c)
comprimento
do
arco
dependerá do raio do
círculo que usamos. Temos
que nos tornar independentes desta escolha. Já somos especialistas nesta tarefa de nos
tornar independentes de escolhas. Lembrem somente da noção de densidade de massa
onde nos tornamos independentes do tamanho de um objeto ou da densidade de corrente
onde eliminamos a dependência da escolha do medidor de fluxos. No caso do ângulo
temos que dividir pelo raio do círculo. A figura 2.10c) ilustra esta forma de medir
ângulos. Costuma-se escrever o valor do ângulo neste caso com uma especificação de
“unidade” radiano. Isto é bobagem e deve ser banido na literatura! s/r é um quociente de
dois comprimentos e portanto um número puro. Um “rad” depois de um valor de ângulo
pode na melhor das hipóteses ser interpretado como um comentário que indica que aqui
se usou a maneira da figura 2.20c) para especificar um valor de ângulo.
Com a medida de ângulos em radianos podemos escrever os lados do retângulo gerado
pela variação dos ânulos θ e ϕ de maneira simples. Basta notar que uma variação do
ângulo θ gera um círculo de raio r e a variação do ângulo ϕ gera um círculo de raio
ο
r sen θ . Correspondentemente os lados deste retângulo são: r δθ e r ( sen θ ) δϕ , e a
área deste pedacinho, que é o módulo do vetor superfície, vale
A = δS = r 2 ( sen θ ) δθ δϕ . O vetor normal do pedacinho de superfície é o vetor unitário
na direção do próprio vetor posição do ponto escolhido. O vetor superfície do pedacinho
é então δS = rˆ r 2 ( sen θ ) δθδϕ . A integral de superfície de um campo vetorial j toma
a forma de uma integral dupla nas variáveis θ e ϕ :
2
j
⋅
dS
=
r
∫∫
∫∫ j ⋅ rˆ senθ d θ d ϕ
(2.2.14)
Os limites de integração dependem naturalmente do exato formato da superfície. Se for,
por exemplo, a esfera inteira θ percorreria o intervalo de 0 até π e ϕ de 0 até 2π . Para
o hemisfério “norte” ( z ≥ 0 ) seria θ de 0 até π / 2 e ϕ de 0 até 2π .
9
Um tipo de fluxo será particularmente importante: a saber, o fluxo que sai de volumes.
Seja V um volume. Usando a notação dos matemáticos vamos denotar a superfície do
volume com o símbolo ∂V (não é derivada – significa simplesmente superfície de V).
Chamaremos superfícies que são superfícies de volumes de superfícies fechadas ou
superfícies Gaussianas e as integras de superfície deste tipo são escritas com uma bola
para indicar que se trata de uma superfície fechada. Os físicos costumam orientar os
vetores superfície de pequenas partes da superfície sempre para fora do volume. Com
esta orientação uma integral
(2.2.15)
∫∫ j ⋅ dS
∂V
tem o significado de uma taxa líquida de saída de substância do volume V. Taxa líquida
significa tudo que sai menos aquilo que entra.
Um dos propósitos desta aula é de deixar os conceitos de cálculo vetorial que foram
apresentados para vocês no curso de cálculo intuitivamente claros. A compreensão
intuitiva destes conceitos é fundamental para enxergar a simplicidade e beleza das leis
do eletromagnetismo e isto ajuda tremendamente no uso das fórmulas para resolver
problemas práticos. Vamos ajudar à intuição com aquilo que o Brasileiro adora de fazer:
tomar banho. Imagine você está debaixo do seu chuveiro. Enquanto você toma seu
banho você imagina uma superfície fechada em volta de você. Claro, é apenas uma
superfície imaginada, uma superfície de integração, se fosse uma superfície
materializada (um saco plástico) o seu banho seria prejudicado!
Fig. 2.11 O banho matemático.
Agora você calcula rapidamente a integral (2.2.15) de
fluxo de água nesta superfície. Calcular integrais de
superfície embaixo do chuveiro pode não ser a atividade
mais relaxante, mas neste caso a integral é simples. Se
você pensa um pouco vai perceber que a integral é
simplesmente zero, pois todo que entra no volume acaba
saindo como está indicado na figura 2.11 simbolicamente
com as setas. Imagine agora que este sujeito embaixo do
chuveiro abre a boca e bebe água. O que acontece agora
com a integral? A integral mede a taxa líquida de saída.
Com o banhista tomando água, tem mais água entrando do que saindo.
Conseqüentemente a integral se tornará negativa. Deixamos a interpretação de um valor
positivo desta integral por conta da sua imaginação...... .
normalmente
∫∫ j ⋅ dS = 0
∂V
∫∫ j ⋅ dS < 0
∂V
∫∫ j ⋅ dS
> 0
banhista bebe água
(2.2.16)
banhista .............
∂V
Esta história sugere uma bela interpretação da integral (2.2.15) ; esta integral mede a
quantidade de fonte dentro do volume V. O banhista bebendo água seria uma fonte
negativa. Fontes negativas são também chamadas de sumidouros:
∫∫ j ⋅ dS = quantidade total de fonte do campo j no volume V (2.2.17)
∂V
10
Esta é uma nova grandeza que é associada com um campo vetorial j e com um
volume V. Veremos quais são as propriedades desta grandeza. Vamos tornar o banho
mais interessante botando um segundo banhista embaixo do chuveiro:
Fig. 2.12 A quantidade de fonte é aditiva.
δS2
δS1
V1
V2
V
Obviamente a quantidade de fonte do volume total V = V1 ∪ V2 é a soma das
quantidades de fonte de cada volume parcial mostrado na figura 2.12:
para V = V1 ∪ V2 com V1 ∩ V2 = ∅ vale ∫∫ j ⋅ dS = ∫∫ j ⋅ dS + ∫∫ j ⋅ dS
∂V
∂V1
∂V2
(2.2.18)
Este fato parece óbvio, mas precisa de uma confirmação matemática. Uma possível
j
⋅
dS
e
da
soma
diferença entre j
⋅
dS
+
∫∫
∫∫
∫∫ j ⋅ dS poderia vir da superfície
∂V
∂V1
∂V2
intera que separa os volumes V1 e V2 . Esta superfície não aparece na integral
∫∫ j ⋅ dS , mas ela aparece nos integrais ∫∫ j ⋅ dS e ∫∫ j ⋅ dS . Mas, na hora de somar
∂V
∂V1
∂V2
estas duas últimas integrais as contribuições da superfície separadora cancelam. Isto
ocorre porque cada vetor superfície δS de pequenos pedaços de superfície aparece
duas vezes e com orientações opostas como indicado na figura 2.12. Ou seja, o que um
dos volumes ganha através da superfície separadora o outro necessariamente perde e na
soma dos dois a contribuição da superfície interna cancela.
O resultado (2.2.18) significa que a grandeza quantidade de fonte é aditiva que nem a
massa. Repare que massa tem exatamente o mesmo comportamento: a massa contida
num volume V = V1 ∪ V2 com V1 ∩ V2 = ∅ é a soma das massas contidas nos volumes
V1 e V2 . Esta propriedade de ser aditiva justifica a introdução de uma densidade para a
grandeza quantidade de fonte exatamente na mesma forma como se define isto para a
massa. A densidade de massa num ponto é definida como limite de quocientes massa
por volume:
ρm ( r )
=
def .
lim
V →0
massa contida em V
V
(2.2.19)
onde todos os volumes V da seqüência de volumes V usada neste limite contém o
ponto r como indicado na figura 2.13.
11
Fig. 2.13 Definição de densidade local com uma seqüência
de volumes.
O limite é necessário quando as condições físicas
não forem uniformes. Neste caso a densidade é uma
grandeza local que pode variar de ponto a ponto.
r
A densidade de massa é um quociente de massa por
volume. Inversamente recuperamos a massa
multiplicando densidade por volume. Mas, quando
as condições físicas não forem uniformes esta
multiplicação deve ser uma multiplicação especial ou detalhada. Esta multiplicação
especial é a integral. Obtemos a massa total num volume grande integrando a densidade:
massa no volume V = ∫∫∫ ρm ( r ) d 3 r
(2.2.20)
V
Nesta integral escrevemos o elemento de volume na forma d 3 r . Esta notação é usada
em alguns livros de física teórica. O significado é o mesmo de um dV ou um dx dy dz .
A vantagem desta notação é que a variável de integração, ou seja, o ponto r onde se
coleta o valor da função ρm , fica evidente.
Podemos escrever equações análogas às equações (2.2.19) e (2.2.20) para a grandeza
quantidade de fonte. A densidade da grandeza quantidade de fonte recebe um nome
especial; ela é chamada de divergência do campo vetorial j :
div j
=
def .
1
lim 
V →0 V


j ⋅ dS 
∫∫
∂V

(2.2.21)
Inversamente obtemos a quantidade de fonte para um volume grande integrando a
densidade sobre o volume
∫∫ j ⋅ dS =
∂V
3
div
∫∫∫ j d r
(2.2.22)
V
Este resultado é interessante, ele estabelece uma igualdade de uma integral de volume
com uma integral de superfície. Enquanto não temos uma maneira de calcular a
divergência de forma simples este resultado não teria grande utilidade. Mas, num
instante veremos que div j pode ser calculado facilmente.
Seja o campo j dado. Queremos calcular aquela grandeza definida pela equação
(2.2.21). Para facilitar as contas vamos escolher como volume um pequeno
paralelepípedo alinhado com os eixos x, y e z como aqueles da figura 2.13. A figura 2.14
mostra um paralelepípedo com especificações das grandezas relevantes.
12
j
<x,y,z+δz>
A
z
j
<x,y+δy,z>
divergência. Os vetores
da
densidade
de
corrente nas faces A e
B
podem
ser
ligeiramente diferentes.
<x+δx,y,z>
<x,y,z>
y
B
Fig. 2.14 Cálculo da
x
A integral de fluxo tem contribuições dos seis faces do paralelepípedo. Basta calcular as
contribuições de duas faces opostas e o resto pode ser facilmente adivinhado. Vamos
escolher as faces com os seguintes vértices:
face A : x, y, z , x, y, z + δz , x, y + δy, z + δz , x, y + δy, z e
face B: x + δx, y, z , x + δx, y, z + δz , x + δx, y + δy, z + δz , x + δx, y + δy, z
Os vetores normais destas faces são −iˆ da face A e +iˆ . Desta maneira os produtos
escalares dos vetores j nestas duas faces são as componentes x destes vetores: + jx
na face B e − jx na face A. A contribuição das faces A e B para a integral de fluxo é
então:
contribuição das faces A e B para o fluxo =
=
z +δz y +δy
∫ ∫
jx ( x + δx, y′, z ′ ) dy′dz ′ −
z ′= z y ′= y
z +δz y +δy
∫ ∫
jx ( x, y′, z ′ ) dy′dz ′
(2.2.23)
z ′= z y ′= y
No fim do cálculo devemos dividir pelo volume δxδyδz e mandar os três deltas para
zero. Neste limite todo na expressão (2.2.23) que é de ordem superior em δx , δy ou δz
desaparece. Por esta razão podemos cometer erros de ordem superiores sem alterar o
resultado final. Isto significa que podemos substituir as integrais por simples
multiplicações:
z +δz y +δy
∫ ∫
z ′= z y ′= y
jx ( x + δx, y′, z ′ ) dy′dz ′ −
z +δz y +δy
∫ ∫
jx ( x, y′, z ′ ) dy′dz ′ =
z ′= z y ′= y
δyδz jx ( x + δx, y, z ) − δyδz jx ( x, y, z ) + erro de ordem superior em δy e δz
(2.2.24)
Acrescentamos ainda somente outro erro de ordem superior em δx substituindo a
diferença jx ( x + δx, y, z ) − jx ( x, y, z ) por uma derivada multiplicada por δx :
13
∂jx
+ erro de ordem superior em δx
∂x
(2.2.25)
Juntando as equações (2.2.23), (2.2.24) e (2.2.25), dividindo pelo volume e tomando o
limite δxδyδz → 0 obtemos a contribuição das faces A e B para a densidade de fonte:
contribuição das faces A e B para div j =
jx ( x + δx, y, z ) − jx ( x, y, z ) = δx
=
δxδyδz
lim
∂jx
∂x
+ erro de ordem superior em δx, δy, δz
δxδyδz
δxδyδz → 0
(2.2.26)
∂jx
∂x
Vendo este resultado é evidente quais são as contribuições das outras faces do
paralelepípedo. Podemos escrever diretamente o resultado final:
=
div j =
∂jx ∂j y ∂jz
+
+
∂x ∂y ∂z
(2.2.27)
A junção do resultado (2.2.22) com uma representação explícita do div j em algum
sistema de coordenadas, como a equação (2.2.27), constitui o teorema de Gauss.
Na aula de hoje a nossa motivação de estudar integrais de superfície de campos vetoriais
era o fluxo de alguma substância como a massa ou a carga elétrica. Mas, o teorema de
Gauss vale independente desta interpretação e os conceitos de integral de superfície
podem ser formulados também para campos vetoriais que não descrevem nenhum
transporte de substância. Mas, como a interpretação com coisas fluindo é tão bonita e
intuitiva costuma-se chamar o tipo de integral ∫∫ E ⋅ dS de integral de fluxo mesmo
que o campo E não descreva nenhum escoamento. No eletromagnetismo usaremos
integrais deste tipo para o campo elétrico e, mais tarde, também para o campo
magnético B . Correspondentemente chamamos Φ E = ∫∫ E ⋅ dS de fluxo elétrico e
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS de fluxo magnético. Mas, atenção nestes casos não tem dada fluindo.
Trata se apenas de uma analogia matemática.
14
2.3 A dedução da lei de Gauss
A lei de Gauss descreve uma propriedade de integrais de fluxo do campo elétrico
através de superfícies fechadas. Então o objeto de interesse do nosso estudo são
grandezas do tipo
ΦE = (2.3.1)
∫∫ E ⋅ dS
∂V
Gastamos a aula passada inteira para perder o medo deste tipo de objeto. Se E fosse
uma densidade de fluxo de um escoamento teríamos uma interpretação bem concreta.
Infelizmente E não descreve nenhum escoamento e um ou outro de vocês pode reagir
com um bloqueio de compreensão porque não consegue enxergar o que esta grandeza
representa. Mas, o que importa é que ela é bem definida e pode ser calculada. Por
exemplo, se o campo elétrico fosse
N
5N 2
N
E ( x, y, z ) = iˆ 5
x y + ˆj
x + kˆ 3
(2.3.2)
2
2
Cm
2Cm
C
o fluxo de campo elétrico através da superfície B do paralelepípedo da figura 2.15 seria
ˆ
N
5N 2
N
4 m y + ˆj
x + kˆ 3  ⋅ iˆ dy dz =
i 5
2
2Cm
C
C mm
z =1m y =1m 
2m
fluxo em B =
2m
∫ ∫
= 20
N
1
Nm 2
× ( 2m − 1m ) × ( 4m 2 − 1m 2 ) = 30
Cm
2
C
(2.3.3)
<x=4m,y=2m,z=2m>
<x=4m,y=2m,z=1m>
A
B
<x=1m,y=1m,z=1m>
z y
<x=4m,y=1m,z=1m>
x
Fig. 2.15 Exemplo de fluxo de campo elétrico.
Igualmente podemos calcular os fluxos das outras faces para obter uma integral sobre a
superfície fechada. O resultado é um valor bem definido que descreve alguma
propriedade do campo. Se você leitor ainda não ficou contente com estas grandezas é
bom se lembrar dos tempos da Física I. Lá você formou uma grandeza que era um
aglomerado muito esquisito de grandezas: massa vezes o quadrado da velocidade,
dividido por 2 e ainda por cima somamos um mgh. Não é assustadoramente estranho
este aglomerado de grandezas? Mas, não importa. O interessante era que o valor de
mv 2 / 2 + mgh não muda no tempo e este fato permitia calcular coisas com muita
facilidade. Com as grandezas E
∫∫ ⋅ dS temos a mesma situação: não importa que elas
∂V
sejam estranhas, se elas tiverem propriedades úteis justifica-se sua definição. Vamos
15
então averiguar quais propriedades tem o fluxo de campo elétrico através de superfícies
fechadas.
Começaremos com um caso muito simples. O campo elétrico seja o campo de uma
única carga puntiforme. Usaremos como superfície de integração a superfície de um
pedaço de cone muito fino que tem seu vértice exatamente no local da carga como
mostra a figura 2.16. O pedaço de cone é limitado por dois discos circulares nos pontos
a e b indicados na figura.
Fig. 2.16 Superfície de integração
formada por um pedaço de cone com
vértice numa carga elétrica. O pedaço
é limitado por dois discos circulares
nos pontos a e b. Os vetores do campo
elétrico desenhados correspondem a
algum valor da carga q > 0.
q
2α
Obviamente as partes laterais do
pedaço cônico não contribuem
para a integral de fluxo, já que o
a
campo é tangencial a esta
superfície.
As
únicas
contribuições são das tampas
circulares. Se o cone for
b
suficientemente fino, isto é com
um ângulo de abertura pequeno,
podemos substituir a integração
sobre as áreas circulares por simples multiplicações. Se usarmos a posição da carga
como origem de coordenadas, podemos escrever os vetores superfície dos dois discos
com o vetor unitário que aponta na direção do vetor posição: S a = − rˆ Aa e Sb = + rˆ Ab ,
E
a
E
b
onde Aa e Ab são as respectivas áreas dos discos. A integral de fluxo através da
superfície fechada da nossa escolha é
 qrˆ 
 qrˆ 
⋅ dS = − Aa rˆ ⋅ 
+ Ab rˆ ⋅ 
E
2
2
∫∫
 4πε 0 ra 
 4πε 0 rb 
∂V
(2.3.4)
Os raios dos discos são proporcionais à distância da carga
rdisco = r × tg α e
consequentemente as áreas são proporcionais ao quadrado da distância:
Aa = π ra2 ( tg α )
2
e
Ab = π rb2 ( tg α )
2
(2.3.5)
Inserindo este resultado na equação (2.3.4) percebemos que o fluxo que entra no
volume no disco a é exatamente cancelado pelo fluxo que sai no disco b. Então a
integral de fluxo através da superfície do pedaço de conte é simplesmente zero:
para o pedaço de cone da figura 2.16 :
(2.3.6)
∫∫ E ⋅ dS = 0
∂V
16
Fig. 2.17 Superfície de integração formada por um pedaço de cone com vértice numa carga elétrica. O
pedaço é limitado por dois discos inclinados em relação ao vetor r̂ .
q
2α
a
Sa
Ea
Eb
b
Sb
O que mudaria neste resultado
se permitíssemos que o pedaço
de cone não fosse circular?
Obviamente não mudaria nada.
A diminuição quadrática do
módulo do campo seria outra vez
compensada por um crescimento
quadrático das áreas. E se
permitíssemos tampas do pedaço
inclinadas como na figura 2.16?
Também não mudaria nada. A
área da tampa cresce por um
é o
fator 1/ cos β onde β
ângulo de inclinação da tampa e
este fator seria exatamente
compensado pelo fator cos β do
produto escalar entre vetor
superfície e campo elétrico que
aponta na antiga direção normal.
O próximo passo é permitir um volume qualquer que não contem a carga q. Com a
propriedade aditiva dos integrais de fluxo podemos escrever a integral de fluxo através
da superfície deste tipo de volume como uma soma de pedaços de cones como indicado
na figura 2.18.
Fig. 2.18 Decomposição de um volume
que não contém q em pedaços de cones
com vértices em q.
q
V
Repare que este último resultado vale também para volumes com cavidades, inclusive
no caso que a carga puntiforme esteja localizada na cavidade. A figura 2.19 ilustra esta
situação
17
Vamos resumir o que descobrimos até agora:
Para o campo elétrico gerado por uma
carga puntiforme vale
E
∫∫ ⋅ dS = 0 ,
(2.3.7)
∂V
deste que a carga não esteja dentro do volume.
Fig. 2.19 Volume V com cavidade. O fluxo através de ∂V do campo elétrico de uma carga puntiforme
na cavidade é nulo. Repare que os vetores superfície na superfície interna do volume apontam para dentro
da cavidade.
Poderíamos ter chegado neste resultado mais
rapidamente calculando a divergência do
campo de uma carga puntiforme e aplicando o
teorema de Gauss. Para todos os pontos do
espaço fora do lugar da carga encontra-se com
um cálculo simples que div E = 0 . Se o
volume V não contém a carga, podemos
supor div E = 0 em todos os pontos do
volume . O teorema de Gauss afirma
3
E
⋅
dS
=
div
E
d r
∫∫
∫∫∫
V
q
∂V
V
Então segue o resultado (2.3.7). O aluno
interessado pode fazer o cálculo da
divergência, mas aqui preferimos deduzir o
resultado (2.3.7) geometricamente com as figuras 2.15 – 2.18. Esta dedução permite
visualizar melhor que a razão por trás do resultado (2.3.7) é a queda quadrática da
intensidade do campo junto com o direcionamento radial dos vetores E .
Agora vamos considerar um volume V que contém a carga. Neste caso o cálculo da
divergência não ajuda, pois no próprio ponto da carga o campo não é definido e
consequentemente não podemos calcular a divergência. Neste caso o método
geométrico é o único caminho. Seja um volume V dado e a carga puntiforme esteja em
algum lugar rq no interior do volume. Estar no interior do volume significa não apenas
rq ∈ V , mas significa que existe uma bola Br inteira de algum raio r > 0 e centro no
lugar da carga que fica dentro do volume V. A figura 2.20 mostra um exemplo.
Fig. 2.20 Volume contendo uma carga
puntiforme no seu interior. Uma bola de
raio r > 0 pode ser escolhida em torno da
carga que fica inteiramente dentro do
volume.
q
r
V
Podemos escrever o volume V como
junção da bola Br e um outro
volume Vɶ = V \ B :
r
V = Vɶ ∪ Br
(2.3.8)
18
Com a aditividade da grandeza quantidade de fonte, com (2.3.8) e com Vɶ ∩ Br = ∅
segue
(2.3.9)
∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS
∂V
∂Br
∂Vɶ
Mas, o volume Vɶ não contém a carga. Por tanto, com o resultado (2.3.7), sabemos que
a segunda integral do lado direito é zero. Temos então
(2.3.10)
E
⋅
dS
=
E
∫∫
∫∫ ⋅ dS
∂V
∂Br
Isto é um resultado importante. Ele significa que temos o direito de substituir a
superfície original por uma simples esfera. Nesta esfera tudo pode ser calculado
exatamente. Para fazer este cálculo é conveniente colocar a origem de coordenadas na
própria posição da carga e usar coordenadas esféricas. Juntando a expressão do campo
de uma carga puntiforme
q rˆ
E (r ) =
(2.3.11)
4πε 0 r 2
com a expressão da integral de superfície esférica (2.2.14) obtemos
E
⋅
dS
=
E
∫∫
∫∫ ⋅ dS =
∂V
∂Br
=
2π
r
2
π
∫ ∫
E ⋅ rˆ senθ d θ d ϕ =
ϕ= 0 θ= 0
2π
q rˆ
⋅ rˆ senθ d θ d ϕ =
2
4
πε
r
0
ϕ= 0 θ= 0
r
=
q
4πε 0
=
π
∫ ∫
=
2
2π
π
∫ ∫
senθ d θ d ϕ =
ϕ= 0 θ= 0
q
2π× 2
4π ε 0
=
(2.3.12)
π
q
2π senθ d θ =
4πε 0 θ=∫0
q
ε0
Finalmente chegamos no ponto de poder entender por que os físicos decidiram de
escrever a constante de proporcionalidade da lei de Coulomb de forma complicada
1/ 4πε 0 . O cancelamento que ocorreu nesta última linha é a motivação. O 4π é o
ângulo sólido de uma esfera completa.
Neste ponto vale interromper a dedução da lei de Gauss e comentar a noção de ângulo
sólido. A idéia de medir ângulos com a ajuda do comprimento de um arco permite uma
generalização do conceito ângulo. Imagine um cone. Este cone não precisa ser circular,
ele pode ter qualquer forma. A figura 2.21 ilustra isto.
Fig. 2.21 Cone de forma não circular.
Queremos uma grandeza para medir o quanto este
tipo de cone está aberto ou fechado. Esta
grandeza é chamada ângulo sólido. A forma de
medir isto é análoga da medição de ângulos
comuns em radianos. Escolhe-se uma esfera de
19
raio r com centro no vértice do cone. O cone separa um fragmento da superfície da
esfera. A área deste fragmento dividido pelo quadrado do raio do círculo é a medida do
ângulo sólido. Neste caso também existe o costume de escrever uma “unidade” que na
verdade é somente um comentário. No caso esta “unidade” é chamada “steradiano”. Se
abrirmos o cone totalmente, de tal forma que o fragmento de superfície separada é a
superfície completa da esfera, o ângulo sólido atinge o valor de 4π :
ângulo sólido de um cone totalmente aberto = 4π =
=
2π
π
∫ ∫
sen θ d θ d ϕ =
ϕ= 0 θ= 0
4π r 2
r2
(2.3.13)
O ângulo sólido de um cone totalmente aberto é uma constante importante na teoria de
campos. Mas, as pessoas se cansaram de escrever os 4π e inventaram uma maneira de
esconder esta constante na lei que é menos usada. A lei de Gauss é mais importante do
que a lei de Coulomb então se optou por colocar o 4π na lei de Coulomb de tal forma
que ele não aparece na lei de Gauss.
Depois desta digressão pela definição de ângulo sólido podemos voltar para a lei de
Gauss. Falta muito pouco para completar tudo. A única restrição que temos ainda é de
termos um campo gerado por uma única carga puntiforme. Podemos usar que a
integração é uma operação linear para tratar agora o caso geral de uma distribuição
arbitrária de cargas. Imagine muitas cargas puntiformes distribuídas no espaço. Vamos
chamar os valores das cargas de qk e as respectivas posições de rk . Imaginamos ainda
algum volume V e queremos avaliar a integral de fluxo do campo elétrico através da
superfície deste volume. O campo elétrico gerado pelas cargas é a somas de
contribuições de cargas puntiformes:
N
qk r − rk
E (r ) = ∑
(2.3.14)
3
k =1 4 πε 0 r − rk
Como a integração é uma operação linear podemos no cálculo do fluxo trocar a ordem
de integração e somatório:
E
∫∫ ⋅ dS
∂V
 N q
k
= ∑
∫∫
4
πε
0
∂V 
 k =1
r − rk  3  ⋅ dS
r − rk 

qk
= ∑ 
∫∫
k =1  ∂V 4 πε 0

N
r − rk
⋅
dS
3
r − rk



(2.3.15)
Para cada um dos termos da última soma podemos aplicar os resultados (2.3.7) e
(2.3.12). Se a carga k estiver fora do volume V a contribuição desta carga no
somatório é zero e se a carga estiver dentro de V a contribuição é qk / ε 0 . No exemplo
da figura 2.22 as cargas 1 e 2 não dariam nenhuma contribuição e as cargas 3, 4 e 5 dão
contribuições. Então o somatório resulta na carga elétrica total contida no volume V
dividido pela constante ε0 . Com isto chegamos na forma final da lei de Gauss:
E
∫∫ ⋅ dS
∂V
=
1
Qdentro de V
ε0
(2.3.16)
Lembrando do “banho matemático” e ignorando o fator 1/ ε 0 podemos expressar esta
lei verbalmente de forma muito simples:
20
As fontes do campo E são as cargas elétrcas.
q1
Fig. 2.22 Exemplo para a lei de Gauss. Somente as
cargas 3, 4 e 5 contribuem para o fluxo através da
superfície mostrada.
q2
r2
(2.3.17)
Cada carga positiva é uma fonte positiva e
cada carga negativa é um sumidouro.
r1
V
q3
A equação (2.3.16) vale igualmente para
uma distribuição contínua de carga elétrica.
r3
Se a carga não existir em forma de
r4
r5
partículas puntiformes podemos dividir o
espaço em muitos cubinhos minúsculos e
tratar cada cubinho como se fosse uma
carga puntiforme. O resultado seria outra vez a equação (2.3.16). Neste caso podemos
escrever a carga total no volume V como uma integral de volume da densidade de
carga e a lei de Gauss toma a seguinte forma:
q4
q5
∫∫ E ⋅ dS
=
∂V
1
ε0
∫∫∫ ρ d r
3
(2.3.18)
V
Usando o teorema de Gauss podemos escrever a integral de superfície do lado esquerdo
ainda como integral de volume:
3
div
E
d r =
∫∫∫
1
ρ d 3r
(2.3.19)
∫∫∫
ε
0 V
V
Uma vez que tudo está escrito como integral de volume podemos juntar os dois lados
numa única integral

ρ  3
div
E
−

d r = 0
∫∫∫
ε0 
V 
(
)
(2.3.20)
Este resultado deve valer para qualquer volume V! Hora, uma função (supostamente
contínua) que integrado sobre qualquer volume sempre resulta em zero só pode ser a
função zero. Então podemos concluir que
ρ
div E =
ε0
(2.3.21)
Esta equação é a forma local ou diferencial da lei de Gauss. Ela é nada mais do que a
“densidade da equação (2.3.16)”. Isto significa: você escreve a equação (2.3.16) para
um volume V variável, divide ambos os lados pelo volume e toma o limite V → 0 . O
resultado é a lei de Gauss em forma local. A lei de Gauss integral deve valer para
qualquer volume V e a equação local (2.3.21) deve valer para qualquer ponto no espaço.
Aqui no ciclo básico vamos trabalhar predominantemente com a forma integral da lei de
Gauss. Não é preciso ter medo das integrais! De fato vamos aplicar a lei de Gauss
sempre em situações que resultam em integrais totalmente triviais. Nas disciplinas mais
avançadas de eletromagnetismo a forma diferencial da lei de Gauss será também de
grande utilidade.
21
2.4 Aplicações da lei de Gauss com condutores
22