MATERIAL DIDÁTICO
A REALIDADE DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Prof. ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
Aprendizagem de Conceitos
Se você precisa encontrar o volume de um silo de milho, a distância
percorrida por um carro com uma velocidade de 60 km/h no asfalto ou o valor do seu
contracheque você pode obter a resposta com a ajuda de uma única equação.
No entanto há problemas ou situações que você pode precisar de duas, três
ou mais equações na resolução para a incógnita que você possui. Quando você
precisa de mais de uma equação para a resolução de um problema, você utiliza o
que é chamado de sistema de equações.
Para se ter uma idéia do valor de um sistema de equações, vamos considerar
uma situação simples que envolve a necessidade de duas equações. Esta situação
envolve o Senhor Roberto, que precisa alugar um carro por um dia. Veja o problema
e o dilema do Sr. Roberto.
Figura 01: Agência de Locação
O Sr. Roberto pretende alugar um carro para uma viagem que terá que fazer
no final de semana. A agência de locação de carros oferece ao Sr. Roberto dois
planos de locação:
Plano A: R$ 50,00 por dia com quilometragem ilimitada.
Plano B: R$ 20,00 por dia mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Qual dos planos o Sr. Roberto deve optar?
Para ter certeza do melhor plano e fazer uma escolha inteligente, o Sr.
Roberto utiliza um pouco de álgebra e os conhecimentos sobre sistema de equações
que aprendeu nas aulas de matemática. Para fazer isso, ele representa cada plano
de locação por uma equação, que lhe dá o custo por dia.
Plano A: Custo por dia – R$ 50,00 logo P1 = 50
Plano B: Custo por dia, mais adicional por quilometragem percorrida. P2 = 20 +
0,50.k onde k é a quantidade de quilometro percorrido.
De posse das equações o Sr. Roberto construiu uma tabela parcial de valores, para
cada equação.
P1 = 50
k
P2 = 20 + 0,50.k
P
k
P
1
50,00
1
20,50
2
50,00
2
21,00
10
50,00
10
25,00
20
50,00
20
30,00
50
50,00
50
45,00
60
50,00
60
50,00
70
50,00
70
55,00
100
50,00
100
70,00
Se você verificar os valores nas duas tabelas cuidadosamente, verá que o par
ordenado (60, 50) é comum a ambas. Isto significa que quando k = 60 e P = 50
tornam ambas as equações verdadeiras, então o par ordenado (60, 50) é a solução
para este par de equações.
Para a maioria dos sistemas de equações, você pode não encontrar o par
ordenado comum a ambas simplesmente observando uma tabela de valores, no
entanto, você pode sempre colocar as equações em um gráfico (utilizando a tabela
de valores) e encontrar o par ordenado comum desta forma.
Figura 02: Representação gráfica de um sistema de duas equações
Atividade de Estudo.
1) Você pode dizer através do gráfico onde é o ponto em que não se ganha nem
perde nada? Ou seja, você pode dizer quanto o Sr. Roberto deve dirigir o carro
alugado antes que o Plano B comece a custar mais que o Plano A?
2) Se o Sr. Roberto sabe que a distância que terá que percorrer é de 120 km,
quanto ele terá economizado escolhendo o Plano A ao invés do Plano B?
3) Se a distância percorrida for de apenas 40 quilômetros, qual plano o Sr. Roberto
deve escolher?
Neste simples exemplo, a informação que ajudou o Sr. Roberto a escolher o
melhor plano foi obtida pela expressão dos detalhes de cada plano colocados na
forma de uma equação e pela colocação em gráfico das duas equações. Mas há
outras formas de se resolver sistemas de equações. São:
•
Gráfico das duas equações, para encontrar pontos de interseção;
•
Substituição, para reduzir duas equações com duas incógnitas em equações com
uma incógnita;
•
Adição ou subtração, para reduzir duas equações com duas incógnitas em uma
equação com uma incógnita;
•
Método dos determinantes (Regra de Cramer)1.
Neste trabalho nos limitaremos aos sistemas de equações com duas
incógnitas.
Resolução de Sistemas de Equações através do Gráfico
Quando duas equações lineares colocadas no gráfico, três situações podem
acontecer:
•
Se as duas retas tiverem coeficientes angulares diferentes, as duas retas se
interceptarão, são chamadas de restas concorrentes;
•
Se as duas retas tiverem coeficientes angulares iguais, as duas retas não se
interceptarão, são chamadas retas paralelas;
•
Se as duas restas tiverem coeficientes angulares e coeficientes lineares que
obedeçam a uma mesma proporção, então essas restas serão coincidentes e
terão infinitos pontos de interseção.
Vejamos em seguida estas três situações:
1
O Método dos Determinantes não será bordado neste trabalho.
Retas Concorrentes
Retas Paralelas
Retas Coincidentes
Figura 3: Posições de Retas
1) Caso de duas Retas Concorrentes.
 x + y = 10
Quando é pedido para colocar no gráfico duas equações como 
é
x − 2 y = 6
geralmente uma boa idéia representar as duas equações na forma reduzida da
equação da reta y = ax + b. Portanto x + y = 10 se torna y = - x + 10 e x – 2y = 6 se
torna y = 0,5x + 3 .
De posse das equações reduzida utilizamos um software para traçar os
gráficos e encontrar o ponto de interseção das retas. Use o laboratório de
informática da escola para gerar os gráficos, conforme figura 4. Recomendamos o
uso de softwares livres como:
Winplot: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Geogebra: http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.overview.html
ou Speeq http://superdownloads.uol.com.br/download/11/speq/
Figura 4: Representação gráfica de um sistema de duas retas concorrentes
Como o coeficiente angular da primeira equação é – 1 e da segunda equação
é 0,5 então os gráficos se interceptam em exatamente um ponto. Neste caso o ponto
é P (4, 5), tornando verdadeiro o fato de que x = 4 e y = 5 é solução de ambas as
equações.
Sistemas de equações que possuem uma única solução são chamados de
sistemas possíveis e determinados.
2) Caso de duas Retas Coincidentes.
Na seguinte situação você encontrará um sistema de equações que possui
8 x + 2 y = 10
uma solução que não será única. Consideremos este sistema 
, quando
4 x + y = 5
você transforma a equação 8x + 2y = 10 na forma reduzida fica y = 5 – 4x, fazendo o
mesmo procedimento com a segunda equação 4x + y = 5 fica y = 5 – 4x , a mesma
equação. Portanto as duas equações 4x + y = 5 e 8x + 2y = 10, representa a mesma
reta, assim sendo, o mesmo gráfico. Veja o gráfico da figura 5.
Figura 5: Representação gráfica de um sistema de duas retas coincidentes
Como o coeficiente angular é – 4 e o coeficiente linear é 5 em ambas as
equações, então os gráficos se interceptam em vários pontos. Neste caso os pontos
P (1, 1), X ( 2, -3), etc. tornam verdadeiro o fato de que x = 2 e y = -3 , x = 1 e y = 1
são solução de ambas as equações.
Para
Pensar
» Quantos pontos de interseção os dois gráficos da figura 5 têm?
Sistemas de equações que possuem várias soluções são chamados de
sistemas possíveis e indeterminados.
3) Caso de duas Retas Paralelas.
A terceira possibilidade ocorre quando nós temos um sistema de equações
 y − 3x = 6
como 
. Transformando as duas equações na forma reduzida, elas se
 y − 3 x = 12
tornam y = 3x + 12 e y = 3x + 6.
È interessante notar que o coeficiente angular de ambas as equações é 3,
portanto as retas devem ser paralelas. As restas e interceptam alguma vez?
Quando as equações são colocadas no gráfico se torna evidente que as retas
não possuem pontos em comum. Portanto este sistema de equações não possui
nenhuma solução, como mostra a figura 6.
Figura 6: Representação gráfica de um sistema de duas retas paralelas
Sistemas de equações que não possuem solução são chamados de sistemas
indeterminado ou impossível. As duas linhas não se interceptam para formar um par
ordenado comum que esteja em ambas as retas.
Atividade de Estudo.
1. Aproveitando a chegada do verão Vinícius pretende abrir uma barraca de sucos
nas proximidades da rodovia que leva às praias. Vinícius estima que seu
estabelecimento tenha custo diário de R$ 600,00 e que cada copo de 300 ml
terá um custo de R$ 0,60 para o feitio. Já que cada copo de suco será vendido
por R$ 1,50 responda as seguintes questões.
Figura 7: Barraca de sucos
a) Escreva a equação do custo total do fornecimento do suco;
b) Escreva a equação do lucro real;
c) Faça o gráfico das duas equações em um mesmo sistema cartesiano utilizando o
computador;
d) Por que o gráfico do lucro passa pelo ponto (0, 0)?
e) Quais deverão ser os possíveis custos iniciais?
f) Qual seria o par ordenado onde Vinícius não terá lucro nem prejuízo?
g) Se Vinícius vender 200 copos por dia, quanto ele terá de lucro ou prejuízo?
h) Se Vinícius vender 300 copos por dia, quanto ele terá de lucro ou prejuízo?
i) Quantos copos devem ser vendidos por dia para se obter um lucro de
R$ 450,00?
j) Se os custos no feitio tiverem uma aumento de R$ 0,40, quantos copos devem
ser vendidos por dia para se obter um lucro de R$ 300,00?
2. Utilizando o computador e um software livre faça os gráficos das equações
abaixo e encontre o ponto de interseção (par ordenado) que satisfaça a ambas.
− 50n + y = 1500
a) 
− 75n + y = 0
7b + 3a = 32
b) 
9b + 4a = 40
 y = 11 + 0,0018h
c) 
 y = 4,50 + 1,006h
Resolução de Sistemas de Equações por Substituição
Um segundo método para se resolver sistemas de equações é por
substituição. A resolução de sistemas de equação por substituição supõe que haja
pelos menos um par ordenado que faça as duas equações verdadeiras. Você pode
solucionar este sistema utilizando o método do gráfico, mas você pode encontrar
esse ponto em comum, sem o gráfico, utilizando álgebra. Este método consiste em
isolar em uma das equações tanto o x como o y e substituí-lo na outra equação.
Para resolver sistemas de equações pelo método da substituição devemos seguir os
seguintes passos:
1º - Isolar uma das incógnitas x ou y de uma das equações. (a dica é isolar sempre a
incógnita que apresenta coeficiente 1)
2º - Substituir esse valor na segunda equação e encontrar o valor para a incógnita
restante.
3º - De posse do valor de uma das incógnitas, retornar na equação primeira e
encontrar o valor da outra incógnita.
Os valores encontrados será a solução do sistema, ou seja, o ponto onde as
retas se interceptarão.
 x − 2 y = 10
Vamos usar este método para o sistema de equação 
− 3 x + 4 y = 18
Para
Pensar
» Qual equação nós devemos escolher para isolar uma das incógnitas?
» Por que não é interessante isolar o y em nenhuma das equações?
Isolando o x na primeira equação fica:
Equação 1
x – 2y = 10
x = 2y + 10
.
.
.
x = 2(-24)+ 10
x = - 48 + 10
x = - 38
Equação 2
- 3 x +4y = 18
- 3(2y + 10) + 4y = 18
- 6y – 30 + 4y = 18
- 2y = 18 + 30
- 2y = 48 (-1)
2y = - 48
y = - 48 : 2
y = -24
Encontrado os valores das incógnitas temos o par ordenado ( -38, -24) como
solução do sistema de equação.
» Verifique se os valores encontrados satisfazem as duas equações substituindo os
valores encontrados nas equações.
» Utilize o computador, faça o gráfico das equações e verifique as respostas.
» Tente resolver o mesmo sistema isolando a incógnita y.
Quando supomos que há uma solução para um sistema de equação, quando
na verdade na há, ocorrem fatos estranhos. Por exemplo, se usarmos o método da
x + y = 4
adição para o sistema de equação 
de imediato já notamos que há algo
x + y = 5
estranho, pois como pode x + y = 4 e o mesmo x mais o mesmo y ser igual a 5.
Aplicando o método da substituição encontramos que 4 = - 5 que é uma
informação incorreta. Isso acontece pelo fato que quando colocamos as duas
equações na sua forma reduzida y = ax + b vemos que ambas possuem o mesmo
coeficiente angular, ou seja, as retas são paralelas.
Atividade de Estudo
3 x + 6 y = 15
:
No sistema equações 
2 x + 3 y = 7
a) Isole x e y em cada equação, examine os quatros resultados e decida qual deles
leva à substituição da incógnita “mais fácil”;
b) Resolva o sistema por substituição;
c) Confira a sua solução resolvendo graficamente.
Resolução de Sistemas de Equações por Adição
Um terceiro método de resolução de sistemas de equações é através de
adição /subtração, também chamado de resolução por eliminação.
Para resolver pelo método da adição temos que adicionar os termos x, y e o
termo independente das duas equações e verificar se uma das incógnitas
“desapareceu”, caso isso convenientemente ocorra basta calcular o valor da
incógnita restante e em seguida substituir o valor em quaisquer das equações
originais. Não ocorrendo o fato de uma das incógnitas “desaparecerem”, antes de
fazer a adição das equações temos que utilizar um artifício, multiplicar todos os
termos de uma, ou as duas equações, para que uma das incógnitas se anule.
A seguir daremos um exemplo das duas situações acima.
5 x + y = 10
» Resolver o sistema de equações 
utilizando o método da adição.
3 x − y = 14
5 x + y = 10
3 x − y = 14
1º passo: Somar termo a termo as equações
8 x + 0 y = 24
2º passo: Calcular o valor da incógnita restante. 8x = 24, logo x = 3
3º passo: Substituir este valor de x em quaisquer das equações originais para
encontrar o valor correspondente de y.
5x + y = 10
5.3 + y = 10
15 + y = 10
y = 10 – 15
y=-5
Portanto a solução para este sistema de equação é x = 3 e y = - 5
Agora um exemplo que a simples soma não elimina uma das incógnitas. Veja este
3 x + 2 y = 10 → equação A
sistema de equações: 
2 x − 5 y = 13 → equação B
Note que os termos de y possuem sinais opostos, se os coeficientes fossem
os mesmos eles se cancelariam ao fazer a adição, como estão eles não se
cancelam. Mas se multiplicar todos os termos da equação A por 5 e todos os termos
da equação B por 2 fica:
3 x + 2 y = 10 (5) →
2 x − 5 y = 13 (2) →

15 x + 10 y = 50
4 x − 10 y = 26

Agora quando as equações são adicionadas, você obtém:
15 x + 10 y = 50
4 x − 10 y = 26
19 x = 76
76
19
x=4
x=
Substituindo o valor de x = 4 em qualquer das equações, obtemos:
3x + 2y = 10
3 . 4 + 2y = 10
12 + 2y = 10
2y = 10 – 12
2y = - 2
y=-2:2
y=-1
Substitua os valores de x e y nas equações originais para verificar se esta
solução satisfaz às duas equações.
Na verdade todos os sistemas de equação podem ser resolvidos por adição, é
um método mais prático, necessitando apenas de uma habilidade de percepção de
qual equação multiplicar e por quanto multiplicar.
Para
Pensar
2 x − 5 y = 30
No sistema 
responda:
2 x + 8 y = 4
a) Se quisermos eliminar a incógnita y por quanto teremos que multiplicar as
equações A e B?
b) Se quisermos eliminar a incógnita x por quanto teremos que multiplicar as
equações A e B?
c) Qual das opções obtidas nos itens a e b é “mais fácil”?
d) Poderíamos utilizar a subtração de equações para eliminar uma das incógnitas?
Como ficaria?
e) Existe alguma semelhança entre o resultado obtido no item b e no item d?
f) Encontre o par ordenado que torne as sentenças verdadeiras.
Atividade de Estudo
Agora que já temos três métodos para resolver sistemas de equações, vamos
examinar situações reais onde sistemas de equações são utilizados.
1. A companhia de Brinquedos Enairam faz triciclos e motos. Os triciclos usam cada
um três rodas, e as motos duas rodas. Se a companhia Enairam precisa entregar
500 veículos entre motos e triciclos e possui somente 1200 rodas disponíveis no
estoque, quantos veículos de cada modelo ela poderá fazer?
Figura 8: Triciclo
2. A Transportadora Ruas precisa mover 140 toneladas de mercadorias. Fazem
parte de seu quadro de funcionários 18 motoristas qualificados e dois tipos de
caminhões. Um tipo pode transportar 25 toneladas e o outro tipo pode transportar
somente 15 toneladas. Devido a uma exigência do seguro caminhões de 25
toneladas de capacidade devem ter dois motoristas na cabine durante o
transporte. Caminhões com capacidade de 15 toneladas precisam de apenas um
motorista na cabine. Determine quanto caminhão de cada tipo devem ser usados
para mover a terra em uma viagem utilizando todos os motoristas disponíveis.
Figura 9: Transportadora Ruas
3. Você deve determinar a relação de preços para os assentos de um concerto no
Teatro Jzaneydy. Você decidiu vender ingressos para dois tipos de lugares: um
tipo será vendido por R$ 5,00 cada, e o outro tipo por R$ 8,00 cada. Há no teatro
um total de 1.500 lugares e espera-se que toda a capacidade seja vendida.
Quantos lugares dos dois tipos devem ser vendidos para obter uma arrecadação
de R$ 10.500,00.
4. Um vendedor de carros lucra R$ 500,00 para cada carro básico vendido e lucro
R$ 1.000,00 pra cada carro esporte vendido. O vendedor tem como meta vender
quatro carros básicos para cada carro esporte vendido e necessita ainda lucrar
R$ 3.000,00 por semana para cobrir seus custos. Quantos carros básicos e
quantos carros esporte o vendedor deve vender por semana?
Figura 11: Carro esporte e carro básico
Resumo
Em muitas situações, a solução de um problema não pode ser encontrada
utilizando-se apenas de uma equação. Em diversos problemas são encontradas
mais de uma equação e mais de uma variável, quando isso acontece, um sistema de
equações é utilizado para representar a situação e resolvê-la.
Para resolver um sistema de equações podemos utilizar três métodos:
Método gráfico.
Quando o gráfico das duas equações se encontrarem, o ponto de interseção
(x, y) dá os valores desconhecido que será solução do sistema.
Método da substituição.
Utilizando o método da substituição, primeiramente devemos isolar uma das
incógnitas, para depois substituir seu valor na outra equação. O par de incógnitas
(x, y) que faz as duas equações tornarem verdadeiras é a solução do sistema. É
aconselhável utilizar este método quando um dos coeficientes for igual a 1.
Método da adição.
O método da adição consiste em primeiramente multiplicar uma ou as duas
equações por um valor de modo que ao efetuar a adição das equações uma das
incógnitas desapareça, possibilitando desse modo encontrar a outra. O par de
incógnitas (x, y) que faz as duas equações verdadeiras é a solução do sistema. É
aconselhável utilizar este método quando todos os coeficientes das incógnitas forem
diferentes de um.
∗ Para pesquisar
Existe um outro método que não foi abordado neste trabalho denominado
método dos determinantes; por entendermos que o método dos determinantes é
aplicável para sistemas lineares de três equações e três incógnitas, mas ele pode
ser usado em sistemas de duas equações e duas incógnitas. Por isso sugerimos
uma pesquisa e a resolução do problema abaixo pelo método dos determinantes.
» Um pecuarista tem em sua fazenda 100 cabeças de bois e cavalos. Cada boi
utiliza um chip de identificação que custa R$ 25,00 e cada chip colocado nos
cavalos custa R$ 20,00. Quantas cabeças de cada animal têm esse pecuarista
em sua fazenda se o valor pago para colocar os chips foi de R$ 2.350,00?
Atividade de Laboratório
Use os conceitos matemáticos aprendidos para trabalhar a atividade seguinte.
Atividade 1 – Separação de uma mistura.
Objetivo
Resolver uma situação problema utilizando sistema de equações
Materiais
Caixa
de
parafusos de 4
ou
5 tamanhos
diferentes.
Dependendo da quantidade de grupos que serão formados.
Caixa de porcas de parafusos de 4 ou 5 tamanhos diferentes.
Dependendo da quantidade de grupos que serão formados.
7 copos plástico, capacidade de 300 ml
Balança de precisão digital.
Enunciado do
O empacotamento dos itens deve ser feito por peso ou contagem.
problema
Suponha que você possui uma mistura de dois itens diferentes.
Porcas e Parafusos. Você conhece a contagem total e o peso total
da mistura, mas você não sabe quantos de cada uma estão
Figura 12:
Parafuso
presentes. Nesta atividade vamos descobrir o peso de cada porca
e de cada parafuso e determinar quantos de cada item há na
mistura sem contar tudo.
Procedimento
» Divida a sala em 7 grupos de quatro ou cinco alunos
» Coloque um número aleatório de porcas e parafusos em um
copo (sempre do mesmo tipo), no entanto você precisa saber o
número total de objetos no copo;
» Entregue os copos com os parafusos e porcas para os grupos
» Primeiramente peça os grupos para determinar o peso de uma
porca e o peso de um parafuso, utilize a balança digital para
isso. Registre os resultados em uma folha de dados.
» Utilizando a balança de precisão, determine o peso total do
copo com as porcas e parafusos. Registre esse peso total na
sua folha de dados.
» Pese um copo vazio e registre esse valor na folha de dados
Cálculos
a) Fazendo x o número de porcas e y o número de parafusos
escreva uma equação para o número total de itens no copo.
b) Você sabe também o peso de cada porca e de cada parafuso
através de suas medições. Escreva uma equação para o peso
total das porcas e parafusos.
c) Do passo anterior, você deve ter duas equações com duas
incógnitas: x porcas e y parafusos. Resolva estas equações
utilizando um dos métodos estudados.
d) Verifique a sua solução substituindo os valores nas equações
originais.
e) Examine a solução obtida no item c. Você sabe que deve obter
números
inteiros
de
porcas
e
parafusos,
não
valores
fracionários. A sua solução matemática resultou em números
inteiros? Se não, por que isso aconteceu? Refaça os cálculos e
talvez as medições de peso.
f) Agora conte as porcas e parafusos no copo. Compare com sua
solução do sistema para x e y acima. Os valores são iguais? Se
o número verdadeiro de porcas e parafusos forem diferentes
dos obtidos na solução do sistema, tente explicar a razão.
Optativo
Utilize o laboratório de informática e um software livre para traçar
os gráficos das equações e determine o ponto de interseção. O
valor encontrado no gráfico é o mesmo que você encontrou nos
passos acima?
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática,
1998.
PAIVA, Manoel. Matemática: volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna. 1999.