Análise Combinatória
Prof. Thiago Figueiredo
(Escola Naval) Um tapete de 8 faixas
deve ser pintado com cores azul, preta e
branca. A quantidade de maneiras que
podemos pintar esse tapete de modo que
as faixas consecutivas não sejam da
mesma cor é:
a) 256
b) 384
c) 520
d) 6561
e) 8574
Resolução:
Logo pelo principio multiplicativo temos que o
número de maneiras de pintar o tapete é:
3.2.2.2.2.2.2.2 = 384
Resolução:
Logo pelo principio multiplicativo temos que o
número de maneiras de pintar o tapete é:
3.2.2.2.2.2.2.2 = 384
a) 256
b) 384
d) 6561
c) 520
e) 8574
A figura mostra um mapa com 4 regiões.
a) De quantos modos esse mapa pode ser
colorido (cada país com uma cor e países
com uma linha fronteira comum não
podem ter a mesma cor) se dispomos de
b cores diferentes?
b) Qual o menor valor de b que permite
colorir o mapa?
Resolução:
a)
b-1
b-2
b
b-3
Portanto, Total = b.(b-1).(b-2).(b-3)
Resolução:
b) Como, total = b.(b-1).(b-2).(b-3), necessitamos
de no mínimo 4 cores.
Se b = 4, teremos 24 maneiras de pintar o mapa
a)De quantos modos é possível colocar um
rei negro e um rei branco em casas não
adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)?
b) Qual seria a resposta se fossem dois reis
brancos iguais?
Resolução:
1° caso: rei negro ocupa as casas dos
vértices:
Rei negro: 4 opções
Rei Branco: 60 opções
Resolução:
2° caso: rei negro ocupa borda mas não
vértice:
Rei negro: 24 opções
Rei Branco: 58 opções
Resolução:
3° caso: rei negro ocupa casa interna:
Rei negro: 36 opções
Rei Branco: 55 opções
Resolução:
Portanto,
Total = 4 . 60 + 24 . 58 + 36 . 55 = 3.612
b) Agora passa a ser metade da anterior e,
Portanto: 1.806
Quantos elementos têm o conjunto A,
subconjunto do conjunto dos números
racionais, onde:
p

A =  / p, q ∈ ℕ;1 ≤ p ≤ 10 e 1 ≤ q ≤ 10 
q

a) 20
b) 50
d) 83
c) 63
e) 100
Resolução:
Fixamos os numeradores com os números
naturais de 1 a 10, e depois colocamos os
denominadores, de forma que numerador e
denominador sejam primos entre si, pois
caso contrário, simplificaremos e ficamos
com uma com um número racional já
contado.
Resolução:
numerador 1 : 10 possibilidades, todos os
números de 1 a 10.
numerador 2 : 5 possibilidades, eliminamos
os pares.
numerador 3 : 7 possibilidades, eliminamos
os múltiplos de 3.
numerador 4 : 5 possibilidades, eliminamos
os pares.
Resolução:
numerador 5 : 8 possibilidades, eliminamos 5
e 10.
numerador 6 : 3 possibilidades, eliminamos
os pares ou os múltiplos de 3.
numerador 7 : 9 possibilidades, eliminamos
7.
numerador 8 : 5 possibilidades, eliminamos
os pares.
Resolução:
numerador 9 : 7 possibilidades, eliminamos
os múltiplos de 3.
numerador 10 : 4 possibilidades, eliminamos
os pares ou os múltiplos de 5.
∴ Total = 10 + 5 + 7 +5 + 8 +3 +9 +5 +7 +4 =
= 63 elementos
Resolução:
∴ Total = 10 + 5 + 7 +5 + 8 +3 +9 +5 +7 +4 =
= 63 elementos
a) 20
b) 50
d) 83
c) 63
e) 100
(ITA 2001) Considere os números de 2
a 6 algarismos distintos formados
utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8.
Quantos destes números são ímpares
e começam com um dígito par?
a) 375
b) 465
d) 585
e) 625
c) 545
Resolução:
2 algarismos : 3 . 3 = 9
3 algarismos : 3 . 4 . 3 = 36
4 algarismos : 3 . 4 . 3 . 3 = 108
5 algarismos : 3 . 4 . 3 . 2 . 3 = 216
6 algarismos : 3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 216
Resolução:
∴ Total = 9 + 36 + 108 +216 + 216 = 585
a) 375
b) 465
d) 585
e) 625
c) 545
(ITA 2003) O número de divisores de
17.640 que , por sua vez, são divisores
por 3 é:
a) 24
b) 36
d) 54
c) 48
e) 96
Resolução:
17.640 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
3
2
1
2
Para a escolha do expoente:
do 2: temos 4 possibilidades (0 ou 1 ou 2 ou 3)
do 3: temos só 2 possibilidades pois o
número deve ser divisível por 3 (1ou 2)
do 5: temos, 2 possibilidades (0 ou 1)
do 7: temos, 3 possibilidades (0 ou 1 ou 2)
Resolução:
Número de “divisores positivos” que são
divisíveis por 3 é:
4 . 2 . 3 . 2 = 48
O número de divisores é 96
(48 positivos e 48 negativos).
a) 24
b) 36
d) 54
c) 48
e) 96
(ITA 2007) Determine quantos números de
3 algarismos podem ser formados com os
algarismos 1,2,3,4,5,6, e 7 satisfazendo à
seguinte regra: O número não pode ter
algarismos repetidos, exceto quando
iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e
apenas o 7 ) pode aparecer mais de uma
vez. Assinale o resultado obtido:
a) 204
b) 206
d) 210
e) 212
c) 208
Resolução:
Do enunciado, ou os números tem 3
algarismos distintos, ou o número é 177,
ou o número é 277. Assim:
3 algarismos distintos: 7 . 6 . 5 = 210
Portanto, total = 210 +2 = 212 números
a) 204
b) 206
d) 210
e) 212
c) 208
Um ministro brasileiro organiza uma
recepção. Metade dos convidados são
estrangeiros cuja língua oficial não é o
português e, por delicadeza, cada um deles
diz “Bom Dia” a cada um dos outros na
língua oficial de quem a se dirige. O ministro
responde “Seja Bem Vindo” a cada um dos
convidados. Sabendo que no total forma
ditos 78 bons dias em português o número
de convidados na recepção foi:
a) 9
b) 10
d) 12
c) 11
e) 13
Resolução:
Brasileiros - Brasileiros = n . (n – 1)
Estrangeiros - Brasileiros= n . n
Convidados - Ministro = 2 . n
Resolução:
n ( n − 1) + n + 2 n = 78 ⇒
2
⇒ 2 n + n − 78 = 0 ⇒ n = 6
13
ou n = −
( não convém )
2
∴ total de convida do s =
= 2 n = 2 .6 = 1 2
2
Resolução:
∴ total de convida do s =
= 2 n = 2 .6 = 1 2
a) 9
b) 10
d) 12
c) 11
e) 13
Há 4 livros de Matemática, 2 livros
diferentes de Química e 5 livros diferentes
de Física. De quantas maneiras podemos
arrumar esses livros numa prateleira, de
modo que os livros de Física fiquem todos
separados?
a) 1.814.400
d) 5.760
b) 21
e) 34.560
c) 86.400
Resolução:
Colocamos em fila os livros de Matemática
e de Química deixando os espaços para
colocarmos os livros de Física:
_M_M_M_M_Q_Q_
7 espaços para 5 livros:
7!
C 7 ,5 =
= 21
( 7 − 5 )!⋅ 5 !
Resolução:
Como os livros de uma mesma disciplinas
são diferentes, então devemos multiplicar
pelas permutações:
Permutações dos livros de Matemática e
de Química:
P6: 6! = 720
Permutações dos livros de Física:
P5: 5! = 120
Resolução:
∴ Total = 21 ⋅ 720 ⋅ 120 = 1.814.40 0
a) 1.814.400
d) 5.760
b) 21
e) 34.560
c) 86.400
Um campeonato é disputado por 10 clubes
em rodadas de 5 jogos cada. De quantos
modos é possível selecionar os jogos da
primeira rodada?
a) 315
b) 925
d) 36.228.800
c) 720
e) 120
Resolução:
Selecionar os jogos da primeira rodada é
dividir os 10 clubes em 5 grupos de 2. Mas
isso pode ser feito, permutando os 10 clubes
e dividindo por 5! . (2!)5 .
∴ Total =
10!
5!⋅ ( 2 !)
5
= 945
Resolução:
∴ Total =
a) 315
10!
5!⋅ ( 2 !)
b) 945
d) 36.228.800
5
= 945
c) 720
e) 120
Quantos dados diferentes podemos formar
gravando números de 1 a 6 sobre as faces
indistinguíveis de um cubo de madeira?
Resolução:
Façamos de conta que as faces são
diferentes e sendo assim: P6 = 6! = 720.
Resolução:
Resolução:
Mas as faces são indistinguíveis e então,
por exemplo, 1 na face de cima e 6 na de
baixo e igual a 1 na de baixo e 6 na de cima.
Sendo assim, temos:
720
Tot al =
= 30 ma ne iras
24
(ITA 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes
deve-se formar uma comissão de 5 pessoas
com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De
quantas formas distintas tal comissão
poderá ser formada?
Resolução:
Do enunciado, para ter, pelo menos uma
moça e um rapaz, a comissão formada só
não pode ter cinco rapazes. Assim:
Resolução:
C 9 ,5 − C 5,5
9!
=
−1 =
( 9 − 5 ) !⋅ 5 !
= 125 comissões
(ITA 2004) Considere 12 pontos distintos no
plano, 5 dos quais estão numa mesma reta .
Qualquer outra reta do plano contém no
máximo, 2 destes pontos. Quantos
triângulos podemos formar com os vértices
nestes pontos?
a) 210
b) 315
d) 415
e) 521
c) 410
Resolução:
C12 ,3 − C 5,3
12!
5!
=
−
=
(12 − 3 )!⋅ 3! ( 5 − 3 )!⋅ 3!
= 210 triângulos
Resolução:
C12 ,3 − C 5,3
12!
5!
=
−
=
(12 − 3 )!⋅ 3! ( 5 − 3 )!⋅ 3!
= 210 triângulos
a) 210
b) 315
d) 415
e) 521
c) 410
(ITA 2002) Quantos anagramas com 4 letras
distintas podemos formar com as 10
primeiras letras do alfabeto e que
contenham 2 das letras a,b e c?
a) 1.692
b) 1.572
d) 1.512
e) 1392
c) 1.520
Resolução:
Para escolhermos 4 letras, sem importar a
ordem, de modo que contenham duas das
letras a, b e c, temos:
C 3,2 ⋅ C 7 ,2
3!
7!
=
⋅
( 3 − 2 )!⋅ 2! ( 7 − 2 )!⋅ 2!
Como os anagramas são as permutações
das 4 letras escolhidas, o número de
anagramas é:
Resolução:
C 3,2 ⋅ C 7 ,2 ⋅ 4! = 3 ⋅ 21 ⋅ 24 = 1.51 2
a) 1.692
b) 1.572
d) 1.512
c) 1.520
e) 1392
Em uma urna há fichas numeradas de 1 a
10. De quantos modos se podem retirar 3
fichas de modo que a soma dessas fichas
não seja menor que 9?
a) 116
b) 120
d) 88
e) 89
c) 87
Resolução:
O número de modos de retirar 3 fichas é:
C10 ,3
10!
=
= 120
(10 − 3 )!⋅ 3!
São 4 os grupos de 3 fichas cuja a soma é
inferior a 9:
(1
(1
+ 2 + 3 ) , (1 + 2 + 4 ) ,
+ 2 + 5 ) e (1 + 3 + 4 )
Resolução:
O número de modos de retirar 3 fichas é:
∴ C10,3 − 4 = 120 − 4 = 1 16
a) 116
b) 120
d) 88
c) 87
e) 89
Sobre os lado AB, AC e BC de um triangulo
ABC, consideram-se, respectivamente, 3
pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não
coincidentes com os vértices. Quantos
segmentos podem ser traçados cujas
extremidades
sejam
os
centros
das
circunferências determinadas pelos 12
pontos?
Resolução:
Total de circunferências:
C12 ,3 − C 3,3 − C 4 ,3 − C 5,3 = 205
Resolução:
Como cada dois centros determinam um
segmento, temos:
Total de circunferênc ias:
C 205,2 = 20.910
Cinco amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cenaldo,
Denaldo e Ernaldo, devem formar uma fila
com outras 30 pessoas. De quantas maneiras
podemos formar esta fila de modo que
Arnaldo fique na frente de seus 4 amigos?
(Obs.: Os amigos não precisam ficar em
posições consecutivas.)
a ) 35!
35!
b)
5!
 35 
d )   5!
5 
35!
c)
5
e) e
π 163
Resolução:
O número de filas nas quais Arnaldo fica na
frente de seus amigos é igual ao número de
filas nas quais Bernaldo fica na frente de
seus amigos. E o mesmo ocorre se o amigo
que fica na frente é Cenaldo ou Denaldo ou
Ernaldo, respectivamente.
35!
∴
5
Resolução:
35!
∴
5
a ) 35!
35!
b)
5!
 35 
d )   5!
5 
35!
c)
5
e) e
π 163
Convenciona-se transmitir sinais luminosos de
uma ilha para a costa por meio de 6 lâmpadas
brancas e 6 vermelhas, colocadas nos vértices
de um hexágono regular, de tal modo que:
Em cada vértice haja 2 lâmpadas de cores
diferentes.
Em cada vértice não haja mais do que uma
lâmpada acesa.
O número mínimo de vértices iluminados seja 3.
Determine o número total de sinais que podem
ser transmitidos.
Resolução:
Para calcular o número de sinais com 3
vértices iluminados. Consideramos os
seguintes acontecimentos e seus respectivos
números de ocorrências:
Acontecimentos
A1: escolha de 3 vértices
para serem iluminados
Nº de Ocorrências
C6,3
A2 : escolha da lâmpada
após ter ocorrido A1
23 , pois em cada vértice
devemos escolher uma
lâmpada dentre duas para
ser acesa.
Resolução:
O número de sinais com 3 vértices
iluminados é C6,3 . 23 .
O número de sinais com 4 vértices
iluminados é C6,4 . 24 .
O número de sinais com 5 vértices
iluminados é C6,5 . 25 .
O número de sinais com 6 vértices
iluminados é C6,6 . 26 .
Resolução:
∴ C 6 ,3 ⋅ 2 + C 6,4 ⋅ 2 + C 6 ,5 ⋅ 2 + C 6 ,6 ⋅ 2 =
3
= 65 6
4
5
6
O número máximo de pontos de intersecção
entre 2.007 circunferências distintas é:
a) 4.014
b) 4.026.042
c) 2.013.021
d) 2.007
e) 2.0072.007
Resolução:
Duas circunferências distintas se cortam em,
no máximo, dois pontos distintos. Portanto, o
número máximo de pontos de interseção de
2.007 circunferências distintas é:
∴ 2 ⋅ C 2.007 ,2 = 4.026.042
Resolução:
∴ 2 ⋅ C 2.007 ,2 = 4.026.042
a) 4.014
b) 4.026.042
c) 2.013.021
d) 2.007
e) 2.0072.007
Na figura temos o primeiro quadrante de um
sistema de coordenadas cartesianas com 7
pontos no eixo das abscissas e 6 pontos no
eixo das ordenadas. Utilizando um dos 6
pontos do eixo das ordenadas, e um dos 7
pontos do eixo das abscissas podemos
formar 42 retas.
Na intersecção dessas retas algumas
ocorrem
nesse
primeiro
quadrante.
Determine o total de intersecções no
primeiro quadrante.
Resolução:
Para cada quatro pontos escolhidos (dois no
eixo das abscissas e dois no eixo das
ordenadas), é determinado um ponto de
intersecção dessas retas.
∴ C 7 ,2 ⋅ C 6,2 = 21 ⋅ 15 = 3 15
Uma prova consta de 3 partes, cada uma
com
5
questões.
Cada
questão,
independentemente da parte a que
pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de
correção “certo” ou “errado”. De quantas
maneiras diferentes podemos alcançar 10
pontos nessa prova, se devem ser
resolvidas pelo menos 3 questões de cada
parte e 10 questões no total?
a) 1.500
d) 50
b) 500
e) 3.000
c) 5.000
Resolução:
Como devem ser resolvidas pelo menos 10
questões, será necessário resolver 3
questões em duas partes e 4 questões em
uma das partes.
(4, 3, 3,), (3, 4, 3,) ou (3, 3, 4)
∴ 3 .C 5,3 . C 5,3 . C 5,4 = 1.500
a) 1.500
d) 50
b) 500
e) 3.000
c) 5.000
De quantos modos se pode pintar as faces
de uma pirâmide pentagonal regular usando
seis cores diferentes, sendo cada face de
uma cor?
a) 144
b) 288
d) 340
c) 720
e) 72
Resolução:
Consideramos os seguintes acontecimentos
e seus respectivos números de ocorrências:
Resolução:
Acontecimentos
Nº de Ocorrências
A1 : Escolha da cor
para base da
pirâmide
6
A2: Permutação
circulares das 5 cores
sobre as faces
laterais.
4!
Resolução:
∴ 6 ⋅ 4! = 6 ⋅ 24 =
= 144 modo s de pintar
a) 144
b) 288
d) 340
c) 720
e) 72
Numa demonstração de pára-quedismo,
durante a queda livre, participam 10 páraquedistas. Em, certo momento, 7 deles
devem dar as mãos e formar um círculo. De
quantas formas distintas eles poderão ser
escolhidos e dispostos nesse círculo?
a) 120
b) 720
d) 151.200
c) 86.400
e) 723.043
Resolução:
Escolha dos 7 pára-quedistas para formar o
círculo:
C10,7 = 120
Após a escolha dos 7 pára-quedistas,
determinam o total de posições no circulo,
através de permutações circulares:
6! = 720
Portanto, 120 . 720= 86.400
Resolução:
Portanto, 120 . 720= 86.400
a) 120
b) 720
d) 151.200
c) 86.400
e) 723.043
Uma partícula estando no ponto (x , y),
pode-se mover para o ponto (x +1, y) ou
para (x, y + 1).Quantos são os caminhos
que a partícula pode tomar para, partindo do
ponto (0 , 0), chegar ao ponto (a, b), onde
a>0eb>0?
Resolução:
A partícula deve se mover a vezes para a
direita e b vezes para a esquerda.
a + b )!
(
∴
a !⋅ b !
Quantos números de 5 algarismos podem
ser formados usando apenas os algarismos
1, 1, 1, 1, 2 e 3 ?
Resolução:
Utilizando os algarismos:
1, 1, 1, 1, 2 :
1, 1, 1, 1, 3 :
1, 1, 1, 2, 3 :
∴ 30
De quantas maneiras é possível colocar 6
anéis diferentes em 4 dedos?
Resolução:
Primeiramente, devemos decidir quantos
anéis haverá em cada dedo, o que equivale:
x1 + x2 + x3 + x4 = 6
Sendo assim, temos 84 opções.
Depois, devemos permutar os anéis:
P6 = 6! = 720
Portanto,
84 . 720 = 60.480 maneiras
De quantos modos é possível comprar 4
sorvetes em uma loja que os oferece em
7 sabores ?
Resolução:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4
10!
∴
= 210
6!⋅ 4!
Quantas s ã o as solu çõ es inteiras
e n ã o negativas da inequa çã o
x+ y+z ≤5
Resolução:
x+ y+z =5
x+ y+z =2
x+ y+z =4
x+ y + z =1
x+ y+z =3
x+ y+z =0
Resolução:
x + y + z = 5 ⇒ 21 

x + y + z = 4 ⇒ 15 
x + y + z = 3 ⇒ 10 
 ⇒ 56
x+ y+z =2⇒ 6 
x + y + z =1⇒ 3 

x+ y+z =0⇒1 
Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4
bibliotecas . Cada biblioteca deve receber
ao menos dois livros. O número de modos
que esses dois livros pode ser repartidos
nessa doação, é igual a:
a) 1.365
b) 840
d) 120
c) 240
e) 35
Resolução:
Se considerarmos a equação:
x1 + x2+ x3 + x4 = 15
Como cada biblioteca deve receber ao
menos dois livros, então xi ≥ 2. Façamos
então a substituição por xi = yi + 2
A quantidade de soluções da equação, com
é igual a quantidade de soluções inteiras não
negativas de:
y 1 + y 2+ y 3 + y 4 = 7
Resolução:
Portanto, 120 soluções.
a) 1.365
b) 840
d) 120
c) 240
e) 35
Sejam r1 e r2 distintas paralelas, P1.........Pm
pontos distintos em r1 e S1 ......... S n pontos
distintos em r2. Determine o valor de m + n
se 18 e 30 são, respectivamente, o número
de quadriláteros convexos e de triângulos
que se pode construir com vértices nos
pontos acima considerados.
a) 10
b) 13
d) 7
c) 5
e) 15
Resolução:
De acordo com as informações, temos:
Quadriláteros: C m ,2 ⋅ C n ,2 = 18 ⇒
⇒ mn ( m n − m − n + 1) = 72
Tr iân gulos: n ⋅ C m ,2 + m ⋅ C n ,2 = 30 ⇒
⇒ mn ( m + n − 2 ) = 60
Dividindo as duas equações, temos:
Resolução:
mn ( m + n − 2 )
60
=
⇒
m n ( mn − m − n + 1) 72
⇒ 5 mn = 11 ⋅ ( m + n − 2 ) + 5
Substituindo esta equação na anterior:
11 ⋅ ( m + n − 2 ) + 5  ⋅ ( m + n − 2 ) = 300
Substituindo (m + n – 2) por r, temos:
Resolução:
11 ⋅ r + 5 r − 300 = 0 ⇒
2
60
r = 5 ou r = −
(não convém )
11
∴m + n − 2 = 5 ⇒ m + n = 7
a) 10
b) 13
d) 7
c) 5
e) 15