Lógica Matemática e Computacional
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FUNÇÃO
5.1
Introdução
O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e
formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e da
formalidade matemática no estudo das funções permite a análise mais criteriosa e detalhada do
problema que pretendemos resolver, e a representação gráfica dos argumentos válidos utilizados
na solução algébrica desse problema auxilia a interpretação dos resultados obtidos.
O termo função é associado ao conceito de que se duas quantidades (variáveis) x e y estão
relacionadas de modo que, a cada valor atribuído a x, corresponde, por alguma lei ou regra
(implícita ou explícita), um valor a y, dizemos que y é função de x.
Definição: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B ´e um subconjunto f de A ×B
satisfazendo a seguinte propriedade: para todo x ∈ A, existe um único elemento y ∈ B tal que (x,
y) ∈ f.
Uma função é caracterizada por uma terna de elementos (A, f, B), onde A e B são
conjuntos e f é uma relação entre eles (satisfazendo as condições para ser função). Denota-se isso
por f : A → B, que se lê f é uma função de A em B. Se f relaciona um elemento x ∈ A com um
elemento y ∈ B (isto é, se (x, y) ∈ f), tal relação ´e denotada por f(x) = y.
Exemplos:
•
•
•
•
f : {1, 2, 3} → {a, b}, dada por f(1) = a, f(2) = a, f(3) = b
f : R → R, dada por f(x) = x2
f : R → R, dada por f(x) = x + 1
f : [0, 1] → R, dada por f(x) = x + 1
Dada uma função qualquer f : A → B. O conjunto A é chamado de domínio de f e é
denotado por Domf. Já o conjunto B é chamado de contradomínio (não há uma notação para o
contradomínio). Dado um elemento x do domínio, então, pela própria definição de função, deve
existir um elemento y do contradomínio tal que y = f(x) (e esse elemento, lembre-se, é único).
Diz-se, neste caso, que y é imagem de x. O conjunto de todas as imagens dos elementos do
domínio, i.e. o conjunto dos elementos de B que estão relacionados a algum elemento de A, é
chamado de imagem de f e denotado por Imf, isto é Imf := {y ∈ B | y = f(x) para algum x ∈ A}
que também pode ser descrito por Imf = {f(x) | x ∈ A}. Em outras palavras, para que um
elemento y do contradomínio B pertença à imagem de f, ele deve ser imagem de algum elemento
do domínio A, i.e. deve existir algum elemento x ∈ A tal que f(x) = y.
5.2
Função de Primeiro Grau.
Função polinomial do primeiro grau ou simplesmente função de primeiro grau é toda
função definida de R em R por f(x) = ax + b, com a e b números reais. O gráfico de uma função
de primeiro grau é sempre uma reta.
5.2.1 - Exemplo
Construa o gráfico da função do primeiro grau f(x) = 2x - 2, definida de R em R. Dica:
atribua valores inteiros à variável x.
Atribuindo os valores para x iguais a {0, 1, 2} tem-se que a Imf = {-2, 0, 2}, logo o
gráfico será:
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5.2.2 - Estudo dos sinais de funções f(x) = ax + b
O gráfico de uma função pode ser definido por leis diferentes, em diferentes intervalos de
R. Lembre-se de que quando uma reta, no plano cartesiano, é:
• paralela ao eixo Ox, a função é constante (f(x) = t);
• crescente, o sinal de a é positivo;
• decrescente, o sinal de a é negativo.
Para fazer um estudo dos sinais de uma função do primeiro grau, deve-se proceder da
seguinte forma:
•
•
•
•
determinar se a raiz da função (f(x) = 0);
verificar se o sinal de a (se a > 0 a função é crescente, se a < 0 a função é
decrescente);
esboçar um gráfico;
montar uma tabela indicando os sinais da imagem da função.
5.2.3 - Exemplos
a) Dada a função g : N → N, g(n) = n, encontre o gráfico da função.
Solução:
b) Dada a função h : R → R, dada por
encontre o gráfico da função. Solução:
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5.2.4 - Usando Funções para Resolver Problemas de 1º Grau
Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa
determinar a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução.
Exemplos: 1) Um número somado com seu dobro é igual quinze. Determine este número.
Analisando o problema, tem-se que:
x + 2x = 15 3x = 15 x= 15/3 x = 5
Logo, o número procurado é 5.
2) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e
quantos coelhos há nesse terreiro?
Desenvolvendo a solução:
Coelho = x e Galinhas = 13 – x (total de animais menos o número de coelhos)
Logo, 4x+2(13-x)=46 (nro de pés de coelho vezes o nro de coelhos + nro de pés de galinha
vezes o nro de galinha é igual ao total de pés).
4x+2(13-x)=46 4x + 26 – 2x = 46 4x – 2x = 46 – 26 2x = 20 x= 20/2
assim, x = 10
portanto, o número de coelhos = 10 e o número de galinhas = 13 - 10 = 3
5.3
Funções de 2º Grau.
De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode
ser escrita na forma, ax2 + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b e c são os coeficientes da
equação do 2º grau.
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• a representa o coeficiente de x2.
• b representa o coeficiente de x.
• c representa o termo independente.
Exemplos de equações do 2º grau.
•
•
5x2 - 3x + 2 = 0 onde: a = 5, b = - 3 e c = 2
x2 + 4x = 0 onde: a = 1, b = 4 e c = 0
5.3.1 - Raízes de uma equação do 2º grau
Diz-se que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática
verdadeira. Exemplos:
a) Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0.
x2 - 11x + 18 = 0
(9)2 - 11(9) + 18 = 0 (substituímos a variável x por 9)
81 - 99 + 18 = 0
0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais)
b) Encontre as raízes da equação: x2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)
x=0
x-4=0
x=4
S = {0;4}
5.3.2 - Exemplos
a) Dada a função f : [−1, 2] → R, f(x) = x2, encontre o gráfico da função.
Solução:
5.4
Exercícios
5.4.1 - Analise o esboço de cada gráfico a seguir sobre a função de 2º grau, y = ax2 + bx + c, a
qual o gráfico representa, determine o que se pede, justificando sua resposta:
a) as raízes da função;
b) o sinal do coeficiente a;
c) o valor do coeficiente c;
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d) se y assume um valor máximo ou um valor mínimo, escrevendo esse valor.
I) Respostas:
a). – 3 e 1,
b) a > 0,
c) c = – 3,
d) Min – 4
5.4.2 - Construa o gráfico de cada função de 1.o grau a seguir.
a) y = 3x + 1
b) f(x) = 2x – 5
c) y = – x + 2
d) f(x) = – 4x
5.4.3 - Os gráficos a seguir representam funções de 1.o grau da forma y = ax + b. Em cada um
deles, identifique o valor da raiz e o valor do coeficiente linear.
5.4.4 - Em cada função abaixo, calcule o valor da variável independente para o qual a função se
anula.
a) y = x – 5
b) d = 30 t
c) m = 7n – 4
d) p = – 5x + 4
e) r=2/3 S – 2
f) f(x) = 9 – 3x
5.4.5 - Dada a função de 2.o grau y = 2x2 – 3x + 7, faça o que se pede.
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a) Identifique os coeficientes a, b e c de sua fórmula.
b) Calcule: f(– 1) = , f(0) = , f(2) =
5.4.6 - Calcule as raízes ou zeros, se existentes, de cada função de 2.o grau.
a) y = 3x2 – 9x
d) y = 16x2
b) y = – 4x2 + 9
e) y = 2x2 – 5x + 4
c) y = x2 + 7x + 12
f) y = – x2 + 6x – 9
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Bibliografia
BAHIA, Maria Giselle Marques & MACHADO, Walnice Brandão. Matemática básica 1.
Faculdades Pitágoras, Out. 2009.
NASCIMENTO, Flavio. Matemática para concursos (apostila).
CARDOSO, Valdinei Cezar. Matemática fácil (apostila).
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática. v. 1, 2000.
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