MAT. – 6
GRUPO 1 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 08
05. Suponha que os números reais 1 − r , 1 e 1 + r sejam, nessa ordem, três termos
consecutivos de uma progressão aritmética de razão r ≠ 0 .
Determine r de modo que as imagens f (1 − r ), f (1) e f (1 + r ) desses números pela
função f ( x) = 3 x 2 sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão
geométrica.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
MAT.– 7
06. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo w = (1 + i 3 )
é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
n
MAT. – 8
GRUPO 1 – TIPO A
07. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A
média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar
a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que
custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do
ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação,
responda às questões propostas.
A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja
máximo?
B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
MAT.– 9
08. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a
4 3
m e um prisma
3
cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos
médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse
prisma (em m3 ).
.
.
F
G
.
.
E
H
.
.
B
.
A
.
N
.
M
2º VESTIBULAR UFOP 2009
C
.
D
MAT. – 6
GRUPO 1 – TIPO B
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 08
05. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a
4 3
m e um prisma
3
cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos
médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse
prisma (em m3 ).
.
.
F
G
.
.
E
H
.
.
B
.
A
.
N
.
M
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C
.
D
GRUPO 1 – TIPO B
MAT.– 7
06. Suponha que os números reais 1 − r , 1 e 1 + r sejam, nessa ordem, três termos
consecutivos de uma progressão aritmética de razão r ≠ 0 .
Determine r de modo que as imagens f (1 − r ), f (1) e f (1 + r ) desses números pela
função f ( x) = 3 x 2 sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão
geométrica.
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MAT. – 8
GRUPO 1 – TIPO B
07. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo w = (1 + i 3 )
é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
n
GRUPO 1 – TIPO B
MAT.– 9
08. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A
média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar
a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que
custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do
ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação,
responda às questões propostas.
A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja
máximo?
B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?
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GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 1
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Reescreva a expressão
x x x
, em que x é um número real positivo, como uma
x x3 x2
potência racional de x, isto é, na forma
x p / q , onde p e q são dois números inteiros.
02. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00.
Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo
R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da
empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 2
03. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente
uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à
urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por
mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados
ao final do experimento seja igual a 8.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 3
04. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma
progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos
consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que
xb y c z a = xc y a zb .
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 4
05. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20
equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida,
da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se
campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a
disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela
equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às
questões propostas.
Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.
6
5
Gols
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Rodadas
gols marcados
gols sofridos
Fonte:< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.
A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota,
nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 5
B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro
colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o
terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da
abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?
C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos
clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do
campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura
do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 6
06. Um polinômio P ( X ) de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por ( X − 3) 2 e
satisfaz P(i ) = 0 , P(1) = −8 e P(−1) = −96 . Encontre P(0).
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 7
07. O ponto (0,2) é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de
coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse
hexágono.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 8
08. Na figura apresentada a seguir, temos que  = 50° e AB = 70cm . Pergunta-se: qual
é o número de pontos C ∈ r , tais que BC = 60cm ?
.
B
70
.
50°
A
r
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 9
09. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo
admita infinitas soluções:
α x + 2 y − z = 1

2 x + α y + z = −1
3 x + 2 y + α z = −10

2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 10
10. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do
plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a
parábola de equação y = x 2 .
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 11
11. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é
0,5 + log 9 7 − log 3 a 2 − (
onde
a
1
3 i 24
+ ) + log 27 ( ) −6 ,
2
2
a
representa um número real positivo.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 12
12. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C.
Sabendo-se que o perímetro do triângulo ∆ABC é igual a (2 + 2 + 6)cm , determine
o volume desse cubo (em cm3 ).
.
A
.
C
.
B
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 1
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Um polinômio P ( X ) de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por ( X − 3) 2 e
satisfaz P(i ) = 0 , P(1) = −8 e P(−1) = −96 . Encontre P(0).
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 2
02. O ponto (0,2) é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de
coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse
hexágono.
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 3
03. Na figura apresentada a seguir, temos que  = 50° e AB = 70cm . Pergunta-se: qual
é o número de pontos C ∈ r , tais que BC = 60cm ?
.
B
70
.
50°
A
r
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 4
04. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo
admita infinitas soluções:
α x + 2 y − z = 1

2 x + α y + z = −1
3 x + 2 y + α z = −10

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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 5
05. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do
plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a
parábola de equação y = x 2 .
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 6
06. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é
0,5 + log 9 7 − log 3 a 2 − (
onde
a
1
3 i 24
+ ) + log 27 ( ) −6 ,
2
2
a
representa um número real positivo.
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 7
07. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C.
Sabendo-se que o perímetro do triângulo ∆ABC é igual a (2 + 2 + 6)cm , determine
o volume desse cubo (em cm3 ).
.
A
.
C
.
B
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 8
08. Reescreva a expressão
x x x
x x
3
x
, em que x é um número real positivo, como uma
2
potência racional de x, isto é, na forma
x p / q , onde p e q são dois números inteiros.
09. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00.
Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo
R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da
empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 9
10. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente
uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à
urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por
mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados
ao final do experimento seja igual a 8.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 10
11. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma
progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos
consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que
xb y c z a = xc y a zb .
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GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 11
12. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20
equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida,
da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se
campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a
disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela
equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às
questões propostas.
Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.
6
5
Gols
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Rodadas
gols marcados
gols sofridos
Fonte:< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.
A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota,
nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
MAT. – 12
B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro
colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o
terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da
abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?
C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos
clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do
campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura
do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 6
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Encontre as soluções complexas da equação x + (1 − 4i ) x − 4i = 0 .
4
2º VESTIBULAR UFOP 2009
2
GRUPO 6 – TIPO A
MAT – 7
08. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base
inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da
região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a
calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
6
cm 2 ,
4
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 8
09. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A
distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância
entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados,
resolva os itens seguintes:
A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?
B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de 3 cm . Agrupando-se os
triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área
dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MAT – 9
10. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma
viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de
asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5
quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km
foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço
médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.
A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada
de asfalto?
B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para
a de terra?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 10
11. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas
incógnitas x e y :
2 x − α y + 7 = 0

− 4 x + 6 y − β = 0
A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?
B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e
resolva o sistema para esse par.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MAT – 11
12. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude
constante e à velocidade também constante de 600 km / h (veja a figura abaixo). Em um
dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°.
Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo
obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível,
determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.
60°
30°
.T
.
P
Solo
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Torre
GRUPO 6 – TIPO B
MAT – 7
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma
viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de
asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5
quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km
foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço
médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.
A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada
de asfalto?
B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para
a de terra?
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO B
MAT. – 8
08. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas
incógnitas x e y :
2 x − α y + 7 = 0

− 4 x + 6 y − β = 0
A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?
B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e
resolva o sistema para esse par.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO B
MAT – 9
09. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude
constante e à velocidade também constante de 600 km / h (veja a figura abaixo). Em um
dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°.
Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo
obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível,
determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.
60°
30°
.T
.
P
Solo
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Torre
GRUPO 6 – TIPO B
MAT. – 10
10. Encontre as soluções complexas da equação x + (1 − 4i ) x − 4i = 0 .
4
2º VESTIBULAR UFOP 2009
2
GRUPO 6 – TIPO B
MAT – 11
11. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base
inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da
região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a
calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.
2º VESTIBULAR UFOP 2009
6
cm 2 ,
4
GRUPO 6 – TIPO B
MAT. – 12
12. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A
distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância
entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados,
resolva os itens seguintes:
A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?
B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de 3 cm . Agrupando-se os
triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área
dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?
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