Biotecnologia – UBI
Cálculo II
1º Teste
Duração: 1h 45m
2013-04-09
–
Escreva o seu nome e número em cada folha que entregar.
–
Apresente todos os cálculos que efectuar.
–
Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
VERSÃO A
1. Seja:
f ( x, y, z ) = ln (25 − x 2 − y 2 − z 2 )
a)
[1,0]
Determine o domínio de f.
b)
[0,5]
Esboce o domínio de f.
c)
[1,0]
Determine o contradomínio de f.
2. [2,0] Mostre que a função seguinte não é contínua em (0, 0).
 x 2 sen 2 x

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
 1

se ( x, y ) ≠ (0, 0)
se ( x, y ) = (0, 0)
3. Seja:
f ( x, y ) = e x cos( xy )
4.
a)
[2,0]
Determine a linearização de f no ponto (0,0).
b)
[0,5]
Utilizando a), calcule o valor aproximado de f (0.1, –0.1).
[2,0]
Considere a equação de um gás ideal, PV = 8,31 T. Onde a P é a pressão (em
kilopascais), V é o volume (em litros) e T é a temperatura (em kelvins). A pressão está a
aumentar à taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura está a aumentar à taxa de 0,15 K/s. Determine
uma expressão numérica para a taxa de variação do volume, quando a pressão é de 20 kPa e
a temperatura é de 320 K. (Não é necessário simplificar a expressão numérica determinada).
1
5. A temperatura na superfície de um líquido é dada pela função:
T ( x , y ) = 2e − x
2
−2 y 2
onde T é medida em ºC e x e y são medidos em metros.
a)
[1,5]
b)
[1,5]
Determine ∇T .
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(0, –1) na direcção do
ponto Q(3, 2).
c)
[1,5]
Quais são as direcções em que a temperatura diminui no ponto P(0, –1).
6. Seja:
f ( x, y ) = xy (1 − x − y )
a)
[2,5]
Determine os eventuais máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de f.
b)
[2,0]
Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f na região triangular D,
definida no plano xy pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (6, 0).
7.
[2,0]
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, determine os valores máximos e mínimos de
f:
f ( x, y ) = x 2 y sujeita à restrição x 2 + y 2 = 1
2
Biotecnologia – UBI
Cálculo II
1º Teste
Duração: 1h 45m
2013-04-09
–
Escreva o seu nome e número em cada folha que entregar.
–
Apresente todos os cálculos que efectuar.
–
Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
VERSÃO B
1. Seja:
f ( x, y, z ) = ln (16 − x 2 − y 2 − z 2 )
a)
[1,0]
Determine o domínio de f.
b)
[0,5]
Esboce o domínio de f.
c)
[1,0]
Determine o contradomínio de f.
2. [2,0] Mostre que a função seguinte não é contínua em (0, 0).
 x 2 sen 2 x

f ( x, y ) =  x 2 + 2 y 2
 1

se ( x, y ) ≠ (0, 0)
se ( x, y ) = (0, 0)
3. Seja:
f ( x, y ) = e 2 x cos( xy)
4.
a)
[2,0]
Determine a linearização de f no ponto (0,0).
b)
[0,5]
Utilizando a), calcule o valor aproximado de f (0.1, –0.1).
[2,0]
Considere a equação de um gás ideal, PV = 8,31 T. Onde a P é a pressão (em
kilopascais), V é o volume (em litros) e T é a temperatura (em kelvins). A pressão está a
aumentar à taxa de 0,08 kPa/s e a temperatura está a aumentar à taxa de 0,25 K/s. Determine
uma expressão numérica para a taxa de variação do volume, quando a pressão é de 20 kPa e
a temperatura é de 320 K. (Não é necessário simplificar a expressão numérica determinada.)
1
5. A temperatura na superfície de um líquido é dada pela função:
T ( x , y ) = 2 e −2 x
2
− y2
onde T é medida em ºC e x e y são medidos em metros.
a)
[1,5]
b)
[1,5]
Determine ∇T .
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(0, –1) na direcção do
ponto Q(3, 2).
c)
[1,5]
Quais são as direcções em que a temperatura diminui no ponto P(0, –1).
6. Seja:
f ( x, y ) = (1 − x − y ) xy
a)
[2,5]
Determine os eventuais máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de f.
b)
[2,0]
Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f na região triangular D,
definida no plano xy pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (6, 0).
7.
[2,0]
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, determine os valores máximos e mínimos de
f:
f ( x, y ) = − x 2 y
sujeita à restrição x 2 + y 2 = 1
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