UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 1 -Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
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Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou
não-linear.
(a) t2
(c)
d2 y
dy
+t
+ 2y = sen t,
2
dt
dt
(b) (1 + y2 )y 00 + ty 0 + y = et
d4 y d3 y d2 y dy
+ 3 + 2 +
+ y = 1,
dt4
dt
dt
dt
(e) y 00 + sen(t + y) = sen t
(d)
dy
+ ty2 = 0
dt
(f)
dy
d3 y
+t
+ (cos2 t)y = t3
dt3
dt
2
Verique que cada função dada é uma solução da equação diferencial associada.
(a) y 00 − y = 0;
y1 (t) = et , y2 (t) = cosh t
(b) y 00 + 2y 0 − 3y = 0;
y1 (t) = e−3t , y2 (t) = et
0
2
(c) ty − y = t ;
y(t) = 3t + t2
(d) y 0000 + 4y 000 + 3y = t;
y1 (t) = t/3, y2 (t) = e−t + t/3
2
00
0
(e) 2t y + 3ty − y = 0,
t > 0; y1 (t) = t1/2 , y2 (t) = t−1
2
00
0
(f) t y + 5ty + 4y = 0,
t > 0; y1 (t) = t−2 y2 (t) = t−2 ln t
(g) y 00 + y = sec t,
0 < t < π/2; y(t) = (cos t) ln cos t + t sen t
Z
(h) y 0 − 2ty = 1,
y(t) = et
2
t
2
2
e−s ds + et
0
3
Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y = ert .
(a) y 0 + 2y = 0
(b) y 00 − y = 0
(c) y 00 + y 0 − 6y = 0
(d) y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0
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Classique as edo's abaixo em lineares, homogêneas, separáveis e/ou autônomas.
(a) y 0 = xy
(b) y 0 =
xy2
x 2 y + y3
(c) y 0 = y3 sin(y)
(d) y 0 =
y−x
2x
(e) y 0 =
x2
y2
(g) sin(t)y 00 + ln(t)y 0 = t2 + 1
(i) y 0 =
x4 + 3x2 y2 + y4
x3 y
(k) (x − y)dx + (x + y)dy = 0
(f) t5 y 0 + arctg(t)y =
(h) y 0 =
x2 + y2
3xy
(j) ydx + xdy = 0
1
1 + t6
5
Resolva:
(a) xdx + ydy = 0
(c) sin(x)dx + ydy = 0; y(0) = −2
(e) (x2 + 1)dx + (y2 + y)dy = 0
y−x
(g) y 0 =
x
(i) x3 ydy − (x4 + 3x2 y2 + y4 )dx = 0
6
(a)
(d)
(g)
(j)
1
1
dx − dy = 0
x
y
1
(d) dy − dx = 0
x 2
(f) xex dx + (y5 − 1)dy = 0; y(0) = 0
2xy
(h) y 0 = 2
y − x2
(j) 2xydy + (x2 + y2 )dx = 0
(b)
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
y 0 − 2y = t2 e2t (c) y 0 + (1/t)y = 3 cos 2t, t > 0
y 0 − 2y = 3et (f) ty 0 + 2y = sen t, t > 0
2y 0 + y = 3t (i) ty 0 − y = t2 e−t , t > 0
y 0 + 3y = t + e−2t (b)
y 0 + y = te−t + 1 (e)
2
y 0 + 2ty = 2te−t
(h)
0
y + y = 5 sen 2t
(k)
2y 0 + y = 3t2
7
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
(a) y 0 − y = 2te2t , y(0) = 1
(b) ty 0 + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 12 , t > 0
(c) y 0 + 2y = te−2t , y(1) = 0
(d) y 0 + (2/t)y = (cos t)/t2 ; y(π) = 0, t > 0
(e) y 0 − 2y = e2t ; y(0) = 2
(f) ty 0 + 2y = sen t; y(π/2) = 1, t > 0
(g) t3 y 0 + 4t2 y = e−t y(−1) = 0, t < 0
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e use-as para determinar o comportamento das
soluções quando t → ∞.
(a) ty 0 + 2y = sin t, t > 0
(b) 2y 0 + y = 3t.
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Encontre o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial
y 0 − y = 1 + 3 sin t,
y(0) = y0
permaneça nita quando t → ∞.
10 Mostre que, se a e λ são constantes positivas e se b é qualquer número real, então toda solução da equação
y 0 + ay = be−λt
tem a propriedade que y → 0 quando t → ∞.
11 Equação de Bernoulli:
Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante
da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
y 0 + p(t)y = g(t)yn
(∗).
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver
uma equação de Bernoulli geral.
2
(a) Resolva a equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1. Observe que em ambos os casos a equação se
torna linear.
(b) Suponha agora n 6= 0 e n 6= 1. Mostre que a mudança de variável u = y1−n reduz a equação de Bernoulli a
uma equação linear.
(c) Encontre a solução geral u(x) da equação linear resultante do item (b).
1
(d) Faça a mudança de variável y = u n−1 e explicite a solução da equação de Bernoulli.
(e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de t2 y 0 + 2ty − y3 = 0, para
t > 0.
(f) Resolva a equação y 0 = ry − ky2 onde r, k > 0.
12 Equação de Ricatti: A equação
y 0 + p(t)y + q(t)y2 = f(t)
(∗∗)
onde p(t), q(t) e f(t) são contínuas em algum intervalo I da reta e q(t) 6= 0 em I é conhecida como equação de
Ricatti. Seja y1 (t) uma solução particular de (∗∗). Considere a mudança de variável y = y1 + 1/z.
(a) Mostre que essa mudança de variável transforma (∗∗) numa equação de primeira ordem linear em z.
(b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma
solução particular. Explicite tal solução.
(c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das seguintes equações de Ricatti.
(c.1) y 0 − t3 y + t2 y2 = 1, y1 (t) = t
(c.2) y 0 − ty2 + (2t − 1)y = t − 1, y1 (t) = 1
(c.3) y 0 + y2 − (1 + 2et )y + e2t = 0, y1 (t) = et
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