Análise de Dados de Degradação para
Caracterização da Confiabilidade : um estudo de
caso em rodas de trens
Marta A. Freitas
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Laboratório de Apoio à Decisão e Confiabilidade (LADEC)
DEPTO. DE ENG. DE PRODUÇÃO
[email protected]
MGEST2012-Ouro Preto-4 e 5 de outubro
Colaboradores
I Júlio Cesar Ferreira (V & M Tubes; Mestre em Engenharia de
Produção - UFMG)
I Prof. Dr. Enrico A. Colosimo (Estatística-UFMG)
I Profa. Maria Luiza G. de Toledo ( Eng. de Produção- UFOP;
Mestre em Estatística, Doutoranda em Engenharia de
Produção - UFMG )
I Clódio P. de Almeida (Mestre em Estatística-UFMG)
I Janaína Marques (Mestre em Engenharia de Produção UFMG)
I Rivert Paulo Braga (Mestre em Engenharia de Produção,
Doutorando em Estatística - UFMG)
Roteiro
• Situação motivadora
• Fonte dos dados de confiabilidade e sua natureza
• Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios
• Ensaios (testes) de vida e de vida acelerados
• Ensaios (testes) de degradação
• Modelo geral de perfil de degradação (suposições e estimação
dos parâmetros)
• Aplicação: análise dos dados das rodas
• Comentários finais e conclusões
Situação motivadora
• Data set: medidas de diâmetros de rodas de trens
X tempo de acompanhamento: 600 mil Km;
X tempos de inspeção: a cada 50 mil Km;
X medidas registradas para 14 locomotivas (8 × 14 = 112 rodas);
Situação motivadora(cont.)
Figura : Localização das rodas e os labels associados
Situação motivadora (cont.)
• Medidas de degradação⇒ 966 mm-[diâmetro observado no
tempo (Km) t];
• Nível crítico que define a falha (Df ) ⇒ uma dada roda é
substituída quando atinge o diâmetro de 889 mm ⇒ Df =77
mm;
Situacão motivadora (cont)
Figura : Perfis das rodas, por posição
Situação motivadora (cont.)
• Objetivo: Responder à algumas perguntas específicas tais
como:
X existe efeito das posições de trabalho no desgaste das rodas?
X em caso afirmativo, qual é a distribuição do tempo até a falha
das rodas nas diferentes posições de trabalho?
X qual a estimativa de características de confiabilidade (por
posição, se for o caso) tais como:
• a distância média percorrida até a falha (MTTF)
• quantis da distribuição do tempo até a falha (t0.01 ;t0.05 ; etc.)
Fonte dos dados de confiabilidade e sua natureza
I Fonte dos dados de Confiabilidade:
X ensaios (testes )
X observação de uso no campo
X dados de ocorrências durante a garantia
X handbooks (manuais)
Fonte dos dados de confiabilidade e sua natureza (cont.)
I Natureza (tipo) dos dados de confiabilidade:
X tempos de falha + tempos de operação (censuras)
X medidas de degradação de alguma característica (associada à
falha) no tempo (dados de degradação)
X registro de eventos recorrentes: tempos de falhas recorrentes +
tempos de ocorrência de manutenções preventivas (dados de
manutenção)
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios
I Objetivo: estimar a distribuição do tempo de vida do
produto/componente (MTTF, quantis da distribuição)
I Utilidade destas informações:
X comparação de produtos
X determinação de prazos de garantia ou de validade (produtos
alimentícios, medicamentos, smartphones etc.)
X "alimentar"fase de projeto
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
I Tipos de ensaios (testes)
X Ensaios (testes) de vida
X Ensaios (testes) de vida acelerados
X Ensaios (testes) de degradação [dados do desgaste das rodas
das locomotivas]
X Ensaios (testes) de degradação acelerados
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
ENSAIOS (TESTES)DE VIDA
I Dados gerados: tempos até a falha + tempos de operação
(censuras)
I Análise: paramétrica usual utilizando falhas e censuras e
estimação via máxima verossimilhança.
I Distribuições:: Exponencial, Weibull, Lognormal, Gama etc.
[análise de sobrevivência paramétrica]
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
ENSAIOS (TESTES)DE VIDA ACELERADOS
I Característica: ensaios realizados sob condições mais
estressantes (ex: níveis de temperatura mais altos→
temperatura = variável de estresse)
I Dados gerados: tempos até a falha + tempos de operação
(censuras - possivelmente em número bem menor) SOB
CONDIÇÕES DE ESTRESSE
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
I Objetivos do uso da variável de estresse:
• reduzir a ocorrência de censuras durante o tempo de ensaio
• reduzir o tempo de ensaio
I Análise: modelos de regressão + distribuições Weibull,
Lognormal etc.
I Importante: EXTRAPOLAÇÃO PARA AS CONDIÇÕES DE
USO
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
ENSAIOS (TESTES)DE DEGRADAÇÃO
I Motivação
X ensaios de vida acelerados: problema da indução de modos de
falha não observáveis em condições normais de uso
X modos de falha =⇒ resultado de um processo de degradação
Ensaios (testes) de confiabilidade: objetivos gerais e tipos de
ensaios (cont.)
ENSAIOS (TESTES)DE DEGRADAÇÃO (cont.)
I Características principais:
X acompanhamento ao longo do tempo de uma variável
diretamente relacionada à falha (ex: o tamanho de uma trinca;
desgaste da roda de um trem; concentração de bactérias)
X definição de um nível crítico que define a ocorrência da falha .
Exemplos: falha da roda ocorre quando a redução no diâmetro
for de 77 mm
X falhas so do tipo "soft": a unidade em observação ainda
funciona porém com desempenho prejudicado.
X Análise: via modelos gerais de perfis de degradação
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros)
I Forma do modelo:
Yij = Dij + εij = D(tij ; α; βi ) + εij ,
with i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . , mi ,
• Yij é a v.a. representando a quantidade de degradação da
i-ésima unidade no tempo tij (i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , mi );
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
I Suposições:
• εij são i.i.d. segundo uma Normal (0;σε2 ) (σε2 é fixo e
desconhecido)
• βi = (βi1 , βi2 , . . . , βik )t i = 1, . . . , n são i.i.d. segundo uma
distribuição multivariada Λ(β|θ) com densidade f (β|θ), que
pode depender de um vetor θ (q × 1) de parâmetros fixos e
desconhecidos (precisam ser estimados a partir dos dados)
• βi e εij são independentes.
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
CARACTERÍSTICA PRINCIPAL DA ANÁLISE
⇓
DUAS ETAPAS
•
ETAPA 1: ajuste de um modelo para dados longitudinais
(estimativa dos parâmetros)
•
ETAPA 2 : estimação da distribuição do tempo até falha
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
Etapa 1: Estimação dos Parâmetros do Modelo: Função de
Verossimilhança
I Parâmetros do modelo: α, θ and σε2 (todos fixos)

f (y |α, θ, σε2 ) =
n 

Y
Z

i=1  Ξ
βi
[y −D(tij , α, βi )]
σε
onde zij = ij
Normal Padrão.




m

Yi 1


φNOR (zij ) f (βi |θ)dβi ,

σε

j=1
e φNOR é a função densidade de uma
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
I IMPORTANTE: Suposição usual:
X βi = (βi1 , βi2 , . . . , βik )t (i = 1, . . . , n ) i.i.d. Nk (µβ , Σβ )
X parâmetros do modelo: µβ ; Σβ ; α, σε2 (fixos e desconhecidos)
X rotinas no SAS, MATLAB, R (lme, nlme) etc. são com base
na suposição de normalidade dos efeitos aleatórios
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
Etapa 2: Estimação da distribuição do tempo até a falha F(t)
I Relação entre o modelo para os dados de degradação e a
distribuição do tempo até a falha:
• Perfis crescentes com o tempo
FT (t) = P(T ≤ t) = P[D(t; α; β) ≥ Df ]
• Perfis decrescentes com o tempo
FT (t) = P(T ≤ t) = P[D(t; α; β) ≤ Df ]
Modelo geral de perfil de degradação
(suposições e estimação dos parâmetros) (cont.)
I Formas de obtenção de FT (t):
X Solução analítica
X Integração direta
X Simulação de Monte Carlo
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas
1) ANÁLISE EXPLORATÓRIA BASEADA EM PSEUDO
TEMPOS DE FALHA ( análise aproximada, Meeker e
Escobar,1998)
I Análise aproximada
X ajuste (estimação por MQ) do modelo linear para os dados de
cada perfil (roda):
yij = Di (tij ; β0i ; β1i ) + ij = β0i + β1i tij + εij
(j = 1, . . . , 13)
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont)
X estimação dos pseudo tempos de falha (Meeker e Escobar,
1998) para cada perfil (roda)
t̂i =
Df − β̂0i
β̂1i
X verificação da adequação de distribuições para o pseudo
tempos
X ajuste da distribuição com base no pseudo tempos de falha
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont)
Figura : Gráficos de Probabilidade Lognormal dos pseudo tempos de
falha, por posição
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont)
Figura : Estimativas pontuais de quantis (p=0.50 e 0.90), por posição,
baseadas nos pseudo tempos de falha [valores mais altos hachuriados]
[eixo ×lado???]
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
I Conclusões da análise exploratória
• os padrões dos perfis de degradação sugerem uma forma
funcional linear ( uma reta) para todas as posições, com uma
taxa (inclinação) positiva de degradação
• a distribuição lognormal é uma boa candidata para a
distribuição do tempo até a falha das rodas, qualquer que seja
a posição
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
• forma funcional de uma reta+tempos até a falha lognormais
→ a taxa de degradação (efeito aleatório do modelo) também
deve ter distribuição lognormal
• há indicação de existência de interações entre as condições de
operação ( em particular lado×eixo) que podem estar afetando
a taxa de degradação.
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
2) ESPECIFICAÇÃO DO MODELO
Modelo não linear de efeitos mistos (NLME)para a i-ésima
unidade:
Yij = α0 + e ηi tj + εij (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , mi )
ηi = η Xijt , α , βi = βi + Xijt α
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
Assume-se que:
• Os erros εij são i.i.d N(0;σε2 ); σε2 fixo e desconhecido
iid
• βi ∼ N µβ , σβ2 ; µβ e σβ2 ambos fixos e
desconhecidos
• Os efeitos aleatórios βi são independentes dos erros εij .
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
Vantagens da parametrização:
X a taxa de desgaste é positiva (como sugerido pelos perfis
das rodas)
X F(t) pode ser obtida analiticamente pois:
• η = X t α + β ⇒ η ∼ N X t α + µβ ; σβ2
• e η ∼ logn (X t α + µβ ; σβ )
• T ∼ logn (µT ; σT )
onde
µT = log (Df − α0 ) − (X t α + µβ ) and σT = σβ
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
RESULTADOS DO AJUSTE
•
somente a interação LADO × EIXO foi significante
(p < 0, 02)
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
Tabela : Estimativas pontuais e por intervalo por condição de operação NLME
Posição
Estimativas (×103 Km)
[LADO,EIXO]
MTTF
t0,01
t0,05
[0,0]
1.306,6
196,9
314,6
[E,EXT]
[979;1.714]∗ [142;281] [233;438]
[0,1]
1.187
171,2
258,5
[E,INT]
[893;1.519] [132;242] [218;383]
[1,0]
1.057
157,3
254,6
[D,EXT]
[773;1.421.8] [117;223] [192;350]
[1,1]=
1.573.5
225,1
367,3
[D,INT]
[1.195;1.961] [169;330] [279;509]
(*)I.C. Bootstrap 90% (valores arredondados)
t0,10
408,6
[307;558]
365,8
[284;489]
329,4
[250;450]
477,4
[367;664]
Aplicação: Análise dos dados de desgaste das rodas (cont.)
Figura : Distribuições do tempo até a falha F (T ) estimadas (por
condição de operação)-NLME
Conclusões
I Ao modelar as log-taxas de desgaste (ηi ) de cada unidade
como funções lineares de covariáveias associadas às posições
(lado, eixo, truque), foi possível investigar possíveis efeitos das
mesmas na distribuição do tempo até a falha
I Foi possível identificar qual posição leva as rodas a um maior
desgaste ( [lado direito; eixo externo])
I Como as log-taxas de desgaste foram modeladas como funções
lineares de efeitos aleatórios com distribuição Normal, foi
possível utilizar as funções já implementadas no R (nmle) para
o ajuste do modelo
I A parametrização utilizada também possibilitou que a
distribuição do tempo até a falha fosse obtida de forma
analítica