Matrizes e Determinantes à Algumas questões resolvidas
(impresso: 27/12/2001
09:52:51, revmatdet.doc)
1. Calcular os elementos e formar a matriz A=(aij)2x2 , que é definida pela fórmula
aij=2i+2j-1.
Resolução:
 a11 a12 
 2.1 + 2.1 − 1 2.1 + 2.2 − 1
3 5
 a 21 a 22 → 2.2 + 2.1 − 1 2.2 + 2.2 − 1 → 5 7 






2. Determinar os valores de x e y para que se verifique a igualdades das matrizes
4   3
2 xy 
x + y

.
= 
2

(x − y )   x − y 1 
 1
Resolução:
x + y = 3
x − y = 1


2 x = 4 → x = 2
2 + y = 3 → y = 1
b 
 3 − 1
1 + a
 , calcule a, b, c e d para que se
 e B= 
3. Dadas as matrizes A= 
2 4 
 2c 2 + d 
tenha A=Bt.
Resolução:
b   3 2
1 + a

 = 

 2c 2 + d   − 1 4 
1 + a = 3 → a = 2
 3 2
 3 − 1
t

 sua transposta é: B = 
B= 
 à b = 2
2
4
−
1
4





1

2c = −1 → c = − 2

2 + d = 4 → d = 2
 1

a2 
 16
2b
4. Determine a, b e c para que A=B para as matrizes:A= 
e
B=
 3
1
a
 − 27 log 3 
81

Resolução:
9

c
Arquivo: Revmatdet.doc Page 2/9
1
→ b = −4
16
a 2 = 9 → a = ±3
2b =
a 3 = −27 → a = −3
1
log 3
= c → c = −4
81
1
5. Dadas as matrizes A= 
2
a) a matriz A+B.
Resolução:
1 + 4 3 + 1   5
 = 
A + B = 
 2 −1 5 + 2 1
3
 4 1
 e B= 
 , calcule
5
 −1 2
4

7 
b) a matriz A-B
Resolução:
1 − 4 3 − 1   − 3 2 
 = 

A − B = 
 2 + 1 5 − 2  3 3
 4 − 2 2
 1 2 3
 , calcule:
 e B= 
6. Dadas as matrizes A= 
 5 2 0
 2 −1 1
a) A+B, (A+B)t e At+Bt e verifique que (A+B)t=At+Bt;
b) A-B, (A-B)t e At-Bt e verifique que (A-B)t=At-Bt.
3
 − 5 − 2
 10
 , determine a matriz X tal que X e B= 
7. Dadas as matrizes A= 
 1 − 3
 − 15 12 
A=Bt.
Resolução:
 − 5 1   − 10 − 3 
 + 

X = B t + (− A) = 
 − 2 − 3   15 − 12 
 2 2
 3 − 1
1
1
 e B= 
 , calcule a matriz B − A .
8. Dadas as matrizes A= 
4
2
 0 4
2 4 
Resolução:
1 1  3 1 

 + −

2 2  2 2 
 0 1   −1 − 2
1 1 
 1 2
 e B= 
 .
9. Resolva a equação 2.A-5.X=Bt, sendo dadas as matrizes A= 
1 9 
 − 2 0
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0
 e B=
1 
1
10. Dadas as matrizes A= 
1
X + Y = A
a) 
X − Y = B
Resolução:
X + Y = A

X − Y = B
a)
0
2 X = A + B → 2 X = 
3
1 2 5

11. Sendo A= 
3 1 0
 −1 2
 , calcule as matrizes X e Y:

 2 2
 X + 2Y = 7 A − 2 B
b) 
2 X − Y = 4 A + B
0 1
2
 → X =  3 3 


3
2 2
 4 3


e B=  1 3  , calcule o produto das matrizes A.B.
 2 1


Resolução:
 4 + 2 + 10 3 + 6 + 5  16 14 
 = 

A.B = 
 12 + 1 + 0 9 + 3 + 0   13 12 
1 2 
, calcule A2+2.A-11.I.
12. Se A= 

 4 − 3
 2 3
 , calcule a e b para que se tenha A.At=At.A.
13. Dada a matriz A= 
 a b
 1 − 1
 , calcule a sua matriz inversa A-1, (obs: faça A.A-1=I2).
14. Dada a matriz A= 
3 1 
1 1 
 , calcule as matrizes:
15. Dada a matriz A= 
1 2 
a) A2
b) A3
1
1
2
2
b)
16. Calcule os determinantes:
a)
1 1
2
3 4
log b a 
 1
.
17. Calcule o determinante da matriz: 
1 
 log a b
18. Resolva as equações: a)
x
5
x+2
=0
7
b)
x
5
−1
2 2
x
= 0.
x
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19. Sabendo que 0 ≤ x ≤ 2π , resolva a equação
20. Resolva a inequação
sen x
3
−5 7
=
.
− 1 sen x − 2 2
x 3x
<4.
4 2x
21. Calcule os determinantes (Regra de Sarrus)
2 1 1
4 −1 0
a)
1 3 1
b) 1 2 4
1 1 5
3 1 1
Resolução
2 1 1
a) 1 3 1 = 30 + 1 + 1 − (3 + 2 + 5)
1 1 5
22. Resolva as equações:
1 1 1
a) 1 x x = 0
1 x 4
1 x x
b) 1 1 x = 0
1 1 1
Resolução:
1 1 1
a) 1 x x = 0 → 4 x + x + x − x + x 2 + 4 = 0
1 x 4
(
)
1 m 2
23. Calcule o valor de m para que se tenha 0 − 1 3 = 111 .
2 m 4
sen x 1
0
sen x cos x
24. Determine o conjunto solução da equação 0
2
1 =
, no
− cos x sen x
1
1 sen x
intervalo 0 ≤ x ≤ 2π .
Resolução:
2.sen2x+1+0-0-senx+0=sen2x+cos2x à 2.sen2 x – senx=0, colocando senx em evidência,
senx.(2.senx-1)=0 à senx=0 ou senx= ½.
25. Calcule os determinantes das matrizes: (pelo Teorema de Laplace)
−1 2 0


a) B=  3 1 4 
 0 2 2


 3 − 2 −1


b) C=  − 1 0 − 3 
 0 −2 3 


Arquivo: Revmatdet.doc Page 5/9
Resolução:
−1 2 0


1 4
3 4
1+1
1+ 2
a)  3 1 4  à det B = (− 1) .(− 1).
+ (− 1) .2.
2 2
0 2
 0 2 2


0 2 5 0


 1 0 0 − 1
26. Calcule o determinante da matriz:B= 
.
0 5 2 0


−1 0 1 0 


Resolução:
0 2 5 0


 1 0 0 − 1
 0 5 2 0  à fazendo o escalonamento da matriz, para torná-la uma matriz


−1 0 1 0 


−1
1 0 0 −1
1 0 0 −1
1 0
0
0 2 5 0
0 2 5 0
0 2
5
0
→
→
à
diagonal:
0 5 2 0
0 5 2 0
0 0 − 21 / 2 0
−1 0 1 0
0 0 1 −1 0 0
1
−1
1 0
0
−1 1 0 0
−1
0 2
5
0
0 2 5
0
 21 
→
− − > det B = 1.2.1. −  = −21 .
0 0
1
−1
0 0 1
−1
 2
0 0 − 21 / 2 0
0 0 0 − 21 / 2
1 0 0 −1
0 2 5 0
Podíamos também a partir da matriz
aplicar o teorema de Laplace à primeira
0 5 2 0
0 0 1 −1
2 5 0
1+1
coluna: (− 1) .1. 5 2 0 e novamente aplicar o teorema de Laplace à terceira coluna:
0 1 −1
2 5
= -21.
5 2
27. Calcule os determinantes das matrizes:
1 0 0 0 
0 0



2 3 0 0 
0 0
a) D= 
b) E= 

0 c
4 5 6 0



 7 8 9 10 
d d



Resolução:
(− 1)3+3 .(− 1).
0
b
c
d
a

b
c

d 
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a) basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal: 1x3x6x10.
b) basta multiplicarmos os elementos da diagonal secundária: - (a.b.c.d).
0
1
a
28. Calcular o determinante de 5 ordem D= 0
7
1
Resolução:
0
3
0
8
0
0 0 2
0 0 0
4 5 6.
9 10 0
1 0 1
1
0
1+ 5
Aplicando o teorema de Laplace a 5ª. Coluna: (− 1) .2.
7
1
29. Calcule x em cada equação:
1
x2 0 x −
10
7
,
5
0
5
2
a)
=0
10 0 4
2
1 1 1
1
3
0
8
0
0 0
4 5
.
9 10
1 0
x 0 0 1
0 x 1 0 1 x
=
b)(Mauá-SP)
0 x 0 1 1 0
1 0 x 1
1 2 4
30. (Regra de Chió) Calcule o determinante 5 12 15 .
3 11 18
Resolução:
1 2 4
12 − 5 x 2 15 − 5 x 4 2 − 5
5 12 15 à regra de Chió:
=
= 12 + 25 = 37 .
11 − 3x 2 18 − 3 x 4 5 6
3 11 18
3
−1
31. Calcule o determinante
2
1
8 1 0
3 −3 5
.
4 −1 6
2 0 3
Arquivo: Revmatdet.doc Page 7/9
1 1 1 1
1 2 2 2
32. Calcule o determinante 1 2 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
2 3 4
−4 2 −5
33. Calcule o determinante
5 9 10
2 4 5
1
x
34. Dado o polinômio f(x)= 2
x
x3
1
1
1
1
2
3
4.
5
6
6
a a a
1 1 1
0
. Obs: a b b = a. a b b .
−4
a b c
a b c
−3
1 1
2 3
, determine as raízes de f(x).
4 9
8 27
x + 2 y + z = 7

35. Resolver o sistema 2 x + 3 y − z = −1 .
4 x − y + 2 z = 18

Resolução:
Resolvendo pela regra do escalonamento:
1 2 1
7
1 2
1
7
1 2
1
7
1 2 1
7
2 3 − 1 − 1 → 0 − 1 − 3 − 15 → 0 1
3
15 → 0 1 3 15 à
4 − 1 2 18
0 − 9 − 2 − 10
0 − 9 − 2 − 10
0 0 25 625
25.y=625 à z=5; y=0 e x=2.
36. Resolva os sistemas:
x + 2 y + 3z = 2

a) 2 x + 4 y + 5 z = 3
3 x + 5 y + 6 z = 4

x + y + 3z = 2

b) 3 x − z = −9
3 y + 2 z = −9

x + y + z = 2 x

37. Resolva o sistema  x + y + z = 5 y .
x + 2 y − 3z = 8z

3 x + my = 2
38. Discutir o sistema 
.
x − y = 1
Arquivo: Revmatdet.doc Page 8/9
kx + 2 y − z = 0

39. Determinar k, de modo que o sistema  x − 3 y + z = 0 , admita solução única.
x + 2 z = 2

3 x + 2 y = 1
, admita solução única.
40. Determinar k, de modo que o sistema 
ax
−
4
y
=
1

Respostas:
4 7

1. 
6 9
2. x=2 e y=1
3. a=b=d=2 e c= −
1
2
4. a=-3; b=c=-4.
 − 3 2
5 4


b) 
5. a) 
 3 3
1 7
6. V e V
 5 − 17 

7. 
9 
4
−1 1 

8. 
 − 1 − 1
1 4 


5
5


9. X=
 0 18 


5

1 
−1 
 0
 1



10. a) X=  3
3  e Y=  − 1
−1 
 2
2
 2
2
3 0
 3 − 2

 e Y= 
b) X= 
3 3
0 0 
16 14 

11. 
13 12 
0 0

12. 
0 0
13. a=3; ∀ b ∈ R ; a=-3 , b=2
1 
 1
-1 
4
4
14. A =
− 3
1 
 4
4
 2 3
5 8 
 e A3= 

15. A2= 
 3 5
 8 13 
1
b) 6
16. a)
12
17. a) 22
b) –19
18. {0;5}
π 3π 
19.  , 
2 2 
20. {x ∈ R, tal que − 1 < x < 7}
21. a) x=1 ou x=4; b) x=1
22. m=37
23. a) –6
b) –26
5π
 π

24. 0, , π , , 2π 
3
 3

25. –21
26. a)180 b)abcd
27. –100
1
28. a)x=-2 ou x= − b)x=0 ou x=1 ou
2
x=-2
29. 37
30. –61
31. 1
32. 307
33. x=2, y=0, z=5
34. S={1,2,3}
35. a)(1,-1,1) b)(-2,-5,3)
36. ¿
37. x=0, y=0, z=0
SPD, se m ≠ −3

38. SPI, m não existe
SI, m = -3

Arquivo: Revmatdet.doc Page 9/9
5
8
40. a ≠ −6
39. k ≠ −
Bibliografia
Machado, Antonio dos Santos, —Matemática na escola do segundo grau—Volume 2,
Atual Editora LTDA, 1994.
Giovanni, José Rui—Matemática: Trigonometria, Matrizes, Análise Combinatória e Geometria—
Editora FTD, 1992