Exemplo numérico 1:
Uma partícula descreve um movimento em três dimensões. Dados os vetores
posições r(t2) = 5 î + 3 ĵ + 8 k e r (t1) = 8 î + 5 ĵ + 7 k, calcular o vetor
deslocamento.
∆r = (x2 – x1) î + (y2 – y1) ĵ + (z2 – z1) k
∆r = (5 – 8) î + (3 – 5) ĵ + (8 – 7) k
∆r = - 3 î – 2 ĵ + k
Cálculo do módulo dos vetores posição e deslocamento.
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
│∆r│= �[(𝑥2 – 𝑥1)2 + (𝑦2 – 𝑦1)2 + �𝑧2 – 𝑧1�2]
Um exemplo numérico:
Dado o vetor posição, r(t) = 3 î + 5 ĵ + 8, de uma partícula em um instante t
qualquer, seu módulo será:
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
│r│= �(52 + 32 + 82)
│r│= �(25 + 9 + 64)
│r│= �(98)
│r│= 10
Uma partícula descreve um movimento em três dimensões. Dados os vetores
posições r(t2) = 5 î + 3 ĵ + 8 k e r(t1) = 8 î + 5 ĵ + 7 k, calcular o módulo do vetor
deslocamento.
1
│∆r│= �[(𝑥2 – 𝑥1)2 + (𝑦2 – 𝑦1)2 + (𝑧2 – 𝑧1)2]
│∆r│= �[(5 – 8)𝑖 + (3 – 5)𝑗 + (8 – 7)𝑘]
│∆r│= �[(− 3)2 + (– 2)2 + 12]
│∆r│= �[9 + 4 + 1]
│∆r│= 3,7
Em duas dimensões:
r(t) = x î + y ĵ
∆r = (x2 – x1) î + (y2 – y1) ĵ ou ∆r = ∆x î + ∆y ĵ.
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2)
│∆r│= ���𝑥2 – 𝑥1�2 + �𝑦2 – 𝑦1�2�
Exemplo numérico 2:
Cientistas fotografam átomos de lítio
Fonte: Redação do Site Inovação Tecnológica - 18/07/2003
Pesquisadores conseguiram as primeiras imagens de átomos individuais de lítio,
componente chave na construção das mais modernas baterias. Somente átomos
de hidrogênio e hélio são menores e mais leves do que os átomos de lítio.
O LiCoO2 é comumente utilizado nos eletrodos positivos de baterias recarregáveis
de lítio, cuja operação é baseada na inserção e remoção reversíveis de íons de
lítio entre os eletrodos positivo e negativo.
Largamente utilizadas em bateriais de computadores portáteis, câmeras digitais
e muitos outros equipamentos, as baterias de íons de lítio armazenam mais
energia em relação ao peso, operam em voltagens mais altas e retêm carga por
muito mais tempo do que outras baterias recarregáveis. Mas, com a contínua
diminuição do tamanho dos equipamentos e com as exigências dos usuários no
2
sentido da incorporação de mais recursos em cada um deles, aumentam também
as exigências sobre as baterias, que devem ficar menores e fornecer cada vez
mais energia.
Para aumentar seu desempenho, os pesquisadores precisam entender como os
átomos dos materiais utilizados nos eletrodos, e os espaços deixados pela
movimentação dos íons, são dispostos tridimensionalmente em escala atômica.
Embora a estrutura do LiCoO2 já fosse conhecida de forma teórica, nenhuma
técnica até agora havia permitido a visualização dos átomos, mesmo com a
utilização de microscópios eletrônicos.
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=010115030718
(Adaptado)
O vetor posição de um íon é inicialmente r = 5,0 î – 6,0 ĵ + 2,0 k, e 10 s mais
tarde é r = - 2,0 î + 8,0 ĵ – 2,0 k, todos em metros. Sua velocidade média durante
os 10 s é:
VM = ∆r/∆t = [(- 2,0 î +8,0 ĵ – 2,0 k) – (5,0 î – 6,0 ĵ + 2,0 k)]/10 = [(- 2,0 – 5,0).0,1]
î + [(8,0 – 6,0).0,1] ĵ + [(- 2,0 + 2,0).0,1] k = (- 7,0. 0,1) î + (2,0 . 0,1) ĵ + (0. 0,1)
k = (- 0,7 î + 0,2 ĵ) m/s
VM = (- 0,7 î + 0,2 ĵ) m/s
Obs: VM = ∆r /10 = ∆r.1/10 = ∆r. 0,1
Exemplo numérico 3:
Vida de elétron
Belmiro Wolski
Em meio a uma banda proibida em uma nuvem eletrônica, alguns elétrons
conversam para passar o tempo.
3
- Este lugar está muito chato. Não há nada para fazer.- Concordo - respondeu
outro elétron - Isto aqui é uma prisão. Deviam acabar com essas malditas
camadas de valência.
Um terceiro elétron entra na discussão:
- Pois eu logo vou sair daqui. Aposto todo dia na loteria eletrônica e pretendo
ganhar um fóton altamente energético. Com ele vou dar um salto quântico e me
tornar um elétron livre.
O primeiro elétron, esboçando um sorrisinho de deboche, rebate:
- Vã esperança. Você sabe bem que o tunelamento quântico é muito difícil de
acontecer.
Ouvindo a conversa acirrada dos colegas, um velho elétron, segurando sua
bengala, que com dificuldade mantinha seu spin alinhado, esbanjando sabedoria
intervém:
- Há milhões de unidades de tempo estou confinado neste lugar. Já fiz parte do
tecido de estranhas criaturas como os dinossauros. Já vi muitas coisas estranhas
acontecerem. Vocês jovens, só pensam em liberdade. Pois saibam que a vida lá
fora é muito difícil, muito perigosa. A qualquer momento um elétron pode ter
seu fim decretado pelo choque com outras partículas ou radiações energéticas.
Além do mais, a vida de um elétron livre não é permeada de glórias. Não fosse
assim, eles não vivam tentando se recombinar.
Trecho da crônica “Vida de elétron” de Belmiro Wolsky em: Humor na Ciência.
Fonte: http://www.humornaciencia.com.br/fisica/vida-eletron.htm
A posição de um elétron é dada por r = 3,00t î – 4,00t2 ĵ + 2,00 k, com t em
segundos e r em metros.
a) velocidade do elétron é:
b) em t = 2,00 s, a velocidade, na notação de vetor unitário, vale:
4
c) em t = 2,00 s, a velocidade, em módulo, vale:
Como r = (3,00t î – 4,00t2 ĵ + 2,00 k) m e V =
V=
𝑑𝒓
dt
=
𝑑(3,00𝑡 î – 4,00𝑡2 ĵ + 2,00 𝑘)
dt
𝑑𝒓
dt
, temos que:
= 3,00 î – 2.4,00t ĵ = (3,00 î – 8,00t ĵ) m/s
a) V (t) = (3,00 î – 8,00t ĵ) m/s
b) V (2,00) = 3,00 î – (8,00.2,00) ĵ = (3,00 î – 16,0 ĵ)m/s
c) │V(2,00)│= �(3,002 + 16,02) = �(9,00 + 256) = �(265)
│V(2,00)│= 16,3 m/s
Exemplo numérico 4:
Lago Vostok
O Lago Vostok é uma massa de água sub-glacial localizada na Antártida, por baixo da
Estação Vostok, um centro de investigação dirigido pela Rússia. Este lago permaneceu
desconhecido durante muito tempo, graças ao seu peculiar enquadramento geográfico e
permanece como uma das últimas zonas por explorar do planeta Terra. Só em 1996 se
descobriu a sua verdadeira extensão. O lago Vostok tem uma forma elíptica com 250 km
de comprimento e 40 km de largura cobrindo uma área de 14 mil km². O seu fundo é
irregular e divide-se em duas bacias, a mais profunda com cerca de 800 m e a outra com
200 m. Calcula-se que o lago contenha um volume de 5.400 km³ de água doce. Está
totalmente protegido da atmosfera e outros contactos com o exterior por uma espessura
de 4 km de gelo antártico.
A origem do lago Vostok é, segundo a opinião da maioria dos cientistas, um lago normal
que foi coberto por gelo, à medida que se desenvolveram os glaciares da calote polar da
Antártida. Esta submersão deve ter ocorrido a partir dos 30 milhões de anos atrás e
5
terminou há 15 milhões de anos. É há esta quantidade de tempo que o lago e suas
eventuais formas de vida se encontram isolados um dos motivos que lhe traz interesse
científico.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lago_Vostok (adaptado)
No lago Vostok um barco desliza sobre o gelo velejando pela sua superfície com
aceleração constante produzida pelo vento. Em certo instante a velocidade do
barco é (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s. Três segundos depois, por causa de uma mudança
na direção do vento, o barco está instantaneamente em repouso. A aceleração
média para esse intervalo de 3 s é:
V(ti) = (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s
V(tf) = (0,00 î + 0,00 ĵ) m/s
∆t = 3 s
aM =
=
∆𝑽
∆t
=
𝑽(𝑡𝑓) – 𝑽(𝑡𝑖)
∆t
− 6,30 î + 8,42 ĵ
3
=
(0,00 î + 0,00 ĵ) − (6,30 î – 8,42 ĵ)
3
=
(0,00 – 6,30) î + (0.00 – (− 8,42)) ĵ
3
= (- 2,10 î + 2,81 ĵ )m/s2
aM = (- 2,10 î + 2,81 ĵ) m/s2
Exemplo numérico 5:
Não é tão ruim aprender um pouco sobre a origem das palavras!
A palavra partícula vem do Latim particula, diminutivo de pars, “parte, porção”.
Esse diminutivo é feito com o sufixo – ícula. Assim, partícula é composto pelo
radical part + o sufíxo ícula. O significado dessa palavra fica fácil de
descobrirmos, é uma parte pequena de algo.
O elétron é uma pequena parte de um átomo, logo, chamamos de partícula.
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A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por: r = (2,00t3
– 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ, com r em metros e t em segundos. Calcule:
a) r em t = 2,00 s
b) V em t = 2,00 s
c) a em t = 2,00 s
a) r = [(2,00t3 – 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ] m
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em r:
r = [(2,00 . 2,003 – 5,00 . 2,00) î + (6,00 – 7,00 . 2,004) ĵ] m
r = [(2,00 . 8,00 – 10,0) î + (6,00 – 7,00 . 16,0) ĵ] m
r = [(16,0 – 10,0) î + (6,00 – 122) ĵ] m
r = [6,00 î – 106 ĵ] m
b) Para calcular v devemos derivar r em função de t:
V=
𝑑𝒓
dt
=
𝑑[�2,00𝑡3 – 5,00𝑡� î +(6,00 – 7,00𝑡4) ĵ]
dt
= (3 . 2,00t2 – 5,00) î + ( - 4. 7,00t3) ĵ =
= [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em V:
V = [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s
V = [(6,00. 2,002 – 5,00) î – (28,0. 2,003) ĵ] m/s
V = [(6,00. 4,00 – 5,00) î – (28,0. 8,00) ĵ] m/s
V = [(24,0 – 5,00) î – 224 ĵ] m/s
V = [19,0 î – 224 ĵ] m/s
c) Para calcular a devemos derivar V em função de t:
a=
𝑑𝑽
dt
=
𝑑[(6,00𝑡2 – 5,00) î − 28,0𝑡3 ĵ]
dt
= (2 . 6,00t î - 3 . 28,0t2 ĵ) m/s2
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Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em a
a = (12,0t î - 84,0t2 ĵ) m/s2
a = (12,0 . 2,00 î - 84,0 . 2,002 ĵ) m/s2
a = (24,0 î - 84,0 . 4,00 ĵ) m/s2
a = (24,0 î – 336 ĵ) m/s2
Exemplo numérico 6:
Terra
Fonte: Wikipédia, a enciclopédia livre.
A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol, mais denso e o quinto maior dos oito
planetas do Sistema Solar. É também o maior dos quatro planetas telúricos. É por vezes
designada como Mundo ou Planeta Azul. Lar de milhões de espécies de seres vivos,
incluindo os humanos.O planeta formou-se há 4,54 bilhões (mil milhões) de anos, e a
vida surgiu na sua superfície um bilhão de anos depois. Desde então, a biosfera terrestre
alterou significativamente a atmosfera e outros fatores abióticos do planeta, permitindo
a proliferação de organismos aeróbicos, bem como a formação de uma camada de
ozônio, a qual, em conjunto com o campo magnético terrestre, bloqueia radiação solar
prejudicial, permitindo a vida no planeta. As propriedades físicas do planeta, bem como
suas história geológica e órbita, permitiram que a vida persistisse durante este período.
Acredita-se que a Terra poderá suportar vida durante pelo menos outros 500 milhões de
anos.
Determinar o período de revolução, a frequência e a velocidade angular de um
satélite que se desloca numa órbita circular com uma velocidade escalar
constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a
6370 km.
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Dados:
V = 8,0 km/s e R = 6370 km
ω = V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012 rad/s
ω = 2π/T
T = 2π/ω = 2. π /0,0012 = 5236 s
T = 5236 s
f = 1/T = 1/5236
f = 1,9 x 10-4 hz.
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