PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE
VESTIBULAR– 2013 – 2a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados
do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E.
Com base nas informações acima, analise as proposições a seguir.
0-0) A distância entre A e B mede 6 2 cm.
1-1) A distância entre B e D mede 6 3 cm.
2-2) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes.
3-3) O seno do ângulo FDE é
3 /3 .
4-4) A distância entre E e F mede 2 6 cm.
RESOLUÇÃO:
0-0) VERDADEIRA.
No triângulo retângulo ABG tem-se: g = 36 + 36  g = 72  6 2
2
1-1) VERDADEIRA.
2
No triângulo retângulo ABD tem-se: a = 36 + 72 
d = 108  6 3 .
1
2-2) VERDADEIRA.
O ângulo agudo α é ângulo dos dois triângulos retângulos CDB e FDE,
logo eles são semelhantes.
3-3) VERDADEIRA.
sen(FD̂E) 
6
6 3

1
3

3
.
3
4-4) FALSA.
Sendo semelhantes os triângulos CDB e FDE, tem-se:
DE DB
3 2 6 3
3 2



d
 6.
EF BC
d
6
3
02. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo
um parâmetro real.
x  y  z  2

x  ay  2z  1
2x  y  z  3

0-0) Se a = 2 , então o sistema admite infinitas soluções.
1-1) O sistema sempre admite solução.
2-2) Quando o sistema admite solução, temos que x = 1.
3-3) Se a ≠ 2 , então o sistema admite uma única solução.
4-4) Se a = 1 , então o sistema admite a solução (1, 2, 1) .
RESOLUÇÃO:
0-0) FALSA.
1 1 1
1 1 1
  1 a 2  0  a  1  4  2a  2  1  0  a  2    1 2 2  0 
2 1 1
2 1 1
Logo, para o sistema possuir infinitas soluções, deve-se ter  x   y   z  0.
2 1 1
 x  1 2 2  0 (duas colunas iguais).
3 1 1
1 2 1
y 2
y  1 1 2  1 3  8  2  6  2  2  y  0 
 (não existe) 

0
2 3 1
(Para a = 2, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível).
1-1) FALSA
O sistema somente admite solução para a ≠ 2.
2-2) VERDADEIRA.
Quando o sistema admite solução, temos que x = 1.
O sistema admite solução para a ≠ 2.
x  y  z  2
 x  y  z  2
y  z  1



x  ay  2z  1  x  ay  2z  1 L1  L3   x  1  
ay  2z  0
2x  y  z  3
2x  y  z  3


2
 2
 z 1
(a  2)y  2

 2y  2z  2 
2
a 

2  a


 S  1,
,
.
2

 2a 2a 
ay  2z  0
 y  2  a , a  2 z  2  a  2   a


2a
2a

3-3) VERDADEIRA.
2
a 
,
.
2

a
2
a 


Se a ≠ 2 , então o sistema admite uma única solução que é S  1,
4-4) VERDADEIRA.
Substituindo, na solução acima, a por 1, tem-se S  1, 2,  1 .
03. Considere a função f : x  R; x  2  R, dada por f(x) 
5x  3
, que tem parte do seu gráfico
x2
esboçada abaixo.
Analise as proposições a seguir, referentes a f.
0-0) A imagem de f é o conjunto dos reais diferentes de 1.
1-1) f admite inversa.
 2y  3 
  y .
2-2) Se y é um número real diferente de , então f 
 y5 
 3 
,0  .
 5 
3-3) O gráfico de f intercepta o eixo das abscissas no ponto com coordenadas  
4-4) Se x é real e x > 2, então f(x) > 5.
RESOLUÇÃO:
0-0) FALSA.
f(x) 
5x  3
2x  3
 f 1 (x) 
 a imagem de f é o conjunto dos reais diferentes de 5.
x2
x 5
1-1) FALSA.
Se f : x  R; x  2  R, dada por f(x) 
5x  3
e o seu conjunto imagem é
x2
x  R; x  5  R (contradom ínio de f ) , então f não admite inversa.
2-2) VERDADEIRA.
 2y  3 
3
5
y  5 
 2y  3 
10y  15  3 y  15 13y
  
f 


 y.
2
y

3
y

5
2y

3

2y

10
13


2
y 5
3
3-3) VERDADEIRA.
 3
5    3
33
5
 3
f   

 0.
3
5

3

10


 2
5
4-4) VERDADEIRA.
Se x é real e x > 0, então f(x) > 5.
5x  3
5x  3  5x  10
13
5
0
 0  como 13  0,
x2
x2
x2
x 2  0  x  2
04. Para cada número real a, analise as proposições a seguir, referentes à representação geométrica da
2
2
equação x + ay + 2x – 2ay = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas xOy.
0-0) Se a = 1, a equação representa uma circunferência.
1-1) Se a = 0, a equação representa uma reta.
2-2) Se a = 3, a equação representa uma hipérbole.
3-3) Se a =  2 , a equação representa uma elipse.
4-4) Se a = 1, a equação representa a união de duas retas.
RESOLUÇÃO:
0-0) VERDADEIRA.
2
2
2
2
Se a = 1, a equação x + ay + 2x – 2ay = 0 assume a seguinte forma x + y + 2x – 2y = 0 
2
2
2
2
(x + 1) + (y – 1) – 1 – 1 = 0  (x + 1) + (y – 1) = 2 que é a equação de uma circunferência de centro
(–1, 1) e raio
2.
1-1) FALSA.
2
2
2
Se a = 0, a equação x + ay + 2x – 2ay = 0 assume a seguinte forma x + 2x = 0 que é equação de uma
parábola.
2-2) FALSA.
2
2
2
2
Se a = 3, a equação x + ay + 2x – 2ay = 0 assume a seguinte forma x + 3y + 2x – 6y = 0 
x2
2x
x 2  2x
(x  1) 2
1
 y2 
 2y  0 
 y 2  2y  0 
 y  12   1  0 
3
3
3
3
3
(x  1) 2
4
(x  1) 2 y  12
 y  12  

 1 (Equação de uma elipse).
3
3
4
4/3
3-3) FALSA.
2
2
2
2
Se a =  2 , a equação x + ay + 2x – 2ay = 0 assume a seguinte forma: x – 2y + 2x + 4y = 0 
y2 
2
 x 2  2x 


x2
  0  y  12   (x  1)  1   1  0 
 x  2y  0  y 2  2y  



2
2 
 2 
 2

y  12   (x  1)
y  1
2
1/ 2

2
2
y  12  (x  1) 2  1 
1
1
(x  1) 2 1
   1   0  y  12 
 
2 
2
2
2
1/ 2
 (x  1) 2  1 é equação de uma hipérbole.
4
4-4) VERDADEIRA.
2
2
2
2
Se a =  1 , a equação x + ay + 2x – 2ay = 0 assume a seguinte forma: x – y + 2x + 2y = 0 
2
2
2
2
2
2
x + 2x – (y – 2y) = 0  (x + 1) – 1– [(y – 1) – 1 ] = 0  (x + 1) – (y – 1) – 1 + 1 = 0 
2
2
(y – 1) = (x + 1)  (y – 1) =  (x + 1)  y – 1 = – (x + 1) ou y – 1 = (x + 1)  y = – x ou y = x + 2
05. A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas
y = – x2 + 8x – 13 e y = x2 – 4x –3.
Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração.
0-0) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas(1, – 6) .
1-1) O vértice da parábola A é o ponto (4, 2).
2-2) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y = 2x – 6 .
3-3) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102 .
4-4) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, – 3).
RESOLUÇÃO:
0-0) VERDADEIRA.
Para determinar os pontos de interseção das parábolas A e B resolve-se o sistema:
2
2
2

y  x  8x  13 
x  4x  3  x  8x  13 
x 2  6x  5  0


 S  {(1,  6); (5, 2)} .

2
2



x  1 ou x  5
y  x  4x  3
2x  12x  10  0
1-1) FALSA.
Vértice da parábola A: y = – x2 + 8x – 13.
x v(A) 
8
 4 e y v(A)  16  32  13  3  VA = (4, 3).
2
2-2) FALSA.
A reta que passa pelos pontos (1,  6) e (5, 2) tem equação: y + 6 = a(x – 1);
Substituindo x e y pelos valores das coordenadas (5, 2) determina-se o valor de a: 8 = 4a  a = 2, logo
y = 2x – 2 é a equação da reta procurada.
3-3) FALSA.
A distância entre os vértices das parábolas A e B é
Vértice da parábola B: y = x2 – 4x –3
x v(B) 
102 .
4
 2 e y v(B)  4  8  3  7  VB = (2, 7).
2
Sendo VA = (4, 3) e VB = (2, 7), a distância entre esses pontos é: d  (4  2) 2  (3  7) 2  104 .
4-4) VERDADEIRA.
Na equação y = x2 – 4x –3, fazendo x = 0: y =0 – 0 – 3 = – 3, logo a parábola B intercepta o eixo das
ordenadas no ponto com coordenadas (0, – 3).
5
06. Uma compra em uma loja da Internet custa 1250 libras esterlinas, incluindo os custos de envio. Para
o pagamento no Brasil, o valor deve ser inicialmente convertido em dólares e, em seguida, o valor em
dólares é convertido para reais. Além disso, paga-se 60% de imposto de importação à Receita Federal e
6,38% de IOF para pagamento no cartão de crédito. Se uma libra esterlina custa 1,6 dólares e um dólar
custa 2 reais, calcule o valor a ser pago, em reais, e indique a soma de seus dígitos.
RESOLUÇÃO:
Se uma libra esterlina custa 1,6 dólares, 1250 libras esterlinas custam (1250  1,6) = 2000 dólares.
Se um dólar custa 2 reais, 2000 dólares custam 4000 reais, que é o valor da compra em reais.
O valor a ser pago, em reais, pela compra acrescida do imposto de importação à Receita Federal é:
4000  1,6 = 6400.
Com o pagamento do IOF, o valor a ser pago passa a ser: 6400  1,0638 = 6808,32.
RESPOSTA: O valor a ser pago é R$6.808,32 e a soma dos dígitos deste número é 27.
07. A, B e C são sócios de uma pequena empresa. Quando os três trabalham o mesmo número de horas
em um projeto, o pagamento recebido pelo projeto é dividido da seguinte maneira: A recebe 45% do total,
B recebe 30% e C recebe os 25% restantes. Em determinado projeto, A trabalhou 15 horas, B trabalhou
20 horas e C trabalhou 25 horas. Se o pagamento foi de R$ 1.900,00, quanto caberá a C, em reais?
Indique a soma dos dígitos do valor recebido por C.
RESOLUÇÃO:
O valor R$1.900,00 deve ser repartido ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais a 0,45; 0,30
e 0,25 e a 15h, 20h e 25h.
A
B
C
1900



 100 
0,45  15 0,30  20 0,25  25
19
A
B
C
 100;
 100 e
 100  A  675; B  600 e C  625
6,75
6
6,25
RESPOSTA: A C cabe R$625,00 e a soma dos dígitos é 13.
08. Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado
em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o
diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?
RESOLUÇÃO:
Volume do cilindro:  R h   R (8R)  8  R .
2
2
R
4  
4 r 3
2
  
Volume de uma esfera:
3
3
3
3
Número de esferas que serão moldadas:

 R3
6
.
8 R 3
6
 8 R 3 
 48
 R3
 R3
6
RESPOSTA: 48.
6
09. Determine o polinômio com coeficientes reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) – p(x) = 6x2
2
2
2
e indique a + b + c .
RESOLUÇÃO:
3
2
3
2
3
2
2
p(x + 1) – p(x) = a(x + 1) + b(x + 1) + c(x + 1) – (ax + bx + cx) = ax + 3ax + 3ax + a + bx + 2bx + b +
3
2
2
+ cx +c – ax – bx – cx = (3a + b – b)x + (3a + 2b + c – c)x + a + b + c 
2
2
3ax + (3a + 2b)x + a + b + c = 6x 
3a  6
a  2
a  2



2
2
2
3a  2b  0  6  2b  0  b  3  a  b  c  4  9  1  14
a  b  c  0 a  b  c  0 c  1



RESPOSTA: 14.
10. Uma expedição tinha alimento suficiente para 30 dias. Passados 10 dias do seu início, outras 18
pessoas se juntaram às primeiras e o alimento durou mais 16 dias. Quantas eram as pessoas no início da
expedição?
RESOLUÇÃO:
Considere-se como x o número de pessoas da expedição e que cada uma consome por dia uma
quantidade y de alimentação.
Nos 10 primeiros dias foi consumida uma quantidade de alimentos igual a 10xy.
Como passados 10 dias do início da expedição, mais 18 pessoas se juntaram às primeiras, o consumo de
alimentos por dia passou a ser (18 + x)y. Nos 16 dias se consumiu uma quantidade igual a 16(18 + x)y.
A quantidade total de alimentos no início da expedição era 30xy.
Logo, 10xy +16(18 + x)y = 30xy  10x + 16(18 + x) = 30x  20x = 288 + 16x  4x = 288  x =72.
RESPOSTA: 72.
11. Um capital é aplicado a uma taxa anual de juros compostos e rende um montante de R$ 15.200,00
em 3 anos, e um montante de R$ 17.490,00 em 4 anos. Indique o valor inteiro mais próximo da taxa
percentual e anual de juros.
RESOLUÇÃO:
1749

229
1 i 

3


C1  i   15200

i 
1520


L
:
L


 i  0,15  15%
1520



2
1
4

i  1749  1 
C1  i   17490
i  0,15065

 1520
RESPOSTA: 15.
12. Encontre o menor inteiro positivo tal que a potência
 3  i
n
seja um número real.
RESOLUÇÃO:
Representando o número z = 3  i .
O módulo de z é: z  3  1  2
O argumento de z é θ e cos  
3

 
2
6
7


Representando z na forma polar: z  2 cos
n
z =

6
 isen


6
 3  i = 2  cos n6  isen n6 
n
n
n
n 
n
n

0
 k .
2n  cos
 isen
 será um número real se sen
6
6
6
6


n
n
Para determinar o menor inteiro positivo faça-se k = 1:
   1 n  6
6
6
RESPOSTA: 6.
13. Seja uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por
f x   a.sen(.x  b) , com a,  e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao
  5 
intervalo fechado 
 5, 5 .
 6
. A função f tem período π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado
6 
,
Determine as constantes a e  e o menor valor positivo de b . Indique a +  + 3b/π.
2
2
RESOLUÇÃO:
Como a função f tem período π,  
2

 2  f x   a.sen(2x  b)
 2.  
   

 
 
f     a.sen  
  b  a.sen     b  0      b  0  b  .
6
6
3
3
3


 
 






f x   a.sen  2x   .
3



Como os valores de sen  2x   pertencem ao intervalo [–1, 1] e o conjunto imagem o intervalo [–5, 5]
3




 5 , então a = 5. Logo f x   5.sen 2x  

3
3

 
3 
2
 3   26
2
a +  + 3b/π = 25  4 


sendo f x   a.sen  2x 

RESPOSTA: a = 5;  = 2; o menor valor de b é
π
2
2
; e a +  + 3b/π = 26 .
3
8
3
a b 
1
14. Seja 
 a inversa da matriz 11 4 . Indique |a| + |b| + |c| + |d|.


c d 
RESOLUÇÃO:
 3 1
1
 , tem-se A
11
4


Considerando A = 
 4  1
 11 3 


detA
 4  1
 11 3 
   4  1  a b  a  b  c  d  19
A 1  
 11 3  c d 
12  11

 

RESPOSTA: 19.
15. Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de música
sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o comprador do jornal não sabe qual o
gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com
o CD de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de
música sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade
percentual de ele gostar do CD encartado em seu jornal?
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de um leitor do jornal gostar do CD de rock é de 0,40  0,45  0,18 e a probabilidade de
gostar do CD de música sertaneja é de 0,80  0,60  0,48 .
A probabilidade pedida é 0,18 + 0,48 = 0,66.
RESPOSTA: 66%.
16. Uma circunferência tem centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas (0, 0) e
2
2
(4, 0) e é tangente, internamente, à circunferência com equação x + y = 64. Abaixo, estão ilustradas as
duas circunferências.
Indique o inteiro mais próximo da soma das coordenadas do ponto de interseção das duas circunferência
9
RESOLUÇÃO:
2
2
A circunferência de equação x + y = 64 tem centro no ponto (0, 0) e raio 8.
A circunferência interna passa pelos pontos (0, 0) e (4, 0), tem diâmetro AB = 8 e o seu centro num ponto
2
2
de abscissa 2. A sua equação pode ser representada como (x –2) + (y – n) = 16.
2
Nesta equação substituindo x e y pelas coordenadas de (0, 0): 4 + n = 16, donde n =

Então a equação da circunferência interna é: x  2  y  2 3
2

2

x  2  y  2 3

Resolvendo o sistema x 2  y 2  64



2
 16

2
12  2 3 .
 16
2
2

x  y  4 x  4 3 y  0 
4 x  64  4 3 y



2
2
2
2


x  y  64
x  y  64

y 2  8 3y  48  0
2



x  16  3y 
 16  3y  y 2  64

y  4 3
x  4




 2
8
3

0
2
2
2


y
y  4 3
x  y  64 
x  48  64 
4y  32 3y  192  0 
2

B = (4, 4 3 )  S = 4 + 6,8 =10,8
RESPOSTA: 11.
10