UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Instituto de Fı́sica Gleb Wataghin
F 128 - 1o semestre 2008 - Fernando Sato
Prova 1 (Gabarito) - Noturno - 09/04/2008
Problema 1: A posição de uma partı́cula movendo-se ao longo do eixo x é dada por x(t) =
12t2 − 2t3 , onde x está em metros e t em segundos.
a) Determine a aceleração da partı́cula em t=3 s.
b) Qual é a coordenada x positiva máxima alcançada pela partı́cula?
c) Qual é a velocidade positiva máxima da partı́cula?
d) Qual é a aceleração da partı́cula no instante em que ela não está se movendo (outra diferente
daquela em que t = 0)?
e) Determine a velocidade média da partı́cula entre t = 0 e t = 3 s.
Item (a)
x (t) = 12t2 − 2t3
2
⇒ v (t) = dx(t)
dt = 24t − 6t
⇒ a (t) = dv(t)
dt = 24 − 12t
⇒ a (3) = 24 − 12 (3) = −12 sm2
Item (b)
xmax ⇔ v (tmax ) = 0
⇒ v (tmax ) = 24t − 6t2 = 0 ⇒ t = 4s
⇒ x (t = 4s) = 12 · 16 − 2 · 64 = 64m
Item (c)
vmax ⇔ a (tmax ) = 0
⇒ a (tmax ) = 24 − 12t = 0 ⇒ t = 12s
⇒ v (t = 2s) = 23 · 2 − 6 · 4 = 24 m
s
Item (d)
vmedia =
x (t = 3s) − x (t = 0s)
54
m
=
= 18
3
3
s
Item (e)
v (tmax ) = 0 ⇒ t = 4s
a (t = 4s) = 24 − 12 · 4 = −24 sm2
1
Problema 2: Na tentativa de atingir um alvo que se encontra no solo, o piloto de um avião lança
uma bomba a uma velocidade de 400 m/s em relação ao solo, fazendo um ângulo de 30o em relação à
trajetória de vôo. Sabendo que o avião se encontra a uma altura de 1125 m (ignore efeitos de resistência
do ar, considere a bomba como sendo uma partı́cula pontual e g = 10m/s2 ), determine:
a) o tempo gasto para a bomba atingir o solo;
b) a distância D necessária para a bomba atingir o alvo;
c) o vetor velocidade da bomba ao atingir o alvo.
Para o problema em questão, consideremos que no instante t = 0 o conjunto (avião + bomba) se
encontra na origem. Além disso, tomemos y positivo para baixo e x positivo na direção do vôo:
Item (a):
A equação horária da bomba na direção vertical será:
1
y(t) = y0 + vy0 t + gt2
2
Dessa forma, teremos:
1
+h = 0 + V0 sen (30◦ ) t + gt2
2
1 2 1
gt + V0 t − h = 0
2
2
⇒
ou
g t2 + V0 t − 2h = 0
Resolvendo em t, encontramos:
t=
−V0 ±
p
(V0 )2 + 8gh
2g
Como tempos negativos não têm sentido fı́sico, ficamos com:
p
(400)2 + 9.000g − 400
100
t=
=
= 5s
2g
20
Item (b)
A velocidade na direção horizontal mantém-se constante. Assim, a equação horária da bomba nessa
direção será:
x(t) = x0 + Vx0 t
Assim,
√
3
D = 0 + V0 cos (30 ) t =
Vo
2
o
p
(V0 )2 + 9.000g − V0
2g
!
ou seja:
√
p
4002 + 9.000 · g − 400
√
D = 1000 3m ∼
= 1700m
D=
3·400
4·g
Item (c),
A velocidade da bomba na direção vertical (ao atingir o solo) será:
Vy (t) = Vy0 + gt
⇒
1
Vy = V0 + g
2
!
p
(V0 )2 + 9.000g − V0
1 p
=
(V0 )2 + 9.000g
2g
2
Enquanto que na direção horizontal será:
2
√
3 V0
2
E o vetor velocidade ao atingir o alvo será (para Vo = 400 m/s):
h √
i
p
~ =1
3 · V0 î +
V02 + 9.000 · g ĵ
V
2
√
~ = 200 3î + 250ĵ m
V
s
Vx (t) = Vx0 =
3
Problema 3: Um carro de montanha-russa descreve uma trajetória circular de raio 10 m. Num
dado momento, sua aceleração total é de 1, 5m/s2 , formando um ângulo de 37o em relação à direção
do movimento. Considere cos 37o = 4/5 e sin 37o = 3/5.
(a) Calcule o módulo da aceleração centrı́peta do carro neste instante.
(b) Determine o vetor velocidade do carro neste instante.
(c) Se a aceleração tangencial é constante, calcule a velocidade do carro 2 s após este instante.
Item (a):
ac = |~a| · sen37o = 1, 5 ·
3
⇒ ac = 0, 9m · s−2
5
Item (b):
√
2
ac = vR ⇒ v 2 = ac · R ⇒ v = 0, 9 · 10 ⇒ ~v = 3m · s−1 î
v = 3m · s−1 , tangenteaomovimento.
Item (b):
at = ∆v
∆t ⇒ ∆v = 2at
mas,at = |~a| · cos 37o = 1, 5 · 45 = 1, 2m · s−2
logo,v − v0 = 2, 4 ⇒ v = 5, 4m · s−1 , tangenteaomovimento
4
Problema 4: Um caixote de 100kg é empurrado para cima com velocidade constante, sobre uma
rampa com inclinação de 30o e de atrito desprezı́vel, conforme mostra a figura abaixo. (g = 10, 0m/s2 ).
(a) Desenhe o diagrama de forças para o caixote.
(b) Qual a força horizontal F necessária?
(c) Qual a força exercida pela rampa sobre o caixote?
Item (a):
Figura 1: Diagrama Forças.
Item (b):
v = cte ⇒ a = 0
F · cos θ −
m · g · senθ = m · a = 0 ⇒ F = m · g · tg30o
√
√
F = 15003 3 ⇒ F = 500 3N
Item (c):
N − F senθ − mg cos θ = 0
√
√
3
N = F senθ
cos θ = 500 3 21 +
√ + mg √
√ 1500 2
N = 250 3 + 750 3 ⇒ N = 1000 3
5