Exemplos de movimentos não-retilı́neos
MÓDULO 1 - AULA 11
Utilizando, então, as definições de aceleração e velocidade, obtemos o módulo
da aceleração da partı́cula (que, no caso de um MCU, tem apenas componente
centrı́peta):
v2
|a| =
,
(11.31)
R
ou ainda, lembrando que v = ωR,
|a| = ω 2 R .
(11.32)
Para determinarmos a direção da aceleração da partı́cula, basta analisar novamente as figuras 11.4 e 11.5. Quando ∆t → 0, temos também ∆θ → 0 e
com isso, nesse limite, a direção de ∆v passa a ser perpendicular à direção de v.
Como v é tangente à trajetória circular, ∆v terá obrigatoriamente a direção radial,
com sentido para dentro da curva por motivos óbvios. Conseqüentemente, usando
argumentos puramente geométricos, mostramos que num MCU a aceleração da
partı́cula é dada por a = −ω 2 R ur .
Finalizamos esta seção comentando que num movimento circular não uniforme a aceleração da partı́cula terá, além de uma componente centrı́peta, uma
componente tangencial, responsável pela variação do módulo de sua velocidade.
Na última seção desta aula, você aprenderá a calcular a expressão da aceleração
centrı́peta em termos do módulo de sua velocidade e de parâmetros geométricos
de sua trajetória, mesmo em movimentos mais genéricos do que o circular.
O movimento cicloidal
Você já se deparou com um movimento cicloidal de uma partı́cula no final da aula 2. Naquela ocasião, você também aprendeu a definição cinemática
de ciclóide (que será relembrada aqui), mas não aprendeu a deduzir as equações
paramétricas dessa curva e muito menos pôde aplicar o formalismo de vetores ao
estudo desse tipo de movimento por não estar ainda familiarizado com ele. Esta
seção, sobre movimento cicloidal, vem preencher estas lacunas e aproveitar para
dar mais informações sobre uma curva tão comum em nosso dia-a-dia e tão importante na história da fı́sica. Considere um disco de raio R rolando sem deslizar
sobre uma superfı́cie plana e horizontal. Suponha que, ao movimentar-se, o disco
se mantenha sempre num mesmo plano vertical e que o seu centro descreva um
movimento retilı́neo. Nessas circunstâncias, a curva traçada por um ponto qualquer P da periferia do disco é uma ciclóide. Essa curva está ilustrada na Figura
11.6.
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Exemplos de movimentos não-retilı́neos
Y
2R
R cos θ { P
y
θ
C
R sen θ
{
O x
C
<
X
Fig. 11.6: Trajetória cicloidal de um ponto na periferia de um disco que rola sem deslizar sobre uma superfı́cie plana e
horizontal.
A fim de deduzir as equações paramétricas que caracterizem os pontos dessa
curva, é conveniente utilizar como parâmetro o ângulo de giro do disco. Seja θ
o ângulo entre a vertical e o segmento de reta CP , onde C é o centro do disco
em movimento e P , o ponto que descreve a ciclóide desenhada na Figura 11.6 à
medida que o disco gira. Escolhemos os eixos cartesianos de modo que OX seja
horizontal, enquanto OY, vertical e com a origem coincidindo com a posição do
ponto P quando θ = 0. Note, então, que qualquer posição do ponto P ao longo de
sua trajetória fica univocamente determinada pelo ângulo θ. A Figura 11.6 mostra
esse ponto numa posição genérica durante seu movimento.
Como não há deslizamento entre o disco e a superfı́cie, o comprimento do
arco P C – onde C é o ponto de contato entre o disco e a superfı́cie horizontal –
é igual ao comprimento do segmento OC . Expressando o ângulo θ em radianos,
esse comprimento de arco é dado por Rθ. Desse modo, a Figura 11.6 nos permite
escrever para a coordenada cartesiana x do ponto P :
x = OC − R senθ = R(θ − senθ) .
Novamente com o auxı́lio da Figura 11.6, escrevemos para a coordenada y do
ponto P :
y = CC − R cosθ = R(1 − cosθ) .
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Exemplos de movimentos não-retilı́neos
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Resumindo: as equações paramétricas da ciclóide descrita pelo ponto P da Figura
11.6 são dadas por
x = R(θ − senθ)
(11.33)
y = R(1 − cosθ) .
Vale enfatizar que não é possı́vel relacionar diretamente por meio apenas das chamadas operações algébricas (soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação
inteira) as coordenadas cartesianas do ponto P . A equação cartesiana da trajetória
cicloidal do ponto P envolve operações mais complicadas, como a radiciação e
o conceito de função inversa (veja o último problema proposto). O caráter nãoalgébrico dessa curva despertou a atenção de muitos matemáticos e fı́sicos importantes do século XVII, que utilizaram a ciclóide para testar e confrontar métodos
da época sobre construção de tangentes a curvas etc.
Independentemente de como o disco gire, isto é, se girar com velocidade
angular constante (dθ/dt = Cte) ou variável no tempo, a trajetória do ponto
P será a ciclóide descrita anteriormente. No entanto, diferentes movimentos do
disco levam a diferentes funções-movimento vetorial do ponto P . Por exemplo,
se o disco gira de tal modo que dθ/dt = ω, sendo ω uma constante positiva, temos
para a função-movimento vetorial de P :
r = x ux + y uy =
= R(ωt − senωt) ux + R(1 − cosωt) uy ,
(11.34)
onde, por simplicidade, escolhemos o zero de nosso cronômetro no instante em
que θ = 0. Calculando-se a derivada temporal da expressão anterior, obtemos a
velocidade do ponto P num instante genérico de seu movimento:
v = ωR 1 − cos(ωt) ux + sen(ωt) uy .
(11.35)
A aceleração do ponto P num instante genérico é obtida derivando-se a expressão
anterior uma vez em relação ao tempo:
a = ω 2 R sen(ωt) ux + cos(ωt) uy .
(11.36)
Nos problemas propostos, você terá oportunidade de verificar algumas caracterı́sticas desse movimento. Por exemplo, no caso que acabamos de discutir, o
ponto mais alto da trajetória do ponto P é atingido pela primeira vez (supondo que
o movimento tenha começado em t = 0s) no instante t = π/ω. Nesse instante,
a sua velocidade é horizontal e tem módulo máximo igual a 2ωR e aceleração
vertical e para baixo, de módulo ω 2 R. No instante t = 2π/ω o ponto P toca a superfı́cie horizontal pela primeira vez após o inı́cio de seu movimento e isso ocorre
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a uma distância 2πR da origem. A sua velocidade é nula nesse instante e a sua
aceleração é vertical e para cima, de módulo ω 2 R.
Finalizamos esta seção com um pouco mais de história sobre a ciclóide. No
final do século XVII, mais precisamente no ano de 1696, Jean Bernoulli lançou
um desafio, presumivelmente endereçado a alguns gigantes da época, como por
exemplo, Leibniz e Newton, entre outros. Esse problema ficou conhecido com o
nome de o problema da braquistócrona (do grego tempo mais curto) e consiste
essencialmente na pergunta:
qual deve ser a forma da superfı́cie sobre a qual uma partı́cula deve
deslizar sem atrito para que, partindo do repouso de um ponto A,
atinja um ponto B (que não esteja na vertical e que passe por A) no
menor tempo possı́vel?
A superfı́cie que minimiza o tempo de percurso entre A e B nada mais é
do que uma superfı́cie cicloidal, ou seja, uma partı́cula ao se movimentar de A
para B descreve justamente uma trajetória cicloidal. Esse problema, que pode ser
considerado como um marco inicial do chamado cálculo variacional, foi resolvido
no ano seguinte por várias pessoas, a saber: pelo próprio Jean Bernoulli, por
seu irmão Jacques Bernoulli, por Leibniz, por L’Hopital e por Newton. Conta a
lenda que Newton resolveu o desafio na mesma tarde em que tomou conhecimento
do mesmo. Parece que, ao receber a solução apresentada por seu irmão, Jean
percebeu que havia cometido um pequeno erro em sua solução. Apropriou-se,
indevidamente, dos cálculos de seu irmão e corrigiu a sua própria solução. Essa
atitude, no entanto, gerou uma grande discórdia entre os irmãos Jean e Jacques,
que perdurou até a morte de Jacques. O método proposto por Jacques Bernoulli
para o problema da braquistócrona prima por sua beleza e simplicidade, mas está
além dos propósitos desta aula.
Grandezas do movimento associadas à trajetória
Consideremos o movimento de uma partı́cula dado por uma função-movimento
vetorial f . Temos:
r = f (t) .
(11.37)
Sabemos que a trajetória desse movimento é a curva traçada no espaço pelo ponto
final do vetor posição. Dito de outro modo, é o conjunto de pontos pelos quais a
partı́cula passa durante o seu movimento. Representemos por C a trajetória do movimento em consideração. Vamos agora desenvolver alguns conceitos associados
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