D: 2007 5834 3º EM ITA SIMUL MATEMÁTICA PV Rosângela
COLÉGIO 7 DE SETEMBRO
Central de
Atendimento:
FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ
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o
Ensino
Médio
O Colégio que ensina o aluno a estudar
4006.7777
II Simulado de Matemática – ITA
ALUNO(A):_______________________________________________________
TURNO: MANHÃ
PROFESSORES: MAX e ONOFRE
No:_____
TURMA: ______
No QUESTÕES: 30
ETAPA: 2a
DATA: 12/04/2007
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
II VESTIBULAR SIMULADO / 2007
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PROVA DE MATEMÁTICA
INSTRUÇÕES
1.
Esta prova tem duração de quatro horas.
2.
Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.
3.
Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material escolar.
4.
Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20) e de 10 questões dissertativas (numeradas de 21
a 30).
5.
As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.
6.
Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questões
está completo.
7.
Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada página
corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno de
soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nem
destacadas pelo candidato.
8.
Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.
9.
As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisa
e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos.
10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradas
de 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. Você
deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites.
11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma folha extra
com o cabeçalho devidamente preenchido.
12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.
13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida com um simples
traço a lápis, durante a realização da prova.
14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato.
15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.
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PROVA DE MATEMÁTICA - II SIMULADO ITA / 2007
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QUESTÕES OBJETIVAS
QUESTÃO 01
No desenvolvimento de (1 + x5 + x9)23, determine o coeficiente de x23.
A) 5313
B) 10626
C) 3135
D) 2313
E) 6313
QUESTÃO 02
Determine o número de soluções inteiras da equação x1 + x2 + x3 = 12, onde as variáveis x1 e x2 pertencem ao conjunto {2, 3, 4}, e a
variável x3 pertence ao conjunto {5, 6, 7}.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 12
QUESTÃO 03
Qual é o menor valor que a expressão
x 2 + 1 + (y − x)2 + 4 + (z − y)2 + 1 + (10 − z)2 + 9
pode assumir, sendo x, y e z reais?
A) 7
B) 13
C) 4 + 109
D) 3 + 2 + 90
E)
149
QUESTÃO 04
A reta r contém os pontos (0, 4) e (7, 7). Dos pontos abaixo, qual é o mais próximo da reta r?
A) (1999, 858)
B) (1999, 859)
C) (1999, 860)
D) (1999, 861)
E) (1999, 862)
QUESTÃO 05
Seja A um subconjunto do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 2999, 3000} tal que
de elementos de A.
A) 1998
B) 1999
C) 2000
D) 2001
E) 2500
x ∈ A implica 2 x ∉ A . Determine o número máximo
QUESTÃO 06
 11 1  11 
Determine o valor de A =  ∑
⋅    , onde  x  , representa parte inteira de x.
 k =0 k + 1  k  
A)
B)
C)
D)
E)
253
341
253
441
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QUESTÃO 07
Em uma urna há fichas numeradas de 1 a 10. De quantos modos se podem retirar 3 fichas de modo que a soma dessas fichas não seja
menor que 9?
A) 116
B) 120
C) 87
D) 88
E) 89
QUESTÃO 08
Seja n um número inteiro e positivo tal que os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de:


log n 2 n

+ x
 log e n ⋅ log e

n 2


n
ordenados segundo as potencias decrescentes de x, estão em progressão aritmética. Determine o maior valor possível de n.
A) 12
B) 13
C) 7
D) 8
E) 14
QUESTÃO 09
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos A(1, 2), B(2, 4) e C(4, 1) são vértices de um triângulo. A distância do
ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC é:
A)
3 3
B)
9
10
C)
8 10
D)
9 10
70
E)
5 2
QUESTÃO 10
Determine a área da região R definida por:
R = R1 I R2 I R3 , sendo:
{( x, y ) ∈ R ; 4 x + 5 y − 16 ≤ 0}
= {( x, y ) ∈ R ; 4 x − 3 y ≥ 0}
= {( x, y ) ∈ R ; y ≥ 0}
R1 =
2
R2
2
R3
A)
B)
C)
D)
E)
2
0
1
2
3
4
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QUESTÃO 11
Sobre as raízes da equação 2x +
A)
B)
C)
D)
E)
6
6
=6+
, podemos afirmar que:
x−3
x−3
são positivas
são negativas
são irracionais
não são reais
não existem
QUESTÃO 12
O número de valores inteiros de m para os quais as raízes da equação:
x2 – (m + m2)x + m3 – 1 = 0
são inteiras é igual a:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
QUESTÃO 13
O polígono regular ABCDE ... possui n lados e está inscrito numa circunferência de centro O. Sobre o lado BC construímos, externamente,
ˆ mede π , o valor de n é igual a:
um quadrado BCPQ. Sabendo que o ângulo CPO
54
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
QUESTÃO 14
2007
Para cada inteiro positivo n, a parábola y = (n2 + n)x2 – (2n + l)x + 1 corta o eixo dos x nos pontos An e Bn. O valor de
A)
2007
2008
B)
2008
2009
C)
2007
2009
D)
2009
2007
E)
2009
2008
∑
n=1
AnBn é:
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QUESTÃO 15
A soma de todos os valores reais de x tais que | 3 | 3x – 1| – 1| = x é igual a:
A)
21
20
B)
23
20
C)
5
4
D)
27
20
E)
29
20
QUESTÃO 16
Para qualquer inteiro positivo n, seja f(n) =
A)
B)
C)
D)
E)
4n +
4n 2 − 1
2n + 1 +
2n − 1
. Então, a soma ƒ(1) + ƒ(2) + ƒ(3) +...+ ƒ(40) é igual a:
364
365
366
367
368
QUESTÃO 17
Os números reais não nulos x, y, z e t satisfazem as seguintes igualdades:
x+y+z=t
1
1 1 1
+ + =
x
y z t
x3 + y3 + z3 = 10003
Nessas condições, o valor de x + y + z + t é igual a:
A) 1000
B) 2000
C) 3000
D) 4000
E) 5000
QUESTÃO 18
André, Bill e Carlos são vizinhos e os números de suas casas estão em ordem crescente. Eles jogam tênis juntos e cada um deles têm seu
próprio armário no clube onde jogam. O número do armário de André é a, o número do armário de Bill é a + n + 2 e o número do armário de
Carlos é a + 2n – 3. Os números dos seus armários são divisíveis pelo número da casa de Bill. Que número é este?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
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QUESTÃO 19
No quadrilátero convexo ABCD, os lados AB, BC e CD medem, respectivamente, 12 cm, 10 cm e 7cm. Sabendo que as circunferências
inscritas nos triângulos ABC e ACD tangenciam a diagonal AC no mesmo ponto P, determine o comprimento do lado AD.
A) 3 cm
B) 9 cm
C) 10 cm
D) 11cm
E) 12 cm
QUESTÃO 20
Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que a circunferência de diâmetro AB passa pelos vértices C e D. As retas BC¨e AD cortam-se no
ˆ = 72o, o ângulo AQB
ˆ mede:
ponto P e as diagonais AC e BD cortam-se em Q. Se APB
A) 96°
B) 144°
C) 72°
D) 124°
E) 108°
QUESTÕES SUBJETIVAS
QUESTÃO 21
ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(4, 7), B(1, 2007) e C(2008, 2). Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal
que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível.
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QUESTÃO 22
Considere os pontos A(– 2, 0), B(2, 0), C(0, 3) e P(0, p), com 0 < p < 3. Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo
ABC.
A) Determine, em função de p, a área da região sombreada.
B) Para que valor de p essa área é máxima?
QUESTÃO 23
Num retângulo qualquer, considere um ponto P pertencente a um dos lados do retângulo de lados a e b. Mostre que a soma das distâncias
de P às diagonais desse retângulo é constante.
QUESTÃO 24
Um triângulo eqüilátero de lado n foi dividido em n2 triângulos eqüiláteros de lado 1, como mostra a figura. Determine o número de
paralelogramos que podemos formar usando os segmentos utilizados para a divisão do triângulo de lado n.
Observação: Na figura abaixo, temos um exemplo de dois paralelogramos formados, satisfazendo a condição exigida pelo problema.
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QUESTÃO 25
10
1 2

Qual o maior coeficiente de x no desenvolvimento de  + · x  .
3 3

QUESTÃO 26
ˆ = ADC
ˆ = θ.
No quadrilátero ABCD, BC é paralelo a AD, AB = BC = CD = 5 e BAD
Ache a expressão da área de ABCD em termos de θ.
QUESTÃO 27
ˆ Cˆ e Eˆ formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. DeterO hexágono ABCDEF está inscrito numa circunferência. Os ângulos A,
mine, em graus, a medida do ângulo Ĉ.
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QUESTÃO 28
Determine todos os x ∈ R tais que
x + 2 x −1 +
x − 2 x − 1 = 2.
QUESTÃO 29
Resolva em C o sistema
a(a – b) (a – c) = 3
b(b – a) (b – c) = 3
c(c – a) (c – b) = 3.
QUESTÃO 30
Determine o número de soluções reais da equação (x2 – 9x – 1)10 + 99x10 = 10x9(x2 – 1).
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