MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
36571-000 - VIÇOSA - MG – BRASIL
1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 141 – 28/02/2011
Professores: Rosane (Coordenadora), Allan e Cristiane
1. Resolva as equações:
a)
3x − 7 = x + 2
b)
x − 5 = 3x − 1
x 4 − 5x 2 + 4 = 0
x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0
c)
d)
2. Ache todos os números reais que satisfazem as desigualdades:
2
a) 2 x − 5 < 1
f) 2 x ≥ 3 x − 16
b)
3x + 5 ≤ 2 x + 1
c)
x − 2 ≥ 4x + 1
x −1
<2
2x − 1
2
3
h)
−4 < −8
x
x
g)
2
d) x ≤ 4
e) 3 < 5 x ≤ 2 x + 11
3. Dadas as funções
f1 ( x) =
f 5 ( x) = 2 x 2 − 5 x − 3
a) f1 ( x) <
a) Domínio de
b) Domínio de
c) Domínio de
0<
1
3
, f 2 ( x ) = x , f 3 ( x) =
, f 4 ( x) = | 2 x − 4 | − | 3 x − 9 | ,
x
x+2
f 6 ( x) = x + 3 ,
e
f 2 ( x) < f 3 ( x)
4. Dadas as funções f ( x ) =
5
≥2
3− x
x+2
x
j)
≤
x −1 x + 4
i)
b)
4 − x2
f
g
f + g, f − g
e
determine os valores de
x
tais que:
f 4 ( x ) < −3
c)
g ( x ) = x 2 − 3x . Determine:
e)
f)
e
f ⋅g
g)
g
g
f
( f + g )(x )
( f − g )(x )
( f ⋅ g )(x )
 
h)  f ( x )
 
d) Domínio de f
5. Seja
f 5 ( x) > f 6 ( x)
a função definida por
f ( x) =
5x − 2
x2 − 4
. Determine constantes
A
e
B
tais que
A
B
.
+
x−2 x+2
f ( x ) = mx 2 + 2 x + 1 , m ≠ 0 . Determine m
f ( x) =
6. Seja a função quadrática definida por
admita um valor máximo em
x =1.
2
para que a função
7. Uma das dimensões de um piso retangular é 4 m e sua área é menor que 132 m , sendo
do piso.
a) Determine uma inequação que x deve satisfazer.
b) Resolva a inequação obtida.
x
a outra dimensão
8. À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir um estado de
imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60 kg, a uma altitude de x km acima do mar, é dado por
2
 6400 
W = 60

 6400 + x 
A que altitude o peso do astronauta será inferior a 2 kg?
.
9. Um fabricante de latas deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 20 cm de altura e
3000 cm3 de capacidade. Determine o raio interior r .
10. Responda:
a) O que é uma função? Dê um exemplo.
b) O que é domínio e imagem de uma função? Dê um exemplo.
c) O que é uma função racional? Dê um exemplo.
d)
11. Determine a expressão simplificada de
a)
f ( x) − f (a )
x−a
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
, com h ≠ 0
h
b) f ( x) = 1 + x
Dê uma interpretação geométrica para o quociente:
1
f ( x) = x 2
3
para as seguintes funções:
f ( x) =
c)
12. Esboce o gráfico das funções abaixo, com cada transformação solicitada, sendo f ( x ) =
a) f ( x ) + 1
b) f ( x + 1 )
c) f (2 x )
d) −
x.
e) f ( | x | )
1
f (x )
2
f)
13. Determine a inversa de cada uma das funções:
5
2
b) f ( x ) = x − 3, x ≥ 0
x
14. Mostre que f e g são inversas uma da outra sendo:
a)
2
x
f ( x) =
c)
3 − 1 + 4x
3
1
e g ( x) =
, para x ≥ .
2
2
4
(x − 3)(x + 4) , determine:
15. Dada a função f ( x ) =
(x + 2) x 2 + 4 x − 5
a) domínio de f ;
b) f (0 )
c) valores de x tais que f ( x ) = 0 .
f ( x) =
f (x )
2x − 3
3x − 2
f ( x) = x 2 − 3x + 2 , para x ≤
(
)
d) o sinal da função f
16. Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções.
a)
b)
r (x ) = 1 + 1 + x
 3x − 2 
f (x ) = 

 2x − 3 
( n = 2)
w(t ) = −
c)
2
2
( t + 1)
2
( n = 5)
( n = 3)
17. Determine o domínio das seguintes funções:
5x − 7
x − 4x − 5
a)
f ( x) =
b)
f ( x) = 6 x 2 + 3x − 4
c)
f ( x) = 3 x 2 + 3x − 4
d)
y = ln( x 2 + x − 2)
e)
y=5
f)
f ( x) =
g)
y=
3+ x − 4− x
2

log 
5 

5− x
( 5− x )2





h)
1
1− x
f (x ) =
x
x −1
2
1
2
−
x +1 x − 3
i)
f ( x) =
j)
y = log
k)
y = 1 − x2 + x2 − 1 +
x −3
x 2 − 3x + 2
x2 + 2x +1
1
x −1
2
18. Com base no domínio e no sinal das funções abaixo relacionadas, associe cada uma delas ao seu respectivo
gráfico:
(a)
p ( x) = x 2 − 4
(( x
(b)
g ( x) =
(c)
h( x) = x 2 − 4
(d)
k ( x) = x 2 − 4
(
(
2
−4
))
)
−1
)
1
2
(
)
(
1
3
(e)
f ( x) = x 2 − 4
(f)
q ( x) = x 2 − 4
(g)
r ( x) = x 2 − 2
1
2 2
(
)
−
1
2
1
2
)(
x2 + 2
)
1
2
19. Dadas as funções
f
e
g
calcule
( fog)( x) e o domínio de
fog .
 x ; se x < 0
1 se x < 0

 2
f ( x ) = 2 x
se 0 ≤ x ≤ 1 e g( x ) = 0 ; se 0 ≤ x ≤ 1
1 ; se x > 1
0
se x > 1



3 x , x ≤ 0

1

20. Sejam as funções
f ( x ) = − x, 0 < x ≤
e
g (x ) = x
2

1
 2
 x , x > 2
a) Calcule, caso existam, ( f o g ) (1 4 ) e ( g o f ) (1 4 )
( f o g) e (g o f )
c) Encontre as fórmulas para ( f o g )( x ) e ( g o f ) ( x )
b) Encontre o domínio de
21. Considere as funções
x≤0
− 2 x − 1, se
 2
f ( x) =  x − 3 se 0 < x ≤ 3
 x
se
x>3

(a)
Faça um esboço do gráfico de
(b)
Determine o domínio de g o f ;
(c)
Encontre
f;
(g o f )(x) .
22. Dadas as funções f e g . Determine o domínio de f o g e
a)
g ( x) = 1 − x .
e
f (x ) = x + 1
e
23. Seja a função f dada por
( f o g )( x )
g (x ) = x − 4
b)
f ( x) =
1
x
e
f ( x ) = x + 5 . Encontre a função g tal que ( f o g ) ( x ) =
g ( x) =
x −3
x +1
x , e dê o
x +1
seu domínio.
24. Se
g ( x) = 2 x + 1 , encontre uma função f tal que ( f o g ) ( x) = x 2 − 4 x + 5 .
25. Construir os gráficos das funções, dar o domínio e o conjunto imagem.
a)
b)
c)
 x + 2 se x ≤ −1

y =  x 3 se | x |< 1
− x + 3 se x ≥ 1

x2 − 2
x+ 2
f ( x) = (| x | +2 )( x − 1)
d)
1

se x ≥ 2

x
 2
y =  x − 1 se 0 ≤ x < 2
 | x | se x < 0


e)
 x 2 − 9 x + 3 se x ≠ 1
f ( x) = 
se x = 1
7
f)
f ( x) = − x 2 + 2 x + 3
y=
g)
f ( x) = 2 x−4
h)
1
f ( x) =   − 1
2
i)
f ( x) = 3 − log 2 x
k)
x
y = ln( x + 3)
j)
f ( x) =
(
)
x x2 + 1
x
| x | | x − 1|
+
x
x −1
l)
g ( x) =
m)
f ( x ) = log 2 x 2 − 4 x
(
[[ ]]
)
[[ ]]
26. O símbolo x denota o maior inteiro menor ou igual a x . A função f ( x ) = x é denominada função
maior inteiro. Dê o domínio, o conjunto imagem e esboce o gráfico das funções abaixo.
f ( x) = (− 1)
[[ x ]]
a)
f ( x) = [[x ]] − x
b)
c)
f ( x) = [[x + 2]]
d)
( f o g )( x )
sendo
f ( x) = [[x ]] e g ( x) = cos x
27. Construa o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das funções abaixo:
a) y = 3sen
x
2
d) y = cos(2x h) y =
b) y = cos(2x)
π
)
4
cos x + cos x
2
f)
y = arcsen x
i)
y=−
π
2
c)
y = 3 + arctg x
g) y = 1 + tg
x
3
+ arccos x
28. Dadas as funções abaixo, calcule:
2 x − 1 - -1
–1
–1
–1
–1
, f = ? , g = ? , f (g (x)) = ?, (gof) (x) = ?
3
x −1
2
–1
b) f(x) =
e g(x) =
, com x ≠ 0, calcule o domínio de (gof) (x)
2
x
a) f(x) = 3x + 2 e g(x) =
29. Verifique se as funções abaixo são pares ou são ímpares.
a)
f (x ) = x 4 + 2
2
b) f(t) = 2t + 3
c)
d) g(x) = x
t
30. Considere as funções
x
f ( x) = x 2 − x − x − 1 e g ( x ) = x − 1 + 2 x − 4
Escreva as funções f e
(a)
f ( x) = x 7 + x 3
g
eliminando o símbolo de módulo, isto é, escreva f (x) e
partes;
(b)
31. Dada
Faça um esboço do gráfico de
f ( x ) = ln
f e de g .
1− x
, verifique a igualdade f ( a ) + f ( b ) =
1+ x
32. Obter a equação da reta que satisfaz as condições indicadas:
a) passa por (3, 5) e coeficiente angular m = −2
 a +b 
f

 1 + ab 
g (x)
definida por
b) passa pelos pontos (1, 6) e (2, 6)
c)
passa pelos pontos (1, 6) e (1, -3)
d) passa pelos pontos (1, 2) e (4, 4)
e) passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear b = 4. Determine o seu coeficiente angular, o zero da função e
para que valores de x, f(x) > 0 e f(x) < 0.
f)
passa pelo ponto (1, 6) e é paralela ao eixo
x.
g) passa pelo ponto (5, 3) e é perpendicular a y + 7 = 2x
h) passa por (-4, 3) e é paralela à reta determinada por (-2, 2) e (1, 0)
PROBLEMAS DE MODELAGEM
33. Os lados de um terreno retangular medem x e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de
20m:
a)
determine sua área em função de um dos lados
b)
construa o gráfico dessa função
c)
Encontre as dimensões para que o terreno tenha área máxima
34. Os lados de um terreno retangular medem x e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de
20m:
a) determine sua área em função de um dos lados
b) construa o gráfico dessa função
c) verifique as dimensões para que o terreno tenha área máxima
35. Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40m.
a) Expresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados
b) Construa o gráfico dessa função
c) Calcule as dimensões desse terreno para que a área seja máxima
36. Quero construir uma quadra de futebol de salão, retangular. Para cercá-la, disponho de 60m de alambrado préfabricado e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões
dessa quadra para que sua área seja máxima?
37. Os lados de um terreno retangular medem x e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de
20m:
a) determine sua área em função de um dos lados
b) construa o gráfico dessa função
c) verifique as dimensões para que o terreno tenha área máxima
38. Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40m.
d) Expresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados
e) Construa o gráfico dessa função
f) Calcule as dimensões desse terreno para que a área seja máxima
39. Quero construir uma quadra de futebol de salão, retangular. Para cercá-la, disponho de 60m de alambrado préfabricado e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões
dessa quadra para que sua área seja máxima?
40. A hipotenusa de certo triângulo retângulo tem 11 centímetros de comprimento.
a) Exprima o comprimento de um dos catetos do triângulo como uma função do comprimento do outro
cateto.
b) Qual é o domínio desta função? Porquê o domínio não é [-11,11]?
41. Um homem de 1,80m de altura está parado ao nível da rua, próximo a um poste de 4,50m de altura. Exprima o
comprimento de sua sombra como função da distância (em m) que ele se encontra do poste.
42. Deve-se construir um tanque de aço em forma de um cilindro circular reto de 3m de altura com dois hemisférios
nos extremos. O raio r ainda está por determinar. Expresse a área S da superfície do tanque em função de r.
43. No Paraná, cada laranjeira produz cerca de 600 laranjas por ano se não forem plantadas mais de 20 laranjeiras
por acre. Para cada árvore plantada a mais por acre, o rendimento de cada laranjeira baixa em 15 laranjas.
Expresse o número de laranjas produzidas por ano por acre como função do número de árvores plantadas.
Qual o número de laranjeiras por acre que garante maior produção?
44. Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo do rio. O
material da cerca custa R$2,00 por metro para os extremos e R$3,00 por metro para o lado paralelo ao rio.
Expresse a área do campo em função da distância do lado paralelo ao rio que pode ser cercado com um custo
de R$480,00.
2
45. Um corretor tem um terreno retangular de área 36 m e deseja dividi-lo em seis lotes retangulares iguais, de
comprimento x e largura y. Expresse a quantidade que ele usará de arame para cercar todos os lotes como
função de x.
46. Exprime o comprimento l de uma corda de um círculo de raio 8cm como uma função de sua distância x cm ao
centro do círculo e examinar o domínio da variável x.
47. O triângulo ABC está inscrito em um semicírculo de diâmetro 15. Se x é o comprimento do lado AC, expresse o
comprimento y do lado BC como função de x, e indique seu domínio.
C
A
B
48. Uma pequena empresa produz cadeiras de praia sob encomenda. Cada unidade custa 5 dólares e é vendida
por 8 dólares. Existe ainda um custo fixo de 300 dólares mensais para manter a estrutura da empresa. Como o
trabalho é por encomenda o número de cadeiras produzidas é igual ao número de cadeiras vendidas. a) Qual
deve ser o número mínimo de unidades vendidas no mês para a empresa não ter prejuízo? Esse valor, em
economia, é denominado “ponto de equilíbrio”. Dê a equação do lucro mensal em função do número de
cadeiras produzidas.
OBS: O número de cadeiras produzidas é uma variável discreta.
49. As posições relativas de uma pista de aeroporto e de uma torre de controle de 6 m de altura são ilustradas na
próxima figura. A cabeceira da pista está a uma distância perpendicular de 100 metros da base da torre. Se x é
a distância percorrida na pista por um avião, expresse a distância d entre o avião e a torre de controle como
função de x.
50. Uma ilha está situada no ponto A, 8Km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próximo num
trecho reto do litoral. Um aluno de MAT141 na ilha deseja ir ao ponto C, 9Km praia abaixo a contar do ponto B.
O aluno pode alugar um barco por R$1,00 o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e
daí tomar um táxi a R$0,60 o quilômetro e viajar por uma estrada retilínea de P a C. Escreva a equação que
fornece o custo gasto pelo aluno para ir de A até C em função da distância x de B a P.
3
51. Um fabricante quer fazer uma caixa retangular de base quadrada para conter um volume de 12 cm de um
2
2
produto. O material usado nos lados custa R$3,00 por cm , o usado no fundo custa R$4,00 por cm , e o usado
2
na parte superior custa R$5,00 por cm . Escreva a função que dá o custo da caixa em função da altura da
caixa.
52. Suponha que uma quantia em dinheiro P é investida a juros r (sob a forma decimal) por ano.
a) Mostre que o capital A acumulado no fim de n anos, com juros sendo reinvestidos anualmente, é dada
pela fórmula A = P (1 + r ) . Esta proposição é conhecida como a lei dos juros compostos.
b) Quanto tempo levará para um investimento duplicar-se, se a taxa de juros anual for de 4,5 %.
c) Se R$ 1.000, 00 se transformar em R$ 3.000,00 em trinta anos, quando investidos a juros compostos,
ache aproximadamente a taxa de juros.
n
53. Para medir a largura de um rio, fincou-se uma estaca no chão na margem sul diretamente na direção sul de
uma margem na margem oposta. De um ponto 100 metros a oeste da estaca, a árvore foi observada e o
ângulo entre a reta visada e alinha leste-oeste foi medido. Qual é a largura do rio se este ângulo foi medido.
2
54. Uma página de livro deve ter uma área de 580 cm , com margens de 2,5 cm em baixo e dos lados e 1,25 cm
em cima. Expresse a equação que fornece a área A impressa em função da largura x da parte impres
OBS: Esta lista é um complemento dos exercícios do livro texto e não engloba todo o
conteúdo da primeira prova.