| Rebello mai/2009 |
Exercícios de Integral de linha
 (y  x) dx  4xy dy no segmento de reta de (-2 , 2) para (1, - 1).
1. Determine a integral de linha
C
2. Calcular
3. Determine
 C y dx  z dy  x dz

C
4. Determine
3y
ds onde
x
para a cúbica torcida
(Prof. Péricles)
C: [
 cos x dx  sen y dy
x  t , y  t 2 , z  t 3 de (0, 0, 0) para (1, 1, 1).
t 4 t3
1
;
] , t1
4 3
2
onde C : x 2  y 2  1 considerando metade superior da circunferência
C
de (1,0) para (-1,0).
5. Determine a circulação do fluido no caminho fechado, sendo
v  y i  2x j  k
Obs: circulação =
 v . dr
C
6. Seja a força definida pelo campo F  e x i  z j  (y  1)2 k . Determine o
trabalho realizado por esta, para deslocar uma partícula segundo o
caminho. Obs: W 
 F . dr
C
(1,0,0) ...... (0,1,0) ......(0,0,1)
Nos exercícios abaixo, calcule

C
x 2 z dx  yx 2 dy  3 dz ao longo da curva C mostrada na figura.
(Prof. Péricles)
7.
8.
9. A prefeitura de Joinville, com o objetivo de ampliar o espaço
cultural da cidade, está orçando um novo palco a ser instalado
em praça pública, conforme a figura ao lado. O teto é composto
pela superfície de equação h  2 y  1 e a parede lateral será
erguida a partir da curva, no plano XY, definida por r  [ t ;
Considere  4  t  4 . Obs.: Unidades em metros.
Determine a área da parede lateral usando integral de linha.
t2
].
4
1
1
i
j . Determine o trabalho
x2
y1
realizado pela força para deslocar uma partícula na trajetória definida por
C 1 e C 2.
10. Uma força é dada por f 
11. Determine as integrais
 F . dr
e
 F  dr
onde F   y i  x j ,
no caminho definido pela equação y  ( 4  x ) x de (0 , 0) até (4 , 0).
12. Podemos determinar o fluxo através de uma fronteira definida por uma curva fechada num plano
resolvendo a integral:
 V . uN ds ,
que fornece a taxa de saída (caso positivo) de um fluido pela fronteira. (Ver nota de aula 8/13)
C
onde: V é o campo de velocidades
u N é o vetor normal à fronteira (para fora da região fechada)
ds é o elemento infinitesimal da curva dado por ds 
dr
dt
dt
Sendo assim, considere o campo de velocidades V   2 xy  1 , x  y  . Determine o fluxo para as regiões:
a)
b)
13. Seja o campo definido pela função vetorial f ( x , y , z) . Se constituir um campo conservativo, determine a
respectiva função potencial.
a) f  [ yz ; xz  8y ; xy ]
b) f  2 x i  2y j  2zk
14. Podemos determinar a área S (vetor) de uma região plana limitada por uma curva fechada definida por r (t )
1
fazendo:
S
r  dr
2

C
Sendo assim, determine a área da região limitada pela curva:
a)
b)
Respostas:
1. 15
1
60
8 2
5 5

3.
3
6
2. 
4.
 2 sen(1)
5. C1 : 0 , C 2 :  3 , C3 :  1 , C 4 : 1
1

6.  e
1 t
C 3
0

dt  2t 3  5t 2  2t  1 dt ,
0
W 
1
19
 e (J)
6
5
7. 2
1
8.  4
4
9.

4
t2
 2 dt  37, 33 m2
2
10. C1 : 0 , C 2 : ln 5  ln 3  2 ln 2
11. 
64
3
12a. 48
13a
14a .
e
C : ln 5  ln 3  2 ln 2 ( J )
 8k
12b. 5/3
  x y z  4 y2  C
3
k
4
13b.
14b.
  x 2  y 2  z2  C
1
k
3