Produto Interno, Produto Externo, Produto misto
1. Sejam ~a = 2~i − ~j + 2~k e ~b = ~i + 2~j − 2~k
~ d~ seja ortogonal
(a) Determine dois vectores ~c, d~ ∈ R3 tais que ~a = ~c + d,
a ~b e ~c seja paralelo a ~b.
(b) Determine o versor de ~a.
(c) Determine cos(~a, ~b)
2. Determine um vector com norma unitária e ortogonal simultaneamente a
~a = 2~i − 3~j + 4~k e a ~b = −~i + 5~j + 7~k.
3. Determine a área do triângulo de vértices A = (−2, 3, 1), B = (1, −3, 4) e
C = (1, 2, 1).
4. Calcule a área do triângulo de vértices A(1, −1, 2), B(4, 3, 5) e C(−2, 1, −1).
[
Calcule o ângulo BAC.
5. Seja (~e1 , ~e2 , ~e3 ) uma base ortonormada de R3 . Mostre que os vectores ~u =
~e1 − ~e2 + ~e3 ,~v = 2~e1 + ~e2 − ~e3 e w
~ = ~e2 + ~e3 definem um paralelipı́pedo
rectângulo de volume igual a 6.
6. Seja (~v1 , ~v2 , ~v3 ) uma base de R3 e considere os vectores ~u1 , ~u2~,u3 ∈ R3
definidos por:
~u1 = ~v1 , ~u2 = ~v2 −
~v3 |~u1
~v3 |~u2
~v2 |~u1
~u1 , ~u3 = ~v3 −
~u1 −
~u2 .
~u1 |~u1
~u1 |~u1
~u2 |~u2
Mostre que ~(u1 , ~u2 , ~u3 ) é uma base ortogonal de R3 .
7. Seja (~e1 , ~e2 , ~e3 ) uma base ortonormada de R3 e considere a base ~v1 = ~e1 +
~e2 + ~e3 ,~v2 = ~e1 + ~e2 e ~v3 = ~e3 . Construa uma base ortonormada a partir da
base (~v1 , ~v2 , ~v3 ).
8. Determine para que valores de α, β ∈ R, os vectores ~u = (α, β, 5), ~v =
(α, β, −1) e w
~ = (−β, 1, 0) de R3 são perpendiculares dois a dois.
9. Sejam ~u = ~e1 + 2~e2 − ~e3 e ~v = 2~e1 + ~e2 + ~e3 dois vectores de R3 .
1
(a) Mostre que ~u e ~v são linearmente independentes.
(b) Determine ~u ∧ ~v .
(c) Determine a área do paralelogramo definido por eles.
10. Determine a projecção de ~a sobre ~b, sabendo que ~a = ~e1 + 2~e2 + 3~e3 e
~b = ~e1 + 2~e2 + 2~e3 .
11. Considere ~v = α~u. Fazendo uso do vector ~v , mostre que o produto externo
não é associativo, isto é (~u ∧ ~v ) ∧ w
~ não é igual a ~u ∧ (~v ∧ w).
~
12. Sejam A = (1, 1, −1), B = (2, 2, 0), C = (3, 2, −1) e D = (2, 1, k − 1)
quatro pontos de R3 . Determine os valores do parâmetro real k para os quais
os pontos A, B, C, D são complanares.
~ = (1, 2, −3), AC
~ =
13. Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3 tais que AB
~ = (1, 0, 1).
(4, 0, −1), AD
(a) Mostre que os quatro pontos de R3 não são complanares.
~ AC,
~ AD.
~
(b) Determine o volume do paralelipı́pedo definido pelos vectores AB,
(c) Determine a altura do paralelipı́pedo.
14. Seja (~e1 , ~e2 , ~e3 ) uma base ortonormada de R3 . Sendo ~a = a1~e1 +a2~e2 +a3~e3
e ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 e ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3 e atendendo a que
~a × ~b|~c = ~c|~a × ~b, mostre que



0
−a
a
b
3
2
1
0 −a1   b2 
~a × ~b|~c = c1 c2 c3  a3
−a2 a1
0
b3
2