GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Perpendicularidade entre Rectas
© antónio de campos, 2009
Perpendicularidade e Ortogonalidade
Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções
ortogonais (a 90º).
Duas rectas são ortogonais se não são complanares e são paralelas a duas
rectas perpendiculares.
As rectas a e b são
perpendiculares.
As rectas r e s são
ortogonais.
Perpendicularidade – Noções Gerais
Com o parelelismo, as projecções das rectas são paralelas, tal como as
próprias rectas.
Com a perpendicularidade, mesmo com rectas perpendiculares, as suas
projecções não são perpendiculares, a não ser se uma das rectas for
paralela a um plano de projecção.
Rectas Horizontais Perpendiculares e
Rectas Frontais Perpendiculares
As rectas horizontais e rectas frontais são rectas paralelas a um dos planos
de projecção, produzindo projecções perpendiculares com rectas
perpendiculares a elas.
As rectas horizontais são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção.
As rectas frontais são paralelas ao Plano Frontal de Projecção.
Rectas Horizontais Perpendiculares
Duas rectas horizontais perpendiculares no lado esquerdo, pois são
complanares (são concorrentes).
Duas rectas horizontais ortogonais no lado direito, pois não são
complanares (não são concorrentes), embora as suas projecções
horizontais sejam perpendiculares também. .
h’2
h2 ≡ h’2
h2
h1
h1
x
h’1
h’1
Rectas Frontais Perpendiculares
Duas rectas frontais perpendiculares no lado esquerdo, pois são
complanares (são concorrentes).
Duas rectas frontais ortogonais no lado direito, pois não são complanares
(não são concorrentes), embora as suas projecções frontais sejam
perpendiculares também.
x
f2
x
f2
f’2
f1 ≡ f’1
f’2
f’1
f1
Recta Perpendicular a uma Recta Horizontal
Pretendem-se as projecções de uma recta oblíqua r, perpendicular à recta
horizontal h e passando pelo ponto P.
r2
h2
P2
x
P1
r1
h1
Se o ponto P
fosse exterior à
recta h, a recta r
seria só ortogonal
à recta h.
Recta Perpendicular a uma Recta de Topo
Pretendem-se as projecções de uma recta, perpendicular à recta de topo t
e passando pelo ponto P.
f2
(t2) ≡ P2
x
P1
t1
f1
Uma recta frontal
f permite obter a
perpendicularidade
à recta t.
Se o ponto P fosse
exterior à recta t,
a recta f seria só
ortogonal à recta t.
Recta Perpendicular a uma Recta Frontal
Pretendem-se as projecções de uma recta oblíqua r, perpendicular à recta
frontal f e passando pelo ponto P.
r2
f2
P2
x
P1
f1
r1
Se o ponto P fosse
exterior à recta f, a
recta r seria só
ortogonal à recta f.
Recta Perpendicular a uma Recta Vertical
Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular à recta vertical v
e passando pelo ponto P.
v2
P2
h2
x
(v1) ≡ P1
h1
Uma recta
horizontal h
permite obter a
perpendicularidade
à recta v.
Se o ponto P fosse
exterior à recta v, a
recta h seria só
ortogonal à recta v.
Recta Perpendicular a uma Recta Fronto-horizontal
Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular à recta frontohorizontal g e passando pelo ponto P.
P2 ≡ (t2)
g2
x
P1
t1
g1
Uma recta de topo
t permite obter a
perpendicularidade
à recta g.
Se o ponto P fosse
exterior à recta g, a
recta t seria só
ortogonal à recta g.
Recta Perpendicular a uma Recta Fronto-horizontal
Pretendem-se as projecções de uma recta de perfil perpendicular à recta
fronto-horizontal g e passando pelo ponto P e A.
p1 ≡ p2
P2
g2
A2
x
P1
g1
A1
Se o ponto P fosse
exterior à recta g, a
recta p seria só
ortogonal à recta g.
Recta Perpendicular a uma Recta Oblíqua
Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular à recta oblíqua r
e passando pelo ponto P.
r2
h2
P2
x
Uma recta
horizontal h
permite obter a
perpendicularidade
à recta g.
P1
r1
h1
Se o ponto P fosse
exterior à recta r, a
recta h seria só
ortogonal à recta r.
Recta Perpendicular a uma Recta Oblíqua
Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular à recta oblíqua r
e passando pelo ponto P.
f2
r2
P2
x
f1
P1
r1
Uma recta frontal
f permite obter a
perpendicularidade
à recta g.
Se o ponto P fosse
exterior à recta r, a
recta f seria só
ortogonal à recta r.
Uma recta frontal f, que contém o ponto M (1; 1; 3), e faz um ângulo de 50º (a.e.)
com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta oblíqua
r, perpendiculare à recta f. A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 60º
(a.e.) com o eixo x.
f2
y≡ z
M2
r2
x
f1
M1
r1
Uma recta horizontal h passa pelo ponto T (-1; 3; 2), e faz um ângulo de 30º (a.d.)
com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções de duas rectas, a e b,
perpendiculares à recta h. A recta a é vertical. A recta b é horizontal.
y≡ z
a2
h2 ≡ b2
T2
x
T1 ≡ (a1)
h1
b1
Uma recta vertical
a, que é um caso
particular de uma
recta frontal,
permite obter a
perpendicularidade
à recta h.