Mecânica dos Materiais
Deformação de Vigas
em flexão
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
• A relação entre o momento flector e a
curvatura, para flexão pura, mantém-se
válida para o caso de uma viga em flexão
sujeita a forças transversais:
1
ρ
x
=
M ( x)
EI
• Para a viga encastrada sujeita a uma força
concentrada na extremidade, temos:
1
ρ
=−
Px
EI
• A curvatura varia linearmente com x :
• Na extremidade A,
• No apoio B,
1
= 0,
ρA
1
ρB
ρA = ∞
≠ 0, ρ B =
EI
PL
9-2
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
• A curvatura é zero nos pontos em que o
momento flector é zero, i.e., nas extremidades e
no ponto E.
1
ρ
=
M ( x)
EI
• A deformação da viga é côncava para cima ∪
onde o momento flector é positivo e côncava
para baixo ∩ onde o momento flector é
negativo.
• A curvatura máxima ocorre onde o valor do
momento flector é máximo.
• A equação da deformação da viga – equação da
linha da elástica – é necessária para determinar
a deformação máxima (flecha máxima) e a
rotação.
9-3
Equação da Linha elástica
• A seguinte relação é válida (demonstrável
através da Análise Matemática):
1
ρ
=
d2y
dx 2
  dy  2 
1 +   
  dx  
32
≈
d2y
dx 2
=
M
EI
• Substituíndo e integrando:
d2y
= M (x )
Equação da curvatura:
EI
Equação das rotações:
dy
EI θ ≈ EI
= M (x )dx + C1
dx
dx
2
x
∫
0
Equação da linha elástica:
x
x
0
0
EI y = dx M (x ) dx + C1 x + C 2
∫ ∫
9-4
Equação da linha elástica
• As constantes são determinadas a partir das
condições de fronteira.
x
x
0
0
EI y = ∫ dx ∫ M ( x ) dx + C1x + C2
• Três casos para vigas estaticamente
determinadas:
– Viga simplesmente apoiada
y A = 0,
yB = 0
– Viga em balanço
y A = 0,
yB = 0
– Viga encastrada
y A = 0, θ A = 0
9-5
Determinação da equação da linha elástica a partir
da força distribuída
• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,
d 2M
dM
= V (x)
dx
dV
=
= − w( x )
2
dx
dx
• A equação para a deformação será
d2y
M ( x ) = EI 2
dx
d 2M
d4y
⇒
= EI 4 = − w( x )
2
dx
dx
• Integrando 4 vezes, obtém-se,
EI y ( x ) = − ∫
∫ ∫ ∫ w(x )dx dx dx dx
+ 16 C1 x 3 + 12 C2 x 2 + C3 x + C4
• As constantes são calculadas a partir das
condições de fronteira.
9-6
Vigas estaticamente indeterminadas
• Considere-se a viga encastrada em A e com um
apoio móvel em B.
• Condições de equilibrio estático:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ M A = 0
A viga é estaticamente indeterminada.
• Temos também a equação da deformada,
x
x
0
0
EI y = ∫ dx ∫ M ( x ) dx + C1x + C2
que introduz duas incógnitas adicionais, mas
que fornece três equações adicionais a partir
das condições de fronteira:
x = 0: θ = 0 y = 0
x = L: y = 0
9-7
Exemplo 9.1
Resolução:
• Escrever uma expressão para M(x)
e para a equação diferencial da
linha elástica.
Para a parcela AB da viga, calcular
(a) A equação da linha elástica,
(b) Deformada máxima.
• Integrar a equação diferencial duas
vezes e aplicar as condições de
fronteira para obter a equação da
deformada.
• Localizar o ponto com tangente
nula ou ponto da deformada
máxima. Calcular a deformada
máxima.
9-8
Exemplo 9.1
• Expressão para M(x) e equação diferencial
da linha elástica.
- Reacções:
RA =
Pa

↓ RB = P1 +
L

a
↑
L
- Diagrama de corpo livre para secção AD,
M = −P
a
x
L
(0 < x < L )
- Equação diferencial da linha elástica,
EI
d2y
dx 2
= M ( x) ⇒ EI
d2y
dx 2
= −P
a
x
L
9-9
Exemplo 9.1
• Integrar a equação diferencial duas vezes e
aplicar as condições de fronteira para obter
a equação da deformada:
EI
EI
dy
1 a
= − P x 2 + C1
dx
2 L
1 a
EI y = − P x3 + C1x + C2
6 L
d2y
a
P
x
=
−
2
L
dx
em x = 0, y = 0 : C2 = 0
1 a
1
em x = L, y = 0 : 0 = − P L3 + C1L C1 = PaL
6 L
6
Substituíndo,
2
dy
1 a 2 1
dy PaL 
x 
EI
= − P x + PaL ⇒
=
1 − 3  
dx
2 L
6
dx 6 EI 
 L  
1 a
1
EI y = − P x 3 + PaLx ⇒
6 L
6
3
PaL2  x  x  
y=
 −  
6 EI  L  L  
9 - 10
Exemplo 9.1
• Localizar o ponto de deformada máxima.
PaL2  x  x 
y=
 − 
6 EI  L  L 
3


2
dy
PaL 
x
L
 m 
=0=
1
−
3
⇒
x
=
= 0.577 L
  

m
dx
6 EI 
3
 L  
• Deformada máxima.
[
PaL2
ymax =
0.577 − (0.577 )3
6 EI
]
PaL2
ymax = 0.0642
6 EI
9 - 11
Exemplo 9.3
Para a viga representada na figura, determinar a reacção
em A, obter a equação da linha elástica e determinar a
rotação em A.
(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)
9 - 12
Exemplo 9.3
• Análise de momentos numa secção D:
∑M
D
=0
1  w0 x 2
RA x −
2  L
x
 −M =0
3

w0 x 3
M = RA x −
6L
• Equação da linha elástica:
d2y
w0 x3
EI 2 = M = R A x −
6L
dx
9 - 13
Exemplo 9.3
• Integrando duas vezes:
4
dy
1
2 w0 x
EI
= EIθ = RA x −
+ C1
dx
2
24 L
5
1
3 w0 x
EI y = RA x −
+ C1x + C2
6
120 L
d2y
w0 x3
EI 2 = M = R A x −
6L
dx
• Aplicar as condições de fronteira:
em x = 0, y = 0 : C 2 = 0
w0 L3
1
2
em x = L, θ = 0 :
RA L −
+ C1 = 0
2
24
w0 L4
1
3
em x = L, y = 0 :
RA L −
+ C1 L + C 2 = 0
6
120
• Resolver em ordem à reacção em A
1
1
R A L3 − w0 L4 = 0
3
30
RA =
1
w0 L ↑
10
9 - 14
Exemplo 9.3
• Substituir C1, C2, e RA na equação da
linha elástica:
5
1 1
 3 w0 x  1

EI y =  w0 L  x −
−
w0 L3  x
6  10
120 L  120


(
w0
y=
− x5 + 2 L2 x3 − L4 x
120 EIL
)
• Diferenciar para calculo das rotações:
θ=
(
dy
w0
=
− 5 x 4 + 6 L2 x 2 − L4
dx 120 EIL
em x = 0,
)
w0 L3
θA =
120 EI
9 - 15
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas:
9 - 16
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont.
9 - 17
Deformadas e rotações de vigas encastradas:
9 - 18
Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont.
9 - 19
Método da Sobreposição
Principio da Sobreposição:
• As deformações de vigas sujeitas a
combinações de forças, podem ser obtidas
como a combinação linear das deformações
causadas pelas forças individuais.
9 - 20
Exemplo 9.7
Para a viga sujeita aos carregamentos
representados, determine a rotação e a
deformada no ponto B.
Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”
como ilustrado, temos:.
9 - 21
Exemplo 9.7
Loading I
wL3
(θ B )I = −
6 EI
wL4
( yB )I = −
8 EI
Loading II
wL3
(θC )II =
48 EI
wL4
( yC )II =
128 EI
No segmento de viga CB, o momento flector é
zero e a linha elástica é uma recta:
wL3
(θ B )II = (θC )II =
48 EI
wL4
wL3  L  7 wL4
( yB )II =
+
 =
128 EI 48 EI  2  384 EI
9 - 22
Exemplo 9.7
Combinando as duas soluções:
wL3 wL3
θ B = (θ B )I + (θ B )II = −
+
6 EI 48EI
7 wL3
θB =
48 EI
wL4 7 wL4
y B = ( y B )I + ( yB )II = −
+
8 EI 384 EI
41wL4
yB =
384 EI
9 - 23
9 - 24
9 - 25
9 - 26
9 - 27
9 - 28
9 - 29
Aplicação do método da Sobreposição a vigas
estaticamente indeterminadas
O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar
as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:
1. Escolher uma das reacções como
redundante e eliminar (ou modificar)
o apoio correspondente.
2. Determinar a deformada da viga
sem o apoio redundante.
3. Tratar a força de reacção redundante
como uma incógnita que, em
conjunto com as outras forças deve
originar deformações compatíveis
com o apoio original.
9 - 30
Exemplo 9.8
Para a viga e carregamento representado na
figura, determinar a reacção em cada apoio e
a rotação na extremidade A.
• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.
• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada
zero no ponto B.
9 - 31
Exemplo 9.8
• Deformada em B devido à força distribuida:
4
3

w  2 
2 
3 2 
( yB )w = −
 L  − 2 L L  + L  L 
24 EI  3 
3 
 3 
wL4
= −0.01132
EI
• Deformada em B devida à força redundante:
2
2
RB  2   L 
RB L3
( yB )R =
 L    = 0.01646
3EIL  3   3 
EI
• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0
wL4
RB L3
0 = ( yB )w + ( yB )R = −0.01132
+ 0.01646
EI
EI
RB = 0.688wL ↑
• Para equilibrio estático,
R A = 0.271wL ↑
RC = 0.0413wL ↑
9 - 32
Exemplo 9.8
Rotação na extremidade A:
wL3
wL3
(θ A )w = −
= −0.04167
24 EI
EI
2
0.0688wL  L   2  L  
wL3
(θ A )R =
   L −    = 0.03398
6 EIL  3  
EI
 3  
wL3
wL3
θ A = (θ A )w + (θ A )R = −0.04167
+ 0.03398
EI
EI
wL3
θ A = −0.00769
EI
9 - 33