SECÇÃO DE ESTRUTURAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA
RESISTÊNCIA DE
MATERIAIS I
Problemas
1. Complementos de Estática
2. Cabos
3. Cálculo Tensorial
4. Tensões e Deformações em Meios Contínuos
5. Relações Tensão-Deformação: Lei de Hooke
6. Cascas Finas Axissimétricas
7. Esforço Axial em Peças Lineares
8. Flexão em Peças Lineares
João Carlos Gomes Rocha de Almeida
1. Complementos de Estática
1.
Classifique as seguintes estruturas planas quanto às estatias exterior, interior e
global, justificando. Identifique também os casos em que as ligações interiores ou
exteriores se encontram mal distribuídas.
Figura 1-1
Figura 1-2
Figura 1-4
Figura 1-3
2
Figura 1-5
Figura 1-6
Figura 1-7
Figura 1-8
3
2.
Considere as estruturas esquematizadas.
a. Determine todas as reacções de apoio.
b. Trace os diagramas de esforços da estrutura, indicando todos os valores
necessários à sua perfeita definição.
40 kN
15 kN/m
B
A
2,0
C
2,0
E
D
2,0
2,0
[m]
Figura 1-9
20,0 kN/m
D
10 kN/m
E
M0
F
G
30,0 kN
C
B
4a
4,0
A
A
B
C
D
[m]
4,0
a
a
a
a
Figura 1-11
Figura 1-10
2,0 kN/m
E
5,0 kNm
D
C
3,0 kN
3,0
B
F
[m]
A
2,0
2,0
4,0
4,0
Figura 1-12
4
2,0 kN/m
E
2,0
D
C
2,0
A
B
2,0
2,0
2,0 2,0
[m]
Figura 1-13
q
R
B
R
C
B
P
C
A
P
D
Figura 1-15
A
Figura 1-14
B
A
2 kN/m
3,0
D
C
4 kN
[m]
3,0
Figura 1-16
5
3 kN/m
3 kN/m
D
C
3 kN/m
3 kN/m
5 kN
B
E
Planta
2,0
C
4,0
D
[m]
2,0
A≡B
A
E
5 kN
Figura 1-17
3.
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a n cargas concentradas igualmente
espaçadas. A carga total aplicada é P, logo a intensidade de cada carga é P n . O
comprimento da viga é L, logo o espaçamento entre as cargas é L ( n + 1) .
P
n
P
n
...
P
n
B
A
L
n +1
L
n +1
...
L
n +1
L
Figura 1-18
a.
b.
Determine o momento flector máximo na viga.
Compare o resultado anterior com o valor obtido para a mesma viga sujeita
a uma carga uniformemente distribuída com intensidade q tal que qL = P .
6
2. Cabos
4.
O cabo ABCD está sujeito a duas cargas concentradas, como se representa na
figura. Determine:
a. as reacções nos apoios;
b. a distância h;
c. a força de tracção máxima no cabo.
P
A
D
2m
B
5m
h
10 kN
8 kN
C
9m
4m
Figura 2-1
5.
O cabo representado na figura encontra-se sujeito ao seu peso próprio, o qual é
igual a 60 N/m. Considere que a forma do cabo é uma parábola.
a. Determine a força de tracção máxima no cabo;
b. Determine o comprimento do cabo.
A
B
f=4m
20 m
Figura 2-2
6.
Considere de novo o cabo do Problema 5, mas admita agora que o cabo tem a
forma de uma catenária.
a. Determine a força de tracção máxima no cabo;
b. Determine o comprimento do cabo
c. Admitindo que a flecha f pode variar, determine o valor de f para o qual a
tracção máxima no cabo é a menor possível.
7
3. Cálculo Tensorial
7.
Efectue os seguintes desenvolvimentos no espaço tridimensional:
a. Cj = AiBij
b. δijxixj
B
8.
Efectue o seguinte desenvolvimento no espaço bidimensional:
a. Bj = δikAijk+Akkj
9.
Considere os referenciais (x1, x2, x3) e (x’1, x’2, x’3) indicados na figura.
x2
x'2
x'1
30º
x1
x3=x'3
Figura 3-1
a. Escreva a matriz A dos cosenos directores que traduz a transformação de
coordenadas xi→x’j.
r
r
r
r
b. Dado o vector V = 2e1 + 3e 2 − 4e 3 , calcule as respectivas componentes no
referencial (x’1, x’2, x’3).
c. Dado o tensor T cujas componentes no referencial (x1, x2, x3) são
1 3 0
3 1 5 , calcule as respectivas componentes no referencial (x’1, x’2, x’3).
0 5 4
d. Determine os valores principais e as direcções principais do tensor T.
e. Decomponha o tensor T nas suas parcelas isotrópica e tangencial.
10.
Considere os referenciais (x1, x2, x3) e (x’1, x’2, x’3) indicados no Problema 9.
a. Dado o tensor T cujas componentes no referencial (x1, x2, x3) são
1 0 4
0 3 0 , determine através da circunferência de Mohr as respectivas
4 0 2
componentes no referencial (x’1, x’2, x’3).
b. Determine através da circunferência de Mohr os valores principais e as
direcções principais do tensor T.
8
4. Tensões e Deformações em Meios Contínuos
11.
Na figura, representam-se as tensões actuantes num cubo elementar.
x3
40
D
G
E
Nota: tensões em MPa
F
80
25
O
C x2
90
A
B
x1
Figura 4-1
a. Escreva o tensor das tensões correspondente ao estado de tensão indicado.
b. Determine a tensão normal e a tensão tangencial existentes numa faceta cuja
normal tem a direcção da diagonal BD.
c. Determine os valores e as direcções principais de tensão.
d. Determine a tensão tangencial máxima existente no cubo e a orientação
da(s) faceta(s) onde actua.
12.
A placa da figura está sujeita ao seguinte campo plano de tensões:
σ11= −40 x2 σ12= 20 x1 σ22= −80 x2 (xi em m, σij em MPa)
3
1
Figura 4-2
a. Mostre que na placa actuam as forças de massa X = 60 e2 (MPa/m).
b. Determine os valores e direcções principais de tensão existentes no ponto P
de coordenadas (x1 = 0.5 m, x2 = 0.25 m).
9
13.
O cubo representado na figura foi submetido a um estado de deformação
homogéneo que provocou as seguintes variações de comprimento das arestas:
ΔAB = −0.06 mm ΔAD = 0.1 mm
ΔAE = 0.04 mm
Sabe-se ainda que o ângulo ADH sofreu um aumento de 0.05º e que a direcção 2 é
uma direcção principal de deformação.
Figura 4-3
a. Determine as componentes do tensor das deformações no referencial (1,2,3).
b. Determine as extensões principais.
c. Determine a distorção máxima existente no cubo e a orientação das fibras
entre as quais tal distorção ocorre.
14.
Num ponto P de uma estrutura submetida a um estado plano de deformação
colocou-se a roseta de extensómetros representada na figura, tendo-se medido os
seguintes valores:
εa = −10−3
εb = −2x10−3
εc = −4x10−3
Figura 4-4
a. Determine as componentes do tensor das deformações no referencial (1,2,3).
b. Admitindo que as leituras de todos os extensómetros são exactas, determine
a extensão indicada pelo extensómetro d.
10
5. Relações Tensão-Deformação: Lei de Hooke
15.
Desenhou-se um círculo com 10 cm de diâmetro numa placa de alumínio com
espessura de 6 mm. Submeteu-se depois a placa a um estado plano de tensão
caracterizado pelas componentes normais σx = 80 MPa e σz = 140 MPa. Sabendo
que E = 70 GPa e ν = 0,3, determine:
a. a variação de comprimento do diâmetro AB;
b. a variação de comprimento do diâmetro CD;
c. a variação de espessura da placa;
d. a variação de volume da placa.
cm
cm
Figura 5-1
16.
A placa triangular representada na figura está sujeita a um estado plano de
deformação, conhecendo-se os deslocamentos indicados.
a. Determine, no referencial indicado, as componentes do tensor das
deformações.
b. Sabendo que o material é isotrópico e elástico linear, com módulo de Young
igual a 200 GPa e módulo de distorção igual a 80 GPa, determine o tensor
das tensões na placa referido ao sistema de eixos (1,2,3).
c. Considere agora que, para além das deformações indicadas, a placa é
também submetida a uma variação de temperatura. Sabendo que o
coeficiente de dilatação térmica do material é igual a 10−5/ºC, determine o
valor da variação de temperatura para a qual o volume da placa deformada é
igual ao seu volume inicial.
Figura 5-2
11
17.
O aparelho de apoio OABC encontra-se sujeito a um estado plano de tensão que
produz o estado de deformação homogéneo representado na figura, passando o
aparelho a ter a forma do paralelogramo O’A’B’C’.
a. Determine as componentes do tensor das deformações no plano x1-x2.
b. Determine a extensão que ocorre na direcção perpendicular ao plano da
figura.
c. Determine o maior valor absoluto da tensão normal actuante no aparelho de
apoio e indique a direcção em que essa tensão é exercida.
x2
4
B
C
B’
C
1
100
x1
A=A’
O=O’
G=2 MPa
ν=0.3
(mm)
400
Figura 5-3
18.
A placa representada na figura é de aço e está sujeita a um estado plano de tensão,
admitindo-se que as tensões e as deformações são as mesmas em todos os pontos
da placa. Colocou-se uma roseta de extensómetros em forma de triângulo
equilátero na superfície da placa, tendo-se registado os seguintes valores:
εa=2x10−4 εb=3x10−4 εc=4x10−4
a. Determine as componentes do tensor das deformações no plano x1-x2.
b. Determine os valores e as direcções principais de tensão.
c. Determine a variação de volume da placa.
d. Determine a distorção máxima na placa e indique as direcções das fibras
entre as quais essa distorção ocorre.
30
E=210 GPa
ν=0.3
c
b
800
x3
a
x2
x1
(mm
800
Figura 5-4
12
19.
Na figura representa-se a secção transversal de uma barragem, a qual se encontra
sujeita a um estado de deformação plano e homogéneo, definido pelas seguintes
componentes:
ε11 = −5 x 10−4 ε22 = −8 x 10−4 γ12 = +10−4
a. Mostre que o campo de deslocamentos correspondente às deformações
dadas é contínuo e escreva a expressão geral (sem determinar coeficientes)
dos deslocamentos u1(x1,x2) e u2(x1,x2).
b. Com base na alínea a) e atendendo ainda às condições de fronteira,
determine os deslocamentos u1(x1,x2) e u2(x1,x2).
c. Determine a tensão tangencial máxima actuante na barragem e indique a
direcção em que essa tensão é exercida.
x2
3
3
C
B
E=25 GPa
ν=0.2
60º
O
A
x1
Figura 5-5
13
6. Cascas Finas Axissimétricas
20.
Um reservatório consiste numa casca cilíndrica de eixo vertical tapada na base por
uma casca semiesférica, como indicado. O peso do sistema é suportado por um
apoio contínuo distribuído ao longo do perímetro superior do cilindro. O
reservatório encontra-se cheio com um líquido de peso específico γ . Determine:
a.
R
b.
H
As tensões circunferenciais e
longitudinais máximas na região
cilíndrica.
As tensões máximas na região semiesférica.
t
R
Figura 6-1
21.
Dois cilindros de parede fina encontram-se dispostos em paralelo como mostrado
na figura. Os cilindros interior e exterior são de cobre e aço, respectivamente.
Determine as tensões circunferenciais em cada material devidas a um aumento de
temperatura de 35ºC. Despreze os efeitos introduzidos pela expansão longitudinal
dos cilindros.
Eaço = 205 GPa
α aço = 12 ⋅10−6 º C
0,52
0,51
Ecobre = 90 GPa
0,50
α cobre = 17 ⋅10−6 º C
[m]
Aço
Cobre
Figura 6-2
22.
Deduza a expressão da extensão volumétrica de um cilindro delimitado por uma
casca cilíndrica de parede fina submetida a uma pressão uniforme interna p . As
extremidades da casca encontram-se limitadas por lajes circulares. Admita que a
extensão radial é constante ao longo do comprimento.
Resistência de Materiais I
7. Esforço Axial em Peças Lineares
23.
Uma barra longa com a forma de um cone de revolução de comprimento L e
diâmetro d na base encontra-se suspensa na vertical sob acção do seu peso próprio
(ver figura a). A barra tem peso próprio γ e módulo de elasticidade E.
d
L
L
a
b
Figura 7-1
a. Determine o deslocamento do vértice da barra cónica.
b. Se a mesma quantidade de material for utilizada numa barra prismática de
secção circular e comprimento L (ver figura b), determine o correspondente
deslocamento na extremidade livre.
24.
Determine a forma que o pilar representado na figura deve ter tal que a tensão seja
igual em todas as secções transversais. Considere que o pilar está sujeito à força P
e que o seu peso próprio por unidade de volume é γ.
P
L
Figura 7-2
15
Resistência de Materiais I
25.
Considere a barra encastrada no topo e sujeita à acção do seu peso próprio.
A
1
l1
B
2
γ1=80 kN/m3
γ2=60 kN/m3
E1=200 GPa
A1=30 mm2
l1=6 m
E2=100 GPa
A2=30 mm2
l2=8 m
l2
C
Figura 7-3
a. Determine o deslocamento vertical na secção B.
b. Determine o deslocamento vertical máximo na barra.
26. Calcule as tensões normais na secção de betão armado da figura quando esta se
encontra submetida a um esforço axial de 250 kN. Admita que os materiais têm
comportamento elástico linear, que a aderência entre o aço e o betão é perfeita e
que as secções se mantêm planas após deformação.
8φ12
0,3
Eaço=210 GPa
Ebetão=14 GPa
0,3
[m]
Figura 7-4
16
Resistência de Materiais I
27. Considere a barra representada na figura, constituída por dois materiais
perfeitamente aderentes.
aço
N
N
betão
10,0
0,2
[m]
Eaço=210 GPa
Ebetão=30 GPa
0,3
0,5
Figura 7-5
a. Determine o ponto onde os elementos de redução das tensões são
equivalentes apenas a N.
b. Supondo que o aço é substituído por betão, determine a área de betão
necessária para se terem as mesmas características de deformabilidade.
c. Determine as extensões e as tensões instaladas nos dois materiais.
28.
A barra representada na figura, de secção transversal uniforme, possui uma placa
na sua extremidade inferior. Um peso P é libertado do topo da barra e cai
livremente ao longo da barra até atingir a placa. Determine o alongamento
máximo e a tensão axial máxima na barra devidos ao impacto do peso na placa.
P
L
Figura 7-6
17
Resistência de Materiais I
29.
A barra prismática AB de comprimento L possui a meio vão (ponto C) um apoio
elástico de rigidez k. Um bloco de massa m é largado sobre o ponto B à altura h.
m
h
A
C
B
k
L
2
L
2
Figura 7-7
Admitindo que a barra AB é rígida e de peso desprezável, determine o deslocamento
máximo no ponto B, δ B , devido ao impacto do objecto.
30.
Um tirante comprido apoiado na sua extremidade superior é introduzido num poço
de petróleo e suporta uma carga P na extremidade oposta. O material do tirante
tem uma relação constitutiva bilinear, como mostrado na figura, onde E1 e E2 são
os declives das duas partes do diagrama.
A
σ
100 MPa
E2=12 GPa
L
E1=75 GPa
B
0
ε
P
Figura 7-8
Determine o alongamento da barra devido ao seu peso próprio e à força P, sendo o peso
específico γ = 28 kN / m3 , a área da secção transversal A = 960 mm 2 , o comprimento
L = 360 m e a carga P = 92 kN .
18
Resistência de Materiais I
31.
Considere o sistema indicado na figura, constituído por cinco barras biarticuladas.
C
P
A
B
P
EΩ = const.
L
D
Figura 7-9
a. Determine os esforços nas barras.
b. Calcule o deslocamento relativo entre os pontos A e B devido à deformação
axial elástica das barras utilizando:
1. princípio da conservação de energia;
2. princípio dos trabalhos virtuais;
3. considerações geométricas.
32.
As barras AC e CB possuem secção transversal constante, como indicado na
figura. Os apoios nas extremidades impedem todos os movimentos. O sistema
encontra-se submetido a uma carga concentrada no ponto C e a uma diminuição
uniforme de temperatura na barra CB.
A
E1 = 200 GPa
Ω1 = 40 mm2
α1 = 10−5/ºC
50 kN
C
E2 = 100 GPa
Ω2 = 60 mm2
α2 = 2x10−5/ºC
B
ΔT = −30ºC
3m
3m
Figura 7-10
Determine:
a. as reacções de apoio em A e C;
b. o diagrama de esforço axial nas barras;
c. o deslocamento do ponto C;
19
Resistência de Materiais I
33.
Considere a treliça representada na figura seguinte.
P
( EΩ )
AC
= ( EΩ )
AB
= ( EΩ )
C
BC
= EΩ
( EΩ )
AC
L
( EΩ )
( EΩ )
A
BC
AB
B
L
L
Figura 7-11
Calcule os deslocamentos vertical e horizontal do ponto C, δ vC e δ hC , respectivamente.
Para tal utilize:
a. equações de compatibilidade de deslocamentos;
b. princípio dos trabalhos virtuais.
34.
Considere a treliça representada na figura. Todas as barras têm rigidez axial EΩ e
coeficiente de dilatação térmica linear α. Para além das cargas concentradas P
aplicadas nos pontos B e C, ocorre também um aumento uniforme de temperatura
na barra EF de valor ΔT=P/α EΩ . Nestas condições, calcule:
E
ΔT
F
E Ω = const.
L
A
L
B
C
P
P
L
D
L
Figura 7-12
a. o grau de indeterminação estática da estrutura;
b. os esforços axiais nas barras;
c. o deslocamento vertical em B.
20
Resistência de Materiais I
35.
A treliça representada está sujeita a um aumento de temperatura de 40ºC na barra
AC, a um assentamento vertical δ = L/100 nos apoios B e a uma carga vertical de
20 kN actuante no ponto C. Determine os correspondentes esforços normais nas
barras, sabendo que todas elas têm módulo de elasticidade E = 200 GPa e
coeficiente de dilatação térmica linear α = 12 x 10−6/ºC.
20 kN
C
Ω
Ω
2Ω
L
L=3m
Ω = 4 cm2
B
B
A
Ω
Ω
L
L
Figura 7-13
36.
Admite-se que os cabos da estrutura seguinte têm comportamento elasto-plástico
perfeito, com E = 200 GPa e σc = 200 MPa. A deformabilidade da barra ADE
pode ser desprezada face à das restantes barras. Nestas condições, determine:
B
C
E, Ω
D
A
E, Ω
3m
E
F
P
2m
4m
2m
Figura 7-14
a.
a carga de cedência da estrutura;
b. o deslocamento vertical no ponto F para P=Pc;
c.
37.
a carga última e os esforços no instante do colapso.
Uma barra heterogénea é constituída por dois materiais A e B, ambos com
coeficiente de dilatação térmica linear α = 12 x 10−6/ºC. O material da barra A
21
Resistência de Materiais I
pode considerar-se rígido-plástico e o da barra B elasto-plástico com
endurecimento linear, como representado na figura.
−σ
[ MPa ]
Material B
700
1
740
700
A
B
Material A
250 mm
250 mm
ε
0,01
Figura 7-15
Trace os diagramas de variação de tensão e das deformações com a variação de
temperatura em ambas as barras. Despreze os efeitos tridimensionais admitindo ν = 0 .
38.
No poste representado na figura, os tirantes AB e CD são de aço macio com
comportamento elasto-plástico perfeito.
P
A
EΩ
B
P
F
3,0
E=210 GPa
Ω=100 mm2
σ [ MPa]
235
C
EΩ
E
D
1
3,0
ε
-235
E
Figura 7-16
2,0
0,3
Determine a carga máxima P que pode actuar na estrutura sem provocar
deformações permanentes nos tirantes.
b. Determine a carga que provoca o colapso plástico da estrutura.
a.
39.
Considere a estrutura representada na figura, onde todas as barras biarticuladas
têm igual rigidez EΩ. A deformabilidade por flexão e por esforço transverso da
22
Resistência de Materiais I
barra horizontal pode ser desprezada face à deformabilidade das barras
biarticuladas, as quais têm comportamento elasto-plástico perfeito.
D
F
E
l
σ
σc
3
l
4
A
B
barra rígida
C
P
l
ε
l
−σc
l=4m
σc = 235 MPa
E = 210 GPa
Ω = 300 mm2
Figura 7-17
a.
Determine os esforços nas barras em regime elástico e o deslocamento da
barra rígida em função de P.
b. Determine a carga de cedência, Pc , e o deslocamento da barra rígida para
essa situação.
c. Determine a carga de colapso, Pu , e o deslocamento da barra rígida para
essa situação.
d. Na iminência do colapso, descarrega-se a estrutura. Calcule o
correspondente deslocamento residual da barra rígida.
e. Tendo em conta as alíneas anteriores, trace o diagrama carga-deslocamento
da barra rígida.
f. Se a estrutura voltar a ser carregada, os valores das cargas de cedência e de
colapso serão diferente dos valores determinados acima? Justifique.
23
Resistência de Materiais I
40.
Considere a estrutura representada na figura, na qual a barra AB tem a secção
indicada.
p
E
D
( EΩ )1
( EΩ )1
C
( EΩ )2
( EΩ )2
A
2,5
B
[m]
2,5
2,5
2,5
2,5
Material B
Material A
σ
σ
348MPa
Ea = 200GPa
3MPa
ε
ε
Eb = 30GPa
−348MPa
−30 MPa
p = 10 kN / m
Secção da barra AB
( EΩ )1 = 106 kN
( EΩ )2 = 105 kN
Ω a = 10cm 2
Ωb = 100cm 2
Material A
Material B
Figura 7-18
a.
Determine as tensões nos materiais que constituem a secção da barra AB
devidas à carga p.
b. Calcule o deslocamento vertical no ponto C devido à carga p, utilizando:
1. princípio dos trabalhos virtuais;
2. compatibilidade de deformações.
c. Determine a carga de colapso da estrutura, pu, associada à plastificação da
barra AB, utilizando:
1. equilíbrio de forças;
2. princípio dos trabalhos virtuais.
24
Resistência de Materiais I
8. Flexão em Peças Lineares
41.
A viga representada na figura encontra-se submetida a um estado de flexão pura
no tramo BC. A secção transversal da viga é um perfil INP 140 (I = 57 300 cm4).
P
P
P=10 kN
B
D
C
A
E
INP 140
3.8
0.8
[m]
0.8
3.8
Figura 8-1
Determine:
a. a tensão normal máxima na viga;
b. o raio de curvatura no troço central;
c. a flecha na secção C;
d. o ângulo entre as secções sob os apoios da viga deformada.
42.
Considere a estrutura seguinte.
p=60 kN/m
A
B
D
C
F
E
[m]
a
5.0
b
15.0
a
5.0
Figura 8-2
a. Determine a posição das rótulas CD de modo a tirar o máximo partido da
secção transversal da viga AF.
b. Dimensione para a situação da alínea anterior a secção transversal a utilizar
na viga AF. Utilize um critério de tensões admissíveis ( σ adm = 210 MPa ).
25
Resistência de Materiais I
43.
Um arame com módulo de elasticidade E, diâmetro t e comprimento L é flectido
por momentos M 0 originando um arco de circunferência cujo ângulo central é α .
L
t
B
A
M0
M0
α
Figura 8-3
a. Trace os diagramas de tensões e deformações longitudinais.
b. Se o ângulo central aumentar, a tensão máxima irá aumentar ou diminuir?
44.
A viga esquematizada suporta uma força concentrada P e tem a secção indicada
na figura. Se a tensão admissível for 120 MPa, determine o valor máximo de P.
10
P
30
A
C
B
0,5
1,5
10
10
30
[m]
15
30
15
10
[mm]
Figura 8-4
45.
Considere uma viga de aço com secção em U, carregada como se indica na figura.
Determine as tensões máximas de tracção e compressão devidas à flexão.
40
20 kN/m
225
40
10 kN⋅m
200
40
3
1
1
[m]
[mm]
Figura 8-5
26
Resistência de Materiais I
46.
Uma viga de secção transversal circular tem a geometria indicada na figura e está
sujeita a uma força vertical a meio vão. Determine a localização do ponto onde
ocorre a tensão máxima de flexão e o valor dessa tensão.
P
y
2d
x
d
L
2
L
2
Figura 8-6
47.
Considere uma viga em consola AB com secção rectangular de largura bx e altura
hx variáveis. A viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q. Se a
largura variar linearmente em x de acordo com a expressão bx = bB(x/L), determine
a expressão de hx para que a tensão máxima em todas as secções da consola seja a
mesma.
B
q
B
A
hB
hx
hx
hB
x
bx
L
bB
Figura 8-7
48.
A viga representada na figura tem secção transversal em L com as características
geométricas indicadas.
27
Resistência de Materiais I
P
P=5kN
20
B
A
200
x
Ix=Iy=2880, 070 cm4
Pxy= −1705,263 cm4
G
57,368
20
2,0 m
y
[mm]
57,368
200
Figura 8-8
Determine:
a. a posição da linha neutra;
b. o diagrama de tensões normais na secção de encastramento.
49.
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura.
A
p=14 kN/m
N
N
A
[m]
5,0
10,0
0,8
0,25
Secção
Transversal
A-A
1,25
N
[m]
0,25
Figura 8-9
a.
Desenhe o núcleo central da secção, indicando as coordenadas dos seus
vértices.
28
Resistência de Materiais I
b. Determine a força N a aplicar ao nível da extremidade inferior do núcleo
central para que não ocorram tensões de tracção na secção de momento
flector máximo.
c. Trace os diagramas de tensões normais na secção A-A.
50.
Considere o pórtico triarticulado representado na figura, cuja secção transversal é
constituída por um perfil HEB 260.
100 kN/m
B-B
1,5
1,5
1,5
A-A
C-C
1,5
1,5
1,5
[m]
1,5
y
260
24
HEB 260
A=118,40 cm2
Ix=14919 cm4
Iy=5135 cm4
x
x
260
10
17,5
[mm]
y
Figura 8-10
a. Desenhe o núcleo central da secção, indicando a posição de todos os vértices.
b. Localize o centro de pressões da secção C-C.
c. Represente o diagrama de tensões normais na secção C-C, indicando os
valores significativos e a posição da linha neutra.
29
Resistência de Materiais I
51.
Uma viga de aço com secção em T é reforçada por duas vigas de madeira.
200
20
Emadeira= 12,5 GPa
Eaço= 200 GPa
300
[mm]
75
20
75
Figura 8-11
Sabendo que a secção está sujeita a um momento flector de +50 kNm, determine:
a. a tensão máxima na madeira;
b. a tensão máxima no aço.
52.
Uma laje de betão armado (Ebetão = 30 GPa, Eaço = 210 GPa) tem 12,5 cm de
espessura. Os varões de aço têm 16 mm de diâmetro, 125 mm de afastamento e
estão colocados 25 mm acima da face inferior da laje. Sabendo que o betão não
resiste à tracção e que na laje actua um momento flector por unidade de
comprimento de +12 kNm/m, determine:
a. a tensão máxima no betão;
b. a tensão no aço.
53.
A placa indicada está assente num solo não resistente à tracção e de
comportamento elástico à compressão, com uma tensão admissível de 400 kPa.
2m
1m
300 kN
M
Figura 8-12
a. Para M = 80 kNm, trace os diagramas de tensões normais no solo.
b. Para M = 120 kNm, trace os diagramas de tensões normais no solo.
c. Determine o maior momento M que pode ser aplicado à placa.
30
Resistência de Materiais I
54.
Determine a equação da elástica das seguintes estruturas.
P
C
B
EI = const.
H
A
L
I
50 kN
2I
1,0
I
3,0
1,0
[m]
Figuras 6-13 e 6-14
55.
Numa viga simplesmente apoiada de vão L e largura s acumula-se um líquido de
peso específico γ. O consequente aumento da deformação da viga faz com que se
acumule mais líquido. Suponha que a configuração do eixo da viga antes da
aplicação do líquido é w1(x) = w0sen(πx/L).
p = sγ w
B
A
x
w1
w2
L
y
Figura 8-15
a. Determine a equação da elástica da viga.
b. Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector.
31
Resistência de Materiais I
56.
Determine a força P e o momento M que é necessário aplicar na extremidade de
uma viga em consola de comprimento L para que a flecha na extremidade livre
seja δ e a rotação seja nula. Considere que a rigidez de flexão EI é constante ao
longo do eixo longitudinal da peça.
57.
Considere a estrutura seguinte.
P
P/2
D
B
C
Barra AB
Barra BD
EI
EΩ=∞
EI
L
A
L/2
L/2
Figura 8-16
a. Determine o diagrama de momento flector da estrutura.
b. Determine o deslocamento vertical em C devido ao carregamento indicado.
58.
Considere a estrutura seguinte.
D
K
P
Barra AC
EI
h=L/10
A
C
B
L/2
L/2
Figura 8-17
a.
Mostre que o momento flector na secção de encastramento pode variar entre
− PL e + PL 4 , dependendo do valor da rigidez da mola.
b. Calcule o deslocamento vertical no ponto C.
c. Determine os esforços na estrutura devidos apenas a uma variação
diferencial de temperatura na barra AC igual a +ΔT e −ΔT nas faces
inferior e superior da viga, respectivamente.
32
Resistência de Materiais I
59.
Quando descarregada, a face inferior da viga metálica (EI = 8400 kN⋅m2)
representada na figura, está a uma distância d=0.3 cm do apoio central B.
p=6 kN/m
A
C
B
0,3 cm
[m]
3m
3m
Figura 8-18
Determine:
a. a reacção vertical no apoio B;
b. a rotação no apoio A.
60.
Considere a estrutura hiperstática representada na figura. O tirante AC tem
módulo de elasticidade igual a 200 GPa e a área da sua secção transversal é igual
a 10 cm2. O módulo de elasticidade da barra ABC é 30 GPa.
10 kN
Secção S
B
x1
50
1,0
x2
30
S
[cm]
45º
A
C
[m]
4,0
Figura 8-19
Considerando deformabilidade axial e de flexão, determine:
a. as coordenadas do centro de pressões na secção S;
b. o diagrama de tensões normais na secção S;
c. o deslocamento vertical do ponto B.
33
Resistência de Materiais I
61.
Um projéctil P, com 20 g de massa e velocidade de 300 m/s, atinge o ponto B da
viga esquematizada, a qual tem secção quadrada. Sabendo que o material da viga
tem um módulo de elasticidade de 210 GPa e uma tensão admissível de 160 MPa,
dimensione a secção transversal da viga.
P
A
C
B
0,5
1,5
[m]
Figura 8-20
62.
O arco semicircular representado na figura tem secção rectangular de 0,6 x 1,0 m.
B 90 kN
E =10 GPa
A
C
[m]
0,6
3,6
3,6
0,6
Figura 8-21
Determine:
a. as tensões normais na secção B;
b. a flecha no ponto B (despreze a deformabilidade por esforço axial).
63.
O anel representado na figura tem um diâmetro médio de 500 mm e uma secção
transversal circular com um diâmetro de 80 mm. Para uma tensão admissível de
40 MPa à tracção e à compressão, calcule a carga máxima admissível P.
P
P
Figura 8-22
34