Notas de Aula: Revisão de funções e geometria analítica
REVISÃO DE FUNÇÕES
Função como regra ou correspondência
Definição 1: Uma função f é uma regra ou uma correspondência que faz associar um e
somente um valor da variável y para cada valor de variável x.
Deve ser bem compreendido que a variável x é denominada variável independente, podendo
tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominado domínio de f. Para cada valor de
x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é
denominada variável dependente, visto que seu valor depende do valor de x. O conjunto de valores
assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominada imagem de f. Usualmente, mas não
sempre, utiliza-se x para a variável independente e y para a variável dependente. Uma equação que
fornece y em termo de x determina uma função f, e diz-se que a função f é definida pela equação
(ou dada pela equação).
Se a função f é definida por uma equação, então (a não ser que recomendações
explícitas sejam feitas) compreende-se que o domínio de f consiste naqueles valores de x para
os quais a equação faz corresponder um e somente um y (diz-se que f é definida no ponto).
Portanto, a imagem de f é automaticamente determinada, visto que esta consiste naqueles
valores de y que correspondem, pela equação de definição aos valores de x no domínio.
Gráfico de uma função
Definição 2: o gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano xy tal
que x pertence ao domínio de f e y a imagem de f, e y = f(x).
Fig. 1 Gráfico da função f definida pela equação y = 2 x 2 com a restrição x > 0.
Na definição 1, a necessidade de que uma função f associe um e somente um valor de y para
cada valor de x em seu domínio corresponde à condição geométrica de que dois pontos distintos de
um gráfico não podem possuir a mesma abscissa. Portanto, a curva na Fig. 2 não pode corresponder
ao gráfico de uma função, porque os dois pontos P e Q têm a mesma abscissa. O gráfico de uma
função não pode passar acima ou abaixo de si mesma.
Fig. 2 O gráfico acima não representa uma função, pois uma função não pode possuir
valores distintos para a mesma abscissa.
O domínio e a imagem de uma função podem ser facilmente determinados no gráfico da
função. Assim, o domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos sobre o
gráfico (Fig. 3a), enquanto sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos de seu
gráfico (Fig. 3b).
Fig. 3 (a) Domínio e (b) Imagem de uma função
Ex. 1: Seja f uma função definida pela equação y = x − 1 com a restrição x ≤ 2 . Esboce o gráfico
de f e determine seu domínio e imagem, indicando-os nos eixos x e y respectivamente.
Tipos de Funções
Descreveremos a seguir certos tipos ou classes de funções que são importantes ao cálculo.
Entre estas estão as funções pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as algébricas e as
transcendentais.
1) Funções pares e ímpares
Definição 3:
(a) uma função f é par se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de f
e f(-x) = f(x).
(b) uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de
f e f(-x) = -f(x).
Fig. 4 (a) função par e (b) função ímpar
2) Funções polinomiais
Uma função definida por uma equação da forma
f ( x) = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n
onde n é um inteiro não-negativo e os coeficientes a0, a1, a2, ..., an são números reais constantes é
denominada função polinomial. Se an ≠ 0 , diz-se que esta função polinomial é de grau n.
Casos particulares:
f ( x) = a0
função constante
f ( x) = a0 + a1 x
f ( x) = x
função afim
função identidade
3) Funções racionais e algébricas
A soma, diferença ou produto de duas funções polinomiais é ainda uma função polinomial,
mas o quociente de duas polinomiais não é, geralmente, uma polinomial. Por exemplo,
f ( x) =
3x 2 − x + 1
4x5 − x3 + 1
não é uma função polinomial. Esta observação motiva a seguinte definição:
Definição 4:
A função f definida pela equação f(x) = p(x)/q(x), onde p e q são funções polinomiais e q
não é uma função constante nula, é denominada função racional.
O domínio da função racional definida por f(x) = p(x)/q(x) consiste em todos os valores de x
para os quais q( x) ≠ 0 . Observe que a soma, o produto, a diferença e o quociente de funções
racionais são ainda funções racionais. No entanto, extraindo-se a raiz de uma função racional, podese encontrar uma função que não seja racional.
Definição 5:
Uma função algébrica elementar é uma função que pode ser obtida através de um número
finito de operações algébricas (sendo estas operações a adição, a multiplicação, a subtração, a
divisão e a radiciação com índice inteiro positivo), começando pelas funções identidade e
constantes.
Alguns exemplos de funções algébricas elementares
f ( x) =
x
x2 + 5
,
3 x+1+1
f ( x) =
5
x2 − 2 + 2
Ainda se poderia observar que qualquer função racional é, automaticamente, uma função algébrica
elementar.
Em cursos mais avançados, um conjunto de funções mais abrangente, denominado conjunto
das funções algébricas (sem o adjetivo "elementar”), é definido. Genericamente, estas são as
funções acessíveis através de operações algébricas.
4) Funções transcendentes
As funções restantes, aquelas que não são algébricas, são denominadas funções
transcendentes, já que elas transcendem aos métodos algébricos. Estão nesta categoria, por
exemplo, as funções trigonométricas, as funções exponencial, logarítmica e hiperbólica.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As seis funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co-tangente
(abreviadas, sen, cos, tan, sec, cossec e cot, respectivamente) são, provavelmente, já bastante
familiares ao leitor, e assim nos restringimos a uma breve revisão.
Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os ângulos são
medidos em radianos e não em graus. Por definição, a medida de um ângulo θ em radianos (Fig. 5)
é o número de vezes que o raio como unidade de comprimento está contido no arco s subentendido
pelo ângulo θ num círculo de raio r.
Fig. 5 Arco em radianos
Então,
θ (em radianos ) =
s
r
Visto que o comprimento da circunferência s = 2πr e o arco subentendido é 360o, tem-se:
π radianos = 180o
Portanto, 1 radiano = (180/π)º = 57º18'.
Da circunferência trigonométrica:
Fig. 6 Circunferência Trigonométrica
As seis funções trigonométricas relativas ao ângulo t estão discriminadas a seguir:
cos t = x
tg t =
y
x
sen t = y
cot t =
x
y
Fig. 7 Arcos notáveis
sec t =
1
x
cos sec t =
1
y
Identidades Trigonométricas
Gráficos
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
As funções algébricas e trigonométricas, embora úteis, não são suficientes para a
aplicação da matemática à física, química, engenharia, economia e às ciências naturais. Nesta
seção introduziremos as funções exponenciais e logarítmicas. Todas as funções que podem ser
construídas a partir das funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas por
adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão são chamadas funções
elementares.
Aspectos básicos
Sejam n e m inteiros positivos e suponha que a e b sejam números reais positivos.
Então,
i) a n = a ⋅ a ⋅ ...a (n vezes );
a0 = 1
ii) b n b m = b n + m
iii)
v) (a ⋅ b )n = a n b n
an
⎛a⎞
vi) ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
viii)
bn
bm
= bn−m
n
( )m = b n m
iv) b n
1
vii) b − n =
bn
n
m
m
a = an
Logaritmo: Se x = b y então y é chamado o logaritmo de x na base b (b>1) e escrevemos
y = log b x
Propriedades do logaritmo:
Considere a>0 e c>0 números reais positivos. Então,
i) log b ac = log b a + log b c
⎛a⎞
ii) log b ⎜ ⎟ = log b a − log b c
⎝c⎠
iii) log b a n = n log b a
iv) log b 1 = 0
v) Mudança de Base: log a x =
∀ b (b > 1)
log b x
log b a
A função logarítmica natural
Introduziremos agora a base dos logaritmos naturais. Nesta base, b = 2,71828..., que é
definido através
1⎞
⎛
e = lim ⎜ 1 + ⎟
u⎠
u → ∞⎝
u
Definimos
y = log e x = ln x
como função logarítmica natural.
Propriedades do logaritmo natural:
Considere a>0 e b>0 números reais positivos. Então,
i) ln ab = ln a + ln b
⎛a⎞
ii) ln⎜ ⎟ = ln a − ln b
⎝b⎠
iii) ln a k = k ln a
iv) ln 1= 0
A função exponencial
A inversa da função logarítmica natural é chamada função exponencial. Denotaremos a
função exponencial por exp.
y = exp( x) = e x ⇔ x = ln y
Como exp é a inversa de ln, o gráfico de exp é obtido refletindo-se o gráfico de ln em relação à reta
y = x (Fig. 8)
Fig. 8 As funções logarítmica natural e exponencial
ELEMENTOS DE GEOMETRIA PLANA E ANALÍTICA
Para o estudo do cálculo além do conhecimento de funções é necessário ter em mente
noções básicas da geometria plana e da geometria analítica. Nesta seção iremos destacar alguns
aspectos que serão úteis posteriormente.
Áreas em geometria plana
i)
ii)
A= l 2
iii)
A=
a ⋅b
2
A=
( B + b) ⋅ h
2
iv)
l2 ⋅ 3
A=
4
v)
vi)
A =π r
2
Área do setor circular
A=
α r2
C = 2π r
Fig. 9 Áreas Planas
2
Equações da reta
Distância entre 2 pontos:
2
⎛ ____ ⎞
⎜ P1 P2 ⎟ = ( y 2 − y1 )2 + ( x 2 − x1 )2
⎜
⎟
⎝
⎠
d=
( y 2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2
“Distância entre 2 pontos”
Coeficiente angular da reta:
m = tgθ =
∆y
∆x
y − y1
m= 2
x 2 − x1
“Coeficiente angular da reta”
Equação da reta:
y − y1 = m ( x − x1 )
“Equação da reta”
Escrevendo
⇒ y = m x − m x1 + y1
então
y = mx+b
“Equação reduzida da reta”
Condições de paralelismo e perpendicularidade
i) Condição de paralelismo
“Duas retas não-verticais, distintas, são paralelas se, e somente se, possuem o mesmo coeficiente
angular”.
ii) Condição de perpendicuralidade
Da figura:
α + ϕ 2 = 180 o
α + ϕ 1 + 90 o = 180 o
Então,
ϕ 2 = ϕ 1 + 90 o
⇒ tgϕ 2 = tg (ϕ 1 + 90 o )
Resulta que,
⇒ tgϕ 2 = − cot gϕ 1 = −
Logo,
m2 = −
1
m1
1
tgϕ 1
A circunferência
___
CP = r
⇒
(x − h )2 + ( y − k )2
=r
Então,
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
“Equação da circunferência”
Exercícios:
1) Encontre o círculo através da origem com centro em (2,-1).
2) Determine as coordenadas do centro, o raio e faça o gráfico da circunferência:
x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 12