1
O Conjunto dos Números Reais
O primeiro conjunto numérico que consideramos é o Conjunto dos Números
Naturais. Este conjunto está relacionado com a operação de contagem:
N = {0, 1, 2, 3, ...}.
Admitiremos conhecidas as operações usuais adição e multiplicação em N
bem como os conceitos de números pares, ı́mpares e primos.
O processo de medição de grandezas fı́sicas nos conduzirá ao conjunto de
números reais.
Problema: Medir um segmento AB.
Fixamos um segmento padrão u e vamos chamar sua medida de 1.
Dado um segmento AB , se u couber um número exato de vezes em AB,
digamos n vezes, então dizemos que a medida de AB será n.
Claramente isto nem sempre ocorre.
Definição: Dizemos que um segmento AB e o segmento padrão u são
COMENSURÁVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u e
m vezes em AB.
Voltando ao nosso problema de medição, se o segmento AB e o segmento
padrão u forem comensuráveis , conforme a definição acima, diremos que a
1
medida de AB será m
n . A medida do segmento w será então n .
Isto nos motiva definirmos um conjunto numérico que inclua todas estas
possı́veis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de Números
Racionais Positivos: Q+ = { m
n |m, n ∈ N, n 6= 0}.
Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 24 e 12 . De
fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unitário então
a metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unitário.
m2
1
Vamos então dizer que 12 = 24 . De um modo geral dizemos que m
n1 = n2 se
m1 n2 = n1 m2 .
Continuando com o problema da medição nos deparamos com um grande
problema. Nem sempre dois segmentos são comensuráveis. De fato, consideremos por exemplo a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
Suponhamos que esta hipotenusa seja comensurável com o segmento unitário
padrão u.
Então existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria
igual a m
n . Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto é , é impossı́vel
simplificarmos mais esta expressão. De acordo com o teorema de Pitágoras
terı́amos que
m2
12 + 12 = 2 .
n
2
2
2
Assim 2n = m e portanto m seria um número par e portanto m também o
seria. Logo existiria algum k ∈ N tal que m = 2k. Assim 4k 2 = 2n2 e portanto
1
n2 = 2k 2 o que implicaria que n também seria par. Note que isto é um absurdo.
Este absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosse
um número racional.
No entanto esta hipotenusa existe e é muito bem determinada em cima da
reta. Ampliamos o conceito de número de tal forma que todos os segmentos
possuam uma medida associada. Introduzimos os chamados Números Irracionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padrão,
qualquer segmento de reta tem uma medida numérica.
1.1
A Reta Real
Fixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outro
ponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento.
Facilmente marcamos sobre a reta os números naturais.
Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem,
com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos
às suas extremidades esquerdas números com um sinal −. Formamos então o
chamado Conjunto dos Números Inteiros:
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem,
comensuráveis com o segmento o segmento padrão 0A. Os que ficarem à direita
serão associados aos racionais positivos e os que ficarem à esquerda ganharão
um sinal −. Definimos então o Conjunto dos Números Racionais:
Q == {
m
|m ∈ Z, n ∈ N, n 6= 0}.
n
Como vimos acima esta construção não ocupa todo o espaço existente na
reta. Se pararmos por aqui nossa reta ficará com vários ”buracos”. A cada
um destes buracos associamos um número, que chamaremos de irracional .
Finalmente definimos o Conjunto dos Números Reais:
R = {x|x ∈ Q ou x éirracional}.
Existe uma correspondência biunı́voca entre os números reais e os pontos da
reta. Mais precisamente, a cada número real está associado um e somente um
ponto da reta e a cada ponto da reta está associado um e somente um número
real. No que segue, não distinguiremos pontos da reta e números reais.
É claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Dizemos que x ∈ R é positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado
direito da reta; dizemos que x é negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no
lado esquerdo da reta. As notações ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou
igual e menor ou igual.
Vamos introduzir as operações adição e multiplicação em R.
Definição:
2
a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o número real associado
a ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial em
x1 , e com medida igual a medida do segmento associado a x2 .
b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com extremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida igual
a do segmento associado a x2 . O número real associado a ”ponta final” deste
segmento será chamado de x1 + x2 .
Definição:
a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Traçamos
uma reta l formando um ângulo inferior a 90o com a reta real e passando
pela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o número y. Na reta l
marcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s.
Da geometria sabemos que existe uma única reta t paralela a s e que passa y.
Finalmente marcamos em l o ponto P , itersecção desta com t. Com a ponta
seca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o ponto
Q. O número real associado a este ponto será chamado de xy.
b) Nos demais casos é só mudar o sinal xy convenientemente:
x y xy
+ − +
− + −
− − +
Observação: Se fixarmos nossa atenção para os números racionais veremos
que as definições acima coincidem com as tradicionais:
c
a
+
b
d
a c
.
b d
=
=
ad + bc
bd
ac
.
bd
O conjunto R munido das operações definidas acima forma o que chamamos
de CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade da Adição e da Multiplicação:
(x + y) + z
(xy)z
= x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R
= x(yz), ∀x, y, z ∈ R
2) Comutatividade da Adição e da Multiplicação:
x+y
xy
= y + x, ∀x, y ∈ R
= yx, ∀x, y ∈ R
3) Existência de Elemento Neutro para a Adição e para a Multiplicação:
x + 0 = x, ∀x ∈ R
x.1 = x, ∀x ∈ R
3
4) Existência de Oposto para Adição:
∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0.
5) Existência de Inverso para a Multiplicação:
∀x ∈ R\{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1.
6) Distributividade da Multiplicação em Relação à Adição:
x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R.
Definição: Dizemos que x < y se y − x > 0.
Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos:
R+ = {x ∈ R|x > 0}.
Observe que as seguintes condições são satisfeitas:
a) A soma e o produto de elementos positivos são positivos. Ou seja
x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x.y ∈ R+ .
b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ .
As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO ORDENADO.
Como em qualquer outro corpo ordenado, relação de ordem ” < ” goza das
seguintes propriedades:
1) Transitiva:
(x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z.
2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R :
x < y ou y < x ou x = y.
3) Compatibilidade da Ordem com a Adição:
(x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z.
4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplicação:
(x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz.
Observação: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo
ordenado também são satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade
que é satisfeita por R mas não por Q.
4
Definição:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A é limitado se existe
K > 0 tal que
x ∈ A ⇒ −K < x < K.
Definição:Dizemos que s ∈ R é o supremo de A se s for a menor das cotas
superiores de A :
x ≤ s, ∀x ∈ A;
x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c.
Definição:Dizemos que i ∈ R é o ı́nfimo de A se i for a maior das cotas
inferiores de A :
x ≥ i, ∀x ∈ A;
x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c.
O conjunto R satisfaz a propriedade:
Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e não vazio de números
reais possui um supremo e um ı́nfimo real.
Observemos que esta propriedade não é satisfeita por Q. Considere o conjunto A = {x ∈ Q|0 < √
x2 < 2}.
O supremo de A é 2 que como vimos antes não é um número racional.
A propriedade acima nos diz que o conjunto dos números reais é um CORPO
ORDENADO COMPLETO.
Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0 , b0 ] , [a1 , b1 ] , ..., [an , bn ] , ...
uma sequência de intervalos satisfazendo:
a) [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que
bn − an < r.
Então, existe um único real c tal que para todo natural n
an ≤ c ≤ bn .
Demonstração: Temos que A = {a0 , a1 , ...} é não vazio e limitado superiormente. Seja então
c = sup A.
É claro que
an ≤ c ≤ bn .
Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo
an ≤ d ≤ bn .
5
Neste caso terı́amos
|c − d| < bn − an , ∀n.
Como a distância bn − an aproxima-se de zero , terı́amos que c = d.
Para completarmos esta seção vamos provar :
Teorema
a) Entre dois números reais distintos sempre existe um número irracional;
b) Entre dois números reais distintos sempre existe um número racional.
Demonstração: Provemos a primeira afirmação. Sejam x e y dois números
reais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0.
Observe que é possı́vel encontrarmos números naturais n, m tais que
n (y − x) > 1
√
m (y − x) >
2
(este fato é conhecido como Princı́pio de Arquimedes). Desta forma temos que
x <
x <
1
<y
n
√
2
x+
<y
n
x+
√
e assim se x for irracional, assim será x + n1 e se x for racional então x + n2
será irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre
x e y.
Provemos a segunda afirmação. Sejam x e y dois números reais distintos.
Inicialmente observemos que se x < 0 < y então nada temos para provar pois 0
é racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando o
princı́pio de Arquimedes encontramos um natural n tal que
n(y − x) > 1
nx > 1
Seja j tal que
j
j+1
≤x<
n
n
Notemos que
j+1
j
1
= + < x + (y − x) = y
n
n n
Logo basta tomarmos j+1
n .
Se x < y < 0 então 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um
racional entre −y e −x. O simétrico deste racional será o racional procurado.
6
Exercı́cios: As propriedades que destacamos acima são suficientes para
deduzirmos uma série de outras, conforme os exercı́cios abaixo.
1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z
x + z = y + z ⇒ x = y.
2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w
0≤x≤y
⇒ xz ≤ yw.
0≤z≤w
3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se:
a)x < y ⇔ x + z < y + z.
b)z > 0 ⇔ z −1 > 0.
c)z > 0 ⇔ −z < 0.
d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz.
e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz.
0≤x<y
f)
⇒ xz < yw
0≤z<w
g)0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1
h)x < y ou x = y ou y < x.
i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.
4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que:
a)x < y ⇒ x2 < y 2 .
b)x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2
c)x < y ⇔ x2 < y 2 .
1.2
Sequências de Números Reais
Nesta seção estudaremos funções reais de uma variável real cujo domı́nio é um
subconjunto do conjunto dos números naturais. Tais funções recebem o nome de
sequências. Não daremos um tratamento analı́tico completo ao assunto, apenas
iremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades.
Definição: Uma sequência de números reais é uma função
f :A⊂N →R
7
Notação: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a
sequência pela lei de definição e consideraremos o domı́nio como o maior subconjunto de N onde tem sentido a lei de definição.
Exemplos:
1) (an ) dada por an = n1 é a sequência formada pelos números 1, 12 , 31 , ...
2) (an ) dada por an = 2 é a sequência constante 2, 2, 2, ...
n
3) (an ) dada por an = (−1) é a sequência 1, −1, 1, −1,...
Definição: Diz-se que uma sequência (an ) converge para um número L ou
tem limite L se , dado qualquer número ε > 0 , é sempre possı́vel encontrar um
número natural N tal que
n > N → |an − L| < ε.
Denotamos
lim an = L ou an → L.
n→+∞
Intuitivamente dizer que (an ) converge para L significa dizer que os termos
da sequência aproximam-se de L quando n cresce .
Exemplo:
A sequência (an ) dada por an = n1 converge para 0.
De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro número natural maior que 1ε e
temos que
1
1
n > N → n > → < ε.
ε
n
Definição: Quando uma sequência não converge diz-se que ela diverge ou
que é divergente.
Exemplos:
n
1) A sequência (an ) dada por an = (−1) é divergente. De fato, seus termos
oscilam entre −1 e 1.
2) A sequência (an ) dada por an = n é divergente. De fato, seus termos
crescem indefinidamente.
Definição: Uma sequência (an ) é dita limitada se existir um número real
K > 0 tal que
|an | ≤ K, ∀n.
Exemplos:
1) As sequências dadas por an = n1 , an = cos n são exemplos de sequências
limitadas.
2) A sequência (an ) dada por an = n2 não é limitada.
Observação: Ser limitada não é o mesmo que ter limite. Se uma sequência
for convergente então ela será limitada mas nem toda sequência limitada é conn
vergente. De fato, considere por exemplo a sequência (an ) dada por an = (−1) .
8
Definição:
1) Se a1 < a2 < a3 < ... então (an ) é dita MONÓTONA CRESCENTE.
2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... então (an ) é dita MONÓTONA NÃO DECRESCENTE.
3) Se a1 > a2 > a3 > ... então (an ) é dita MONÓTONA DECRESCENTE.
4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... então (an ) é dita MONÓTONA NÃO CRESCENTE.
Teorema: Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração:Vamos provar que toda sequência não decrescente e limitada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos como
exercı́cio.
Seja K > 0 tal que
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ K
Assim temos que o conjunto
{an |n ∈ N }
é limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ R
tal que
L = sup{an |n ∈ N }.
Afirmamos que
L = lim an .
n→+∞
De fato , dado ε > 0 temos que L − ε não é uma cota superior de {an |n ∈ N }
e assim exite N > 0 tal que
aN > L − ε
e portanto
n > N → L − ε < aN ≤ an < L < L + ε → |an − L| < ε.
Uma importante aplicação: O número e
Vamos provar que:
1) A sequência dada por
an =
1
1+
n
n
é crescente e limitada e portanto convergente.
2) Sendo (an ) convergente, escrevemos
e = lim an
n→∞
9
e provamos que 2 < e < 3.
1)
Inicialmente mostremos que a sequência é crescente.
Vamos provar que , para todo n temos
an+1
> 1.
an
Temos
1+
1
n+1
1+
n+1
1 n
n
n+1
n+2
n+1
=
=
n+1 n
n+1 n+1 n
n
n
n+1
n+1
2
n+1
n+2 n
n +2n
2
n+1 n+1
(n+1)
=
=
n
n
n+1
n+1
n+1
n+1
(n+1)2 −1
1
1 − (n+1)
2
(n+1)2
=
n
n
n+1
n+1
=
=
=
n+2
n+1
n+1
=∗
Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos
−1
1
1 + (n + 1) (n+1)
2
1 − n+1
=
= 1.
∗>
n
n
n+1
n+1
Logo a sequência é crescente.
Provemos agora que a sequência é limitada. Temos
n
1
1
n(n − 1) 1
n (n − 1) ... (n − (k − 1)) 1
1
1+
= 1 + n. +
. 2 + ... +
+ ... + n =
n
n
2
n
k!
nk
n
1
1
1
1
2
k−1
= 1+1+
1−
+ ... + (1 − )(1 − )... 1 −
+
2
n
k!
n
n
n
1
1
2
n−1
... + (1 − )(1 − )... 1 −
n!
n
n
n
Por indução é fácil provar que
1
1
≤ n−1 , ∀n ∈ N.
n!
2
Assim
1
1+
n
n
n
1 − 12
1
1
≤ 1 + 1 + + .... + n = 1 +
< 3.
2
2
1 − 12
Concluı́mos que
2<
1
1+
n
10
n
< 3.
2)
Como
1+
1 n
n
é convergente escrevemos
e = lim
n→∞
2
2.1
1
1+
n
n
.
Limites de Funções Reais Definidas em Intervalos
Introdução
Neste capı́tulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso estudo para as funções reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
Análise Matemática o estudo de limites quando as funções estão definidas em
um subconjunto qualquer da reta.
Todas as funções que consideraremos neste capı́tulo são do tipo f : I → R
onde I é uma união de intervalos.
Definição: Dizemos que f : I → R está definida em uma vizinhança de p,
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que
(p − r, p) ⊂ I
e
(p, p + r) ⊂ I.
Exemplos:
1) Uma função definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R está definida
em uma vizinhança de p, qualquer que seja p ∈ (a, b).
2) Uma função definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R está definida
em uma vizinhança de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f não está
definida em uma vizinhança de a e nem em uma vizinhança de b. O mesmo
permanece válido para qualquer outra combinação de ( ou [.(verifique isso).
2
−1
3) Consideremos f : R\{1} → R dada por f (x) = xx−1
. Observe que f
está definida em uma vizinhança de 1, exceto no ponto 1.
2.2
Definição de Limite
Definição: Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de p,
exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p é
igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δ
tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos
lim f (x) = L.
x→p
11
Intuitivamente a definição acima está nos dizendo que a medida que x
aproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L :
∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Exemplos:
1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim k = k. De fato,
x→p
dado ε > 0 existe δ = 1 tal que
0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε.
2) Provemos que lim (2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ =
x→3
0 < |x − 3| <
ε
2
tal que
ε
⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε.
2
3) Observe que o valor que a função assume no ponto
p não influencia seu
−x + 4, se x 6= 1
limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) =
.
7, se x = 1
Temos que lim f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que
x→1
0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε.
4) Seja f : R\{−4} → R dada por f (x) =
16−x2
x+4
16−x2
x+4 .
Temos que para x 6= −4,
= 4 − x e assim lim f (x) = lim (4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0
x→−4
x→−4
tomamos δ = ε e temos
0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε.
Podemos caracterizar o limite de funções reais utilizando sequências de
números reais.
Teorema : Sejam f uma função definida em uma vizinhança de p ∈ R
exceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim f (x) = L se e somene se
x→p
∀ (xn ) tal que xn → p , xn 6= p , tem-se f (xn ) → L.
Demonstração: Suponhamos que lim f (x) = L. Seja xn tal que xn → p.
x→p
Provemos que f (xn ) → L.
Seja ε > 0. Então existe δ > 0 tal que
0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε.
Como xn → p, xn 6= p temos que exite N natural tal que
n > N → 0 < |xn − p| < δ → |f (xn ) − L| < ε.
12
Reciprocamente, suponhamos que
∀ (xn ) tal que xn → p , xn 6= p , tem-se f (xn ) → L.
Provemos que lim f (x) = L.
x→p
Se isto não fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria
x tal que
0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε.
Tomando δ =
1
n
existiria xn tal que
1
e |f (xn ) − L| > ε.
n
0 < |xn − p| <
Mas daı́ terı́amos xn → p, xn 6= p e no entanto f (xn ) não estaria convergindo
para L.
Logo
lim f (x) = L.
x→p
2.3
Unicidade, Conservação de Sinal e Limitação
Começaremos esta seção provando a unicidade do limite.
Teorema: Seja f uma função definida em uma vizinhança de p ∈ R exceto
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L então L é único.
x→p
Demonstração:Suponhamos que lim f (x) = M .Vamos provar que L = M.
x→p
Suponhamos que L 6= M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M.
Tomemos ε = M 2−L . Assim existe δ1 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| <
M −L
M +L
⇒ f (x) <
.
2
2
Por outro lado existe δ2 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − M | <
M +L
M −L
⇒ f (x) >
.
2
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
0 < |x − p| < δ ⇒
M +L
M +L
< f (x) <
2
2
e isto é um absurdo.
Logo L = M.
A seguir provaremos que a existência de lim f (x) implicará na limitação da
x→p
função em uma vizinhança do ponto p.
13
Teorema: Seja f uma função definida em uma vizinhança de p ∈ R exceto
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L então existem δ > 0
x→p
e M > 0 tais que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M.
Demonstração: Tomando ε = 1 na definição de limite temos que
∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1
Da desigualdade triangular temos
|f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L|
e portanto
|f (x)| ≤ 1 + |L| .
Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima.
Vamos provar agora o teorema da conservação do sinal. Em suma o teorema
irá nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da função em uma vizinhança
do ponto ou ser nulo.
Teorema: Sejam f uma função definida em uma vizinhança de p ∈ R,
exceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim f (x) = L.
x→p
a) Se L > 0 então existe δ > 0 tal que
0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0.
b) Se L < 0 então existe δ > 0 tal que
0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0.
Demonstração: Vamos provar a) e deixaremos como exercı́cio a prova de
b).
Tomamos ε =
L
2
e temos que existe δ > 0 tal que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| <
Segue que f (x) >
L
2
> 0.
14
L
.
2
2.4
Cálculo de Limites
Nesta seção demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitarão
o cálculo de limites.
Teorema: Sejam f e g funções definidas em uma vizinhança de um ponto
p ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim f (x) = L e
x→p
lim g(x) = M e k uma constante real.
x→p
Então:
a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→p
x→p
b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→p
x→p
c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→p
x→p
d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL.
x→p
e) Se M 6= 0, existe
x→p
lim f (x)
x→p g(x)
f (x)
x→p g(x)
e lim
=
L
M.
Demonstração:
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hipótese temos que existem δ1 > 0 e
δ2 > 0 tais que
ε
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ,
2
ε
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < .
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
b) Deixamos como exercı́cio.
d) Se k = 0 então é trivial. Suponhamos k 6= 0. Seja ε > 0. Da nossa hipótese
temos que existem δ > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| <
.
|k|
Assim temos
∃δ1
= δ > 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k|
15
ε
= ε.
|k|
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 41 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].
Provemos que, dada uma função h definida em uma vizinhança de p, exceto
possivelmente em p, e satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De
x→p
x→p
fato, de acordo com o teorema da limitação, temos
∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |h(x)| < K.
Além disso, dado ε > 0, temos
∃δ2
> 0 tal que
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − N | <
ε
.
K + |N |
Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1 , δ2 } temos
0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε
ε
< (|h(x)| + |N |)
< (K + |N |)
= ε.
K + |N |
K + |N |
Desta forma
lim (f (x).g(x)) = lim
x→p
x→p
1
[(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
4
Pela propriedade d) temos
∗=
1
lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→p
e pela propriedade b)
∗∗ =
1
1
lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
x→p
4
4 x→p
e aplicando o que acabamos de provar
∗∗∗=
1
1
( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→p
4 x→p
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
∗ ∗ ∗∗ =
1
[(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM.
4
1
x→p g(x)
e) Para provarmos e) é suficiente provarmos que lim
=
1
M.
f (x)
g(x)
1
= f (x). g(x)
e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0. Como lim g(x) = M 6= 0 temos que
x→p
∃δ1
> 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |g(x) − M | <
16
|M |
|M |
⇒ |g(x)| >
2
2
De fato
Por outro lado
∃δ2
> 0 tal que
2
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | <
|M |
ε
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos
1
1 |g(x) − M |
=
0 < |x − p| < δ ⇒ −
<
g(x) M |g(x)| |M |
2
<
2
|M |
2
|M |
ε=ε
2
|M | 2
2
|g(x) − M | <
O Teorema do Confronto (” Teorema do Sanduı́che”): Sejam f, g, h
funções definidas em uma vizinhança de p, exceto possivelmente em p, satisfazendo:
a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhança,
b) Existem os limites lim f (x), lim h(x) e
x→p
x→p
c) lim f (x) = lim h(x) = L.
x→p
x→p
Então existe lim g(x) e lim g(x) = L.
x→p
x→p
Demonstração: Seja ε > 0. Por c) temos:
∃δ1 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε
e
∃δ2 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε
Tomamos δ = min{δ1 , δ2 } e temos
0
< |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒
⇒ |g(x) − L| < ε
Exercı́cio: Prove que
lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0.
x→p
x→p
Exemplo: lim x cos x = 0.
x→0
De fato, vamos mostrar que lim |x cos x| = 0.
x→0
Temos que
0 ≤ |x cos x| ≤ |x|
e pelo teorema do confronto segue o resultado.
17
2.5
Limites Laterais
Nesta seção iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assumindo somente valores maiores (ou menores) que p.
Definição:
a)Dizemos que f : I → R está definida em uma vizinhança à direita de p,
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I.
b)Dizemos que f : I → R está definida em uma vizinhança à esquerda de p,
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I.
Exemplos:
1) Uma função definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R está definida
em uma vizinhança à direita de p e em uma vizinhança à esquerda de p, qualquer
que seja p ∈ (a, b).
2) Uma função definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R está definida
em uma vizinhança à direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e está definida
em uma vizinhança à esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f
não está definida em uma vizinhança à esquerda de a e nem em uma vizinhança
à direita de b. O mesmo permanece válido para qualquer outra combinação de
( ou [.(verifique isso).
3) É imediato verificarmos que uma função f está definida
em uma
vizinhança de p se e somente se está definida em uma vizinhança à esquerda de
p e em uma vizinhança à direita de p.
Definição:
a) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à direita de
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela direita é igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
x ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L.
x→p+
b) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à esquerda de
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela esquerda é igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
x ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p− f (x) = L.
Observação: Todas as propriedades provadas nas seções anteriores com
relação a unicidade, conservação de sinal e limitação permanecem válidas para
limites laterais, com as devidas alterações.Também permanecem válidas as propriedades operacionais provadas na seção anterior.
18
Teorema: Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de um
ponto p exceto possivelmente em p. Vale que
∃ lim f (x) ⇔ ∃ lim+ f (x), ∃ lim− f (x) e lim− f (x) = lim+ f (x).
x→p
x→p
x→p
x→p
x→p
Deixamos a prova do resultado acima como exercı́cio.
2.6
Limites no Infinito
Nesta seção iremos estudar o comportamento de algumas funções quando a
variável assume valores arbitrariamente grandes.
Definição:
a) Dizemos que uma
+∞ se existir a ∈ R tal
b) Dizemos que uma
−∞ se existir a ∈ R tal
função f : I → R está definida em uma vizinhança de
que (a, +∞) ⊂ I.
função f : I → R está definida em uma vizinhança de
que (−∞, a) ⊂ I.
Exemplos:
a) Qualquer função f : R → R está definida em vizinhanças de +∞ e de
−∞.
b) Qualquer função f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R está definida em
uma vizinhança de +∞ mas não está definida em uma vizinhança de −∞.
c) Qualquer função f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R está definida em
uma vizinhança de −∞ mas não está definida em uma vizinhança de +∞.
Definição:
a) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de +∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender a +∞ é L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
x→+∞
se para todo ε > 0 existir x0 > 0 tal que
x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.
b) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de −∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender a −∞ é L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
x→−∞
se para todo ε > 0 existir x0 < 0 tal que
x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.
1
x→+∞ x
x0 = 1ε e
Exemplo: Vamos provar que lim
= 0.
De fato, dado ε > 0 tomamos
temos
1
1
1
x > x0 ⇒ x > ⇒ 0 < < ε ⇒ < ε.
ε
x
x
19
Exercı́cio: Sejam f : I → R uma função definida em uma vizinhança de
+∞ e L ∈ R tal que lim f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais
x→+∞
que
x > x0 ⇒ |f (x)| < M.
A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites no
infinito.
Teorema: Sejam f e g funções definidas em uma vizinhança de +∞ ; L ,
M ∈ R tais que lim f (x) = L e lim g(x) = M e k uma constante real.
x→+∞
Então:
a) Existe
b) Existe
c) Existe
d) Existe
x→+∞
lim (f (x) + g(x)) e
x→+∞
lim (f (x) − g(x)) e
x→+∞
lim (f (x).g(x)) e
x→+∞
lim kf (x) e
x→+∞
e) Se M 6= 0, existe
lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→+∞
lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→+∞
lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→+∞
lim kf (x) = kL.
x→+∞
(x)
lim f (x) e lim fg(x)
x→+∞
x→+∞ g(x)
=
L
M.
Demonstração:
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hipótese temos que existem x1 > 0 e
x2 > 0 tais que
x
x
ε
2
ε
> x2 ⇒ |g(x) − M | <
2
> x1 ⇒ |f (x) − L| <
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos que
x0 ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
x >
b) Deixamos como exercı́cio.
d) Se k = 0 então é trivial. Suponhamos k 6= 0.
Seja ε > 0. Da nossa hipótese temos que existem x0 > 0 tal que
x > x0 ⇒ |f (x) − L| <
ε
.
|k|
Assim temos
x > x0 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k|
ε
= ε.
|k|
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 41 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].
20
Provemos que, dada uma função h definida em uma vizinhança de +∞, e
satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De fato, pelo exercı́cio
x→+∞
x→+∞
acima,
∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que
x > x1 ⇒ |h(x)| < K
Além disso, dado ε > 0, temos
∃x2
> 0 tal que
x2 ⇒ |h(x) − N | <
x >
ε
K + |N |
Tomamos x0 satisfazendo x0 = max{x1 , x2 } temos
x > x0 ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε
ε
< (|h(x)| + |N |)
< (K + |N |)
= ε.
K + |N |
K + |N |
Desta forma
lim (f (x).g(x)) = lim
x→+∞
x→+∞
1
[(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
4
Pela propriedade d) temos
∗=
1
lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→+∞
e pela propriedade b)
∗∗ =
1
1
lim (f (x) + g(x))2 −
lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
4 x→+∞
4 x→+∞
e aplicando o que acabamos de provar
∗∗∗=
1
1
( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→+∞
4 x→+∞
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
∗ ∗ ∗∗ =
1
[(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM
4
e) Para provarmos e) é suficiente provarmos que
lim 1
x→+∞ g(x)
f (x)
g(x)
1
= f (x). g(x)
e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0.
Como lim g(x) = M 6= 0 temos que
x→+∞
∃x1
> 0 tal que
x >
x1 ⇒ |g(x) − M | <
21
|M |
|M |
⇒ |g(x)| >
2
2
=
1
M.
De fato
Por outro lado
∃x2
> 0 tal que
2
x2 ⇒ |g(x) − M | <
x >
|M |
ε
2
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos
1
1 |g(x) − M |
x > x0 ⇒ =
−
<
g(x) M |g(x)| |M |
<
2
2
|M |
|g(x) − M | <
2
|M |
ε=ε
|M | 2
2
2
Observe que o resultado acima continua válido se considerarmos x → −∞.
2.7
Limites Infinitos
Nesta seção estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) é
que assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se de
algum ponto p ou de ±∞.
Definição:
a) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à direita de
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela direita é igual a +∞
e denotamos
lim+ f (x) = +∞
x→p
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M.
b) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à direita de
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela direita é igual a −∞
e denotamos
lim+ f (x) = −∞
x→p
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M.
c) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à esquerda de
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela esquerda é igual a
+∞ e denotamos
lim f (x) = +∞
x→p−
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M.
22
d) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança à esquerda de
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela esquerda é igual a
−∞ e denotamos
lim f (x) = −∞
x→p−
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M.
e) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de +∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender à +∞ é igual a +∞ e denotamos
lim f (x) = +∞
x→+∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M.
f ) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de +∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender à +∞ é igual a −∞ e denotamos
lim f (x) = −∞
x→+∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) < −M.
g) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de −∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender à −∞ é igual a +∞ e denotamos
lim f (x) = +∞
x→−∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M.
h) Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de −∞. Dizemos
que o limite de f (x) ao x tender à −∞ é igual a −∞ e denotamos
lim f (x) = −∞
x→−∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) < −M.
Exemplos:
1) Provemos que lim+
x→0
1
x
= +∞.
23
1
M
De fato, dado M > 0 existe δ =
x ∈ (0,
2) Provemos que lim
x→1−
1
x−1
tal que
1
1
) ⇒ > M.
M
x
= −∞. De fato, dado M > 0 tomamos
δ = min{
1
, 1}
M
e temos
x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒
1
1
< − < −M.
x−1
δ
A seguir apresentamos a ”aritmética do infinito” isto é , estabelecemos as
relações entre os limites infinitos e as operações. Deixamos a prova do teorema
como exercı́cio.
Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhança de p ∈ R , exceto
possivelmente em p . Valem as seguintes tabelas:
lim f (x )
x→p
TABELA I
lim g(x ) lim (f (x ) + g(x )
x→p
x→p
+∞
−∞
+∞
α∈R
α∈R
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
indeterminação
+∞
+∞
−∞
−∞
TABELA II
lim f (x ) lim g(x ) lim f (x ).g(x )
x→p
x→p
x→p
+∞
+∞
−∞
0
0
α>0
α>0
α<0
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
indeterminação
−∞
indeterminação
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
TABELA III
(x)
lim f (x ) lim g(x ) lim fg(x)
x→p
x→p
x→p
α∈R
α∈R
+∞
+∞
α>0
α>0
α<0
α<0
+∞
−∞
+∞
−∞
0+
0−
0+
0−
0
0
indeterminação
indeterminação
+∞
−∞
−∞
+∞
24
Observação: Indeterminação significa que nada se pode afirmar sobre o
limite em questão. Depende de f e g em cada caso particular.
O teorema continua válido para
vizinhança
vizinhança
vizinhança
vizinhança
2.8
à direita de p
à esquerda de p
de +∞
de −∞
x
x
x
x
→ p+
→ p−
→ +∞
→ −∞
Limite de Funções Compostas
Para encerrarmos este capı́tulo veremos como procedermos o calculo de limite
de compostas de funções.
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R funções definidas em uma
vizinhança de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo:
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→p
c) lim g(u) = L;
u→a
d) Existe r > 0 tal que f (x) 6= a para 0 < |x − p| < r.
Então lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
x→p
u→a
Demonstração: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ1 > 0
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ1 ⇒ |g(u) − L| < ε.
Além disso, como lim f (x) = a existe δ2 > 0 tal que
x→p
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − a| < δ1 .
Tomando δ = min{δ2 , r} temos
0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1 ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.
O teorema acima permanece válido para limites laterais, com as devidas
adaptações. Faça isso como exercı́cio.
Exemplo: Observe a importância da hipótese d). Consideremos o seguinte
exemplo:
f (x)
g(u)
1, ∀x ∈ R
u + 1, u 6= 1
=
3, u = 1
=
25
Temos
lim f (x)
=
1
lim g(u)
=
2
x→1
u→1
e no entanto
lim g(f (x)) = 3 6= lim g(u).
x→1
u→1
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R funções definidas em uma
vizinhança do +∞ e em uma vizinhança de a ∈ R (exceto possivelmente em a),
respectivamente, e L ∈ R satisfazendo:
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→+∞
c) Existe N1 > 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) 6= a.
d) lim g(u) = L.
u→a
Então
lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
x→+∞
u→a
Demonstração: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ > 0
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε.
Como lim f (x) = a existe N2 > 0 tal que
x→+∞
x > N2 ⇒ |f (x) − a| < δ.
Tomando N = max{N1 , N2 } temos
x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.
O teorema permanece válido considerarmos x → −∞.
3
3.1
Continuidade de Funções Reais de Variável
Real
Definição de Continuidade
Neste capı́tulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nosso
estudo para as funções reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
Análise Matemática o estudo da continuidade quando as funções estão definidas
em um subconjunto qualquer da reta.
Todas as funções que consideraremos neste capı́tulo são do tipo f : I → R
onde I é uma união de intervalos.
26
Definição:
a) Uma função f : I → R é dita contı́nua em p ∈ I se para todo ε > 0
existir δ > 0 tal que
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε.
b) Uma função f : I → R é dita contı́nua se o for em todos os pontos de
seu domı́nio.
c) Uma função f : I → R é dita descontı́nua em p ∈ I se f não é contı́nua
em p.
Observações: A verificação da continuidade de funções definidas em intervalos (a, b) ou [a, b] é um pouco mais simples:
1) De acordo com a definição acima , temos que f : (a, b) → R é contı́nua se
existir lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda lim f (x) = f (p). Em particular,
x→p
x→p
usando a caracterização de limites por sequências terı́amos que f é contı́nua em
p se e somente se
∀ (xn ) tal que xn → p tem-se f (xn ) → f (p) .
2) De acordo com a definição acima , temos que f : [a, b] → R é contı́nua se:
a) Existe lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e lim f (x) = f (p);
x→p
x→p
b) Existe lim+ f (x) e lim+ f (x) = f (a);
x→a
x→a
c) Existe lim− f (x) e lim− f (x) = f (b).
x→b
3.2
x→b
Operações com Funções e Continuidade
Os resultados que obteremos nesta seção são demonstrados da mesma forma
que os análogos para limites.
Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R funções contı́nuas em p ∈ I e k ∈ R
uma constante. Então:
a) f + g é contı́nua em p.
b) f − g é contı́nua em p.
c) f.g é contı́nua em p.
d) Se g(p) 6= 0 então fg é contı́nua em p.
e) kf é contı́nua em p.
Uma consequência imediata do resultado acima é:
Corolário:
a) Toda função polinomial é contı́nua.
b) Toda função racional é contı́nua.
Demonstração:
27
a) De fato, se f é polinomial então existe um polinômio
p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn
tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R.
Como as funções dadas por xm , m ∈ N, são contı́nuas, segue do teorema
acima que as funções dadas por aj xj , j ∈ {0, 1, ..., n}, também o são. Como
soma de funções contı́nuas é contı́nua , segue que toda função polinomial é
contı́nua.
b) De fato, se f é uma função racional , então existem polinômios p, q tais
que f (x) = p(x)
q(x) .
Como o quociente de funções contı́nuas é contı́nua, desde que o polinômio
do denominador não se anule, segue que toda função racional é contı́nua pois o
é em todos os pontos de seu domı́nio.
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R satisfazendo que f (I1 ) ⊂ I2 , f
é contı́nua em p ∈ I1 e que g é contı́nua em f (p). Então g ◦ f é contı́nua em p.
Demonstração: Seja ε > 0. Como g é contı́nua em f (p) temos que existe
δ1 > 0 tal que
u ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε.
Como f é contı́nua em p temos que existe δ > 0 tal que
x
∈ I1 ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2 , |f (x) − f (p)| < δ1 ⇒
⇒ f (x) ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.
3.3
Algumas Propriedades das Funções Contı́nuas
Nesta seção provaremos alguns resultados sobre a conservação de sinal e sobre
a continuidade de funções monótonas .
Teorema: Seja f : I → R uma função contı́nua em p ∈ I . Se f (p) > 0
então existe δ > 0 tal que
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0.
Demonstração: Como f (p) > 0, tomamos ε =
δ > 0 tal que
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| <
28
f (p)
2
e temos que existe
f (p)
f (p)
⇒ f (x) >
> 0.
2
2
Teorema: Seja f : I → R uma função contı́nua em p ∈ I . Se f (p) < 0
então existe δ > 0 tal que
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0.
Demonstração: Como f (p) < 0, tomamos ε = − f (p)
e temos que existe
2
δ > 0 tal que
x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < −
f (p)
f (p)
f (p)
⇒ f (x) < f (p)−
=
< 0.
2
2
2
Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e além disso tanto
a imagem quanto o domı́nio de f forem intervalos então f é contı́nua.
Demonstração: Sem perda de generalidade vamos supor que f é crescente.
Dado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p.
Seja ε > 0. Suponhamos também que f (p) não seja extremidade do intervalo
que é a imagem.
Como f (I) é um intervalo então existem x1 , x2 ∈ I tais que f (x1 ) = f (p) − ε
e f (x2 ) = f (p) + ε .
Assim basta tomarmos δ = min{p − x1 , x2 − p} e temos
|x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1 ) < f (x) < f (x2 ) = f (p) + ε.
Deixamos como exercı́cio o caso geral.
Corolário: As funções trigonométricas inversas são contı́nuas.
Demonstração: É imediato pelo teorema acima, visto que localmente todas
as trigonométricas inversas são crescentes ou decrescentes e seus domı́nios e
imagens são intervalos.
3.4
O Teorema do Valor Intermediário
Nesta seção estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu
enunciado é bastante simples mas as consequências são extremamente importantes.
Imagine uma função que seja contı́nua em um intervalo [a, b]. Suponhamos
que d está entre f (a) e f (b). Como a função é contı́nua o seu gráfico pode
ser desenhado sem que soltemos o lápis. De fato, a continuidade impede que
o gráfico apresente saltos. Desta forma não tem como sairmos de (a, f (a)) e
chegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenha
ordenada d. Logo concluı́mos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal que
f (c) = d. Esta é a conclusão do Teorema do Valor Intermediário.
Vamos enunciar este teorema.
Teorema do Valor Intermediário: Sejam f : [a, b] → R contı́nua e d
entre f (a) e f (b). Então existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d.
29
Demonstração : Dividiremos a prova em dois casos.
1o Caso:
Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b]
tal que f (c) = 0.
Façamos a0 = a e b0 = b. Consideremos c0 o ponto médio de [a0 , b0 ]. Calculamos f (c0 ). Se f (c0 ) < 0 então definimos a1 = c0 e b1 = b0 ( se f (c0 ) = 0 não
temos mais o que provar e se f (c0 ) > 0 então definimos a1 = a0 e b1 = c0 ).
Em seguida consideramos c1 o ponto médio de [a1 , b1 ] e repetimos o processo
acima.
Prosseguindo com este raciocı́nio, construiremos uma sequência de intervalos
encaixantes
[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
tais que f (an ) < 0 e f (bn ) > 0.
Além disso bn − an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente.
O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um único
c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn .
A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zero
o teorema da conservação do sinal implicaria que f (an ) e f (bn ) teriam o mesmo
sinal para n suficientemente grande, já que a distância de an a bn tende a zero.
Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Logo, se f for contı́nua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários,
então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0.
2o Caso: Caso Geral.
Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b).
Consideremos a função g(x) = f (x) − d.
Obviamente g é contı́nua e g(a) < 0, g(b) > 0.
Pelo 1o caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d. Exemplos:
1) Prove que x3 − 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real.
Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3 − 4x + 8.
Como f é polinomial segue que f é contı́nua. Além disso, f (−3) = −7 < 0,
f (0) = 8 > 0.
Logo pelo Teorema do Valor Intermediário,
∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0.
Logo o polinômio acima admite uma raiz real.
2) Todo polinômio de grau ı́mpar admite uma raiz real. De fato, seja
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
com n ı́mpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an > 0.
Provemos inicialmente que lim p(x) = +∞ e lim p(x) = −∞.
x→+∞
x→−∞
30
Temos
lim p(x)
x→±∞
=
=
lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =
x→±∞
lim an xn (1 +
x→±∞
an−1
a0
a1
+
)=
+ .... +
an x
an xn−1
an xn
= ±∞.
Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0.
Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.
3.5
O Teorema de Weierstrass
Nesta seção demonstraremos outra importante propriedade das funções contı́nuas.
Provaremos que se uma função for contı́nua em um intervalo fechado [a, b] então
ela assumirá um valor máximo e um valor mı́nimo.
Teorema da Limitação: Se f : [a, b] → R é contı́nua então existe M > 0
tal que
|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].
Demonstração: Suponhamos que não exista um M > 0 satisfazendo o
que é desejado.
Chamamos a1 = a, b1 = b.
Deve então existir x1 ∈ [a1 , b1 ] tal que |f (x1 )| > 1.
Seja c1 o ponto médio de [a1 , b1 ].
Como f não é limitada em [a1 , b1 ] então f não será limitada em [a1 , c1 ] ou
em [c1 , b1 ].
Sem perda de generalidade, suponhamos que f não é limitada em [c1 , b1 ].
Chamamos a2 = c1 , b2 = b1 .
Como f não é limitada em em [a2 , b2 ] existe x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que |f (x2 )| > 2.
Prosseguindo com este raciocı́nio construı́mos uma sequência
[a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
satisfazendo que a distância bn −an está se aproximando de zero quando n cresce
e que, para todo natural n, existe xn ∈ [an , bn ] com |f (xn )| > n.
Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o único real tal que c ∈ [an , bn ], para todo
n ∈ N.
É claro que xn está convergindo para c e que |f (xn )| está divergindo para
o infinito. Pela continuidade de f terı́amos que lim |f (x)| = +∞. Observemos
x→c
que isto é um absurdo. Logo existe M > 0 tal que
|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].
31
Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R é contı́nua existem x1 e x2
em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), para qualquer x ∈ [a, b].
Demonstração : Sendo f contı́nua em [a, b], pelo teorema anterior f será
limitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e
ı́nfimo.
Sejam M = sup A, m = inf A.
Está claro que m ≤ f (x) ≤ M.
Resta-nos provar que existem x1 e x2 tais que f (x1 ) = m e f (x2 ) = M.
Observe que se f (x) < M para todo x então a função dada por
g(x) =
1
, x ∈ [a, b]
M − f (x)
seria contı́nua mas não seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2 ) = M.
Analogamente provamos a existência de x1 .
3.6
Potências Irracionais
Na seção 1.3 lembramos algumas propriedades das potências racionais.
Dado m
n ∈ Q, a > 0 definimos
m
b = an ⇔
√
m
bn = a.
O objetivo desta seção é definirmos ax , x ∈ R.
√
O que significa 3 2 ?
Sabemos que os racionais não ocupam todo o espaço da reta mas mesmo
assim eles estão presentes em√qualquer intervalo, por menor que seja. Assim em
qualquer intervalo contendo 2 existem racionais
e nestes sabemos calcular as
√
potências.√Seria natural então definirmos 3 2 como o limite de 3r , r ∈ Q, ao r
tender a 2.
A dúvida que sobra é se esse limite realmente existe.
O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantirá que existe uma única
função contı́nua em R tal que f (r) = 3r , para qualquer r ∈ Q. Em outras
palavras, existe uma única maneira de completarmos o pontilhado do gráfico
acima e obtermos uma função contı́nua. Assim iremos definir
√
√
3 2 = f ( 2) = lim
√ f (x).
x→ 2
Teorema: Dado a > 0, a 6= 1 temos que existe uma única função contı́nua
definida em R tal que
f (r) = ar , ∀r ∈ Q.
Para provarmos o teorema acima precisaremos de 3 resultados preliminares.
32
Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Então para todo ε > 0, existe um natural
n tal que
1
an − 1 < ε
Demonstração: Pela desigualdade de Bernoulli
n
(1 + ε) ≥ 1 + nε.
Basta tomarmos n >
a−1
ε .
Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existem
racionais r e s , com r < x < s tais que
as − as < ε.
Demonstração: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional
r < x, tem-se ar < at .Pelo lema 1, existe n natural tal que
1
at a n − 1 < ε.
Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r <
1
as − ar = ar (as−r − 1) < at a n − 1 < ε.
1
n
teremos
Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Então , para todo x real dado , existe
um único real γ tal que
ar < γ < as
para quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s.
Demonstração: Como o conjunto
{ar |r racional , r < x}
é não vazio e limitado superiormente por todo as , s racional, tal conjunto admite
um supremo que indicamos por γ. Segue que
ar < γ < as .
Falta provarmos que tal γ é único. De fato, se γ1 for tal que
ar < γ1 < as
quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s terı́amos
|γ − γ1 | < as − ar
e pelo lema 2 terı́amos que
|γ − γ1 | < ε, ∀ε > 0
33
e daı́ γ = γ1 .
Prova do Teorema: Inicialmente vamos supor a > 1. Com relação ao lema
anterior , se x for racional então γ = ax . O único γ será indicado por f (x) . Fica
construı́da, assim, uma função f definida em R, e tal que f (r) = ar para todo
racional r. Antes de provarmos a continuidade de f provemos que f é crescente.
Sejam x1 < x2 . Temos
ar1 < f (x1 ) < as1
e
ar2 < f (x2 ) < as2
quaisquer que sejam os racionais r1 , s1 , r2 e s2 tais que
r1 < x1 < s1 e r2 < x2 < s2 .
Assim , sendo s um racional com x1 < s < x2 temos
f (x1 ) < as < f (x2 )
o que prova que f é crescente.
Vamos provar a continuidade de f . Seja p ∈ R. Pelo lema 2 dado ε > 0
existem racionais r e s com r < p < s tais que
as − ar < ε.
Para todo x ∈ (r, s) temos
|f (x) − f (p)| < as − ar < ε
o que prova a continuidade da f em p. Segue que f é contı́nua em R.
Finalmente se 0 < a < 1 basta considerarmos a função dada por
−x
1
.
f (x) =
a
A função f : R → R dada por f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 é chamada de
FUNÇÃO EXPONENCIAL.
4
4.1
Derivadas de Funções Reais de Variável Real
Introdução e Definição de Derivada
Definição: Seja f : I → R, uma função definida em I ⊂ R uma união de
intervalos abertos.
a) Dizemos que f é derivável em p ∈ I se existe o limite
f (p + h) − f (p)
.
h→0
h
lim
34
Neste caso chamamos tal limite de derivada da f em p e denotamos:
f (p + h) − f (p)
.
h→0
h
f 0 (p) = lim
b) Dizemos que f é derivável em I se o for em todos os pontos de I.
Observações:
1) Dizer que existe a derivada de uma função f em um ponto p significa geometricamente que seu gráfico apresenta uma reta tangente no ponto (p, f (p)) .
Isto significa que o gráfico não pode apresentar uma quina neste ponto.
2) Observe que
f 0 (p) = lim
h→0
f (x) − f (p)
f (p + h) − f (p)
= lim
.
x→p
h
x−p
De fato basta considerarmos a mudança de variável x = p + h. Assim para o
cálculo da derivada podemos escolher um dos limites acima.
Definição: Dado uma função derivável f : I → R definimos a função
derivada f 0 : I → R por
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
Teorema: Seja f : I → R, uma função definida em I ⊂ R uma união
de intervalos abertos. Se f é derivável em p ∈ I então f é contı́nua em p.
f 0 (x) = lim
Demonstração: Basta provarmos que
lim f (x) = f (p).
x→p
De fato, temos
lim f (x) = f (p) ⇔ lim (f (x) − f (p)) = 0
x→p
x→p
e
(f (x) − f (p))
. (x − p) =
x→p
(x − p)
= f 0 (p) .0 = 0.
lim (f (x) − f (p))
x→p
=
lim
Observação: Ser derivável é condição suficiente para ser contı́nua e ser
contı́nua é condição necessária para ser derivável isto é
derivável ⇒ contı́nua.
A recı́proca é falsa, isto é, ser derivável não é necessário para ser contı́nua e ser
contı́nua não é suficiente para ser derivável isto é
contı́nua ; derivável.
De fato, considere por exemplo a função f : R → R dada por f (x) = |x| . Temos
que f é contı́nua em x = 0 mas não é derivável em x = 0.
35
4.2
Regras de Derivação
Nesta seção calcularemos a derivada da soma, da diferença, do produto e do
quociente de funções. Em seguida estudaremos a derivada da composta de duas
funções.
Teorema : Sejam I ⊂ R, uma união de intervalos abertos, f, g : I → R
funções deriváveis em p ∈ I e k ∈ R uma constante real. Temos:
0
a) (f ± g) é derivável em p e (f ± g) (p) = f 0 (p) ± g 0 (p) .
0
b) (kf ) é derivável em p e (kf ) (p) = kf 0 (p) .
0
c) (f g) é derivável em p e (f g) (p) = f (p)g 0 (p) + f 0 (p) g (p) .
0
0
(p)g 0 (p)
.
d) Se g 0 (p) 6= 0 então fg é derivável em p e fg (p) = g(p)f (p)−f
g(p)2
Demonstração:
a) A prova se reduz ao cálculo do limite
0
(f ± g) (p)
(f ± g) (p + h) − (f ± g) (p)
=
h
f (p + h) ± g (p + h) − f (p) ∓ g (p)
=
= lim
h→0
h
f (p + h) − f (p)
g (p + h) − g (p)
= lim
±
=
h→0
h
h
= f 0 (p) ± g 0 (p) .
=
lim
h→0
b) Deixamos como exercı́cio.
c) A prova se reduz ao cálculo do limite
0
(f.g) (p)
(f.g) (p + h) − (f.g) (p)
=
h→0
h
f (p + h) .g (p + h) − f (p) .g (p)
= lim
=
h→0
h
f (p + h) .g (p + h) − f (p) g (p + h) + f (p) g (p + h) − f (p) .g (p)
= lim
=
h→0
h
f (p + h) − f (p)
g (p + h) − g (p)
= lim g (p + h)
+ f (p)
=∗
h→0
h
h
=
lim
Como g é derivável em p então g é contı́nua em p e portanto
lim g (p + h) = g (p) .
h→0
Assim temos
∗ = f (p)g 0 (p) + f 0 (p) g (p) .
d) Vamos inicialmente provar que
0
1
−g 0 (p)
(p) =
2 .
g
g (p)
36
De fato, calculemos o limite
0
1
(p)
g
=
=
=
1
g
lim
(p + h) −
1
g(p+h)
−
1
g(p)
h
h→0
lim
1
g
h
h→0
lim
g(p)−g(p+h)
g(p+h)g(p)
h
h→0
(p)
=
=
=
−1
g (p + h) − g (p)
= lim
=
h→0 g (p + h) g (p)
h
−g 0 (p)
=
2 .
g (p)
Para obtermos o caso geral basta aplicarmos c) e o que provamos acima.
Teorema (REGRA DA CADEIA):Sejam f : I → R e g : J → R
satisfazendo que f (I) ⊂ J. Se f é derivável em p e g é derivável em f (p) então
0
g ◦ f : I → R é derivável em p e (g ◦ f ) (p) = g 0 (f (p)) .f 0 (p) .
Demonstração:
Calculemos o limite
(g ◦ f ) (p + h) − (g ◦ f ) (p)
=
h→0
h
g (f (p + h)) − g (f (p))
=∗
= lim
h→0
h
0
(g ◦ f ) (p) = lim
Para simplificarmos nosso cálculo vamos supor que existe δ > 0 tal que
0 < |h| < δ ⇒ f (p + h) 6= f (p) .
Assim temos
k = f (p + h) − f (p)
∗ = lim
h→0
g(f (p) + k) − g (f (p)) f (p + h) − f (p)
.
=
k
h
= g 0 (f (p)) .f 0 (p) .
4.3
Derivada da Função Inversa
Nesta seção aprenderemos como derivar a inversa de uma dada função.
Teorema: Seja f : I → R uma função inversı́vel , com função inversa
f −1 : f (I) → R. Se f for derivável em q = f −1 (p) , com f 0 (q) 6= 0 e se f −1
37
for contı́nua em p, então f −1 será derivável em p e
0
f −1 (p) =
1
.
f 0 (q)
Demonstração: Temos
f −1 (x) − f −1 (p)
f −1 (x) − f −1 (p)
=
=
x−p
f (f −1 (x)) − f (f −1 (p))
1
= f (f −1 (x))−f (f −1 (p)) , para x 6= p.
f −1 (x)−f −1 (p)
Fazendo u = f −1 (x), pela continuidade de f −1 em p temos que u → q para
x→pe
f −1 (x) − f −1 (p)
1
1
lim
= lim f (u)−f (q) = 0
.
x→p
u→q
x−p
f (q)
u−q
5
O Teorema do Valor Médio e Aplicações
Estudaremos um dos principais teoremas do Cálculo: O Teorema do Valor
Médio. A partir deste teorema poderemos fazer uma análise detalhada do gráfico
de funções reais de variável real. Para provarmos este teorema precisamos inicialmente estudar máximos e mı́nimos.
5.1
Máximos e Mı́nimos: O Teorema de Fermat
Lembremos que o Teorema de Weierstrass garante que se f : I → R for contı́nua,
e I for um intervalo fechado [a, b] então existem x1 e x2 em [a, b] tais que
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] .
f (x1 ) é chamado de mı́nimo e f (x2 ) de máximo de f.
Nesta seção estudaremos máximos e mı́nimos de funções f : I → R onde I
é um intervalo qualquer da reta. Utilizaremos a derivada para tal estudo.
Proposição: Sejam f : I → R e c ∈ I um ponto onde f é derivável.
a) Se f 0 (c) > 0 então existe δ > 0 tal que para
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ
tem-se
f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
b) Se f 0 (c) < 0 então existe δ > 0 tal que para
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ
38
tem-se
f (x1 ) > f (c) > f (x2 ) .
Demonstração:
Vamos provar a) e deixaremos b) como exercı́cio.
Se f 0 (c) > 0 então temos
f (x) − f (c)
> 0.
x→c
x−c
lim
Logo existe δ1 > 0 tal que
c < x < c + δ1 ⇒
f (x) − f (c)
> 0 ⇒ f (c) < f (x) .
x−c
Da mesma forma, existe δ2 > 0 tal que
c − δ2 < x < c ⇒
f (x) − f (c)
> 0 ⇒ f (x) < f (c) .
x−c
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ ⇒ c − δ2 < x1 < c e c < x2 < c + δ1 ⇒
⇒ f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
Definição: Seja f : I → R.
a) Dizemos que c ∈ I é um ponto de máximo de f
máximo de f se
f (x) ≤ f (c) , ∀x ∈ I.
e f (c) é um valor
b) Dizemos que c ∈ I é um ponto de mı́nimo de f e f (c) é um valor mı́nimo
de f se
f (x) ≥ f (c) , ∀x ∈ I.
c) Dizemos que c ∈ I é um ponto de máximo local de f se existir δ > 0 tal
que
|x − c| < δ ⇒ f (x) ≤ f (c) .
d) Dizemos que c ∈ I é um ponto de mı́nimo local de f se existir δ > 0 tal
que
|x − c| < δ ⇒ f (c) ≤ f (x) .
Teorema de Fermat: Seja f : I → R uma função derivável em c ∈ I,
um ponto interior de I. Se c é ponto de máximo ou mı́nimo local de f então
f 0 (c) = 0.
Demonstração:
Suponhamos que f 0 (c) 6= 0. Sem perda de generalidade podemos supor
0
f (c) > 0 e que c é ponto de máximo local.
39
Pela proposição anterior, existe δ1 > 0 tal que para
c − δ1 < x1 < c < x2 < c + δ1
tem-se
f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
Como c é ponto de máximo local, existe δ2 > 0 tal que
|x − c| < δ2 ⇒ f (x) ≤ f (c) .
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } e x2 satifazendo c < x2 < c + δ segue que
c < x2 < c + δ1 e |x2 − c| < δ2
e portanto
f (c) < f (x2 ) e f (x2 ) ≤ f (c) .
Esta contradição implica que f 0 (c) = 0.
Observações:
1) Observe que o teorema de Fermat dá uma condição necessária aos pontos
de máximo e mı́nimo locais de f. A condição não é suficiente. Considere por
exemplo f (x) = x3 .
Temos que f 0 (0) = 0 e no entanto 0 não é ponto de máximo local nem de
mı́nimo local.
2) Dada uma função f : I → R, podem ocorrer pontos de máximo e mı́nimo
em pontos onde f não é derivável. Considere por exemplo f (x) = |x| .
Observe que 0 é um ponto de mı́nimo local e no entanto não existe f 0 (0) .
Definição:c é um ponto crı́tico de f : I → R se f 0 (c) = 0 ou se não existe
0
f (c) .
Teorema: Seja f : [a, b] → R contı́nua. Os valores máximo e mı́nimo de f
são assumidos ou nos pontos crı́ticos de f ou nos extremos do intervalo.
Demonstração: O Teorema de Weierstrass garante a existência de x1 e x2
pontos de máximo e mı́nimo de f.
Se x1 e x2 ∈ {a, b} nada temos a provar. Se um deles pertencer a (a, b)
então em tal ponto f é ou não derivável. Se não for derivável então o ponto
será crı́tico e se for derivável então o teorema de Fermat garante que a derivada
em tal ponto se anulará, ou seja o ponto será crı́tico.
Teorema: Sejam f : I → R derivável e a, b ∈ I, a < b. Se f 0 (a) .f 0 (b) < 0
então existe x0 ∈ (a, b) tal que f 0 (x0 ) = 0.
Demonstração: Pelo teorema de Weierstrass existem α, β ∈ [a, b] tais que
f (α) e f (β) são os valores máximo e mı́nimo de f em [a, b] .
Se α = β então f é constante em [a, b] e o teorema é trivialmente satisfeito.
Se α 6= β então temos 3 possibilidades:
40
a) Se pelo menos um dos dois está em (a, b) então o Teorema de Fermat
aplica-se a tal ponto e o teorema está provado.
b) Se α = a e β = b então
f 0 a+
f 0 b−
f (x) − f (a)
≤0
x−a
x→a
f (x) − f (b)
≤0
= lim−
x−b
x→b
=
lim+
e isto contraria a hipótese que f 0 (a) .f 0 (b) < 0.
c) Se α = b e β = a então
f 0 a+
f 0 b−
f (x) − f (a)
≥0
x−a
f (x) − f (b)
≥0
= lim−
x−b
x→b
=
lim
x→a+
e isto contraria a hipótese que f 0 (a) .f 0 (b) < 0.
Teorema (Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas):
Sejam f : I → R derivável e a < b ∈ I. Se k ∈ R satisfaz f 0 (a) < k < f 0 (b)
então existe x0 ∈ (a, b) tal que f 0 (x0 ) = k.
Demonstração: Basta aplicar o teorema anterior para
F (x) = f (x) − kx.
Corolário: Sejam f : I → R derivável e a < b ∈ I. Se f 0 (x) 6= 0 em [a, b]
então f 0 tem sinal constante em [a, b] .
Demonstração: Se existissem x1 e x2 tais que f 0 (x1 ) < 0 e f 0 (x2 ) > 0
então existiria x0 tal que f 0 (x0 ) = 0.
5.2
Os Teoremas de Rolle e do Valor Médio
Nesta seção provaremos o TVM (Teorema do Valor Médio) a partir da prova de
um caso particular (Teorema de Rolle).
Teorema (Teorema de Rolle): Seja f : [a, b] → R contı́nua em [a, b] e
derivável em (a, b) . Se f (a) = f (b) então existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
Demonstração: Se f for constante em [a, b] então f 0 (x) = 0, para todo
x ∈ (a, b) e neste caso nada temos para provar. Se f não for constante então, pelo
Teorema de Weierstass, existem x1 e x2 em [a, b] , x1 6= x2 , tais que x1 é ponto
de máximo e x2 é ponto de mı́nimo. Como f (a) = f (b) então necessariamente
um dos dois está em (a, b) . De fato, caso contrário f seria constante. Sem perda
de generalidade, suponhamos que x1 ∈ (a, b) . Como f é derivável em x1 segue,
pela proposição anterior que f 0 (x1 ) = 0 e portanto basta tomarmos c = x1 .
41
Teorema (Teorema do Valor Médio): Seja f : [a, b] → R contı́nua em
(a)
[a, b] e derivável em (a, b) . Então existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = f (b)−f
.
b−a
Demonstração:Basta considerarmos a função g : [a, b] → R dada por
g(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
(x − a) .
b−a
É claro que g satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle
g é contı́nua em [a, b]
g é diferenciável em (a, b)
g (b) = g (a) = 0
e portanto existe c ∈ (a, b) tal que
g 0 (c) = 0.
Como
g 0 (x) = f 0 (x) −
f (b) − f (a)
b−a
segue que
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
5.3
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Teorema: Seja f : I → R derivável.
a) Se f 0 (x) > 0, para todo x ∈ I, então f é crescente em I.
b) Se f 0 (x) < 0,para todo x ∈ I, então f é decrescente em I.
Demonstração:
Vamos provar a) e deixaremos b) como exercı́cio.
Sejam x1 , x2 ∈ I, satisfazendo x1 < x2 . Vamos aplicar o TVM em [x1 , x2 ] .
Assim existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que
f 0 (c) =
f (x2 ) − f (x1 )
.
x2 − x1
Como f 0 (x) > 0 em I segue que
f (x2 ) − f (x1 )
>0
x2 − x1
e portanto
f (x2 ) > f (x1 )
já que x2 > x1 .
42
Logo f é crescente em I.
Teorema (Teste da Derivada Primeira): Seja f uma função contı́nua ,
derivável em uma vizinhança V de x0 , exceto possivelmente em x0 . Vale que:
a) Se f 0 (x) < 0 para x ∈ V, x < x0 e f 0 (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 então
x0 é ponto de mı́nimo local;
b) Se f 0 (x) > 0 para x ∈ V, x < x0 e f 0 (x) < 0 para x ∈ V, x > x0 então
x0 é ponto de máximo local.
Demonstração:Vamos provar a) e deixaremos b) como exercı́cio. Se f 0 (x) <
0 para x ∈ V, x < x0 e f 0 (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 então f é decrescente para
x ∈ V, x < x0 e crescente para x ∈ V, x > x0 . Logo f (x0 ) ≤ f (x) , para x ∈ V.
5.4
Aplicações Geométricas da Derivada Segunda
Nesta seção utilizaremos a derivada segunda para avaliar a concavidade do
gráfico de funções reais de variável real e para decidirmos se um ponto crı́tico é
ponto de máximo ou mı́nimo local.
Definição:Seja f : I → R uma função derivável definida em uma vizinhança
de p ∈ I.
a)Dizemos que f é convexa em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I
tem-se
f (p) + f 0 (p) (x − p) < f (x) .
b)Dizemos que f é côncava em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I
tem-se
f (p) + f 0 (p) (x − p) > f (x) .
Observação: Dizer que uma função é convexa em um ponto p significa,
geometricamente, que o gráfico de f, para x suficientemente próximo de p, está
acima da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)) . Dizer que uma função é
côncava em um ponto p significa, geometricamente, que o gráfico de f, para x
suficientemente próximo de p, está abaixo da reta tangente ao gráfico de f em
(p, f (p)) .
Teorema : Seja f : I → R uma função duas vezes derivável, definida em
uma vizinhança de p ∈ I.
a) Se f 00 (p) > 0 então f é convexa em p.
b) Se f 00 (p) < 0 então f é côncava em p.
Demonstração:
Vamos provar a) e deixaremos b) como exercı́cio.
Queremos provar que
f (x) − f (p) − f 0 (p) (x − p) > 0
para x suficientemente próximo de p.
43
Como f 00 (p) > 0, do teorema da conservação do sinal segue que
f 0 (x) − f 0 (p)
>0
x−p
para x suficientemente próximo de p. Utilizando o teorema do valor médio,
temos que existe a entre x e p tal que
f 0 (a) =
f (x) − f (p)
.
x−p
Assim é suficiente mostrarmos que
f 0 (a) (x − p) − f 0 (p) (x − p) > 0.
(*)
Como a está entre x e p então , para x suficientemente próximo de p temos
f 0 (a) − f 0 (p)
> 0.
a−p
Assim, se x > p então a > p e f 0 (a) > f 0 (p) . Logo ∗ ocorre. Da mesma
forma, se x < p então a < p e f 0 (a) < f 0 (p) . Logo ∗ ocorre.
Definição: Seja f : I → R uma função definida em uma vizinhança de
p ∈ I. Dizemos que p é ponto de inflexão do gráfico de f se p é ponto de troca
de concavidade.
Teorema: Seja f : I → R uma função duas vezes derivável, definida em
uma vizinhança de p ∈ I. Se p for ponto de inflexão do gráfico de f então
f 00 (p) = 0.
Demonstração: Basta observarmos que se f 00 (p) não fosse zero então f
seria convexa ou côncava em p.
Observação: A recı́proca é falsa. Basta considerar por exemplo a função
dada por f (x) = x4 e p = 0.
Teorema ( Teste da Derivada Segunda) Seja f : I → R uma função
duas vezes derivável, com f 00 contı́nua e p ∈ I.
a) Se f 0 (p) = 0 e f 00 (p) > 0 então p é um ponto de mı́nimo local.
b) Se f 0 (p) = 0 e f 00 (p) < 0 então p é um ponto de máximo local.
Demonstração:Provemos a) e deixemos b) como exercı́cio.
Como f 00 (p) > 0 e f 00 é contı́nua então f 00 (x) > 0 para x em uma vizinhança
de p. Logo f 0 é crescente em uma vizinhança de p. Desta forma f 0 (x) < 0 à
direita de p e f 0 (x) > 0 à esquerda de p. Pelo teste da derivada primeira segue
que p é ponto de mı́nimo local.
44
6
O Teorema de Cauchy, A Regra de L’Hospital
e A Fórmula de Taylor
6.1
O Teorema de Cauchy
Nesta seção provamos duas generalizações do Teorema do Valor Médio:
1) O Teorema de Cauchy. Este teorema nos dará a ferramenta necessária
para estudarmos a famosa regra de L’Hospital para o cálculo de limites envolvendo indeterminações e
2) A Fórmula de Taylor para aproximarmos funções por polinômios.
Teorema de Cauchy: Sejam f, g funções tais que :
a) f, g são contı́nuas em [a, b] ;
b) f, g são deriváveis em (a, b) ;
Então existe x0 ∈ (a, b) tal que
f 0 (x0 ) [g (b) − g (a)] = g 0 (x0 ) [f (b) − f (a)] .
Demonstração: Basta aplicarmos o Teorema de Rolle para a função dada
por
F (x) = [f (x) − f (a)] [g (b) − g (a)] − [g (x) − g (a)] [f (b) − f (a)] .
Observações:
1) Se g 0 (x) 6= 0 em (a, b) e g (b) 6= g (a) então existe x0 ∈ (a, b) tal que
f 0 (x0 )
f (b) − f (a)
= 0
.
g (b) − g (a)
g (x0 )
2)O TVM é um caso particular do Teorema de Cauchy. De fato, basta
considerar g (x) = x.
6.2
A Regra de L’Hospital
Teorema: Sejam f, g funções definidas em algum intervalo aberto contendo a,
exceto possivelmente em a,e satisfazendo
lim f (x) = lim g (x) = 0 (ou ∞) .
x→a
x→a
Se
a) f, g são deriváveis nesse intervalo, exceto possivelmente em a, com g 0 (x) 6=
0 e g (x) 6= 0 e
b) Existe
f 0 (x)
lim 0
=L∈R
x→a g (x)
45
ou
f 0 (x)
= ∞.
x→a g 0 (x)
lim
Então
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→a g (x)
x→a g (x)
lim
Demonstração: Provaremos apenas um caso particular. Vamos provar que
se a indeterminação for do tipo 00 então
lim
x→a+
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g (x) x→a+ g (x)
Vamos também supor que f e g são contı́nuas em a.
Neste caso a conclusão do teorema é uma consequência direta do Teorema
de Cauchy. De fato, temos
f (x) − f (a)
f 0 (cx )
f (x)
= lim
= lim 0
=∗
x→a g (x) − g (a)
x→a g (cx )
x→a g (x)
lim
onde cx está entre a e x. Obviamente ao x → a temos cx → a e portanto
f 0 (x)
.
x→a g 0 (x)
∗ = lim
6.3
Aproximação de Funções por Polinômios: A Fórmula
de Taylor
Vamos provar mais uma generalização do TVM:
Teorema ( Teorema Estendido da Média): Seja f uma função definida
em um intervalo aberto I satisfazendo:
1) f é n vezes derivável em I com f (n) contı́nua em I;
2) Existe f (n+1) em I.
46
Então dados a, b em I, existe x0 ∈ (a, b) tal que
f (b) = f (a) + f 0 (a) (b − a) + ... +
f (n) (a)
f (n+1) (x0 )
n
n+1
(b − a) +
(b − a)
.
n!
(n + 1)!
Demonstração: Seja k a constante dada por
f (b) = f (a) + f 0 (a) (b − a) + ... +
k
f (n) (a)
n
n+1
(b − a) +
(b − a)
n!
(n + 1)!
Vamos aplicar o Teorema de Rolle para a função
φ (x) = f (b)−f (x)−f 0 (a) (b − x)−...−
f (n) (a)
k
n
n+1
(b − x) −
(b − x)
.
n!
(n + 1)!
Temos
a) φ é contı́nua em [a, b] ,
b) φ é derivável em (a, b) e
c) φ (a) = φ (b) = 0.
Logo, pelo Teorema de Rolle, existe x0 ∈ (a, b) tal que φ0 (x0 ) = 0. Calculando φ0 (x0 ) obtemos
−
f (n+1) (x0 )
k
n
n
(b − x0 ) +
(b − x0 ) = 0
n!
n!
e portanto
k = f (n+1) (x0 ) .
Definição: A fórmula
f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + ... +
f (n) (a)
f (n+1) (x0 )
n
n+1
(x − a) +
(x − a)
n!
(n + 1)!
obtida do teorema na troca de b por x é dita FÓRMULA DE TAYLOR de
ordem n de f com RESTO DE LAGRANGE.
Definição: O polinômio
pn,a (x) =
n
X
f (i) (a)
i!
i=0
i
(x − a)
é dito POLINÔMIO DE TAYLOR de grau n de f em potências de (x − a) .
Notação: Denotamos
Rn,a (x) =
f (n+1) (x0 )
n+1
(x − a)
(n + 1)!
47
a diferença entre f (x) e pn,a (x) . Chamamos tal diferença de Resto de Lagrange.
Proposição: Vale que
lim
x→a
Rn,a (x)
n = 0.
(x − a)
Demonstração: Basta efetuarmos o cálculo
Rn,a (x)
n
x→a (x − a)
lim
=
f (x) − f (a) − f 0 (a) (x − a) − ... −
n
x→a
(x − a)
lim
f (n) (a)
n!
f (n) (a)
(n−1)!
f 0 (x) − f 0 (a) − f 00 (a) (x − a) − ... −
=
lim
n
(x − a)
=
n−1
(x − a)
=
n−1
n (x − a)
x→a
f (n) (a) − f (n) (a)
= 0.
x→a
n!
= ... = lim
A proposição acima nos motiva a utilizarmos a seguinte notação
f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + ... +
f (n) (a)
n
n
(x − a) + o (x − a)
n!
(*)
onde
n
o (x − a)
n
denota uma função que tende a zero mais rápido que (x − a) ao x tender a a.
n
Dizemos que Rn,a (x) é ”o pequeno” de (x − a) .
Proposição:
1) O polinômio pn,a (x) é o único polinômio de grau n que satisfaz a igual(k)
dade pn,a (a) = f (k) (a) , k = 0, 1, ..., n.
2) Se f (x) = qn (x) + E (x) com qn (x) sendo um polinômio de ordem n e
n
E (x) = o (x − a) então qn (x) = pn,a (x) .
Demonstração:
1) Suponhamos que
n
p (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a)
é um polinômio que satisfaz p(k) (a) = f (k) (a) , k = 0, 1, ..., n.
48
Para provarmos que p (x) = pn,a (x) basta provarmos que ak =
0, 1, ..., n. De fato,
p(k) (a) = k!ak
f (k) (a)
k! , k
=
e portanto
ak =
f (k) (a)
.
k!
2) Suponhamos que
n
qn (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a)
n
é um polinômio que satisfaz E (x) = f (x) − qn (x) = o (x − a) . Provemos que
qn (x) = pn,a (x) . Para isso é suficiente mostrarmos que ak =
temos
f (k) (a)
k! .
De fato
(n)
n
n
f (x) − f (a) − ... − f n!(a) (x − a)
f (x) − a0 − ... − an (x − a)
− lim
=
0 = lim
n
n
x→a
x→a
(x − a)
(x − a)
(n)
n
(f (a) − a0 ) + (f 0 (a) − a1 ) (x − a) + ... + f n!(a) − an (x − a)
= lim
n
x→a
(x − a)
e isto só é possı́vel se ak =
6.4
f (k) (a)
k!
para k = 0, 1, ..., n.
Desenvolvimentos Assintóticos Limitados
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I, contendo a,
satisfazendo:
1) f é n vezes derivável em I com f (n) contı́nua em I;
2) Existe f (n+1) em I.
A expressão
f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + ... +
f (n) (a)
n
n
(x − a) + o (x − a)
n!
é dita DAL (Desenvolvimento Assintótico Limitado) de ordem n de f em a.
Observação: De acordo com o que vimos na seção anteior o DAL de ordem
n de f em a é único.
TABELA BÁSICA DE DESENVOLVIMENTOS ASSINTÓTICOS
LIMITADOS
1 4
1) exp (x) = 1 + x + 21 x2 + 61 x3 + 24
x + o x4 ; ∀x ∈ R.
2) ln(1 + x) = x − 21 x2 + 13 x3 − 14 x4 + o x4 ; ∀x, −1 < x≤ 1.
1
1
3) sin (x) = x − 61 x3 + 120
x5 − 5040
x7 + 3621880 x9 + o x9 ; ∀x ∈ R.
49
1 4
1
4) cos (x) = 1 − 12 x2 + 24
x − 720
x6 + 40 1320 x8 + o x8 ; ∀x ∈ R.
a
5) (1 + x) = 1 + ax + 21 a (a − 1) x2 + 61 a (a − 1) (a − 2) x3 + o x3 ; ∀x, |x| <
1.
2 5
17 7
62
6) tan (x) = x + 31 x3 + 15
x + 315
x + 2835
x9 + o(x9 ); ∀x, |x| < π2 . 1 3
2
1
1
5
−1
x7 − 93 2555 x9 + o x9 ; ∀x 6=
7) cot (x) = x − 3 x − 45 x − 945 x − 4725
0, |x| < π.
5 4
61 6
277 8
x + 720
x + 8064
x + o x8 ; ∀x, |x| < π2 .
8) sec (x) = 1 + 21 x2 + 24
7
127
5
7
7
9) csc (x) = x−1 + 16 x + 360
x3 + 1531
120 x + 604 800 x + o x ; ∀x 6= 0, |x| < π.
3 5
5
35
1 3
7
9
9
10)arcsin (x) = x + 6 x + 40 x + 112 x + 1152 x + o x ; ∀x,|x| < 1.
3 5
5
35
9
9
11)arccos (x) = 21 π − x − 61 x3 − 40
x − 112
x7 − 1152
x + o x ; ∀x, |x| < 1.
1 5
1 7
1 9
1 3
9
12)arctan (x) = x − 3 x + 5 x − 7 x + 9 x + o x ; ∀x ∈ R.
Observação: Com os desenvolvimentos assintóticos acima podemos deduzir
uma série de outros. Considere os seguintes exemplos:
1) f (x) = sin (3x) para x em uma vizinhança de 0 :
9
sin (3x) = 3x − x3 + o x3 .
2
2) f (x) = sin (x) para x em uma vizinhança de
π
2
:
π
= x−
2 π sin (x) = sin y +
= cos (y)
2
1
1
cos (y) = 1 − y 2 + y 4 + o y 4
2
24
y
e assim
1
sin (x) = 1 −
2
3) f (x) =
√
1
x− π
2
2
1
+
24
1
x− π
2
4
+o
1
x− π
2
4 !
.
a2 + x para x em uma vizinhança de 0 :
p
x 12
a2 + x = |a| 1 + 2
a 1
1
1 3
5
x 12
= 1 + 2 x + − 4 x2 +
x
+
−
x4 + o x4
1+ 2
6
8
a
2a
8a
16a
128a
e assim
p
1
1
1 3
5
4
4
a2 + x = |a| + 2 x + − 4 x2 +
x
+
−
x
+
o
x
.
2a
8a
16a6
128a8
√
4) f (x) = x2 − x4 − x3 para x em uma vizinhança do ∞ :
"
1 #
p
1 2
2
2
4
3
x − x −x =x 1− 1−
x
50
e assim
p
1
x
1
1.3 1
1.3..... (2n − 1) 1
2
4
3
x − x −x = + 2 + 3
+o
.
+ ... +
2 2 2! 2 3! x
2n n!
xn−2
xn−2
O CÁLCULO OPERACIONAL DA RELAÇÃO o :
Seja f, g, h definidas em um intervalo aberto contendo x0 . Utilizando as
propriedades operacionais de limites prova-se com facilidade as seguintes propriedades:
1) f = o (g) ⇒ f + g ∼ g, isto é lim
x→x0
2)
3)
4)
5)
6)
f (x)+g(x)
g(x)
= 1.
g = o (f ) , h = o(f ) ⇒ (g ± h) = o (f ) .
h = o (f ) , f = o (g) ⇒ h = o (g) .
g = o (f ) ⇒ kg = o (f ) , ∀k ∈ R,k 6=
0.
g
f
g = o (f ) ⇒ gh = o (f h) , h = o h .
g = o (f ) , h limitada ⇒ gh = o (f ) .
Deixamos como exercı́cio a prova das propriedades acima.
OPERAÇÕES COM DESENVOLVIMENTOS ASSINTÓTICOS
SOMA: Adiciona-se as parcelas conhecidas, como a adição de polinômios,
e utiliza-se o cálculo operacional da relação o. Por exemplo:
1 5
1 7
1
1
sin x = x − x3 +
x −
x +
x9 + o x9
6
120
5040
362 880
1
1
1 6
1
cos x = 1 − x2 + x4 −
x +
x8 + o x8
2
24
720
40 320
1
1
1
1 5
1 6
sin x + cos x = 1 + x − x2 − x3 + x4 +
x −
x + o x6
2
6
24
120
720
PRODUTO: Para ilustrar como operamos com o produto considere o
seguinte exemplo:
f (x)
=
sin x cos x
1
1 5
1 7
1
sin x = x − x3 +
x −
x +
x9 + o x9
6
120
5040
362 880
1 2
1 4
1 6
1
cos x = 1 − x + x −
x +
x8 + o x8
2
24
720
40 320
51
Montamos uma tabela colocando na horizontal os coeficientes do desenvolvimento do sin x e na vertical os coeficientes de cos x. Em seguida efetuamos os
produtos dos coeficientes
1
0
− 12
0
1
24
0
1
− 720
0
1
0
1
0
0
0
− 12
0
0
1
0
24
0
0
1
0 − 720
1
0
− 61 0
120
1
1
0
−6 0
120
0
0 0
0
1
1
0
0
−
12
240
0
0 0
0
1
1
0 − 144
0
2880
0
0 0
0
1
1
0 4320
0 − 86400
0
0
0
0
0
0
0
0
Assim temos
1
1
sin x cos x = 0 + (1 + 0) x + (0 + 0 + 0) x + − + 0 − + 0 x3
6
2
1
1
1
4
+0+
+0+
+ 0 x5 + o x5
+ (0 + 0 + 0 + 0 + 0) x +
120
12
24
2
e assim
2
2
sin x cos x = x − x3 + x5 + o x5 .
3
15
DIVISÃO: Fazemos a divisão dos desenvolvimentos assintóticos utilizando
o processo de divisão de polinômios mas com ordem crescente das potências de
x, truncando-se a divisão quando atingida o ordem pedida. Por exemplo vamos
obter o desenvolvimento de f (x) = tan x :
1
1
x5 − 5040
x7 + o x7
x − 16 x3 + 120
sin x
tan x =
=
=
1 4
1
cos x
x − 720
x6 + o (x6 )
1 − 12 x2 + 24
1
2
= x + x3 + x5 + O x6
3
15
Exemplos:
1
1) Determine f (4) (0) de f (x) = 1−3x+x
2 . Podemos resolver este problema
utilizando o processo acima, isto é efetuando a divisão dos DAL’s:
1
= 1 + 3x + 8x2 + 21x3 + 55x4 + o x4
1 − 3x + x2
e assim temos que
f (4) (0)
= 55
4!
e portanto
f (4) (0) = 1320.
2) Podemos utilizar DAL’s para calcularmos limites. Calculemos por exemplo lim sinxx−x
.
3
x→0
52
Temos
x−
sin x − x
lim
= lim
x→0
x→0
x3
7
x3
6
3
− x6 + o x3
+ o x3 − x
1
= lim
=− .
x→0
x3
x3
6
Primitivação
7.1
Introdução e Operações Elementares
Nesta seção vamos introduzir o conceito de primitiva.
Encontrar uma primitiva de uma função f é encontrar uma função F que
tenha como derivada a função f.
Definição:Sejam f : I → R, F : I → R funções definidas em uma união de
intervalos abertos. Dizemos que F é uma PRIMITIVA de f se F for derivável
e
F 0 (x) = f (x) , ∀x ∈ I.
Teorema: Se F : I → R e G : I → R são primitivas de f : I → R então
existe k ∈ R tal que
F (x) = G (x) + k, ∀x ∈ I.
Demonstração: Provemos inicialmente que
h0 (x) = 0, ∀x ∈ I ⇒ h é constante.
De fato, dados x1 < x2 em I, aplicando o TVM em [x1 , x2 ] temos que
h (x2 ) − h (x1 )
=0
x2 − x1
e portanto h (x1 ) = h (x2 ) . Logo h é constante em I.
Para provarmos o teorema basta aplicarmos o que acabamos de provar para
h = F − G.
Definição: Dada f : I → R, o processo de determinar todas as suas primitivas é dito PRIMITIVAÇÃO e a função dada por
F (x) + k,
onde F é uma primitiva de f e k é uma constante, é dita PRIMITIVA GERAL
de f . Denotamos
Z
f (x) dx = F (x) + k
Teorema: Sejam F e G primitivas de f e g , respectivamente, em I. Vale:
a) F ± G é primitiva de f ± g.
b) kF é primitiva de kf , onde k ∈ R.
Demonstração: Imediato.
53
7.2
Primeiro Método de Substituição
Teorema: Sejam f, g, F funções tais que :
a) Im(g) ⊆Dom(f ) ;
b) g é derivável;
b) F é primitiva de f.
Então F (g (x)) é primitiva de f (g (x)) g 0 (x) .
0
Demonstração: Basta calcularmos (F (g (x))) :
0
(F (g (x))) = F 0 (g (x)) .g 0 (x) = f (g (x)) .g 0 (x) .
Observação: É usual a adoção do seguinte esquema prático
u = g (x)
du
= g 0 (x)
dx
g 0 (x) dx = du
Z
Z
f (g (x)) g 0 (x) dx =
f (u) du = F (u) + k = F (g (x)) + k.
7.3
Primitivação por Partes
Teorema: Sejam f, g funções deriváveis. Se existirem as primitivas
Z
f (x) g 0 (x) dx
e
Z
então
Z
f 0 (x) g (x) dx
Z
0
f (x) g (x) dx = f (x) g (x) −
f 0 (x) g (x) dx.
Demonstração: É imediato. Basta lembrarmos da derivada do produto de
duas funções
0
(f (x) g (x)) = f (x) g 0 (x) + f 0 (x) g (x) .
Observação: É usual a adoção do seguinte esquema prático
u
du
fornecendo a fórmula
= f (x) , v = g (x)
= f 0 (x) dx, dv = g 0 (x)dx
Z
Z
udv = uv −
54
vdu.
7.4
Primitivação de Funções Racionais
Antes de apresentarmos a técnica vamos falar um pouco sobre os polinômios.
Qualquer polinômio
q (x) = xm + bm−1 xm−1 + ... + b1 x + b0
pode ser escrito como
r
rk
q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk )
x2 + β1 x + γ1
onde
k
X
!
ri
+2
j
X
s1
... x2 + βj x + γj
sj
!
si
=m
i=1
i=1
e os fatores são distintos entre si. Além disso
2
(βi ) − 4γi < 0, i = 1, ...., j.
Os fatores
x2 + βi x + γi , i = 1, ...., j
são chamadas de fatores quadráticos irredutı́veis.
O problema que queremos resolver nesta seção é o cálculo de primitivas de
funções racionais
Z
p (x)
dx.
q (x)
Vamos supor que o grau do polinômio p (x) é menor que o grau do polinômio
q (x) . Caso isso não ocorra, efetuamos a divisão de p por q e obtemos :
p (x)
r (x)
= t (x) +
q (x)
q (x)
onde t (x) , r(x) são polinômios e o grau de r (x) é menor que o grau de q (x) .
Sendo p (x) e q (x) polinômios com
s1
sj
r
r
,
q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk ) k x2 + β1 x + γ1 ... x2 + βj x + γj
grau de q (x) igual a m e grau de p (x) menor que m, temos que p(x)
q(x) pode ser
decomposto em frações simples
p (x)
a11
a1r1
ak1
akrk
=
+ ... +
+ ... +
+ ... +
+
r
r
q (x)
(x − α1 )
(x − αk )
(x − α1 ) 1
(x − αk ) k
b11 x + c11
b1s x + c1s1
+ 2
+ ... + 2 1
+ ... +
s
x + β1 x + γ1
(x + β1 x + γ1 ) 1
bjs x + cjsj
bj1 x + cj1
+ ... + 2 j
+ 2
s
x + βj x + γj
(x + βj x + γj ) j
onde al,m , bp,q e cr,s são coeficientes que devem ser determinados algebricamente.
Desta forma o cálculo da primitiva reduz-se ao cálculo das primitivas das
frações parciais.
55
Resolução das Primitivas que aparecem nas Frações Parciais
CASO I
Z
dx
x−α
Nas seções anteriores já vimos que a substituição
u=x−α
resolve
Z
dx
= ln |x − α| + k.
x−α
CASO II
Z
dx
n
(x − α)
Da mesma forma que o anterior obtemos
Z
1
dx
n =
n−1 + k.
(x − α)
(n − 1) (x − α)
CASO III
Z
x2
bx + c
dx.
+ βx + γ
Inicialmente fazemos
Z
Z
Z
bx + c
1
x
dx
=
c
dx
+
b
dx =
2
2
2
x + βx + γ
x + βx + γ
x + βx + γ
= b (TIPO A) + c ( TIPO B)
Vejamos como calcular as primitivas dos tipos A e B:
TIPO A: Inicialmente completamos o quadrado
" 2 #
2
β
β
2
2
x + βx + γ = x + βx +
−
+γ =
2
2
2
β
4γ − β 2
=
x+
+
.
2
4
56
Assim
Z
Z
1
dx =
x2 + βx + γ
β
2
x+
Z
1
2
dx =
+
4γ−β 2
4
1
=
(2x+β)2
4
+
4γ−β 2
4
Z
=
1
4
"
(4γ − β 2 )
√2x+β 2
4γ−β
Z
1
4
4γ − β 2
=
dx =
"
√2x+β 2
4γ−β
# dx =
2
+1
# dx = ∗
2
+1
Fazemos a substituição
u
=
du
=
2x + β
p
4γ − β 2
2
p
dx
4γ − β 2
e obtemos
∗ =
=
=
p
Z
1
4γ − β 2
4
du =
2
2
4γ − β
u +1
2
2
p
arctan u + k =
4γ − β 2
2
2x + β
p
arctan p
+ k1 .
2
4γ − β
4γ − β 2
TIPO B: Temos
Z
x
dx =
2
x + βx + γ
=
=
Resta calcularmos
2x + β − β
dx =
2 (x2 + βx + γ)
Z
Z
β
1
2x + β
1
dx −
dx =
2
2
2
x + βx + γ
2
x + βx + γ
Z
1
2x + β
β
2x + β
dx − p
arctan p
.
2
2
x2 + βx + γ
4γ − β
4γ − β 2
Z
Z
2x + β
dx.
x2 + βx + γ
Temos
u = x2 + βx + γ
du = (2x + β) dx
57
e assim
Z
2x + β
dx =
x2 + βx + γ
=
Z
1
du = ln |u| + k2 =
u
2
ln x + βx + γ + k2 .
Assim
Z
x2
2x + β
1 β
x
arctan p
+ k2
dx = ln x2 + βx + γ − p
2
+ βx + γ
2
4γ − β
4γ − β 2
e finalmente temos a fórmula
Z
bx + c
2
2x + β
dx = c p
arctan p
+
x2 + βx + γ
4γ − β 2
4γ − β 2
!
β
1 2
2x
+
β
ln x + βx + γ − p
+b
arctan p
+k =
2
4γ − β 2
4γ − β 2
!
2x + β
2c
β
b 2
arctan p
+k =
= ln x + βx + γ + (−b + ) p
2
β
4γ − β 2
4γ − β 2
b (2c − bβ)
2x + β
= ln x2 + βx + γ + p
arctan p
+ k.
2
2
4γ − β
4γ − β 2
CASO IV:
Z
bx + c
n dx.
(x2 + βx + γ)
Inicialmente fazemos
Z
Z
Z
bx + c
x
1
dx
=
b
dx
+
c
n
n
n dx
2
2
2
(x + βx + γ)
(x + βx + γ)
(x + βx + γ)
Temos
Z
x
n dx =
2
(x + βx + γ)
Z
β
2x + β
n dx −
2
2
2 (x + βx + γ)
Z
(x2
1
n dx
+ βx + γ)
Assim
Z
bx + c
n dx =
2
(x + βx + γ)
=
Z
Z
b
2x + β
bβ
1
n dx + c −
n dx =
2
2
2
2
(x + βx + γ)
(x + βx + γ)
b
bβ
(TIPO C) + c −
(TIPO D) .
2
2
TIPO C: Fazemos
u = x2 + βx + γ
du = (2x + β) dx
58
e assim
Z
2x + β
n dx =
(x2 + βx + γ)
Z
1
1
du =
+ k1 =
un
(1 − n) un−1
1
n−1 + k1 .
2
(1 − n) (x + βx + γ)
=
TIPO D: Inicialmente escrevemos
"
4
x + βx + γ = −
4
2
2x + β
√
−4
#
2
+1
e assim
Z
1
n dx =
2
(x + βx + γ)
4
−
4
n Z
2x+β
√
−4
1
2
n dx.
+1
Fazemos
e obtemos
Z
u
=
du
=
1
n dx =
2
(x + βx + γ)
2x + β
√
−4
2
√
dx
−4
4
−
4
=
√
n √
2
−4
−4
2
2n−1 Z
Z
(u2
1
n du =
+ 1)
1
n du.
(u2 + 1)
Para o cálculo desta última usamos uma fórmula de redução
Z
Z
1
1
3 − 2n
u
1
+
n du =
n−1 du.
2
2n − 2 (u2 + 1)n−1
2 − 2n
(u2 + 1)
(u + 1)
7.5
Segundo Método de Substituição
Teorema: Sejam f : I → R e g : J → I tais que g é inversı́vel e derivável. Se
F (t) é uma primitiva de
f (g (t)) .g 0 (t)
em J então F g −1 (x) é uma primitiva de f em I.
Demonstração: Basta calcularmos a derivada de F g −1 (x) :
0
0
F ◦ g −1 (x) = F 0 g −1 (x) g −1 (x) =
1
=
= f g g −1 (x) g 0 g −1 (x) 0
g (t)
1
= f (x) g 0 (t) 0
=
g (t)
= f (x) .
59
Observação: É usual a adoção do seguinte esquema prático
Z
PROBLEMA:
f (x) dx
x = g (t) , conveniente
dx = g 0 (t) dt
Z
Z
f (x) dx = f (g (t)) g 0 (t) dt = F (t) + k
Z
f (x) dx = F g −1 (x) + k
Primitivas de Funções Irracionais
Sendo R (x, y) uma função racional nas variáveis x,y e pn (x) um polinômio
de grau n então vale que
Z
p
R x, pn (x) dx
é elementar se e somente se n = 0, 1 ou 2. Este resultado é conhecido como
Teorema de Hermite.
1o Caso: Se n = 0 então a função é uma função racional.
2o Caso: Se n = 1 então
p
√
R x, p1 (x) = R x, ax + b .
Neste caso o segundo método de substituição pode ajudar:
t2 = ax + b.
3o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
p
a2 − x2
a dica é fazer a substituição
x = a sin t.
Neste caso quando voltarmos para a variável x usamos que
sin t
=
cos t
=
x
2
√
a2 − x2
.
a
4o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
p
a2 + x2
60
a dica é fazer a substituição
x = a tan t.
Neste caso quando voltarmos para a variável x usamos que
√
a2 + x2
sec t =
a
x
tan t =
a
5o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
p
x2 − a2
a dica é fazer a substituição
x = a sec t.
Neste caso quando voltarmos para a variável x usamos que
sec t
=
x
a
√
x2 − a2
a
R m
p
Primitivas do Tipo x (a + bxn ) dx
tan t
=
Uma primitiva do tipo
Z
p
xm (a + bxn ) dx; m, n, p ∈ Q; a, b ∈ R
é elementar se
{p,
m+1 m+1
,
+ p} ∩ Z 6= ∅.
n
n
Este resultado é conhecido como Teorema de Chebyshev.
1o Caso: Se p ∈ Z então usamos a substituição
x = tN
onde N é o mı́nimo múltiplo comum dos denominadores de m e n.
2o Caso: Se
m+1
n
∈ Z então usamos a substituição
a + bxn = xN
onde N é o denominador de p.
61
3o Caso: Se
m+1
n
+ p ∈ Z então usamos a substituição
a
+ b = tN
xn
onde N é o denominador de p.
Primitivas de Funções Racionais que envolvem ex
A dica que damos para este tipo de primitiva é a substituição
x = ln t.
Primitivas com frações envolvendo potências de seno e co-seno:
A dica é considerar a substituição
x = 2 arctan t.
Alguns casos particulares:
1) Se
R (− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
ou
R (sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)
pode-se usar
t = cos x ou t = sin x.
2) Se
R (− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
pode-se usar
x = arctan t.
8
8.1
A Integral de Riemann
Introdução e Definição
As noções de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes
do Cálculo Diferencial e Integral. A derivada está relacionada com a noção
geométrica de tangente e com a noção fı́sica de velocidade.
Veremos nas próximas seções que a integral está relacionada a noção geométrica
de área e com a idéia fı́sica de trabalho.
62
No final deste capı́tulo provaremos o Teorema Fundamental do Cálculo que
relaciona estes dois conceitos aparentemente diversos.
Definição: Uma partição de um intervalo [a, b] é um conjunto de pontos
P = {x0 , x1 , ..., xn } ⊂ [a, b]
satisfazendo
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Observação:
n
X
(xi − xi−1 ) = b − a.
i=1
Notações: Dada f : [a, b] → R limitada denotamos:
= inf{f (x) |x ∈ [a, b]}
= sup{f (x) |x ∈ [a, b]}
= inf{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]}
= sup{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]}
m
M
mi
Mi
A soma inferior de f relativamente a partição P é
s (f, P ) =
n
X
mi (xi − xi−1 ) .
i=1
A soma superior de f relativamente a partição P é
S (f, P ) =
n
X
Mi (xi − xi−1 ) .
i=1
É imediato que
m (b − a) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M (b − a)
seja qual for a partição de [a, b] .
Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] então as somas inferior e superior são
valores aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b.
Definição: A integral inferior e a integral superior de uma função limitada
f : [a, b] → R são definidas por
Z b
f (x) dx = sup s (f, P )
P
a
−
Z−b
f (x) dx =
a
63
inf S(f, P )
P
Observações:
A seguir listamos algumas propriedades que são naturais do ponto de vista
geométrico. Deixaremos as demonstrações para o curso de Análise Matemática.
1) Quando refinamos uma partição a soma inferior não diminui e a soma
superior não aumenta:
P
P
⊂ Q ⇒ s (f, P ) ≤ s (f, Q)
⊂ Q ⇒ S (f, Q) ≤ S (f, P ) .
2) A observação anterior implica que para quaisquer partições P, Q do intervalo [a, b] e qualquer função limitada f : [a, b] → R tem-se
s (f, P ) ≤ s (f, P ∪ Q) ≤ S(f, P ∪ Q) ≤ S (f, Q)
e portanto
s (f, P ) ≤ S (f, Q) .
3) Dada f : [a, b] → R , se
m ≤ f (x) ≤ M
para todo x ∈ [a, b] então
Z
Z−b
b
m (b − a) ≤
f (x) dx ≤
a
−
f (x) dx ≤ M (b − a) .
a
De fato, as desigualdades externas são óbvias e a do meio segue das observações anteriores.
Definição: Uma função limitada f : [a, b] → R diz-se integrável quando sua
integral inferior e sua integral superior são iguais. Esse valor comum chama-se
integral de f e é indicado por
Z b
f (x) dx.
a
Interpretação Geométrica:
Quando f é integrável , sua integral
Z b
f (x) dx
a
é o número real cujas aproximações por falta são as somas inferiores s (f, P ) e
cujas aproximações por excesso são as somas superiores S (f, P ) .
As aproximações melhoram quando se refina a partição P. Quando f (x) ≥ 0
Rb
para todo x ∈ [a, b] , a existência de a f (x) dx significa que a região limitada
pelo gráfico de f, pelo segmento [a, b] e pelas retas verticais x = a e x = b tem
área e o valor da integral é por definição a área dessa região.
64
Exemplos:
1) Seja f : [0, 1] → R definida por
0, x ∈ Q
f (x) =
.
1, x ∈ Qc
Temos, para qualquer partição P de [0, 1] :
s(f, P ) = 0
e
S(f, P ) = 1.
Assim
1
Z
f (x) dx = 0
0
−
e
Z−1
f (x) dx = 1.
0
Logo f não é integrável.
2) Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = k.
Temos, para qualquer partição P de [a, b] :
s(f, P ) = k (b − a)
e
S(f, P ) = k (b − a) .
Assim
b
Z
kdx = k (b − a)
a
−
e
Z−b
kdx = k (b − a) .
a
Logo f é integrável e
b
Z
kdx = k (b − a) .
a
Definição: Dizemos que um conjunto E é enumerável se existir uma bijeção
entre E e um subconjunto dos números naturais. Em outras palavras os elementos de E podem ser listados:
E = {e1 , e2 , ...}.
65
Alguns exemplos de conjuntos enumeráveis: vazio, qualquer conjunto finito,
N, Z, Q.
Teorema: Seja f : [a, b] → R limitada. Se D (f ) , conjunto dos pontos de
descontinuidade de f, for enumerável então f é integrável.
O Teorema acima, cuja demonstração será omitida, é um caso particular
do Teorema de Riemann-Lebesgue que afirma que uma função é integrável se e
somente se o conjunto dos pontos de descontinuidade tem medida nula.
Em particular,
Corolário:Todas as funções contı́nuas em um intervalo fechado são integráveis.
8.2
Primeiras Tentativas de Cálculo de Integrais
A seguir enunciaremos um teorema que nos auxiliará no cálculo de integrais.
Teorema: Sejam f : [a, b] → R limitada e integrável à Riemann e
P = {x0 = a, x1 = a +
(b − a)
(b − a)
(b − a)
, x2 = a + 2
, ..., xn = a + n
}
n
n
n
uma partição de [a, b] . Vale que
Z
b
f (x) dx = lim
a
n→+∞
n
X
i=1
f (ti )
b−a
n
onde ti ∈ [xi−1 , xi ] é um ponto qualquer.
Exemplos:
1) Sabemos que
f : [a, b] → R
dada por f (x) = x2 é limitada e integrável em [a, b] . De fato, isto segue direto
do fato de ser contı́nua.
Calculemos
Z b
x2 dx.
a
66
Temos, pelo teorema anterior, usando ti = a +
Z
b
2
x dx =
lim
n→+∞
a
=
lim
n→+∞
=
n X
i=0
n
X
i=0
i (b − a)
a+
n
2
i(b−a)
n ,
que
b−a
=
n
n
n
3
a2 (b − a) X 2ai(b − a)2 X i2 (b − a)
+
+
n
n2
n3
i=0
i=0
!
=
!
lim
n
n
3 n
a2 (b − a) X
2a(b − a)2 X
(b − a) X 2
1+
i
+
i
n
n2
n3
i=0
i=0
i=0
lim
a2 (b − a)
2a(b − a)2 n (n − 1) (b − a) n (n + 1) (2n + 1)
n+
+
n
n2
2
n3
6
n→+∞
=
3
=
n→+∞
3
2
= a2 (b − a) + a (b − a) +
(b − a)
=
3
1 3 1 3
b − a .
3
3
=
2) Sabemos que
f : [a, b] → R
dada por f (x) = ex é limitada e integrável em [a, b] . De fato, isto segue direto
do fato de ser contı́nua.
Calculemos
Z b
ex dx.
a
Aplicando novamente o teorema anterior, usando ti = a + (i − 1) (b−a)
n
Z
b
ex dx =
a
lim
n→+∞
n
X
ea+(i−1)
(b−a)
n
i=0
b−a
=
n
n
=
=
8.3
lim ea
(b−a)
n
n→+∞
lim
n→+∞
ea
e
b − a X (i−1) (b−a)
n
e
=
n i=0
(b−a)
n
(b−a)
n
n
b − a X i (b−a)
e n = eb − ea .
n i=0
Propriedades das Integrais
Antes de listarmos as propriedades das integrais apresentamos algumas definições
complementares.
67
!
=
Definição: Dado f : [a, b] → R integrável definimos:
Z a
a)
f (x) dx = 0.
a
a
Z
Z
b
f (x) dx = −
b)
f (x) dx.
b
a
Propriedades das Integrais
Consideremos f, g funções integráveis em [a, b] . Sejam c1 , c2 , c3 ∈ [a, b] e
k ∈ R. Valem:
1) (f ± g) é integrável em [a, b] e
Z b
Z
(f (x) ± g (x)) dx =
a
b
Z
f (x) dx ±
a
b
g (x) dx.
a
2) kf é integrável em [a, b] e
Z b
Z
kf (x) dx = k
a
b
f (x) dx.
a
3) Se f ≥ 0 em [a, b] então
Z
b
f (x) dx ≥ 0.
a
4) Se f ≤ g em [a, b] então
Z b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g (x) dx.
a
5) |f | é integrável em [a, b] e
Z
Z
b
b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
a
6) Se m ≤ f (x) ≤ M em [a, b] então
Z b
m (b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a) .
a
68
7) Se f = g a menos de um conjunto finito de pontos então
Z
b
Z
f (x) dx =
a
8)
Z
b
g (x) dx.
a
c2
c3
Z
f (x) dx =
Z
c2
f (x) dx +
c1
c1
f (x) dx.
c3
Não iremos provar nenhuma das afirmações acima. Do ponto de vista
geométrico elas são bem naturais. Para prová-las precisarı́amos estudar as propriedades de supremo e ı́nfimo e isso nos tomaria um bom tempo. Deixamos
para o curso de Análise Matemática estas questões.
Exemplos:
1) Provemos que
1
≤
11
2
Z
x2
1
1
1
dx ≤ .
+ 3x + 1
5
Observe que para x ∈ [1, 2] temos que
5 ≤ x2 + 3x + 1 ≤ 11
e assim
1
1
1
≤ 2
≤ .
11
x + 3x + 1
5
Integrando os três lados obtemos a desigualdade desejada.
2) Qual o erro de aproximar-se
100
Z
e−x sin2 xdx
0
por
10
Z
e−x sin2 xdx?
0
Temos
Z
0
100
e−x sin2 xdx =
Z
10
e−x sin2 xdx +
0
Z
100
10
Assim o erro que precisa ser estimado é
Z 100
e−x sin2 xdx.
10
69
e−x sin2 xdx.
Temos
sin2 x ≤ 1
e−x sin2 x ≤ e−x
1
1
x ∈ [10, 100] ⇒ 100 ≤ e−x ≤ 10 ⇒
e
e
1
2
−x
⇒ 0 ≤ e sin x ≤ 10 .
e
Assim
0
0
≤
≤
Z
100
10
Z
e−x sin2 xdx ≤
100
e−10 dx =
10
90
.
e10
Teorema do Valor Médio Integral: Se f é uma função contı́nua em
[a, b] então existe c ∈ [a, b] tal que
Z
b
f (x) dx = f (c) (b − a) .
a
Demonstração: Como f é contı́nua em [a, b] então, pelo Teorema de
Weierstrass, existem x1 e x2 tais que
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] .
Utilizando a propriedade 6) temos que
b
Z
f (x1 ) (b − a) ≤
f (x) dx ≤ f (x2 ) (b − a) .
a
Assim
Rb
f (x1 ) ≤
a
f (x) dx
≤ f (x2 ) .
b−a
Pelo Teorema do Valor Intermediário segue que existe c ∈ [a, b] tal que
Rb
f (c) =
a
f (x) dx
.
b−a
8.4
O Teorema Fundamental do Cálculo
Nesta seção faremos a conexão entre os conceitos de integral e de derivada.
Definição: Seja f : [a, b] → R uma função integrável. A função F : [a, b] →
R dada por
Z
x
F (x) =
f (t) dt
a
70
é chamada de INTEGRAL INDEFINIDA ou de FUNÇÃO ÁREA.
Teorema: F é uma função contı́nua em [a, b] .
Demonstração: Sejam x, x0 ∈ [a, b] . Temos que
Z x
F (x) − F (x0 ) =
f (t) dt.
x0
Como f é integrável então em particular f é limitada. Assim existem m, M ∈
R tais que
m (x − x0 ) ≤ F (x) − F (x0 ) ≤ M (x − x0 ) .
Assim aplicando o Teorema do Sanduı́che temos que
lim F (x) = F (x0 ) .
x→x0
Observe que se x0 for extremo de intervalo então o limite é lateral.
Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f : I → R contı́nua, I intervalo
aberto contendo um ponto a. Então
F :I→R
dada por
Z
F (x) =
x
f (t) dt
a
é derivável e
F 0 (x) = f (x) , ∀x ∈ I.
Demonstração: Basta mostrarmos que existe o limite
lim
h→0
F (x + h) − F (x)
.
h
Temos
R x+h
f (t) dt
F (x + h) − F (x)
lim
= lim x
=∗
h→0
h→0
h
h
Aplicando o Teorema do Valor Médio Integral temos que
Z
x+h
f (t) dt = f (cx ) h
x
onde cx está entre x e x + h. Logo
∗ = lim
h→0
f (cx ) h
= f (x)
h
já que f é contı́nua em I.
71
Corolário:Sejam
a) I ⊃ [a, b] um intervalo aberto;
b) f : I → R uma função contı́nua e
c) g : I → R uma função derivável satisfazendo
g 0 (x) = f (x) , ∀x ∈ [a, b] .
Vale que
b
Z
f (t) dt = g (b) − g (a) .
a
Demonstração: O Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece uma
primitiva de f :
Z x
f (t) dt.
F (x) =
a
Como
F 0 (x) = g 0 (x) , ∀x ∈ I
segue que existe k ∈ R tal que
g (x) = F (x) + k.
Assim
Z
g (b) − g (a) = F (b) − F (a) =
b
f (t) dt.
a
Observação:
1) Muitas vezes o teorema acima é chamado de 2o Teorema Fundamental do
Cálculo. Não achamos muito conveniente esta notação. O teorema acima é uma
consequência do Teorema Fundamental do Cálculo. Mais que isso é a principal
consequência.
2) O corolário acima nos fornece um importante instrumento de cálculo de
integrais. De fato, para calcularmos uma integral de uma função que possua
primitiva elementar basta avaliarmos esta primitiva nos extremos do intervalo.
72