Modelagem da Liquefação de Solos por Carregamento Estático
Jorge Luis Cardenas, Celso Romanel e Sérgio A. B. da Fontoura
Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
RESUMO: A história registra muitos casos de ruptura catastróficas de maciços de solos, com
consideráveis prejuízos econômicos, perdas de vidas humanas e danos ao meio ambiente, causados
pela liquefação de solos saturados. Quando liquefação ocorre, um súbito aumento da poropressão
faz decrescer a resistência ao cisalhamento do solo e sua habilidade em suportar edifícios ou manter
taludes estáveis. A liquefação de solos por carregamentos estáticos foi documentada em depósitos
de solos naturais, aterros e depósitos de rejeitos de mineração. No Brasil, há evidências de rupturas
de barragens de rejeitos por carregamento estático nas minas de Fernandinho e do Pico de São Luiz.
Neste trabalho, a investigação do fluxo por liquefação estática foi feita considerando-se um modelo
constitutivo simples proposto por Gutierrez e Verdugo (1995). Durante a implementação do mesmo,
algumas modificações foram introduzidas na formulação original, permitindo aumentar sua
capacidade de previsão da resposta não-drenada de solos saturados.
PALAVRAS-CHAVE: Liquefação Estática, Carregamento Não-Drenado, Modelo Constitutivo.
1.
INTRODUÇÃO
poropressão,
enquanto
que
solos
de
granulometria grossa foram considerados muito
permeáveis para manter acréscimos de
poropressão por um tempo suficientemente
longo. Mais recentemente, os critérios baseados
apenas na granulometria do solo tiveram seus
limites expandidos. Liquefação de siltes não
plásticos foi observada (Ishihara, 1985), tanto
em laboratório como em campo. De acordo com
Wang (1979), solos finos que satisfazem as
condições do “critério chinês” podem ser
considerados suscetíveis à liquefação: a) fração
mais fina do que 5 µ ≤ 15%; b) limite de
liquidez LL ≤ 35%; c) teor de umidade natural
ω ≥ 0,9 LL . A U.S. Army Corps of Engineers
modificou o “critério chinês” incorporando as
seguintes recomendações: a) decréscimo da
fração de finos em 5%; b) acréscimo do limite
de liquidez em 1%; c) acréscimo do teor de
umidade natural em 2%.
Quanto a solos grossos, liquefação em
pedregulhos também foi observada em campo
(Yegian et al., 1994) e em laboratório (Evans e
Seed, 1987). Quando a dissipação das
propressões for impedida pela presença de
camadas impermeáveis, podem então ser
estabelecidas condições para a ocorrência de
um carregamento não-drenado e, assim,
propiciar a ocorrência de liquefação neste tipo
de solo também.
A história registra inúmeros casos de ruptura
catastrófica de maciços de solo causados pela
liquefação de areias saturadas. Quando
liquefação ocorre, um súbito aumento da
poropressão faz decrescer a resistência ao
cisalhamento do solo e sua habilidade em
suportar edifícios ou manter taludes estáveis é
reduzida.
Carregamentos estáticos ou dinâmicos
podem iniciar a liquefação de solos. Sob
carregamentos dinâmicos, além de fontes
sísmicas, o fenômeno foi também constatado
como resultado de vibrações causadas pela
cravação de estacas, explosões, etc.
Sob carregamentos estáticos a liquefação
foi observada em depósitos de solos naturais
(Kramer, 1988), aterros (Mitchell, 1984) e
depósitos de rejeitos de mineração (Kleiner,
1976). No Brasil, também existem evidências
de rupturas em barragens de rejeito que
sugerem como causa provável o fluxo por
liquefação nos acidentes das barragens de
rejeito das minas de Fernandinho (Parra e
Pereira, 1987) e do Pico de São Luiz (Parra e
Ramos, 1987).
Por muitos anos acreditou-se que
liquefação estava restrita a depósitos de areia
apenas. Solos de granulometria fina foram
considerados incapazes de gerar altos valores de
1
A previsão do fenômeno da liquefação
depende de uma representação adequada da
resposta não-drenada de solos granulares
saturados. Resultados de estudos experimentais
de laboratório têm sido publicados por décadas
na literatura e vários modelos para previsão de
comportamento foram desenvolvidos com base
em formulações elastoplásticas.
Neste trabalho, a investigação do fluxo por
liquefação de solos sob carregamento estático
foi feita considerando-se um modelo
constitutivo simples proposto por Gutierrez e
Verdugo (1995). Na implementação do mesmo,
algumas modificações foram introduzidas pelos
presentes autores na formulação original, o que
permitiu aumentar a aplicabilidade do modelo
conservando porém a relativa simplicidade da
formulação matemática.
2.1
2.
dε pvp =
De acordo com a hipótese b) mencionada
anteriormente, o incremento da deformação
volumétrica plástica dε vp é obtido pela
superposição de duas componentes obtidas de
forma isolada. A primeira componente dε vpp é
determinada assumindo-se uma relação
constitutiva linear entre incrementos de
deformação volumétrica e de tensão média
efetiva dp′ , ou seja,
dε pvp =
dε = dε + 2dε
p
v
(
p
a
p
r
dε sp = 23 dε ap − dε rp
η = q p′
)
B
(2)
(3)
β
(4)
onde β é um parâmetro do material e B0 um
valor constante do módulo de deformação
volumétrica para a condição inicial p′ = σ 3′ .
Neste trabalho, utilizou-se da expressão
empírica proposta por Janbu (1963) para
incorporar a influência da tensão de
confinamento no valor de B0 , seguindo-se o
mesmo procedimento adotado no conhecido
modelo hiperbólico (Duncan et al., 1980):
(1a)
(1b)
q = σ ′a − σ ′r
(dσ′a + 2dσ′r )
1 d(σ′a − σ′r ) dq
=
3
B
3B
 σ′ 
B = B0  3 
 p′ 
plástica cisalhante dε sp , assim definidos
(σ′a + 2σ′r )
1
3
Da observação dos resultados de ensaios
experimentais, sabe-se que existe uma
dependência do módulo de deformação
volumétrica B em relação aos valores da tensão
efetiva média p’, representada por Gutierrez e
Verdugo (1995) através da seguinte relação
O modelo de Gutierrez e Verdugo (1995) é
baseado nas seguintes três hipóteses: a) as
componentes de deformação são exclusivamente plásticas; b) o incremento de deformação
volumétrica plástica dε vp é constituída por duas
parcelas devidas à variação da tensão efetiva
média dp′ e à dilatância plástica durante
cisalhamento; c) a relação tensão-deformação
do solo é representada por uma formulação
hiperbólica que modifica os valores dos
módulos de deformação com o estado das
tensões efetivas.
O modelo é formulado no plano triaxial em
termos das medidas de tensão p′ : q , da razão
de tensões η e dos incrementos de deformação
plástica volumétrica dε vp e da deformação
1
3
dp ′
=
B
onde B é o módulo de deformação volumétrica.
Pelo fato de que dσ r′ = 0 no ensaio triaxial
de compressão convencional, tem-se
MODELO CONSTITUTIVO
p′ =
Deformação Volumétrica Plástica
σ′ 
B 0 = Bs p a  3 
 pa 
(1c)
(1d)
(1e)
s
(5)
onde Bs e s são parâmetros do material e pa a
pressão atmosférica de referência.
Introduzindo-se a equação (5) em (4)
obtém-se então a expressão final para a variação
do módulo de deformação volumétrica com o
estado de tensões efetivas,
onde ε ap representa a deformação plástica axial,
ε rp a deformação plástica radial, σ a′ a tensão
efetiva axial e σ r′ a tensão efetiva radial
2
s
σ′   σ′ 
B = B s .p a  3   3 
 p a   p′ 
dp são relacionados pelo princípio das tensões
efetivas para solos saturados:
β
(6)
du = dp − dp ′
A segunda componente da variação da
deformação volumétrica plástica dε vdp é devida
ao fenômeno da dilatância do solo sob
cisalhamento.
Nos modelos constitutivos
baseados em conceitos do estado crítico
(modelo Cam Clay, por exemplo) é usual
empregar-se uma relação tensão-deformação
volumétrica dilatante do tipo
dε pvd
dε sp
= ηcr − η
Da equação (1e),
dq = ηdp′ + p′dη
(7)
du =
 p′
η f = η cr  cr'
 p




m
com η cr =
6 sin φ cr
3 − sin φ cr
(14)
onde φcr é o ângulo de atrito do solo no estado
permanente (crítico) e p′cr a tensão efetiva
média no estado permanente. Nota-se da
equação acima que p′ → p′cr quando η f → ηcr ,
i.e, quando a tensão efetiva média p ′ atingir a
tensão efetiva na condição de estado
permanente p cr′ , a relação de tensão η f = η cr é
mantida constante para qualquer valor de m,
simulando a deformação do material com valor
de tensão efetiva média constante.
A partir de resultados de ensaios de
compressão triaxial convencional, Gutierrez e
Verdugo (1995) também concluíram que a
variação da razão de tensão η com a
(9)
Considerando as equações (2), (6) e (8),
resulta finalmente em
s
(13)
Gutierrez e Verdugo (1995) consideraram que a
razão de tensão no pico da resistência não
drenada η f é função da tensão efetiva média
de acordo com
Durante um carregamento não-drenado, será
nulo o incremento de deformação volumétrica
total (equivalente ao incremento de deformação
volumétrica plástica somente, de acordo com a
hipótese a), i.e.
β
σ′   σ′  η
(ηcr − η).dε ps
dp′ = −B s .p a  3   3 
′
p
p
η
 a   f
1
[dp′(η − 1) + p ′dη]
3
2.3
Variação da Razão de Tensão com a
Deformação Cisalhante Plástica
Variação da Poropressão
dε pv = dε pvp + dε pvd = 0
(12)
e se considerarmos, das equações (2) e (3), que
dp ' = dq 3 , então o incremento da poropressão
pode ser escrito como,
onde η cr é a razão de tensão (η = q p′ ) no
estado crítico ou permanente.
Gutierrez e Verdugo (1995), argumentando
que a equação (7) produz resultados pouco
precisos para areias sob baixos valores da razão
de tensão η , adotaram a seguinte relação,
η
dε pvd =
(ηcr − η).dε sp
(8)
ηf
onde η f indica a razão de tensão na resistência
de pico. Observe-se que o incremento de
deformação volumétrica plástica dε vdp é nulo
para as condições η = 0 ou η = ηcr .
2.2
(11)
deformação cisalhante plástica ε sp pode ser
representada por uma formulação hiperbólica,
(10)
O incremento da poropressão du , em
termos dos incrementos de tensão efetiva
média, dp′ , e dos incrementos da tensão total
η=
ε sp
a + bε sp
(15a)
onde os valores das constantes a , b correspondem respectivamente a
3
ηf =
Gi =
ε sp
a + bε sp
d
dε sp
=
ε ps →∞
 ε sp

 a + bε p
s

1
b

1

=

 εsp =0 a
(15b)
Introduzindo-se a equação (21) em (20)
resulta em
(15c)
σ′   σ ′ 
Gi = G r  3   3 
 p a   p′ 
r
ηf G i ε ps
ηf +
r
σ′   σ′ 
dη = G r  3   3 
 p a   p′ 
e derivada para obtenção da variação da razão
de tensões dη em função da deformação
cisalhante plástica dε sp
dη =
(η
G i η 2f
f
+
)
2
G i ε sp
dε sp
(17)
O valor de ε sp = ∫ dε sp pode ser expresso
com base na equação (16) como
ε sp =
1
Gi
η
1−
(18)
η
ηf
2.4
2
(19)
No modelo original de Gutierrez e Verdugo
(1995), a inclinação da tangente inicial G i foi
considerada dependente da tensão efetiva média
de acordo com
 σ′ 
Gi = G0  3 
 p′ 
α
(20)
onde α é um parâmetro do material e G0 um
valor constante da inclinação da tangente para a
condição inicial p′ = σ 3′ .
De maneira similar ao procedimento para
incorporação da influência da tensão efetiva
média no módulo de deformação volumétrica
inicial B0 , considerou-se neste trabalho a
seguinte representação para o parâmetro G0 a
partir da formulação empírica de Janbu (1963),
σ′ 
G0 = Gr  3 
 pa 
2
 ηf − η 

 dε sp
η

f

(23)
Procedimento Geral da Modelagem
Assumindo um incremento da deformação
cisalhante
triaxial
plástica
dε sp
são
determinados o incremento da razão de tensão
dη (eq. 23) e do incremento da tensão efetiva
média d p ′ (eq. 10). Os valores dos parâmetros
do material B (equação 6) e G (eq. 22), bem
como da tensão efetiva média p′ e da razão de
tensão η , são atualizados para cada incremento
de deformação imposto dε sp . Quando o solo
atingir a condição de estado permanente, com
η = η cr e p′ = pcr′ (eq. 14), variações de tensão
não mais acontecem ( dp′ = 0 ou dη = 0 ) mas o
material continua a se deformar sob estado de
tensões efetivas constante.
que, substituído na equação (17), produz
η −η
 dε sp
dη = G i  f
η

f

ε
Neste ponto completa-se a formulação do
modelo de Gutierrez e Verdugo, na versão
original de 1995 e na versão atual, modificada
pelos presentes autores com a introdução das
equações (5) e (21) na formulação básica. São
portanto necessários 9 parâmetros do material
para completamente descrever o modelo, a
saber: β , Bs , s (equação 6), φcr′ , pcr′ , m
(equações 14a e 14b), α , Gr , r (equação 22)
os quais devem ser estimados a partir dos
resultados de ensaios triaxiais convencionais.
(16)
G i ε sp
(22)
que permite reescrever a equação (19) como
com G i representando a inclinação da tangente
inicial à curva η versus ε s .
A equação (15a) pode então ser reescrita,
η=
α
3.
MODELAGEM EM REJEITOS DE
MINERAÇÃO
3.1
Características do Material
r
(21)
O material em estudo corresponde a amostras
de rejeito de ferro, submetida ao ensaio
convencional de compressão triaxial na
condição não-drenada (Gomes et al. 2002), com
onde Gr e r são parâmetros do material e pa é
a pressão atmosférica de referência..
4
velocidade de cisalhamento de 0,09 mm/min e
tensões de confinamento σ 3′ = 0,05; 0,30 e 0,60
MPa. A Tabela 1, apresenta os valores dos
parâmetros do material, determinados dos
resultados destes ensaios, e necessários para
simulação
do
comportamento
tensãodeformação através da versão modificada do
modelo de Gutierrez e Verdugo:
4.
O modelo constitutivo utilizado apresenta
habilidades para descrever o comportamento de
fluxo por liquefação causado por carregamentos
estáticos.
Sua implementação é simples,
baseada nos resultados de ensaios triaxiais CU e
CD. A adaptação introduzida neste trabalho no
modelo original de Gutierrez e Verdugo (1995)
aumenta a potencialidade da sua aplicação,
permitindo previsões de comportamento para
vários valores da tensão de confinamento.
A formulação adaptada também permite a
representação de trechos de amolecimento da
curva tensão – deformação. O modelo pode ser
classificado como um modelo de módulos
variáveis e conserva ainda as desvantagens
clássicas de seus congêneres como a
inexistência de um critério racional de
descarregamento, desempenho final dependente
das trajetórias de tensão, além de ignorar a
ocorrência de deformações elásticas.
Tabela 1 – Valores dos parâmetros do material.
Parâmetro
φcr′ (°)
m
Gr
r
α
Bs
s
β
pcr′ (MPa)
CONCLUSÃO
Valor
33,7
0,007
105,43
0,0013
0,20
135,42
0,09
0,20
0,60
Em seguida, o modelo foi aplicado para
retroanálise das respostas das amostras de
rejeito de ferro, conforme mostram as curvas
tensão x deformação da Figura 1, e de onde
pode-se observar que o modelo conseguiu
representar o comportamento de amolecimento
do material à medida que as tensões tendem a
um valor constante na condição permanente.
Resultados experimentais e previstos, com
boa concordância entre ambos os conjuntos de
valores, estão também comparados na Figura 2,
em
termos
do
desenvolvimento
de
poropressões
durante
cisalhamento
das
amostras, e na Figura 3, em termos das
trajetórias das tensões efetivas. A Figura 4
estende os resultados mostrados na Figura 3,
fazendo a previsão das trajetórias das tensões
efetivas para vários valores da tensão de
confinamento entre 0,3 e 0,6 MPa.
Em geral, pode-se afirmar que o modelo
conseguiu representar com boa aproximação as
respostas do material na condição não-drenada,
tanto em termos das curvas tensão-deformação
quanto da variação das poropressões e das
trajetórias de tensões efetivas. O modelo tem
formulação simples, de fácil implementação
numérica e com parâmetros do material que
podem ser determinados facilmente dos
resultados de ensaios triaxiais convencionais.
Figura 1 - Retroanálise do comportamento tensão x
deformação da amostra de rejeito para tensões de
confinamento σ 3′ = 0,30 e 0,60 MPa.
Figura 2 – Retroanálises das poropressões desenvolvidas
durante cisalhamento das amostras ( σ 3′ = 0,30 e 0,60
MPa).
5
de Mineração. Anais do III SBMR – Simpósio
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Figura 4 – Previsão das trajetórias de tensão efetiva nos
ensaios triaxiais não-drenados sob
tensões de
confinamento σ 3′ = 0,30; 0,35; 0,40; 0,45; 0,50 e 0,60
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6