UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
(MESTRADO EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO EM AGRICULTURA MEDITERRÂNICA)
1. Considere que a produção do trigo (Y) é uma função da quantidade de
fertilizante (X1) e da quantidade de precipitação (X2). O quadro seguinte
apresenta 8 valores daquelas variáveis:
Fertilizante (X1)
100
200
300
400
500
600
700
800
Trigo (Y)
1040
1170
1300
1690
1820
1820
2080
2130
Precipitação (X2)
900
825
925
925
850
800
900
850
Coefficientsa
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
293,564
712,478
1,685
,152
,665
,792
Model
1
(Constant)
Fertilizante
Precipitação
Standardized
Coefficients
Beta
,998
,076
t
,412
11,056
,839
Sig.
,697
,000
,440
95% Confidence Interval for B
Lower Bound Upper Bound
-1537,918
2125,047
1,293
2,077
-1,371
2,701
a. Dependent Variable: Produção
Model Summaryb
Model
1
Adjusted
R Square
,947
R
R Square
,981a
,962
Std. Error of
the Estimate
95,28203
a. Predictors: (Constant), Precipitação, Fertilizante
b. Dependent Variable: Produção
ANOVAb
Model
1
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
1151494
45393,329
1196887
df
2
5
7
Mean Square
575747,085
9078,666
F
63,418
Sig.
,000a
a. Predictors: (Constant), Precipitação, Fertilizante
b. Dependent Variable: Produção
Descriptive Statistics
Produção
Fertilizante
Precipitação
Mean
1631,2500
450,0000
871,8750
Std. Deviation
413,50203
244,94897
47,12730
N
8
8
8
1
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DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
(MESTRADO EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO EM AGRICULTURA MEDITERRÂNICA)
Scatterplot
Normal P-P Plot of Regression St
Dependent Variable: Produção
Dependent Variable: Produção
1,0
1,0
,8
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-1,5
-1,0
-,5
0,0
,5
1,0
1,5
Regression Standardized Predicted Value
Expected Cum Prob
Regression Standardized Residual
1,5
,5
,3
0,0
0,0
,3
,5
,8
1,0
Observed Cum Prob
Responda às questões seguintes com base nos outputs anteriores.
a) Ajuste uma regressão de mínimos quadrados, Yi = β0 + β1 X i1 + β2 X i 2 + εi aos
dados.
b) Construa a tabela anova e teste a significância da regressão.
c) Determine e interprete o coeficiente de determinação?
d) Realize uma análise de resíduos.
e) Qual a importância da regressão com X1 somente? Qual o contributo de X2,
dado que X1 faz parte da regressão?
f) Qual a importância da regressão com X2 somente? Qual o contributo de X1,
dado que X2 já faz parte da regressão?
2
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Model Summaryb
Model
1
R
,981a
Adjusted
R Square
,947
R Square
,962
Std. Error of
the Estimate
95,28203
Durbin-W
atson
1,906
a. Predictors: (Constant), Fertilizante, Precipitação
b. Dependent Variable: Produção
Scatterplot
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Most Extreme
Differences
Mean
Std. Deviation
Absolute
Positive
Negative
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
Exact Sig. (2-tailed)
Point Probability
Dependent Variable: Produção
1,5
Regression Studentized Residual
N
Normal Parameters a,b
Standardized
Residual
8
,0000000
,84515425
,206
,206
-,159
,583
,886
,998
,000
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
1000
1200
1400
1600
Collinearity Diagnosticsa
Dimension
1
2
3
Eigenvalue
2,850
,149
,001
Variance Proportions
(Constant) Precipitação Fertilizante
,00
,00
,02
,00
,00
,88
1,00
1,00
,10
Condition
Index
1,000
4,379
49,703
a. Dependent Variable: Produção
Model Summaryc
Model
1
2
R
,981a
,978b
R Square
,962
,957
Adjusted
R Square
,947
,950
Std. Error of
the Estimate
95,28203
92,90399
Durbin-W
atson
2,004
a. Predictors: (Constant), Precipitação, Fertilizante
b. Predictors: (Constant), Fertilizante
c. Dependent Variable: Produção
ANOVAc
Model
1
2
Regression
Residual
Total
Regression
Residual
Total
2000
2200
Regression Adjusted (Press) Predicted Value
a. Test distribution is Normal.
b. Calculated from data.
Model
1
1800
Sum of
Squares
1151494
45393,329
1196887
1145101
51786,905
1196887
df
2
5
7
1
6
7
Mean Square
575747,085
9078,666
F
63,418
Sig.
,000a
1145100,595
8631,151
132,671
,000b
a. Predictors: (Constant), Precipitação, Fertilizante
b. Predictors: (Constant), Fertilizante
c. Dependent Variable: Produção
2400
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(MESTRADO EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO EM AGRICULTURA MEDITERRÂNICA)
2. Pretende-se modelar uma eventual relação entre a á rea foliar (Y) e as variáveis
comprimento da nervura esquerda (X1), comprimento da nervura principal (X2) e
comprimento da nervura direita (X3), em folhas de videiras de uma determinada
casta. Para tal, recolheu-se uma amostra de 20 folhas, tendo-se obtido para cada
uma os valores das quatro variáveis. Realizou-se a análise de regressão e
obtiveram-se, entre outros, os seguintes outputs:
ANOVAb
Model
1
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
?
?
?
df
?
?
?
Mean Square
?
198,000
F
40,500
b. Dependent Variable: Área foliar
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
Comp.nervura esq.
Comp.nervura princ.
Comp.nervura dir.
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-146,596
65,588
19,500
4,300
1,000
5,119
14,800
5,800
t
?
?
?
?
a. Dependent Variable: Área foliar
a) Interprete os coeficientes de regressão do modelo ajustado.
b) Teste a significância do modelo ajustado.
c) Complete a tabela de análise de regressão.
d) Calcule a estimativa do coeficiente de determinação e interprete o valor obtido.
e) Determine um intervalo de confiança de nível 95% para β1.
f) Poderá prescindir da variável X1 sem que tal afecte significativamente o
ajustamento do modelo aos dados?
g) Poderá firmar estatisticamente ao nível de 5% que o modelo com as 3 variáveis é
significativamente diferente do modelo com as variáveis X1 e X3 quanto ao
ajustamento dos dados?
3
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3. Admita que se recolheu uma amostra de 10 observações correspondentes à
produção de uma determinada cultura agrícola (Y) e à quantidade de fertilizante
utilizado (X).
Fertilizante
Produção
(ton/ha)
(ton/ha)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
7,1
7,0
7,9
7,9
8,4
9,4
9,5
10,0
10,6
11,0
a) Averigue, graficamente, a existência de uma relação linear entre as variáveis.
b) Admitindo que a relação entre as variáveis X e Y é linear, estime os parâmetros
β0 e β1 do modelo de regressão correspondente. Interprete-os.
c) Teste, ao nível de significância de 5%, a significância do modelo de regressão.
d) Obtenha intervalos de confiança a 95% para β0 e β1.
e) Poderá afirmar, estatisticamente ao nível de 5%, que na ausência de fertilizante a
produção é superior 0? E superior a 5 ton/ha?
f) Poderá afirmar, estatisticamente ao nível de 1%, que existe uma relação linear
positiva entre X e Y?
g) Determine os coeficientes de correlação e determinação e interprete os seus
valores.
h) Determine um intervalo de predição a 90% para a produção média da cultura
quando a quantidade de fertilizante é igual a 0.5 ton/ha.
i) Determine um intervalo de predição a 95% para a produção da cultura quando a
quantidade de fertilizante for igual a 1.1 ton/ha.
j) Realize uma análise de resíduos e retire as conclusões que entender
convenientes.
4
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Descriptive Statistics
Mean
8,8800
,5500
Produção
Fertilizante
Std. Deviation
1,42267
,30277
N
10
10
Model Summary
Model
1
R
,988a
R Square
,976
Adjusted
R Square
,973
Std. Error of
the Estimate
,23332
a. Predictors: (Constant), Fertilizante
Coefficientsa
Unstandardized
Coefficients
Model
1
B
6,327
4,642
(Constant)
Fertilizante
Standardized
Coefficients
Std. Error
,159
,257
Beta
,988
95% Confidence Interval for B
t
39,693
18,072
Sig.
,000
,000
Lower Bound
5,959
4,050
Upper Bound
6,694
5,235
a. Dependent Variable: Produção
Normal P-P Plot of Regression St
Scatterplot
Dependent Variable: Produção
Dependent Variable: Produção
1,0
1,0
,8
,5
Expected Cum Prob
Regression Standardized Residual
1,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
-1,5
-1,0
-,5
0,0
,5
1,0
1,5
,5
,3
0,0
0,0
2,0
,3
,5
,8
1,0
Observed Cum Prob
Regression Standardized Predicted Value
Descriptive Statistics
N
Standardized Residual
10
Mean
,0000000
Std. Deviation
,94280904
Minimum
-1,21564
Maximum
1,32474
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
N
Normal Parameters a,b
Most Extreme
Differences
Mean
Std. Deviation
Absolute
Positive
Negative
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
Exact Sig. (2-tailed)
Point Probability
a. Test distribution is Normal.
b. Calculated from data.
Standardized
Residual
10
,0000000
,94280904
,170
,170
-,105
,538
,934
1,000
,000
5
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Exercício 2:
Os dados seguintes referem-se a uma amostra de observações sobre a despesa mensal
em bens e em serviços culturais (Y) e o rendimento mensal per capita (X) de 14
agregados familiares.
Y
0
44
15
52
39
1
40
2
34
46
22
26
1
57
X
50
250
110
480
190
80
210
90
150
310
120
150
70
650
a) Averigúe, graficamente, a existência de uma relação entre as variáveis.
despesa mensal em bens e serviços culturais
60
50
40
30
20
10
0
-10
0
100
200
300
400
500
600
700
rendimento mensal per capita
b) Admitindo que a relação entre as variáveis X e Y é linear, estime os parâmetros β0 e
β1 do modelo de regressão correspondente e interprete os seus valores.
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
rendimento
mensal per capita
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
6,341
5,015
9,973E-02
,019
Standardi
zed
Coefficien
ts
Beta
,836
t
1,264
Sig.
,230
5,275
,000
95% Confidence Interval for B
Lower Bound
Upper Bound
-4,585
17,268
,059
,141
a. Dependent Variable: despesa mensal em bens e serviços culturais
O modelo de regressão é ŷ = 6.3412 + 0.0997x. O parâmetro β1 = 0.0997 significa que
por cada acréscimo de uma unidade do rendimento mensal per capita, a despesa mensal
em bens e serviços culturais aumenta, em média, 0.0997 unidades. O parâmetro
β0=6.3412, neste caso, não tem interpretação, pois não faz grande sentido existir uma
6
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despesa mensal, em média, igual a 6.3412 em serviços e bens culturais quando o
rendimento per capita é nulo.
c) Teste, ao nível de 1%, a normalidade dos resíduos utilizando o teste de KolmogorovSmirnov. Utilize também um método gráfico.
Normal P-P Plot of Regression St
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Most Extreme
Differences
Mean
Std. Deviation
Absolute
Positive
Negative
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
Exact Sig. (2-tailed)
Point Probability
a. Test distribution is Normal.
b. Calculated from data.
,8
Expected Cum Prob
N
Normal Parameters a,b
Standardized
Residual
14
,0000000
,96076892
,201
,201
-,157
,753
,622
,899
,000
Dependent Variable: Despesa
1,0
,5
,3
0,0
0,0
,3
,5
,8
1,0
Observed Cum Prob
Como o valor de prova é p = 0.899, concluímos que não se rejeita a hipótese de
normalidade dos resíduos. Tal conclusão pode ser tirada graficamente, pois os valores
estão aproximadamente sob uma recta.
d) Construa os intervalos de confiança a 95% para β0 e β1.
Pela observação do output anterior concluímos que, ao nível de confiança de 95%, os
intervalos de confiança para β1 e β2 são:
IC95% (β0 ) = (−4,59; 17, 27)
IC95% (β1 ) = (0, 059; 0,141)
e) Teste, ao nível de significância de 5%, se o modelo é significativo.
Pretendemos testar a hipótese H0: β1 = 0 vs H1: β1 ≠ 0. Pelos intervalos de confiança,
através do valor de prova (p=0,000<0,05), ou mesmo mediante o valor da estatística de
teste (t=5,275), concluímos que ao nível de 5% rejeitamos a hipótese de β1 ser nulo, ou
seja, a regressão entre o rendimento mensal per capita e a despesa mensal em bens e
serviços culturais é significativa.
7
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f) Poderá afirmar, estatisticamente ao nível de 1%, que o declive da recta é positivo,
isto é, que X e Y variam linearmente no mesmo sentido?
Pretendemos testar a hipótese H0: β1 = 0 vs H1: β1 > 0. De acordo com o output da
tabela anterior tem-se p/2=0,000≤α=0,01, pelo que se rejeita H0 ao nível de 1% e
podemos concluir que o rendimento e a despesa mensal se relacionam positivamente.
g) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese H0: β0 = 0 vs H1: β0 ≠ 0.
Da mesma forma que em d), pela observação do intervalo de confiança, pelo valor de
prova (p=0,230>0,05) ou pela estatística de teste (t=1,264) não rejeitamos a hipótese de
β1 ser nulo, ou seja, de a recta passar pela origem, o que significa que quando o
rendimento mensal per capita é nulo a despesa mensal em bens e serviços culturais
também pode ser considerada nula.
h) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese H0: β1 = 0.1 vs H1: β1 ≠0.1.
Sob H0 tem-se
n
βˆ1 − β10
QME
Sxx
∩ t n −2
n
onde Sxx = ∑ (Xi − X) e QME =
2
i =1
e, atendendo a que
∑e
2
i
i =1
n−2
QME
= 0,019 (desvio padrão de β1)
Sxx
o valor da estatística de teste é T =
βˆ1 − β10
QME
Sxx
=
0,09973 − 0,1
= 0,014 , valor que pertence à
0,019
região crítica Rc = (−∞, -t12, 0.975  ∪  t12, 0.975 , +∞) = (−∞, -2.179] ∪ [ 2.179, +∞) , pelo que
não se rejeita H0 ao nível de 5%.
i) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese H0: β0 = 6 vs H1: β0 >6.
Sob H0 tem-se
βˆ0 − β00
 1 X 2 

QME  +
 n S 
xx
∩ t n −2
8
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e, atendendo a que
 1 X 2 
 = 5,015 (igual ao desvio padrão de β0)
QME  +
 n Sxx 
o valor da estatística de teste é T =
βˆ0 − β00
 1 X 

QME  +
 n Sxx 
2
=
6,341 − 6
= 0,068 , valor que
5,015
pertence à região crítica Rc =  t12, 0.95 , +∞) = [1.782, +∞) , pelo que não se rejeita H0 ao
nível de 5%.
j) Determine os coeficientes de correlação e determinação e interprete os seus valores.
Model Summary
Model
1
R
,836a
R Square
,699
Adjusted
R Square
,674
Std. Error of
the Estimate
11,6577
a. Predictors: (Constant), rendimento mensal per capita
O valor do coeficiente de correlação é R=0,836, pelo que a associação entre as duas
variáveis é forte e positiva (o aumento do rendimento per capita origina um aumento da
despesa mensal em bens e serviços culturais).
O valor do coeficiente de determinação é R2 = 0.699, o que indica um razoável
ajustamento da recta aos dados, pois a recta de regressão apenas consegue explicar
69.9% da variabilidade das observações. Portanto, com base na amostra considerada,
podemos afirmar que 69.9% da variação total das despesas é explicada pelo rendimento
- os demais factores, que não o rendimento, explicam ainda 30.1% das despesas.
k) Qual a estimativa pontual da despesa mensal em bens e serviços para uma família
que apresenta um rendimento per capita igual a 250?
Com a recta de regressão é dada por ŷ =6,3412 + 0,0997x, se x = 250, tem-se
ŷ =6,3412+0,0997*250 = 31,2662
Logo, se o rendimento mensal per capita for igual a 250 espera-se que a despesa mensal
em bens e serviços seja igual a 31,27 unidades.
9
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l) Obtenha um intervalo de predição a 95% para a despesa em bens e serviços para um
rendimento per capita igual a 250. (Utilize os outputs anteriores e o output
seguinte).
Descriptive Statistics
N
despesa mensal em
bens e serviços culturais
rendimento mensal per
capita
Valid N (listwise)
Mean
Std. Deviation
14
27,0714
20,40537
14
207,8571
171,02310
14
Um intervalo de predição a (1-α)100% é dado pela expressão

2
2 


1 ( x 0 − x ) 
1 ( x 0 − x )  



IC95% ( y) =  yˆ 0 − t n−2,1−α / 2 QME 1 + +
 , yˆ 0 + t n−2,1−α / 2 QME 1 + n + s
 

n
s xx



xx



 

2
Atendendo a que s xx = (n −1)s '2x = 13×(171,02310) = 380235.71 e a que
σˆ = QME = 11.6577 , tem-se

2
2 


1 (250 − 207.86) 
1 (250 − 207.86)  



IC95% ( y) = 31.27 − 2.179 135.90 1 + +
, 31.27 + 2.179 135.90 1 + +


14
380235.71 
14
380235.71  







= (4.92,57.62)
Podemos concluir, com um nível de confiança de 95%, que a despesa para um
rendimento igual a 250 unidades monetárias se situará entre 4.92 e 57.62.
m) Em vez dos valores de X foram utilizados os seus logaritmos. Com base nos
outputs, escreva a equação do modelo de regressão e comente.
Model Summary
Model
1
R
,957a
R Square
,915
Adjusted
R Square
,908
Std. Error of
the Estimate
6,17832
a. Predictors: (Constant), VAR00003
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
VAR00003
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-108,042
11,974
26,622
2,337
Standardized
Coefficients
Beta
,957
t
-9,023
11,393
Sig.
,000
,000
a. Dependent Variable: VAR00002
10
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Foi ajustada uma regressão logarítmica: ŷ = -108.042 + 26.622 ln(x). Podemos
concluir, com base na amostra considerada, que 91,5% da variação total é explicada
pelo modelo, pelo que o ajustamento obtido é bastante melhor que o conseguido através
do modelo de regressão linear.
11