1
2
A função de distribuição neste caso é dada por:
em que
3
A função de distribuição de probabilidade nesse caso é dada por
X
P(X=x)
0
0,343
1
0,441
2
0,189
4
3
1,027
Exercícios:
2. Considere ninhada de 4 filhotes de coelhos. Nesta raça há um distúrbio genético
e a probabilidade de nascer fêmeas é de 5/8:
a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X:
X tem uma distribuição binomial
 5
X : Bin ( n, p ) ⇒ X : Bin  4, 
 8
O Modelo Binomial é dado por
 x
n− x
P[ X = x] =   p x (1 − p )
n
em que
 x
n!
 =
 n  (n − x)! x !
 4 5 
P[ X = 0] =   
 0 8 
0
 5
1 − 
 8
4 −0
0
4
4!
81
81
5 3
=
=
≅ 0, 02
    = 1×1×
4096 4096
( 4 − 0 )!0!  8   8 
5
1
 4 5 
P[ X = 1] =    
1 8 
 5
1 − 
 8
4 −1
2
 4 5   5 
P[ X = 2] =    1 − 
 2 8   8 
 4 5 
P[ X = 3] =   
 3 8 
3
 4 5 
P[ X = 4] =   
 4 8 
4
 5
1 − 
 8
5 27
540
= 4× ×
=
≅ 0,13
8 512 4096
4− 2
= 6×
25 9 1350
× =
≅ 0,33
64 64 4096
= 4×
125 3 1500
× =
≅ 0,37
512 8 4096
= 1×
625
625
×1 =
≅ 0,15
4096
4096
4 −3
 5
1 − 
 8
4− 4
A distribuição de Probabilidade de X é dada por
X
P ( X = x)
0
0,02
1
0,13
2
0,33
3
0,37
4
0,15
b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição
binomial:
i) Nascimento de exatamente duas fêmeas?
P[ X = 2] = 0,33
ii) Nascimento de pelos menos um macho?
Se Y representa o número de machos, o evento Y ≥ 1 equivale a X ≤ 3 , pois
• se houver 1 macho, implica em 3 fêmeas;
• se houver 2 machos, implica em 2 fêmeas;
• se houver 3 machos, implica em 1 fêmea.
• se houver 4 machos, implica em 0 fêmea.
Assim, a probabilidade do evento é
P [Y ≥ 1] = P [Y = 1] + P [Y = 2] + P [Y = 3] + P [Y = 4]
P [Y ≥ 1] = P [ X = 3] + P [ X = 2] + P [ X = 1] + P [ X = 0] = 0,37 + 0, 33 + 0,13 + 0, 02 = 0,84
iii) Nascimento de pelos menos duas fêmeas?
P [ X ≥ 2] = P [ X = 2] + P [ X = 3] + P [ X = 4] = 0,33 + 0,37 + 0,15 = 0,85
iv) Nascimento de no máximo uma fêmea?
P [ X ≤ 1] = P [ X = 0] + P [ X = 1] = 0, 02 + 0,13 = 0,15
c. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 4 filhotes. Em
quantos você espera encontrar exatamente 1 macho?
6
O número esperado (NE) de ninhadas de 4 filhotes com exatamente 1 macho é
dado pelo produto da probabilidade do evento P [Y = 1] = P [ X = 3] pelo número
total de ninhadas, ou seja,
NE = 500 P [ X = 3] = 500 × 0,37 = 185
Assim, das 500 esperamos que 185 sejam exatamente 1 macho.
3. Suponha que X (v. a. discreta) seja o número de animais doentes de uma
determinada raça. Sabe-se que esta doença é controlada geneticamente e que
ataca 1/3 da raça. Numa amostra de 4 animais, pede-se:
a. A distribuição de probabilidade de X;
X tem uma distribuição binomial
 1
X : Bin  4, 
 3
 4 1 
P[ X = 0] =    
 0 3 
0
1
 4 1 
P[ X = 1] =    
1 3 
 4 1 
P[ X = 2] =   
 2 3 
 1
1 − 
 3
 1
1 − 
 3
2
3
4
= 1× 1 ×
4 −1
 1
1 − 
 3
 4 1   1 
P[ X = 3] =    1 − 
 3 3   3 
 4 1 
P[ X = 4] =   
 4 3 
4 −0
1 8 32
= 4× ×
=
≅ 0,39
3 27 81
4−2
1 4 24
= 6× × =
≅ 0,30
9 9 81
4 −3
 1
1 − 
 3
16 16
= ≅ 0, 20
81 81
= 4×
1 2 8
× = ≅ 0,10
27 3 81
= 1×
1
1
×1 = ≅ 0, 01
81
81
4− 4
A distribuição de Probabilidade de X é dada por
X
P ( X = x)
0
0,20
1
0,39
2
0,30
3
0,10
4
0,01
b. A probabilidade de haver na amostra mais de 1 animal doente;
P[ X > 1] = P[ X = 2] + P[ X = 3] + P[ X = 4] = 0,30 + 0,10 + 0, 01 = 0, 41
c. A probabilidade de haver mais de 1 animal sadio;
Se Y representa o número de animais doentes, o evento Y > 1 equivale a X < 2 ,
pois
7
• se houver 2 sadio, implica em 2 doentes;
• se houver 3 sadio, implica em 1 doente.
• se houver 4 sadio, implica em 0 doente.
Assim, a probabilidade do evento é
d. A probabilidade de haver no máximo três animais doentes;
P[ X ≤ 3] = 1 − P[ X > 3] = 1 − P [ X = 4] = 1 − 0, 01 = 0,99
8
Exemplo 2
Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa amostra de 300, extraída
de um grande lote onde há 2% de defeituosas.
Aplicando-se a fórmula da distribuição binomial teremos:
N = 300
X=4
p = 2% = 2
100
= 0,02
Utilizando a distribuição de Poisson, teremos:
µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 300 ⋅ 0,02 ⇒ µ = 6
P( x) =
e −µ (µ ) x
e −6 (6) 4
⇒ P ( x = 4) =
= 0,134
xM
4M
Exercícios
9
1. Suponhamos que os navios cheguem a um porto a razão de 2 navios /hora, e que essa
razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um
período de meia hora (t = 1/2), determine a probabilidade de:
a) não chegar nenhum navio;
b) chegarem 3 navios.
Solução:
n=2
p=t= 1
horas.
2
Primeiro determine µ : µ = λ = n ⋅ t = 2 ⋅ 1 = 1 ⇒ µ = 1
2
e −µ (µ ) x
e −1 (1) 0
a) P ( x) =
⇒ P ( x = 0) =
= 0,368
xM
0M
b) P ( x) =
e −µ (µ ) x
e −1 (1) 3
⇒ P ( x = 3) =
= 0,061
xM
3M
2. Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a
probabilidade de que em um lote que contém:
a) 200 peças, sejam encontradas 8 peças defeituosas;
µ = λ = n⋅ p
n = 200 peças
p= 9
1000
= 0,009
µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 200 ⋅ 0,009 ⇒ µ = 1,8
P( x) =
e −µ (µ ) x
e −1,8 (1,8) 8 18,216
⇒ P ( x = 8) =
=
= 0,00045
xM
8M
40320
10
b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa.
µ = λ = n⋅ p
n = 500 peças
p= 9
1000
= 0,009
µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 500 ⋅ 0,009 ⇒ µ = 4,5
P( x) =
e −µ (µ ) x
e −4,5 (4,5) 0
⇒ P ( x = 0) =
= 0,0111
xM
0M
4) Um processo mecânico produz tecido para tapetes com uma média de 2 defeitos por
jarda. Determine a probabilidade de uma jarda quadrada ter exatamente 1 defeito,
admitindo que um processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
Solução
É dado µ = 2 e x = 1
e − λ ⋅t (λ ⋅ t ) X
P( X ) =
XM
P( x) =
e −µ (µ ) x
e −2 (2)1
⇒ P (1) =
= 0,270
xM
1M
3. As chamadas de emergência chegam a uma central de polícia a razão de 4 por hora no
período de 1 as 6 da manhã em dias úteis e podem ser aproximadas por uma distribuição
de Poisson. Responda:
a) Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30 minutos?
b) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?
a)
p = t (tempo) = 30 minutos = 0,5 horas.
n=4
11
E ( x) = µ = λ = n ⋅ t
Portanto, num período de 30 minutos são esperadas _____ chamadas.
b) p = t (tempo) = 30 minutos = 0,5 horas.
µ = λ = n⋅t
P( x) =
e −µ (µ ) x
xM
P(x = 0) = 0,135
12